期末模拟测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册期末复习

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期末模拟测试题 2025-2026学年上学期
初中数学人教版九年级上册期末复习
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷一次，则掷得骰子朝上一面的点数为奇数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
3．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
4．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
5．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
9．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（ ）

A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m
二、填空题
11．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000
发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204
发芽的频率
根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到）
12．已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 ．
13．若二次函数的图象经过点和，则 ， ．
14．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
15．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
16．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知二次函数．
(1)求该二次函数的图象与轴交点的坐标；
(2)求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大．
19．如图，在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，，，
(1)以点A为旋转中心，将顺时针转动，得到，画出，则_______；
(2)画出关于点的中心对称图形；
(3)若上有一点，则上对应点的坐标_______．
20．如图，在中,为的直径,与相交于点D，过点D作于点E延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
21．如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，设平行于墙一边长为．

(1)当苗圃园的面积为时，求的值．
(2)当为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？
22．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．以下是云南省非物质文化遗产的场景图：傣族孔雀舞、彝族火把节、白族扎染、撒尼阿诗玛．
(1)小琪从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中阿诗玛的概率是_____；
(2)小琪和小杰计划从以下四幅图中各随机选择一幅，用于宣传云南的非物质文化遗产，求两人恰好选中同一幅图的概率．
23．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式．
【初步感知】
（1）如图（1），我们可以通过构造该图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到公式在该公式中，若，，求的值；
【类比探究】
（2）如图（2），已知线段m，n，我们可以根据线段m，n构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到公式请把你构造的几何图形画在虚线框内，并结合该几何图形完成公式的推理过程；
【拓展应用】
（3）如图（3），将两块大小不等的等腰直角三角形尺和等腰直角三角尺重叠摆放，其中D，E分别落在直角边上，若，，设，，求的值及图中阴影部分的面积．
24．在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接．
(1)如图1，当时，则 °；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明．
25．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接．
(1)求证：是的切线
(2)连接，若，，求的长．
26．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D D C C C B B
1．B
【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C、D不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率所求情况数与总情况数之比，是解决问题得关键．
【详解】解：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，投掷一次出现1，2，3，4，5，6，共6种等可能结果，
∴将它投掷一次，则掷得骰子朝上一面的点数为奇数的概率是，
故选：A．
3．B
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当时，函数的最大值是，故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误；
∵，
∴抛物线与x轴没有交点，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．
4．D
【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
在中,由勾股定理得：
故选：D.
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握这两个定理的内容.
5．D
【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠1．
故选D．
【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键
6．C
【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握旋转的性质．
直接利用旋转的性质求解．
【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
又，
∴，解得：，
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，
连接，根据切线的性质及直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出
，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案.
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
即.
∵，
∴，
∴
在圆内接四边形中，，
∴.
故选：C.
8．C
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．B
【详解】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
10．B
【分析】运动员抛出的水平距离即为实心球落地时的水平距离，令，解一元二次方程即可．
【详解】解：令，则
解得：（舍去）
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．建立实际问题与二次函数的联系是解题关键．
11．
【分析】根据频率估计概率的原理，通过分析发芽频率数据的稳定趋势，估计概率值．
本题考查了频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键．
【详解】解：从试验数据可知，随着每批粒数的增加，发芽频率逐渐稳定在附近，当每批粒数为4000时，频率为，精确到即为，
因此该油菜籽种子发芽的概率估计为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查求扇形的弧长，根据扇形的弧长公式（其中，为圆心角度数，为半径）求解即可．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为6，
