山东省2026届高三12月大联考数学试题（含答案）

山东省2026届高三12月大联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集是小于的素数，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在数据处理中，某误差函数是定义在上的奇函数，用于模拟模型预测值与真实值的偏差．当时，该函数的表达式为单位：百分比，则模型在处的误差值( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知直线，将绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为( )
A. B. C. D.
6.若函数，则的定义域为( )
A. B. C. D.
7.若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 最小正周期为 B. 图象关于对称
C. 最大值为 D. 在区间上单调递增
10.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为的等比数列，且，，则( )
A.
B. ，使得
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项和为
11.已知正方体的棱长为，为棱上一点，且，动点在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 若是线段上的动点，则到平面的距离为定值
C. 若，则的最小值为
D. 若满足，，则的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，都有，则 ．
14.已知平面平面，球与直线相切于点，平面与平面分别截球所得截面圆的半径为，若二面角的大小为，则球的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，角为钝角，，．
若，求的值；
求面积的最小值．
16.本小题分
已知直线与圆交于，两点．
当时．
若，求；
求的取值范围．
记坐标原点为，若，求四边形面积的最大值．
17.本小题分
如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，为底面圆周上的点，且是正三角形，为母线上的一动点．

若平面，求的长；
若直线与平面所成角的正弦值为求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
定义：若一个等差数列的首项和公差都是素数，则称该数列为数列．已知数列是数列，前项的和为，数列是首项为且公比为的等比数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和；
若，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数，．
若函数与在处的切线平行，，求的极值；
当时，讨论函数零点的个数；
设为正整数，若，，求的最小值．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.【解】由，
则，又，
所以，
化简整理得，解得或，
又为钝角，故为锐角，所以，则，
由，解得，
．
因为，
又，则，所以，
所以的面积
，
又为锐角，所以，，
，
当且仅当，即，时，取等号，
所以的面积的最小值为．
16.【解】圆的圆心的坐标为，半径，
当时，直线的方程为，
当时，点到直线的距离，
故直线过圆心，
线段为直径，故；
圆心到直线的距离，
由已知，所以；
当时，圆的圆心为，
此时的方程为，
由，可得，直线的方程为，
圆心到直线的距离，
此时，
又，直线与直线的距离为，
所以四边形的面积为，
当时，直线的方程为，即，
因为，所以，
故直线的方程为，
此时点到直线的距离，
因为，所以直线与圆相交，
，
又，
直线与直线的距离为，
所以四边形的面积为，
所以，
令，则，，
因为函数在上单调递增，
所以，
综上所述，当时，四边形面积取最大值，最大值为．
17.【解】取直径的中点，连接，
在底面圆所在平面内作，直线两两垂直，
以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴，
由都是正三角形，，
得，
，
令，则，
由平面，平面平面，平面，
所以，
因此，，
所以的长为；
由知，
设，则，
，
平面的法向量，
由直线与平面所成角的正弦值为，
得，
整理得，
又，解得，
于是，而，
设平面的法向量，
则
令，得，
故平面的一个法向量为，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18. 【解】由题可知，又为等差数列，
所以，
又与都是素数，所以，
所以；
，所以，
所以，
，
所以，
得，
所以；
对恒成立，
令，
，
当时，，严格减，
当时，，严格增，
所以，
所以，
所以，
所以的最大值为．
19.【解】，
，则，
由，得，则，
由函数与在处的切线平行，
得，
此时，
，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得极小值，无极大值；
由知，
因为，故时，，时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，
知在上有一个零点，
当时，在上无零点，
此时在上仅有一个零点；
当时，，
在上有一个零点，
，
故在上有一个零点，
此时在上有个零点，
当时，在上有一个零点，
此时在上有个零点，
综上所述，当时，在上仅有一个零点；
当时，在上有个零点；
当时，在上有个零点；
由知，对于任意，
得，当且仅当时取等号，
令，则，
时，，
当时，
则，
故，
故，
又，
结合，且为正整数，
可得正整数的最小值为．