期末综合模拟试题 2025-2026学年高二数学（人教A版 ）上学期期末复习

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期末综合模拟试题 2025-2026学年
高二数学（人教A版 ）上学期期末复习
一、单选题
1．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．1022 B．1023 C．1024 D．1025
4．在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）

A．与的夹角为45° B．
C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60°
5．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　）

A． B．
C． D．
7．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．所有圆均不经过点
B．圆心的轨迹方程为
C．若圆与圆外切，则或者
D．若直线与圆相交于、，且，则
10．下列命题是假命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．是向量的必要不充分条件；
C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系
D．若两个非零向量与满足，则与共线
11．已知数列共有项（为不小于5的正整数），且．若对于任意正整数，有，则称该数列为“反比数列”.记“反比数列”的前项和为，前项乘积为，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．中不可能出现连续五项构成等比数列
D．当时，，则的最大值为
三、填空题
12．已知直线与互相垂直，则实数的值为 ．
13．已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ．
14．已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则 ．
四、解答题
15．已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：．
(1)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标；
(2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程．
16．椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若面积为，求直线的方程.
17．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
18．如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.
19．圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P．
(1)已知点，求切线l的方程；
(2)过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若．
（i）求抛物线的方程；
（ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B C D D B B ABC AC
题号 11
答案 AB
1．C
【分析】根据即可计算.
【详解】由题意可得，，得.
故选：C
2．B
【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可.
【详解】根据题意，．
故选：B．
3．B
【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求；
【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得
则
故选：B.
4．C
【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项
【详解】由题可得，，，
对于A，由题，
所以，，
所以，
因为，所以，故A错误；
对于B，由题得
，故B错误；
对于C，因为，，
所以
，故C正确；
对于D，因为，
又，
所以，所以，
所以直线与所成的角为，故D错误.
故选：C
5．D
【分析】利用椭圆的性质分析选项即可.
【详解】易知的长轴长、短轴长分别为，离心率，
焦距长，
而的长轴长、短轴长分别为，
离心率，焦距长，
由，显然只有焦距相同.
故选：D
6．D
【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果.
【详解】由题意可得，,……
所以，.
所以，
所以，+++…+
故选：D
7．B
【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离公式求解O到平面AMC的距离，进而根据球的性质求解即可半径即可.
【详解】球心O为正方体中心，半径，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
,
则，，
设平面ACM的一个法向量为，
，令，则，
所以，则O到平面AMC的距离为：，
截面圆半径，所以截面面积，
故选:B.
8．B
【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解.
【详解】设点，又，由，
所以，化简得，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
又点在圆上，
所以圆与圆有公共点，
所以，即，
所以，即，
又，，所以的解集为，
由，
所以，
故选：B.
9．ABC
【分析】对于A，直接代入点的坐标即可判断选项，由圆的一般方程得出圆心坐标，即可判断选项B，利用两圆外切，可得圆心距等于半径之和，即可判断选项C，利用几何法表示出弦长，即可判断选项D.
【详解】对于A，把代入圆方程，
得，因为，
所以此时没有无解，所以A正确；
对于B，由，
得圆心，
因为，
所以圆心坐标符合，即B正确；
对于C，由，
得圆心，，
圆圆心为，半径为，
因为圆与圆外切，
所以，解得或，C正确；
对于D，由C知，圆圆心，半径，
又圆心到直线距离，
所以，解得，D错误.
故选：ABC
10．AC
【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项,
【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题；
对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同，
若，则和的模相等，方向也相同，
所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题；
对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题；
对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题．
故选：AC.
11．AB
【分析】根据“反比数列”的定义，结合数列的前n项和、前n项乘积的性质，对每个选项逐一进行分析求解.
【详解】对于A，，而，故，故A正确；
对于B，
，所以，故B正确；
对于C，如为反比数列且为等比数列，故C错误；
对于D，因为，所以，故，则，
当时，此时，此时，
当时，此时，此时，
当时，此时，此时，
综上，，故D错误.
故选：AB.
12．1
【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得.
【详解】由两直线垂直可得，解得或1，
当时，直线不存在，故舍掉，
所以.
故答案为：1.
13．
【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长.
【详解】双曲线的实半轴长，焦点，，
由点在双曲线上，得，由，得，
，
因此，所以的周长是.
故答案为：
14．8
【分析】利用与的关系可得，进而可得，利用作差法找出数列的最大项即可求解.
【详解】，当时，，
当时，，
所以，
所以，时也适合，
所以，，
所以，，
，，
当时，，即，
当时，，即，
所以当时，最大，
即对任意，均有，
所以存在正整数，使得恒成立.
故答案为：8.
15．(1)，定点；
(2)，.
【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程，再求出直线所过定点坐标.
（2）判断定点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解.
【详解】（1）依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径，
所以圆A的标准方程为；
直线，由，解得，
所以直线过定点.
（2）由（1）知，点在圆内，
当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为，
因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即.