代入弧长公式中，得，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，利用待定系数法，将点的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点和，
∴把点和代入得，
∴，
故答案为：；3．
14．
【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握，．
15．3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
16．①④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
，故①正确；
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点，
，
，故②错误；
对称轴为直线，
∴当和时的函数值相等，且都小于0，
，故③错误；
④当时，，
∴， 故④正确；
⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤正确，
正确的有①④⑤，
故答案为：①④⑤．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
，
或，
解得：，．
18．(1)
(2)，当时，随的增大而增大
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题：
（1）令，进行求解即可；
（2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可．
【详解】（1）解：令，
解得：，
∴二次函数的图象与轴交点的坐标为；
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大．
19．(1)见详解，
(2)见详解
(3)
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出，并顺次连接；再说明为等腰直角三角形即可进行解答．
（2）根据关于原点对称的点的坐标标出，然后顺次连接即可．
（3）利用（2）中对应点坐标之间的关系可判断点的坐标．
【详解】（1）解：如图，为所作图形；
由勾股定理得，，，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图，为所作图形；
（3）解：由题意得：点的对应点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形和旋转的作图，准确作图是解题的关键．也考查了勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质和判定．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆的性质(垂径定理)及勾股定理的综合应用，解题的关键是第一问通过证明半径与直线垂直判定切线，第二问通过构造辅助线转化线段关系，利用勾股定理计算线段长度．
（1）连接，利用等腰三角形性质得和，推出，结合得，从而证明为切线；
（2）过O作，利用垂径定理得，结合矩形性质转化、等线段关系，通过勾股定理依次计算、、的长度，最后求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，过点O作于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
．
21．(1)
(2)当的值为时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，
（1）用含的式子表示，根据“苗圃园的面积为”列出关于的方程，求解即可；
（2）设苗圃园的面积为，根据面积公式可得到二次函数，通过二次函数的性质即可求出最值；
本题的关键是利用含x的式子表示线段长度，根据二次函数的性质解题．
【详解】（1）解：∵篱笆的总长为，平行于墙一边长为，
∴垂直于墙一边长为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴的值为；
（2）设苗圃园的面积为，
依题意，得：，
∴，
∴当时，，
答：当的值为时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是．
22．(1)
(2)
【分析】（）根据概率公式直接计算即可；
（）列出表格，根据表格解答即可求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，恰好选中阿诗玛的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
（小琪，小杰）
由表格可知，共有种等结果，其中恰好选中同一幅图的结果有种，
∴恰好选中同一幅图的概率为．
23．（1）13；（2）见解析；（3），阴影部分的面积为14
【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，平方差公式的运用，算术平方根的求解，等腰直角三角形的定义，熟练掌握相关性质，准确计算为解题关键．
（1）根据完全平方公式进行计算即可；
（2）画出图形表示出即可；
（3）用x，y先表示出两个三角形的面积，结合题意利用完全平公式求出的值即可求出结果，再利用完全平方公式得到的值，求出最后结果即可．
【详解】解：（1），，
，
，
；
（2）如图：
；
（3）设，，
，即，
与为等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)①时等边三角形，理由见解析；②，理由见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）求出，由四边形内角和为即可得到；
（2）①证明，求出，即可证明结论；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明是等边三角形，再证明，得到，进一步得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图1中，
∵点E是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①结论：是等边三角形．
理由：如图2中，
∵点E是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
②结论：．
理由：如图3中，作点D关于直线的对称点，连接．
当点P在的延长线上时，的值最大，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，延长交于点H，可证明四边形是矩形，由， ，，，得，，则，求得，则，所以．
【详解】（1）证明：连接，
则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
， ，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．(1)；
(2)有最大值为8，；
(3)存在，P点的坐标为或或．
【分析】（1）将，坐标分别代入抛物线解析式得方程组，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式；
（2）先求出直线的解析式，设，则，得出，再求出，再求其最大值即可；
（3）先求出对称轴为直线，得，设P点的坐标为，再根据平行四边形的性质进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，将，代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴，

设直线的解析式为，
将B、C点坐标代入得，解得，
∴直线的解析式为，
设，
轴于点H，则，
∴
， ．
∴
∵是关于x的二次函数，，
∴当时，有最大值为8，
此时；
（3）解：由，可知对称轴为直线，
∴，
∵，，
设P点的坐标为，
①当为对角线时，，，
解得，，
∴P点的坐标为；
②当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
③当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
综上，P点的坐标为或或
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，正确掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积和平行四边形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．
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