第3章勾股定理期末复习卷（含答案）-2025-2026学年数学八年级上册苏科版

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第3章勾股定理期末复习卷-2025-2026学年数学八年级上册苏科版
一、选择题
1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．4，3， B．6，8，10 C．8，15，16 D．7，24，25
2． 将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（　　）
A． B． C． D．
3．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在数轴上点A表示的数为2，点表示的数为3，在点A的右侧作一个长为2，宽为1的长方形，将对角线绕点A逆时针旋转，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是（　　）
A． B． C． D．
5． 如图， 在△ABC中， D为BC上一点， E为AD上一点， △ABD≌△CED.若BC=5， AE=1， 则AB的长度是 (　　).
A．4 B． C． D．3
6．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为(　　)
A． B． C． D．
7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点都在正方形网格的格点上，则AB的长不可能是 (　　)
A． B． C． D．
8． 如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
10． 如图，点D在△ABC的边BC上，已知AC＝CD＝BD＝5，AD＝6，则△ABC的面积为　 　 ．
11．如图，在中，，，，D为上一点，若是的角平分线，则　 　．
12． 如图，D为外一点，，BD平分的一个外角，. 若，，则BD的长为　 　.
13．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如右图，已知电梯的长、宽、高分别是1.2m，0.9m，2m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是　 　m.
14．如图，在△ABC 中， ，点 D，E 都在边 BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE，则DE 的长为　 　.
15．央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为　 　米．
16．如图，在中，是边上的高，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接，分别交，，于点，，，若，，则的长为　 　．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交BC的延长线于点F.
（1）求证：AD=DF：
（2）若CF =6，EF =18，求DE 的长.
18．如图，小区有一块三角形空地ABC，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD，DE 隔开（小路宽度忽略不计），DE⊥AB.经测量，AB=15米，AC=13米，AD=12米，DC=5米.
（1）求BD 的长；
（2）若铺设小路AD，DE 每米需30元，则需花费多少
19．定义：如图，点M，N把线段AB 分割成线段AM，MN，NB，若以AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M，N是线段AB 的“勾股分割点”.
（1）已知M，N把线段AB 分割成线段AM，MN，NB，若 则点M，N是线段AB 的“勾股分割点”吗 请说明理由.
（2）已知点 M，N是线段AB 的“勾股分割点”，且AM不是最长线段，若AB=12，AM=5，求BN的长.
20．在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图，经技术人员测量，知AB=9 m，BC= 12 m，CD = 17 m，AD = 8 m，∠ABC=90°.
（1）小区内部分居民每天必须从点 A 经过点 B再到点 C 位置，为了方便居民出入，技术人员打算在这块空地中开辟一条从点A 直通点 C 的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A 到点C将少走多少路程
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元.
21．如图，△ABC 是边长为 a 的等边三角形，D 为边 BC 上一点（不与点 B、C 重合），连接 AD ，直线 EF⊥AD ，分别交边 AB、AD、AC 于点 E、O、F、AO=DO ，连接 、DE、DF ．
（1）证明：△AEF≌△DEF ；
（2）设 BD=x ，用含有字母 a 和 x 的代数式表示 △BDE 的周长与 △DFC 的周长的差值；
（3）如果 △BDE 为直角三角形，求 EF 的长（用含有字母 a 的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】24
11．【答案】3
12．【答案】8
13．【答案】2.5
14．【答案】
15．【答案】4
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠FCD=∠DEA.
在△DAE和△DFC中，
∴△DAE≌△DFC(ASA)，
∴AD=DF.
（2）解：∵△DAE≌△DFC，
∴AE=CF=6，AD=DF.
又∵EF=18，
∴AD+DE=18，
即AD=18-DE.
在Rt△ADE中，
解得DE=8，
∴DE的长为8.
18．【答案】（1）解：因为DC=5米，AC=13米，AD=12米，所以 ，所以△ADC 是直角三角形，∠ADC=90°，所以∠BDA=90°，所以 ，所以BD=9 米
（2）解：因为DE⊥AB，所以 即 所以 米，所以 (元).
答：需花费576元
19．【答案】（1）解：是.理由：因为 所以 所以以AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形.故点 M，N是线段AB 的“勾股分割点”
（2）解：设BN=x，则MN=AB-AM-BN=7-x.①当MN为最长线段时，依题意得 NB2，l即 解得
②当 BN 为最长线段时，依题意得 MN2，即 解得 综上所述，BN的长为 或
20．【答案】（1）解：如图，连结 AC.
因为 ∠ABC = 90°，AB =9m，BC=12m，所以 225，所以 AC = 15 m，所以AB+BC-AC=9+12-15=6(m).
答：居民从点A 到点 C 将少走 6m 路程
（2）解：由(1)知AC=15 m.因为CD=17 m，AD=8m，所以 所以△ACD 是直角三角形，∠DAC=90°，所以 又因为 所以 114(m2)，100×114=11 400(元).
答：绿化这片空地共需花费11 400元
21．【答案】（1）证明：∵ EF⊥AD ， AO=DO ，
∴EF是线段AD的垂直平分线，
∴AE=ED，AF=DF，
在△AEF和△DEF中，
∵，
∴ △AEF≌△DEF（SSS）.
（2）解：由（1）可知，AE=ED，AF=DF，
△BDE 的周长 =BD+DE+BE
=BD+AE+BE
=BD+AB
=x+a，
△DFC 的周长 =DC+CF+FD
=BC-BD+CF+AF
=BC-BD+AC
=a-x+a
=2a-x，
则△BDE的周长与△DFC的周长的差值为x+a-(2a-x)=x+a-2a+x=2x-a.
（3）解：当∠BDE=90°时，如图所示，
∵△ABC是等边三角形， △AEF≌△DEF ，
∴AE=DE，AF=DF，∠DFE=∠AFE，∠EAF=∠EDF=60°，
∵∠BDE=90°，
∴∠FDC=90°-∠EDF=30°，
∵∠FDC+∠C+∠DFC=180°，
∴∠DFC=180°-30°-60°=90°，
∴∠DFE=∠AFE=45°；
作EG⊥DF交DF于G，如图，
则∠DEG=90°-∠EDG=90°-60°=30°，∠GEF=45°，
∴△EFG为等腰三角形，
设BD=y，则BE=2y，
则DE==，
∴DG=DE=，
∴EG=GF===，
∴EF==，
∵AB=AE+BE=ED+BE，
∴a=+2y，
∴y=(2-)a，
∴EF==，
当∠BED=90°时，如图所示，
同理可得，EF=，
综上所述：EF=.
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