人教版（2024）初中数学八年级下册 第十九章 二次根式 单元教学设计（表格式）

案例题目 《二次根式》单元教学设计
课标要求
了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 课标在“知识技能”方面指出：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程；掌握必要的运算（包括估算）技能。在“数学思考”方面指出：通过代数式等表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绛推理加以证明的过程，发展推理能力；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
内容解读
一、单元教学内容分析 中小学数学课程内容通常有三种方式组织单元教学内容：第一,以重要的数学概念或核心数学知识为主线组织的主题类单元,这些单元有些是教材中的章节单元,有些是跨章节的单元,我们可以把它们从知识的逻辑联系方面重新加以组织,呈现出线串式的递进关系；第二,以数学思想方法为主线组织的方法类单元,例如,以数形结合、转化、分类、模型等思想为背景,设计《整式加减乘除》单元教学设计；第三,以数学核心素养、基本能力为主线的素养单元,例如,《几何图形》在初中阶段强调“在同一个平面内”,但到高中阶段当二维平面延拓到三维空间时,几何概念就拓展了,一个数学单元到底有多大,也就没有严格的规定了。 《二次根式》属于典型的以核心数学知识为主线组织的主题类单元,其单元教学设计的方式,要以线串式的递进关系重新组织知识的逻辑联系,应该淡化形式的判断,注重纵横交融并挖掘概念的实质,建构相关的概念群,从而培养学生概括与获得概念的思维能力。 1.《二次根式》内容编排 二次根式的相关概念众多、难度也较大，所以在我国各版本教材中其呈现方式不同，相应的，教学方式也各有所长.。 （1）内容编排 在甘肃，初中数学教材以北师大版本和人教版教材为主.二者在考查基础知识点方面类似：①二次根式的相关概念及性质；②二次根式的运算；③二次根式的估值.对重点的把握也相同：①理解二次根式及其相关概念；②会运用二次根式的性质进行计算；③能确定在哪两个整数之间.但是两者对二次根式的产生及发展并未提及，也没有建立相关的概念群，因此学生对二次根式概念在整个数学知识网中的地位非常模糊.故，笔者在《二次根式》单元教学设计中加入1个课时《二次根式的源与流》，将其放置在第1节内容中.并将内容编排为： ①了解二次根式的数学史； ②明白二次根式是小学、中学、大学“数”的节点； ③理解二次根式的概念； ④掌握二次根式有意义的条件； ⑤能运用二次根式的性质进行加减及简单的乘除计算； ⑥掌握二次根式性质的逆运算。 （2）环节设计 在环节设计方面，北师大版本教材和人教版教材差异较大（详见第二部分）.就《二次根式》单元教学设计而言，笔者认为对概念的理解要重于对其形式的辨别，故更倾向模仿人教版教材的教学环节设置： 2.《二次根式》单元知识版块划分 我们熟知，任何数学概念的形成都是从大量实例出发,以学生的感性经验为基础,形成表象、归纳、抽象、概括出事物的某类“本质”属性,并提出各种假设,加以验证,以获得数学概念.二次根式单元教学属于典型的以核心数学知识为主线组织的主题类单元,其单元教学设计的方式,要以线串式的递进关系重新组织知识的逻辑联系,即有系统的贯穿相关概念，并明确哪些概念属于二次根式的外延、哪些属于内涵.将二次根式概念按照“内涵”与“外延”划分出知识版块，能有的放矢的设计整个单元的重点、难点、考点、易错点，它是单元教学设计前期最重要的工作。 二、教学要素分析 确定单元教学内容后,需要对教学要素进行仔细的筛选与分析,同时也是为第三个环节“确定教学目标”打基础.要素的分析既指教学设计关键性的内容,也指学生已有的知识、体验、思维能力、学习方法、情境或技术手段等,简言之学生学习的最大障碍在哪里,教学要素就在哪里.