中考数学@常考模型专练
模型三 “8”字模型
方法解读
“8”字模型：
或
识别 有一组角是对顶角的两个三角形，如图
结论 除对顶角之外，若有一组角和一组边分别对应相等，则两个
三角形全等；若仅有一组角相等，则两个三角形相似
应用 全等和相似的边、角性质
2
1．如图，在平行四边形 中， 是线段 上一点，连接 ， 交于点 .若 = ，则
3
△ =______.
△
5
答案：
2
2．如图， 中，点 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 .
（1）求证： = ；
（2）点 是线段 上一点，满足∠ = ∠ ， 交 于点 ，若 = 2， = 6，求 的
长.
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答案：
（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ // ， = ,
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∵ 是 的中点，∴ = ，
∴△ ≌△ (AAS)，
∴ = ，
∴ = .
（2）解:∵ = 2， = 6，
∴ = + = 6 + 2 = 8，
∴ = = 8，
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ = = 6，
∵ // ，∴△ △ ，
8 6
∴ = ，即 = ，∴ = 1.2.
2
3．如图， ， 分别是△ 的内、外角平分线， , 在直线 上，过 作 的垂线交 的
延长线于 ，连接 并延长交 于 ，求证： = .
证明:延长 ， 交于 点，如图，
由 ， 分别是△ 的内、外角平分线，易得∠ = 90 ，
∵ ⊥ ，
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∴ // ，
∴△ △ ，△ △ ，
∴ = ， = ，∴ = ，
∵ 是∠ 的平分线，且 ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
又∵ = ,
∴△ ≌△ (ASA)，
∴ = ，∴ = .
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模型三“8”字模型
方法解读：“8”字模型：
或
识别 有一组角是对顶角的两个三角形，如图
结论 除对顶角之外，若有一组角和一组边分别对应相等，则两个三角形全等；
若仅有一组角相等，则两个三角形相似
应用 全等和相似的边、角性质
2
1．如图，在平行四边形 中， 是线段 上一点，连接 ， 交于点 .若 = ，则
3
△ =______.
△
2．如图， 中，点 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 .
（1）求证： = ；
（2）点 是线段 上一点，满足∠ = ∠ ， 交 于点 ，若 = 2， = 6，求 的
长.
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3．如图， ， 分别是△ 的内、外角平分线， , 在直线 上，过 作 的垂线交 的
延长线于 ，连接 并延长交 于 ，求证： = .
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