中考数学@常考模型专练
模型十二瓜豆模型
方法解读
思考如图 1， 是圆 上一个动点， 为定点，连接 ，点 为线段 的中点，那么当点 在
圆 上运动时， 点的运动轨迹是什么？
探究考虑到 点始终为线段 的中点，当 ， ， 三点不共线时，如图 2，连接 ，取 的
1 1
中点 ，连接 , ,那么在任意时刻，均有△ △ ，易得相似比为 ，故 = = ，
2 2
1
即 = ，则 点运动轨迹是以线段 的中点 为圆心， 的长为半径的圆.
2
同理思考，如图 3，点 是定点，点 是直线 上的动点，连接 ，作线段 ⊥ ，且使 = .
根据上面的探究，容易知道如果 点的运动轨迹是直线，那么 点的运动轨迹也是直线.
图 3 图 4 图 5
例题如图 4，在Rt △ 中， = ，∠ = 90 ， 是 的中点， 是直线 上的一个
动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转45 得到 ，连接 ，在点 运动的过程中，请画
出线段 的长最小时，点 的位置.
分析：此题中，点 为定点，线段 ， 长度相等，∠ 又是定角， 点的运动轨迹为直线 ，
则根据瓜豆模型，可判断 点的运动轨迹也为直线.那么我们就可以找到两点确定出点 所在的
直线.如图 5，当点 分别与点 ， 重合时，按题意旋转线段 ，分别得到点 ， ，则直线
就是点 的运动轨迹，再根据垂线段最短可知，当点 在如图所示的位置时，线段 的长最小.
总结：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动轨迹形状相同.主动
点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是
圆.这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆模型（瓜豆原理），其本质知识点是全等和相似.
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1．如图，△ 是边长为 6 的等边三角形，点 为高 上的动点.连接 ，将 绕点 顺时针
旋转60 得到 .连接 ， ， ，则△ 周长的最小值是________.
第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图
2．如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为(0,4)， 是 轴上一动点，把线段 绕点 顺
时针旋转60 得到线段 ，连接 ，则线段 长的最小值是____.
3．如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，将线段 以 为中心
逆时针旋转90 得到线段 ，连接 ， .若 = 4， = 1，则 的最小值为________.
4．【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角尺按照如图 1 所示的方式摆放.其
中∠ = ∠ = 90 ，∠ = 30 ， = = 3.
图 1 图 2 图 3 图 4
【问题探究】
小昕同学将三角尺 绕点 按顺时针方向旋转.
（1）如图 2，当点 落在边 上时，延长 交 于点 ，求 的长；
（2）若点 、 、 在同一条直线上，求点 到直线 的距离；
（3）连接 ，取 的中点 ，三角尺 由初始位置（图 1）旋转到点 、 、 首次在同一
条直线上（图 3），求点 所经过的路径长；
（4）如图 4， 为 的中点，则在旋转过程中，点 到直线 的距离的最大值是________.
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模型十二 瓜豆模型
方法解读
思考如图 1， 是圆 上一个动点， 为定点，连接 ，点 为线段 的中点，那么当点 在
圆 上运动时， 点的运动轨迹是什么？
探究考虑到 点始终为线段 的中点，当 ， ， 三点不共线时，如图 2，连接 ，取 的
1 1
中点 ，连接 , ,那么在任意时刻，均有△ △ ，易得相似比为 ，故 = = ，
2 2
1
即 = ，则 点运动轨迹是以线段 的中点 为圆心， 的长为半径的圆.
2
同理思考，如图 3，点 是定点，点 是直线 上的动点，连接 ，作线段 ⊥ ，且使 = .
根据上面的探究，容易知道如果 点的运动轨迹是直线，那么 点的运动轨迹也是直线.
图 3
例题如图 4，在Rt △ 中， = ，∠ = 90 ， 是 的中点， 是直线 上的一个
动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转45 得到 ，连接 ，在点 运动的过程中，请画
出线段 的长最小时，点 的位置.
图 4
分析：此题中，点 为定点，线段 ， 长度相等，∠ 又是定角， 点的运动轨迹为直线 ，
则根据瓜豆模型，可判断 点的运动轨迹也为直线.那么我们就可以找到两点确定出点 所在的
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直线.如图 5，当点 分别与点 ， 重合时，按题意旋转线段 ，分别得到点 ， ，则直线
就是点 的运动轨迹，再根据垂线段最短可知，当点 在如图所示的位置时，线段 的长最小.
图 5
总结若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动轨迹形状相同.主动点
在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆.
这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆模型（瓜豆原理），其本质知识点是全等和相似.
1．如图，△ 是边长为 6 的等边三角形，点 为高 上的动点.连接 ，将 绕点 顺时针
旋转60 得到 .连接 ， ， ，则△ 周长的最小值是________.
答案：3 + 3√3
解析：∵ 为高 上的动点，
1
∴ ∠ = ∠ = 30 ，
2
∵将 绕点 顺时针旋转60 得到 ，△ 是边长为 6 的等边三角形，
1
∴ = ，∠ = ∠ = 60 ， = ， = = 3.
