期末预测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版 （2024）八年级上册期末复习

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期末预测试题 2025-2026学年上学期初中
数学人教版 （2024）八年级上册期末复习
一、单选题
1．食品安全问题是全球性的挑战，我国已经建立了较为完善的食品安全法律法规体系．下面四个图形是食品安全方面的标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．43 B．33 C．38 D．48
7．如图，在中，，，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．分解因式： ．
13．如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
14．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 （用含a，b的式子表示）．
15．若，，则的值为 ．
16．若，，则的值为 ．
17．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．

18．在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则 ．
三、解答题
19．解分式方程：
(1)
(2)
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为______，______，______；
(2)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是______；
(3)在轴正半轴上是否存在点使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．
22．阅读材料，完成下列问题．
材料一：已知多项式有一个因式是，求的值．
解：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．
材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值．
解：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．
(1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ；
(2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值；
(3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值．
23．在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：在中，点、点分别是、边上的中点，过点作于点，过点作于点，满足，求证：是等腰三角形．
证明：∵点、点分别是、边上的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴ ① ，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴ ④ ，
∴
∴是等腰三角形．
24．某牛肉干有五香味和麻辣味两种类型，小新打算购买若干袋五香味和麻辣味牛肉干．
(1)小新花费4300元购买了40袋五香味牛肉干和50袋麻辣味牛肉干，已知10袋五香味牛肉干和9袋麻辣味牛肉干的售价相同，求每袋五香味牛肉干和麻辣味牛肉干的售价分别是多少元？
(2)由于市场供不应求，五香味和麻辣味牛肉干的价格均有上涨，其中每袋麻辣味牛肉干的售价是每袋五香味牛肉干售价的1.2倍，小新分别花费了1800元和3500元购买麻辣味牛肉干和五香味牛肉干，一共购买了100袋，求每袋五香味牛肉干的售价．
25．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
第一行
第二行 各项系数和为
第三行 各项系数和为
第四行 各项系数和为
…… …… …… ……
此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题：
(1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______；
(2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：