16．(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求解出的值，则椭圆的方程可知；
（2）设出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，根据，代入韦达定理求解出参数值，则直线的方程可知.
【详解】（1）由题意可知，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率为时，显然不符合题意；
因为，设，
联立，可得，
则，
，
因为，
所以，解得，
所以直线的方程.

17．(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）在数列中，，当时，，
当时，，则，
所以，又，
则数列是以4为首项，4为公比的等比数列，所以.
（2）由（1）知，，
则，
所以
.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为.
【分析】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行；
（2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值；
（3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置.
【详解】（1）取中点，连接
∵四边形为矩形，∴点为中点，
∴且，
又∵且，∴且，
∴四边形为平行四边形，即，
∵平面，∴平面.
（2）∵，且平面平面，平面平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，解得，即，
设直线与平面所成角为，
则
（3）由（2）可知平面的一个法向量为，
设存在，则，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，即，
则，
∴，即，
所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）存在，理由见解析
【分析】（1）由点P可得抛物线方程，然后设切线方程为，将切线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0可得斜率；
（2）（i）法1，利用抛物线光学性质可得，然后由几何知识可得，即可得答案；法2，将切线方程设为，类似于（1）可得，注意到，然后由几何知识可得，即可得答案；法3，类似于法2可得切线斜率为，设直线l，PF的倾斜角分别为，经计算可得，然后由几何知识可得；法4，类似于法2可得，通过将过原点与切线平行的直线方程与直线PF的方程联立可得点S坐标，然后由结合两点间距离公式可得关于p的表达式，化简后可得答案；
（ii）由（i）设，将方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得关于的表达式，然后由切线到圆心距离为1可得，代入表达式可得答案.
【详解】（1）因为在抛物线上，所以，所以抛物线为
设切线方程为，与抛物线联立得：，
所以，所以
所以切线方程为：
（2）（i）（法1）如图，因由光学性质可知轴，
因为入射角等于反射角，所以，
所以，所以，
所以，所以抛物线方程为
（法2）设切线l的方程为：
与抛物线方程联立得，
由，整理，即
如图，因为，所以，又因为，
所以，所以，即，
所似抛物线方程为
（法3）点在第一象限，同法2，求得
设直线l，PF的倾斜角分别为，
计算可得：
即，即，所以抛物线方程为
（法4）同法2，求得，所以过原点与切线平行的直线为：
直线PF的方程为：，解得点S的坐标为
因为，由两点距离公式可得
整理得，注意到：，
进一步整理可得：，所以，所以抛物线方程为
（ii）由（i）可得抛物线方程为：，则准线方程为：
设，，
将方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：，
又，则由韦达定理可得，同理可得.
则.
又与圆相切，则到圆心的距离为1，
则，
同理有，
则为方程的两根，
由韦达定理可得：.
则
注意到当时，切线中有一条与x轴平行，不合题意，则.
要使为定值，则，又，则.
故存在圆，使得当点N运动时，为定值.
【点睛】关键点睛：抛物线问题存在大量相等的线段或相等的角，解决问题时可合理利用，对于定值问题，常用思路是找到定值关于所设参数的表达式，然后证明表达式与参数无关.
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