不同课堂或课型的教学要素是有差异的,相应地,课堂教学目标、教学方式就会随之变化.如：探究合作类课堂可将注重知识的传承、运用、创造与发展,并将这些要素围绕学生“怎样合作”这一路径展开；成果展示类课堂可将成果独特性、展示过程、反思评价作为要素因子；知识传送类课堂要将教学要素确定为知识点的整合及分解、重点难点的把控、学生思维水平及知识储备量的考查等。 1.数学分析 （1）《二次根式》的数学本质、数学文化以及所渗透的数学思想 二次根式概念不是简单孤立的外在形式的表现,相关概念中包含最简二次根式、同类二次根式、解方程、勾股定理、解直角三角形、夹逼定理、不等式等等.在数学史上,无理数的认识经历了漫长的原始无意识的认知状态.公元前1700年左右,古巴比伦人在解方程时,发现了这个问题的良好近似值；公元前8世纪到公元前2世纪,印度《绳法经》中给出；在中国,公元前3世纪《孙子算经》中给出方法,可以算出；古埃及的算术中也记录有类似古巴比伦的运算,但都未能认识到它的无理数的性质,只是在代数运算中能表达它的近似值.直到19世纪70年代,戴德金用“划分”来定义无理数,康托用“有理基本序列”来定义无理数,威尔斯托拉用“递增有界序列”来定义无理数.这时,无理数才有了自己真正的外在形式,即.事实上,二次根式的数学实质就是搭建有理数到无理数的桥梁！ （2）《二次根式》在数学课程中的地位 在数学课程中记录着三次的“数学危机”，其中第一次“数学危机”就是无理数引发的.古代数学家认为“万物皆数”(指整数)，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达.但是，大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现：边长为1的正方形，它的对角线（根号2）却不能用整数之比来表达！新发现的“无法解释的数”和之前的所谓“合理存在的数”在毕达哥拉斯学派内部形成了对立，不但触犯了该学派的信条而且危及到整个学派的地位，于是希帕索斯被毕达哥拉斯学派的人投进了大海.但消息还是不胫而走，越来越多的人意识到这种“无法解释的数”是存在的，于是爆发了数学史上著名的第一次数学危机，而其导火索正是“根式”。 根式中最简单的一类就是二次根式，但它对14-15岁学生却并不“简单”.二次根式的知识不但承接小学的有理数运算,也是中学无理数运算的开始,同时通过无理数的学习,学生也能感受到数系不断扩充时,新知识的获得其研究思路是类似的.所以,二次根式在初中课程中的地位,不但是对小学旧知识（有理数）的模仿,更是对高中新知识（复数）的积淀。 不难理解《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对二次根式的要求：不要求分母有理化（因为难度太大）,但提出了二次根式和最简二次根式的概念；了解二次根式、最简二次根式的概念；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。 （3）《二次根式》在中小学数学教学中的地位和作用 在小学阶段,《二次根式》的前期内容就是“有理数的加减乘除运算”,只是因为学生思维水平、知识储备量的原因,无法引入“无限不循环”这样的数,但是学生已经有数学意识——可能会存在更“广阔”的数,比小学的自然数更“丰富”,它们应该也满足一定的运算律和自己的运算法则。 初中阶段引入无理数,不但让学生感受到数系的扩充,更让学生获得了知识的类比、迁移,并且知识获得过程如此相似.但“新知识”会有自己的约束条件,如,对二次根式一定要强调“双非负性”,因为负数乘以负数得正数。 到高中阶段学生产生疑问：既然开方、乘方的运算律存在,为什么被开方数就不能为“负数的形式”呢？如果假定一种条件,让这个“形式”能够有存在的理由,这不是能将“乘方开方”运算继续下去吗？