中考数学@常考模型专练
模型二倍长中线模型
方法解读
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅
助线.
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法.
【方法精讲】如图 1，在△ 中， 是 边上的中线.
方式 1：如图 2，延长 到 ，使 = ，连接 .
方式 2（间接倍长）：①如图 3，作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 交 的延长线于 .
②如图 4，在 上任取一点 ，连接 ，延长 到 ，使 = ，连接 .
1．倍长中线的关键在于倍长某条线段（被延长的线段 要满足两个条件：①线段 一个端点是
图中一条线段 的中点；②线段 与线段 不共线），然后进行连接，构造全等三角形，再进一
步将某些线段进行等量代换，证明全等或其他的结论，从而解决问题.
【应用举例】如图 1，已知 为△ 的中线，求证： + > 2 .（无需作答）
简证：如图 2，延长 到 ，使得 = ，连接 ，易证△ ≌△ ，得 =______，
在△ 中， + >______，即 + > 2 .
【问题解决】（1）如图 3，在△ 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 = ，
延长 交 于 ，求证： = ；
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（2）如图 4，在△ 中，∠ = 90 ， 是 边的中点， 、 分别在边 、 上， ⊥ ，
若 = 3， = 4，求 的长；
（3）如图 5， 是△ 的中线， = ， = ，且∠ = ∠ = 90 ，请直接写
出 与 的数量关系及位置关系.
2．【观察发现】如图①，△ 中， = 7， = 5，点 为 的中点，求 的取值范围.
小明的解法如下：延长 到点 ，使 = ，连接 .
= ,
在△ 与△ 中，{∠ = ∠ , ∴△ ≌△ (SAS)，∴ =______.
= ,
又∵在△ 中， < < + ， = = 7， = 5，∴____< <____.
又∵ = 2 ，∴____< <____.
【探索应用】如图②， // ， = 25， = 8，点 为 的中点，∠ = ∠ ，则
的长为____.
【应用拓展】如图③，∠ = 60 ，∠ = 120 ， = ， = ，连接 ， 为 的
中点，求证： ⊥ .
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3．有公共顶点 的正方形 与正方形 按如图 1 所示的方式放置，点 ， 分别在边
和 上，连接 ， ， 是 的中点，连接 交 于点 .
【观察猜想】
（1）线段 与 之间的数量关系是________，位置关系是________.
【探究证明】
（2）将图 1 中的正方形 绕点 顺时针旋转45 ，点 恰好落在边 上，如图 2，其他条件
不变，线段 与 之间的关系是否仍然成立？并说明理由.
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模型二 倍长中线模型
方法解读
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅
助线.
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法.
【方法精讲】如图 1，在△ 中， 是 边上的中线.
方式 1：如图 2，延长 到 ，使 = ，连接 .
方式 2（间接倍长）：①如图 3，作 ⊥ 于 ，作 ⊥ 交 的延长线于 .
②如图 4，在 上任取一点 ，连接 ，延长 到 ，使 = ，连接 .
1．倍长中线的关键在于倍长某条线段（被延长的线段 要满足两个条件：①线段 一个端点是
图中一条线段 的中点；②线段 与线段 不共线），然后进行连接，构造全等三角形，再进一
步将某些线段进行等量代换，证明全等或其他的结论，从而解决问题.
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【应用举例】
如图 1，已知 为△ 的中线，求证： + > 2 .（无需作答）
简证：如图 2，延长 到 ，使得 = ，连接 ，易证△ ≌△ ，得 =______，
在△ 中， + >______，即 + > 2 .
答案：CE；AE
【问题解决】
（1）如图 3，在△ 中， 是 边上的中线， 是 上一点，且 = ，延长 交 于
，求证： = ；
证明：如图 1，延长 到 ，使得 = ，连接 ，易证△ ≌△ ，∴ = ，∠ =
∠ ，
∵ = ，∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ = .
图 1
（2）如图 4，在△ 中，∠ = 90 ， 是 边的中点， 、 分别在边 、 上， ⊥ ，
若 = 3， = 4，求 的长；
解:如图 2，延长 到 ，使得 = ，连接 、 ，易证△ ≌△ ，
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图 2
∴ = = 3，∠ = ∠ ，
∵ ⊥ ，
∴ 垂直平分 ，∴ = ，
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，即∠ = 90 ，在Rt △ 中， = √32 + 42 = 5，
∴ = 5.
（3）如图 5， 是△ 的中线， = ， = ，且∠ = ∠ = 90 ，请直接写
出 与 的数量关系及位置关系.
答案： = 2 ， ⊥ .
解析：如图 3，延长 到 ，使 = ，延长 交 于 ，连接 ，易得△ ≌△ ，
∴ = ，∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 180 ∠ = ∠ ，
∵ = ，∴ = ，
又∵ = ,∴△ ≌△ ，
∴ = = 2 ，∠ = ∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 180 90 = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ，∴ ⊥ .
图 3
2．【观察发现】如图①，△ 中， = 7， = 5，点 为 的中点，求 的取值范围.
小明的解法如下：延长 到点 ，使 = ，连接 .
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= ,
在△ 与△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ (SAS)，
∴ =______.
又∵在△ 中， < < + ， = = 7， = 5，
∴____< <____.
又∵ = 2 ，
∴____< <____.
【探索应用】如图②， // ， = 25， = 8，点 为 的中点，∠ = ∠ ，则
的长为____.
【应用拓展】如图③，∠ = 60 ，∠ = 120 ， = ， = ，连接 ， 为 的
中点，求证： ⊥ .
【观察发现】 ；2；12；1；6
【探索应用】17
【应用拓展】证明：如图，延长 到点 ，使 = ，连接 ， ， ，
易得△ ≌△ ，∴ = ，∠ = ∠ ，
∵ = ，∴ = .在四边形 中，∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360 ，
∵ ∠ = 60 ，∠ = 120 ，
∴ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 .
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，又 = ，
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∴△ ≌△ (SAS)，∴ = ，
∵ = ，∴ ⊥ .
【探索应用】如图，延长 ， 交于 ，
∵点 是 的中点，∴ = ，
∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ (AAS)，
∴ = = 25，∴ = = 17，
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = 17.
3．有公共顶点 的正方形 与正方形 按如图 1 所示的方式放置，点 ， 分别在边
和 上，连接 ， ， 是 的中点，连接 交 于点 .
【观察猜想】
（1）线段 与 之间的数量关系是________，位置关系是________.
【探究证明】
（2）将图 1 中的正方形 绕点 顺时针旋转45 ，点 恰好落在边 上，如图 2，其他条件
不变，线段 与 之间的关系是否仍然成立？并说明理由.
答案：解:（1） = 2 ； ⊥
（2）仍然成立.
理由：延长 至点 ，使得 = ，连接 ，
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易得△ ≌△ ，∴ = ，∠ = ∠ ，
∴ // ，∴ ∠ = ∠ .
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ∠ = ∠ = 90 ， = ， = = ，∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ +
∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ (SAS)，∴ = ，
又∵ = ，∴ = = + = 2 .
∵△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ ，
∵△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ + ∠ = ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 90 ，
即 ⊥ .
综上，线段 与 之间的关系仍然成立.
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