①计算；
②计算；
③请直接写出的值．
26．如图，在中，，，是平面内两点，
(1)如图1，若，，求的大小；
(2)如图2，若，，交延长线于，求证：；
(3)如图3，若，，，直接写出的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A B A B A B A
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查同底数幂的乘法、完全平方公式、平方差公式和整式的除法，需根据运算法则逐一判断．
按照运算法则判断即可．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键．
根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P关于x轴的对称点为，
∴；
∵关于y轴的对称点为，
∴，
∴点P的坐标为．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式是因式分解，符合题意；
B、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
D、等式中，等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴
解得，．
故选：B．
6．A
【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
∴正方形A，B的面积之和为，
如图所示：
在正方形中，，
∴，，
∴图1中阴影部分的面积为：，
∵图1中阴影部分的面积为：5，
∴，即，
在正方形中，，
∴图2中阴影部分的面积为：，
又∵图2中阴影部分的面积为：38，
∴，
∴，
∴，
∴正方形A，B的面积之和为43．
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的判定与性质以及角所对的直角边等于斜边一半，直接利用线段垂直平分线的判定与性质得出的长，再利用角所对直角边等于斜边一半得出答案．
【详解】解：由题意可得：直线垂直平分线段，
则，
∵，，
∴．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键．
设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
∵慢马所需时间为天，
∴慢马速度为；
∵快马所需时间为天，
∴快马速度为；
∵快马速度是慢马速度的倍，
∴，
故选A．
9．B
【分析】本题考查分式化简、平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先将分式化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：
，
由，且，
，，
，，
，
，，
原式，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可．
【详解】解：连接，过D作于G，
∵平分，交的延长线于F，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A．
11．
【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则，是解题的关键．应用分配律将单项式与多项式相乘即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键 ．
先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可，
【详解】解：，
故答案为：．
13．110°
【分析】根据三角形的外角性质得出∠AEB＝∠A+∠C，∠ADB＝∠B+∠AEB，再代入求出答案即可．
【详解】∵∠A＝20°，∠C＝50°，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝70°，
∵∠B＝40°，
∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+40°＝110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
14．/
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为，
，
拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
15．
【分析】根据，直接把，整体代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：．
16．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、约分等知识点，灵活运用平方差公式对分母因式分解是解题的关键．
先用平方差公式对分母因式分解，然后约分化简，最后将、代入求值即可．
【详解】解：
；
当，时，原式．
17．1或
【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解．
【详解】解：当，时，，
、Q运动的路程和时间相同，
和P的运动速度相同是；
当，时，，
，
运动的时间是，
，
运动的速度是，
当点Q的运动速度为1或时，与全等．
故答案为：1或
18．
【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，利用图形正确列式是解题的关键．用长方形面积减去空白部分的面积分别表示出、，再利用整式的混合运算计算它们的差即可．
【详解】解：由题意可得：
，
，
由得，
解得：，
故答案为：．
19．(1)
(2)
无解
【分析】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，不要遗漏检验步骤．
（1）方程两边同时乘最简公分母后解整式方程，再将得到的解代入原方程进行检验即可；
（2）方程两边同时乘最简公分母后解整式方程，再将得到的解代入原方程进行检验即可；
【详解】（1）解：
，
经检验，是原方程的根，
则．
（2）解：
，
经检验，是原方程的增根，
则原方程无解．
20．，
【分析】本题考查了分式的混合运算化简求值，先化简代数式，再把的值代入计算即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，
∴原式
．
21．(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题，熟练掌握相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键．
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解；
（2）利用轴对称的性质，作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为点P；
（3）过点，分别做轴的垂线，垂足为，，在轴上取，根据可得，由此即可求解出点Q的坐标．
【详解】（1）解：若与关于轴成轴对称，
则三个顶点坐标分别为，，，
故答案为：，，；
（2）如图：点是点A关于y轴的对称点，
连接，与y轴交于点P，
此时的值最小，
则点P的坐标为；
（3）存在点Q，点Q的坐标为，理由如下：
如图：过点，分别作轴的垂线，垂足为，，
在轴上取
，
，
，
解得，
．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则．
（1）根据题干提供的方法，求解即可；
（2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可；
（3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算取，，
解得：．
（2）解：设，
令，则，
令，则，
即，
解得：；
（3）解：令，
，
令，则；
令，则；
∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，
，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)；；；
【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的性质与判定，等角对等边；
（1）根据题意过点作的垂线，连接，即可；
（2）根据全等三角形的性质与判定完成填空，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵点、点分别是、边上的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
故答案为：；；；．
24．(1)每袋五香味牛肉干和香辣味牛肉干的售价分别是元、元
(2)每袋五香味牛肉干的售价为元
【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设每袋五香味牛肉干售价元，每袋香辣味牛肉干售价元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设每袋五香味牛肉干售价为元，则每袋香辣味牛肉干为元，根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】（1）设每袋五香味牛肉干售价元，每袋香辣味牛肉干售价元，
由题意得：
解得
答：每袋五香味牛肉干和香辣味牛肉干的售价分别是元、元．
（2）设每袋五香味牛肉干售价为元，则每袋香辣味牛肉干为元，由题意得：

解得：
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：每袋五香味牛肉干的售价为元．
25．(1)8，7，128
(2)①357；②；③4051
【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法；
（1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可．
（2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解；
②将已知式子裂项为，即可求解；
③根据进行计算即可求解．
【详解】（1）根据“杨辉三角”可知，
第2行，展开后，各项的系数和为，
第3行，展开后，各项的系数和为，
第4行，展开后，各项的系数和为，
第5行，展开后，各项的系数和为，
第6行，展开后，各项的系数和为，
第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为
第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、
各项的系数和为
展开后，各项的系数和为，
∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128；
故答案为：8，7，128．
（2）①由题意得：、、
∴
∴
②由题意得：、、
∴
∴
③
26．(1)
(2)证明详见解析
(3)
【分析】（1）利用“”证明，即可得出答案；
（2）在上取点，使，过作交于，可证得，再证明，即可得出结论；
（3）将和分别绕点顺时针旋转，得到和，连接，，，交于，延长交于，先证明与共线，证明和均为等腰直角三角形，进而证得，得出，，推出，再利用三角形面积公式即可求得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：在上取点，使，过作交于，
∵，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：如图，将和分别绕点顺时针旋转，得到和，连接，，，交于，延长交于，
则，，，，，，，
，，，
，，，
，
，
点与点重合，即与共线，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等，综合性强，难度大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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