于是,引入虚数，数系又得以扩充,而以前在初中阶段学到的下竟然可以出现负数的形式了！ 在一系列知识的延伸拓展中,学生明白无论有理数、无理数、实数、虚数、复数,这种概念获得的思维过程是一致的——数学化归的思想方法是通用的。 （4）《二次根式》内容与本学段、前后学段以及大学其他知识点间的联系 从有理数到实数,是数系扩充的一个非常重要阶段.中学阶段的很多问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容（如一元二次方程、函数等）学习的基础.二次根式的内容不但具有基础性,更具有衔接性.如果将二次根式相关概念穿起来，可以建构一幅小学、中学、大学阶段二次根式的概念网络图： 三、教材分析 数学教材担负着数学基本活动经验的表达，它是一种文本结构，是由特定的语言体系构成，传递着数学体系的精华，不同的建构团体基于自我的认知采用不同的方式来展现数学，因而设计方式、表达特色会不同，无论是在技术层面还是在文化层面都是如此.所以使用者首先要以欣赏的态度来阅读，对不同版本的教科书建构团队的优点要借鉴、整合，从而实现单元教学设计的基本思路和环节.以北师大版和人教版《二次根式》所在章节为例： 很明显，人教版教材对《二次根式》的内容编排、方式设计、习题考查范围方面较为严谨，对概念的产生重在独立思考，对数学思维的培养有较好的土壤；北师大版教材在情景引入、教学环节、知识难度的把控上更贴近13、14岁学生的思维水平,学生更容易接受。 四、学情分析 “生长”是生物的特性，常态的儿童和常态的成人都在不断地生长.而学生在学习知识时表现出的主动性，正是因为在生长过程中对知识的“需要”，单元教学设计的根基也正是从学生“需要”出发的. 13—14岁的学生正处在思维发展的第五个飞跃期，也是从经验型向理论型发展的开始，同时还是逐步了解对立统一的辨证思维规律的开始.所以此时选择数学知识单元性的学习对学生大有裨益。 二次根式的出现是学生在掌握了平方根的基础上进一步学习的内容,该概念隐性条件多、逻辑性强,是14、15岁学生思维发展的障碍点.在呈现具体内容时,教学设计关注现实性,力求从学生的实际出发,以他们熟悉的问题情境引入学习主题.考虑到二次根式内容的特殊性,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此,在关注现实问题的同时,更要关注数学知识内部的挑战性,并为此提供许多有梯度的问题,如被开方数一定是正数？如果是0怎么办？是负数就永远没意义吗？通过设计适当难度的问题,以提高学生的思维水平。 五、重难点分析（单元重难点在本文第三部分） 本单元重点：（1）了解二次根式概念的发生；（2）理解二次根式概念的内涵与外延；（3）会用二次根式进行简单计算及应用. 本单元难点：（1）二次根式性质的逆用；（2）运用二次根式的性质解决实际问题。 六、教学方式分析 二次根式及其相关概念有些属于白描、有些属于归纳、有些属于抽象.这些不同层次的概念,学习的要求不同,对14-15岁学生而言,概念的获得重在以学生思维发展水平为基准,引导教学.同时要淡化外在符号形式,注重振叶寻根、观澜索源,将概念的实质弄清楚。 整体单元教学方式上要注意：第一,不能在二次根式的概念形式上太过纠缠；第二,在辅导材料及大规模评价甄拔试题中不该加大单纯考查二次根式概念的试题；第三,数学概念的获得要注重通过知识培养能力,真正提高学生的思维水平.即，本单元的教学方式要按照如下线索展开：①二次根式的引入——教师讲授“数系的扩充”,并有梯度的设计问题供学生交流,鼓励学生合作查阅资料；②二次根式的表示——白描性质的课堂切忌过分花哨,教师以传授知识为主；③二次根式的相关运算及应用——鼓励小组合作、展示结果.细分到各课时如下： 第1节 二次根式 1.1 二次根式的源与流 第一阶段：讲授教学为主，为学生展示教师制作的二次根式源头与流向的视频（播放微课《二次根式的源与流》附录）； 第二阶段：学生数学阅读教学为主，提前三天左右布置小组查阅资料，让学生了解无理数的产生（查阅希帕索斯之死）。 