期末预测试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册期末复习

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期末预测试题 2025-2026学年上学期
初中数学人教版九年级上册期末复习
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
3．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．函数的最大值是3
C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为
5．关于圆有如下的命题：①平分弦的直径垂直于弦；②不在同一直线上的三个点确定一个圆；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④圆的切线垂直于半径；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．其中命题正确的是有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，AB、CD分别与半圆OO切于点A，D，BC切⊙O于点E，若AB=4，CD=9，则⊙O的半径为（　　）

A．12 B． C．6 D．5
10．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（ ）
A．或3 B．－1或1 C．0或2 D．2或4
11．下表中列出的是二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 1 3 …
y … 12 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．
B．这个函数的最小值是
C．一元二次方程的根是
D．当时，y的值随x值的增大而增大
12．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，m的值是（　　）
A． B． C．或3 D．或
二、填空题
13．已知点和点关于原点对称，则 ．
14．已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为 ．
16．如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，定滑轮上一点P旋转，则物体上升的高度为 ．（结果保留）
17．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是 ．
三、解答题
18．解方程
(1)；
(2)
19．如图，的顶点坐标分别为，，，将绕原点顺时针旋转得到．
(1)画出．
(2)求线段扫过的面积．
20．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
21．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
22．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是原方程的两根，且，求的值．
23．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为米），其余用长为米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为米的小门（小门不用篱笆）
(1)设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，围成的菜地面积最大？最大为多少？
24．如图，已知．
(1)尺规作图：作一个圆，使圆心在上，且与所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求在（1）中所作的的半径
(3)在（2）中上有一动点，请求出线段的取值范围．
25．【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度；
【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系；
【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度．
26．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．
①连接，当的面积为时，求点的横坐标；
②直线能否把分成面积之比为的两部分，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D A B D B C A
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握两个定义．
利用轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C. 该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D. 该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
其中，，，
∴，
解得，
又∵，
∴且．
故选：D．
3．C
【分析】根据m+n=-2，m n=-5，直接求出m、n即可解题．
【详解】∵m、n是方程x2+2x 5=0的两个实数根，
∴mn= 5，m+n= 2，
∵m2+2m 5=0
∴m2=5 2m
∴m2 mn+3m+n=(5 2m) ( 5)+3m+n=10+m+n=10 2=8，
故答案为C.
【点睛】本题考查的是代数式求解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.
4．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解．
【详解】解：，
对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为，
∵，
∴开口向下，
故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．A
【分析】根据垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，切线的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②不在同一直线上的三个点确定一个圆，故②正确；
③三角形的内心到三角形三条边的距离相等，故③正确；
④圆的切线垂直于过切点的半径，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；
所以正确的命题有②③，共2个．
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，切线的性质，熟练掌握垂径定理，切线的性质，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解．
【详解】解：根据旋转的性质，可得，
，
故选：B．
7．D
【分析】由于是的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知了同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解．
【详解】解：是的直径，
，即；
又，
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．
8．B
【分析】根据一次函数、二次函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：由解析式可得：一次函数与二次函数的图象与y轴的交点都为，即交点重合， 选项B，C，D满足，选项A不满足，排除A；
B选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，有可能；
C选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向上，不可能；
D选项，由一次函数图象可得，此时二次函数的图象应开口向下，不可能；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数、二次函数图象与系数的关系．
9．C
【分析】过B作CD的垂线，设垂足为F；由切线长定理知：BA=BE，CE=CD；即BC=AB+CD；在构建的Rt△BFC中，BC=AB+CD，CF=CD-AB，根据勾股定理即可求出BF即圆的直径，进而可求出⊙O的半径
【详解】过B作BF⊥CD于F，