2
易证△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ = 30 ，
作点 关于直线 的对称点 ′，连接 ′交射线 于点 ′，设 ′交射线 于点 ，则∠ =
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90 ， 垂直平分 ′,∴ = ′ .
1
在Rt △ 中，∠ = 30 ，则 = = 3， ′ = 6.
2
△ 的周长= + + = + ′ + 3,
当 ， ， ′三点共线时， ′ + 取得最小值，最小值为 ′ 的长，
易证△ ≌△ ′ ，
∴ ∠ ′ = ∠ = 90 .
在Rt △ ′ 中， ′ = √ ′2 2 = √62 32 = 3√3，
∴△ 周长的最小值为 + ′ = 3 + 3√3.
2．如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为(0,4)， 是 轴上一动点，把线段 绕点 顺
时针旋转60 得到线段 ，连接 ，则线段 长的最小值是____.
答案：2
解析：如图，作点 关于 轴的对称点 1，则 1的坐标为(0, 4).
4√3
当点 在 轴上时，记为 2，则 2( , 0). 3
当点 在 轴上时， 与 1重合.
易知 的轨迹为过 1， 2两点的直线，设为 .
过点 作 3 ⊥ 于点 3，
∴当 与 3重合时，线段 最短.
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√3
易知tan∠ 1 2 = ， 3
∴ ∠ 1 2 = 30
，
∴ 3 = 1 sin∠ 1 2 = 4 × sin30
= 2.
∴线段 长的最小值为 2.
3．如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，将线段 以 为中心
逆时针旋转90 得到线段 ，连接 ， .若 = 4， = 1，则 的最小值为________.
答案：2√10 1
解析：如图，连接 ，将 绕点 逆时针旋转90 得到 ，
∵ 的运动轨迹是以 为圆心，1 为半径的半圆，
∴ 的运动轨迹是以 为圆心，1 为半径的半圆，
如图，当 ， ， 三点共线时， 的值最小，
∵四边形 是正方形，
∴ = = = 4，∠ = 90 ，
∵ 是 的中点，
∴ = 2，
∴ = √ 2 + 2 = √22 + 42 = 2√5，
由旋转得 = ，∠ = 90 ，
∴ = √2 = 2√10，
∴ 的最小值为2√10 1.
4．【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角尺按照如图 1 所示的方式摆放.其
中∠ = ∠ = 90 ，∠ = 30 ， = = 3.
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图 1 图 2 图 3
图 4
【问题探究】
小昕同学将三角尺 绕点 按顺时针方向旋转.
（1）如图 2，当点 落在边 上时，延长 交 于点 ，求 的长；
（2）若点 、 、 在同一条直线上，求点 到直线 的距离；
（3）连接 ，取 的中点 ，三角尺 由初始位置（图 1）旋转到点 、 、 首次在同一
条直线上（图 3），求点 所经过的路径长；
（4）如图 4， 为 的中点，则在旋转过程中，点 到直线 的距离的最大值是________.
解：（1）由题意得∠ = ∠ = 90 ，
∵在Rt △ 中，∠ = 30 ， = 3，cos∠ = ，
3
∴ = = = 2√3.
cos∠ cos30
（2）①当点 在 上方时，
如图 1，过点 作 ⊥ 于点 ，
图 1
∵在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 3，
3
∴ = = = 3√3.
tan∠ tan30
∵在△ 中，∠ = 90 ，∠ = ∠ = 30 ， = 3，tan∠ = ，
∴ = tan30 = √3.
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∵点 ， ， 在同一条直线上，且∠ = 90 ，
∴ ∠ = 180 ∠ = 90 .
又∵在△ 中， = 3√3， = 3，
∴ = √ 2 2 = 3√2，
∴ = + = 3√2 + √3.
1 1
∵ △ = = ， 2 2
∴ = = √6 + 1.
②当点 在 下方时，如图 2，
图 2
在△ 中，∵ ∠ = 90 ， = 3， = 3√3，
∴ = √ 2 2 = 3√2.
∴ = = 3√2 √3.
过点 作 ⊥ ，垂足为 .
1 1
∵ △ = = ， 2 2
∴ = = √6 1.
综上，点 到直线 的距离为√6 ± 1.
1
（3）如图 3，取 的中点 ，连接 ，则 = = √3.
2
图 3
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∴点 在以 为圆心，√3为半径的圆上.
三角尺 由初始位置绕点 顺时针旋转到点 、 、 首次在同一条直线上，点 的轨迹为150
150 5√3
的圆心角所对的圆弧，圆弧长为 × 2π × √3 = π.
360 6
5√3
∴点 所经过的路径长为 π.
6
7√3
（4） .
4
解析：
（4）如图 4，由（3）可知点 在以 为圆心，√3为半径的圆上.
过 作 ⊥ 于 ，延长 交⊙ 于 1，则 1 的长即为点 到直线 的距离的最大值.
图 4
1 3√3
在Rt △ 中，∠ = 30 ， = = ，
2 2
1 3√3
∴ = = .
2 4
3√3 7√3
∴ 1 = 1 + = √3 + = . 4 4
7√3
∴点 到直线 的距离的最大值是 .
4
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