1.2 二次根式的相关概念群 问题教学、启发式教学为主.这节课内容庞杂，不建议讲的太深，所以在问题的设计上要点到即可，不能讲的过难。 第2节 二次根式的性质 数学变式教学.二次根式的性质其实是从它的概念辨析出来的，所以这节课的教学要从二次根式的概念出发变“式”但不变“实质”.建议在讲授中加入记录辨析表格： 外在形式符号语言内在实质 “平方”针对整体代数式中的“开方”运算字母是先决条件,“平方”与“开方”互为逆运算 “平方”针对被开方数（式） 字母代表任意实数,“平方”将“任意”加以限制
第3节 二次根式的计算 3.1 二次根式的加减 问题教学法、数学变式教学法结合.二次根式的加减就是对概念和性质的运用，在教学中不要求小组合作过多，建议独立思考，对错误原因要分析透彻.如下板书的呈现对学生有好处： 如果中被开方数,会怎样？ 3.2 二次根式的乘除 本节课与可采用探究教学.因为学习上节课“加减运算”后，学生完全可以类比出“乘除运算”，小组合作能降低本节课的难度，同时可以培养学生交流合作的能力。 第4节 二次根式的应用 本节课知识较难，笔者试过“自学议论引导”教学，可以降低难度，但前提是要布置预习作业，否则课堂耗太多。
设计意图
二次根式》作为初中阶段学生而言，是一个思维障碍点.其概念的出现引发了无理数的产生，并将有理数扩充到了实数域；其“形”的不同，让学生感受到数的运算除了加、减、乘、除外，还有乘方、开方；其“双非负性”的苛刻条件让学生学会假设“如果根号下非要是一个负数”那么就会引出虚数的概念.鉴于此，笔者选择将《二次根式》从新整合单元、划分课时，加入二次根式的数学史背景，对小学-中学-大学二次根式的相关概念构建网络图，以期学生对数学概念的获得有系统、关联的理解。
资源应用
国家智慧中小学
学习过程设计
教 学 过程 实施 流程 教学过程实施流程是在前三个环节的基础上,针对整个单元的教学内容设计更详尽教学小环节,进一步细化单元教学的方案.即,先设计单元教学,再细化到课时教学,通过评价、调整,最终形成并完善整个单元的教学方案.具体地说要将《二次根式》细化为四步骤六环节,同时每一个阶段又在一定的课时中去实现.在单元教学目标确定之后,需要将单元教学流程进行分解,所以在教学流程设计中,要从单元流程到课时流程,做到既有阶段性,又有连续性,在考虑到教学前后衔接的同时,又能照顾到每个课时之间的联系.这样单元教学的流程就在两个层次上展开,一个是单元整体流程,指的是整个单元的阶段划分以及针对教学重难点、学情分析对每个阶段课时的划分；另一个是课时流程,指在考虑每节课彼此之间以及其与单元总目标之间联系的基础上,落实到每一个课时的具体教学方案,在此基础上形成《二次根式》单元教学流程.。
新 知 引 入 §2.1.1 二次根式的源头与流向 观看微课 人们对无理数产生理性的认知,起初源于毕达哥拉斯定理（勾股定理）,后来毕达哥拉斯的学生希帕索斯探索边长为1的正方形的对角线时,发现无法找到的整数与,随后人们用反证法证明是无理数,进而说明它和毕达哥拉斯“用整数比定义数”有本质的区别：它是无限不循环小数！这一惊人的发现,不仅推翻了毕达哥拉斯著名的“万物皆数”的著名理论、引发了第一次数学危机,更让人们意识到原有的 “数”可以变化甚至可以扩充（如图）。 【设计意图】二次根式的形式不过是一种算术平方根抽象和扩展的代数式表达,所以在学习其概念时要淡化对定义的判定功能形式,不要过分纠缠什么式子是或不是二次根式,而要尽快抓住定义中的实质：①理解两个概念（二次根式、最简二次根式）；②掌握三个性质（是非负数、、）；③掌握四种运算（二次根式的乘法、除法、加减法、混合运算）。