∵AB、CD与半圆O切于A、D，
∴∠BAD=∠CDA=∠BFD=90°，
∴四边形ADFB为矩形，
∴AB=DF，BF=AD，
∵AB=BE=4，CD=CE=9；
∴BC=BE+CE=13；
∵AB、CD与半圆O相切，
∴四边形ADFB为矩形；
∴CF=CD-FD=9-4=5，
在Rt△BFC中，BF===12，
∴AD=BF=12，
∴⊙O的半径为6．
故选C．
【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
10．A
【分析】求出函数值为4时的自变量值，再根据开口方向，得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：∵函数在上的最小值为4，
∴令，
解得：或，
∵，
∴函数图象开口向上，
∴或，
∴或，
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
11．C
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可判断A、B、D选项，解相应的方程即可判断C选项，进而可得答案.
【详解】解：把点代入，得
，解得：，
所以抛物线的解析式为；
∴，这个函数的最小值是，当时，y的值随x值的增大而增大，
故A、B、D选项错误；
方程即为，此方程的两根是，故选项C正确；
故选：C.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识，正确求解函数的解析式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
12．D
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，直线与抛物线只有一个公共点时，即可求得直线与新图象有3个交点时m的值．
【详解】解：令，解得：，
抛物线与x轴的交点坐标分别为及，
如图，当直线过时，它与新函数的图象有3个交点，则有，解得：；
当直线与抛物线关于x轴对称的抛物线只有一个公共点时，则，即，
则，即，
此时直线与抛物线恰有3个公共点；
综上，当或时，直线与新图像有3个交点．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数的图象与性质，图形的翻折，图象与坐标轴的交点等知识，注意数形结合．
13．
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，代数式求值，由题意求出，，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴ ，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移规律是解题关键．
根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，
则平移后抛物线的解析式为，
平移后抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
15．6
【分析】根据旋转的性质可得AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，然后利用S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′进行求解.
【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，
∴AC＝AC′＝4，AB′＝AB＝1，∠CAC′＝90°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴S△B′C′C＝S△ACC′﹣S△AB′C′＝×4×4﹣×4×1＝6．
故答案为6．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和三角形面积计算，熟知旋转不改变图形的大小与形状是解题关键.
16．
【分析】本题主要考查了求弧长，定滑轮不省力也不省距，而动滑轮省力但是费距，故点P转动的距离是物体上升距离的2倍，据此根据弧长计算公式求出点P转动的距离即可得到答案．
【详解】解：，
∴物体上升的高度为
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键．
根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值．
【详解】解：设窗框的长为，
根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，
即
故答案为：．
18．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，；
（2）解：
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出是解题的关键．
（1）根据网格的特点和旋转方式确定、、的位置，描出点，并顺次连接即可；
（2）线段扫过的面积为扇形与扇形面积的差，利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示线段扫过的面积为扇形与扇形面积的差
因为，
所以，，
则线段扫过的面积为：
20．9．
【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可．
【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去），
答：每个支干长出9小分支．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
（1）连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理列方程求出即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
是等腰三角形，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：，，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）根据得到，根据根与系数的关系得到，进而代入求解即可．
【详解】（1）证明：，
无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
又，
，
解得：．
23．(1)
(2)当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米
【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用．
（1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆），且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答；
（2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：设菜地的宽为米，
米，
故答案为：；
（2）解：设围成的菜地面积为，
依题意，
，
，
在时，此时（米），取得最大值，最大为平方米，
当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）按题目要求作图即可；
（2）设与相切于点，连接，先证，求出，在中，利用勾股定理列方程即可求解；
（3）利用勾股定理求出即可求解．
【详解】（1）解：就是所求作的圆．
；
（2）解：如图，设与相切于点，连接，
，
，，
，
在中，，
，
设的半径为，
在中，
即，解得，；
（3）解：在中，
，
线段的最小值为，最大值为；
的取值范围为：．
25．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解；
（2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可．
【详解】解：（1）点、、、均在上，，
，
，
点、、三点共线，
，
故答案为：；
（2）是四边形的外接圆，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
点在上，
，即，
，即，
，
，，，
，
线段，，之间的数量关系为；
（3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点，
是的直径，
，
点是弧的中点，
，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴；
当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点，
是的直径，
，
点是弧的中点，
，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∴
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的综合题，圆内接四边形的性质，圆周角定理，旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，理解题意并学会运用是解题的关键．
26．(1)
(2)①或；②点E的坐标是或
(3)点的坐标是或或或
【分析】（1）将，代入求出、的值即可；
（2）确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式分两种情况：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分三种情况：当时；当时；当时，分别列出关于的方程，解答即可得到满足条件的点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，，
①∵的面积为，
∴，
解得：，，
∴当的面积为时，点的横坐标为或；
②直线能把分成面积之比为的两部分．理由如下：
∵轴于点，，
∴与的底在同一直线上，高为，
当时，则，如图，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当时，则，如图，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
综上所述，直线能把分成面积之比为的两部分，点的坐标是或；
（3）抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，
，
，
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，
此时点的坐标为；
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，
此点的坐标为；
当时，
则为直角三角形且，如图，
∴，
解得：，，
此时点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是学会运用分类讨论的数学思想解决问题．
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