思 考 问题1：二次根式定义中为什么一定要求被开方数要大于等于0？ 例1：在满足什么条件时,是二次根式？ 【解决方法】学生独立思考——小组合作——师生共同探讨. 【解析】若,则表示,这种表示与二次根式的定义相悖. 即,当被开方数条件约束不足时,外在“”形式不足以保证代数式是二 次根式,所以第一步要考虑,可见学生在起初认为是二次根式也无不妥,只要在运算中看到就能想,就是对二次根式产生了实质性的理解. 例2：是二次根式吗？ 【解决方法】学生独立思考——小组合作——鼓励学生讲解. 【解析】中虽有取值范围,但该范围内被开方式总为负数,即不满足“被开方数（式）大于等于0”的条件限定.八年级的学生,只要能判断出来给的范围并不能保证这种二次根式在实数范围内有意义,就已经对二次根式的概念产生了思维的跨越.这不比外在形式的判定更有价值吗？ 【设计意图】以上两例推敲概念内涵的过程,已逐渐脱离对孤立二次根式定义单纯的记忆,而是上升为思维操作.该环节对学生的思维训练有很大的好处,同时也要求学生间的有效合作.
探 究 问题2： 和有什么不同 【解决方法】学生小组合作——师生探究式讲解. 【解析】二次根式其中-3被平方“约束”后得到+9,对二 次根式而言显性的负数-3整体的平方实则结果表示+9；显性的负数-3中平方是约束3的,实则结果表示-9,“-”意味被开方数取“9的相反数”,这在实数范围内无意义,“无意义”当然无法“形”容. 【设计意图】我们强调,理解二次根式的概念一定要纵向深入的将定义及其它主要性质都加以剖析比较,因为二次根式的内涵是其概念的本质特征,将二次根式概念的内涵称为二次根式的性质,将最具本质的性质用来定义二次根式,其它部分则以二次根式的性质、定理、推论的形式存在.只有纵向挖掘概念,才能明白二次根式概念的获得是过程的凝聚,即由过程开始,然后再转变为对象的认知过程. 问题3：观察与的异同点. 【解决方法】学生独立思考——小组合作——师生探究式讲解. 【解析】与虽然相等,但是是二次根式——是无理式,是整式——是有理式.这就是在实数范围内,对代数式的分类“重形不重数”的原因,可见,二次根式的出现,让代数式及其运算更加完备了.例如、、都是二次根式,只不过它们把、、用外在形式表现了出来,从“形”而言前者是二次根式,后者不是；从“数”而言两者都是整数.当出现含有字母的二次根式时,就将无理式与有理式区别开来,其中含有字母的二次根式属于无理式,不含字母的二次根式属于有理式. 问题4：你能模仿二次根式的定义,描述四次根式的定义吗？ 【解决方法】学生小组合作——学生讲解. 【解析】对被开方数有非负数的要求,并且自身也表示非负数,被称为“二次根式”,那么、就该描述性的称为“三次根式”、“四次根式” “N次根式”了,其定义可模仿为,：一般的,把形如的式子叫做四次根式,称为四次根号.当然,问题还可衍生为“三次根式”“N次根式”等等,至于被开方数的要求会不会变化？怎样变化？运算法则会不会不同？随着社会的发展,数域还会不会继续扩充？就迁移为新的知识了,但后续的学习方法是可模仿的,探索新知识的思路是可迁移的,学生经历这样的学习过程才能够提高数学思维水平,同时学会独立探索新知. 【设计意图】二次根式就形式而言,是算术平方根抽象和扩展的一种代数式；就意义而言,是实数、勾股定理、函数、方程等知识的衔接点；就产生角度而言,无理数的出现相应的产生了无理式的概念,二次根式不过是无理式中最基本的一类.在二次根式概念外延中,有许多相关概念,如方程、夹逼定理、绝对值,、函数极限等,二次根式将这些概念横向扩展并链接到了一起。
当 堂 检 测 1.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 2.下题中的解答过程正确吗？如果有错误请说明理由. 如果,求的值, 解：根据题意知 , 则
巩 固 提 高 1.计算：（1）；（2）；（3）. 2. 求解方程的解. 【设计意图】从课堂练习及课后习题中理解二次根式的实质.如随堂练习的第2题,此类错误在14、15岁学生中很常见,因为特殊值信手拈来并无障碍,但是这类题目实则是在考察绝对值的意义,需要先推导出从而,在这里的二次根式不过是“等待赋值的符号”,它起不到对的限制,这种题型考查的已经不是孤立的一个知识点,而是综合知识的考查,对学生的思维水平要求较高.又如课后习题第2题就是将二次根式的“双非负性”和夹逼定理建构成网络.这就要求在剖析二次根式的概念时,除了纵向探究概念的实质,也要横向扩展概念的外延,明确“概念”是数学知识网络中不可或缺的节点。
家 庭 作 业 基础夯实 1．（1）；. 2．二次根式有意义的条件是_____________． 3．若，则 4．成立的条件是_______． 5．比较大小：．（填“＞”、“=”、“＜”）． 6.计算： (1) (2) (3) 能力提高 7.若三角形的三边长分别为,其中和满足，则的取值范围是_________． 8.计算 8.若，则的值为________． 思维拓展 10.若是实数，且，求的值．
课 后 反 思 备课做的工作比较扎实，但在实际授课中，还是出现了一些问题： 1.第1课时学生对资料的查阅不是太充分，所以在“阅读交流”环节显得有些脱节.老师应该提前对这部分有文字性的资料，以备不时之需.但是播放微课时，笔者自己朗读开篇的语言，学生特别激动，这一点让我很欣慰，日后的教学设计也要多尝试类似的风格.如果能让学生读，估计效果更好。 2.在第3课时的学习过程中，突出引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善.这节课设计的比较成功，学生的作业反映的问题也少。 3.第4课时的“回顾”环节设计内容有些乱：让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的3道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并提问二次根式在实数范围内有意义的条件.估计学生被这些铺天盖地的的知识吓住了，整堂课的气氛沉闷.这个课时要删减一些内容，把它们可以放到第4课时去。 还有两点想法： 1.在第3课时让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系时，应该设计一个类似表格的东西，能帮助学生记录他们的思维，同时也能节省时间。 2.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促.同时在引导学生探索求知和互动学习方面还是“不放心”，学生表达的时候老师动不动就“插嘴”这样不行.在后面3个课时的教学中尽快调整，让本单元教学的设计能比较好的接近我最初的预想。
参 考 文 献 瞿葆奎主编.教育学文集：教育评价[M].北京:人民教育出版社,1989年版. 瞿葆奎主编.教育基本理论之研究[M].福州：福建教育出版社, 1998年版. 曹才翰.数学教育学概论[M].南京:江苏教育出版社,1989年版. 王仲春,孙名符等.数学思维与数学方法论[M].北京:高等教育出版社,1989年版. 奚定华.数学教学设计[M].上海：华东师范大学出版社, 2000年版. 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范 大学出版社，2011年版. 义务教育课程标准教科书(北师大版.八年级上册)[M]. 北京:北京师范大学出版社, 2013年版. 义务教育课程标准教科书(人教版版.八年级下册)[M]. 北京:人民教育出版社, 2013年版. 吕世虎,杨婷,吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J].当代教育与文化，2016,7. 张定强.数学教科书实现数学基本活动经验的路径探析[J].中学数学杂志，2014,2. 马兰.整体化有序设计单元教学探讨[J].课程教材教法，2012,2.