第22章二次函数期末复习卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第22章二次函数期末复习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、选择题
1．下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x=-2的是（　　）
A．y=2x2-2 B．y=-2x2-2 C．y=2(x-2)2 D．y=(x+2)2
2．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
3．小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（　　）
1 2 3 4
0 5
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知方程的两个解为、，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　）
A．1 B． C． D．0
6．经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，其销售量就增加10个．设这种商品的售价减低x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（25﹣x）（150+5x） B．y＝（25﹣x）（150+10x）
C．y＝（70﹣x）（150+5x） D．y＝（70﹣x）（150+10x）
7．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3).若抛物线 与该正方形有公共点，则实数a 的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
8．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（　　）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
10．抛物线的对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①；
②；
③（m为任意实数）；
④点，，是该抛物线上的点，且．
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．二次函数y=x2-2x+3图象与y轴的交点坐标是　 　.
12．抛物线（a为常数，）的对称轴是　 　．
13．已知抛物线过点，则的值是　 　．
14．已知二次函数 和正比例函数 的图象如图所示，则方程 的两根之和　 　O(填“>”“<”或“=”).
15．如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 　 　 ．
16．我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为　 　．
三、解答题
17．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式.
（1）已知图象过点（6，0），顶点坐标为（4，-8）.
（2）已知图象经过点A（-1，0），B（0，3），且对称轴为直线.
18．已知二次函数 (b，c为常数)的图象经过点.A(-2，5)，对称轴为直线
（1）求二次函数的表达式.
（2）若将点 B(1，7)向上平移2个单位，向左平移m(m>0)个单位后，恰好落在二次函数.y= 的图象上，求m 的值.
（3） 当-2≤x≤n时，二次函数 的最大值与最小值的差为 求n 的取值范围.
19．已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
①若，求的最大值．
②若，且时，始终有，求的值．
20．教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．
（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
21． 我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为“欣妮对”，这样的函数为“对称函数”．
（1）判断函数（k，b为常数）是否为“对称函数”，并说明理由．
（2）若关于x的函数是“对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的值．
（3）已知“对称函数”经过点，且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点（其中）作x轴的平行线，分别交直线，于点D，E，是否存在常数f，使恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出的取值范围；
（3）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值．
23．综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】（0，3）
12．【答案】直线
13．【答案】-2
14．【答案】<
15．【答案】或
16．【答案】
17．【答案】（1）解：设二次函数解析式为y=a(x-4)2-8，将(6，0)代入得
得a=4，故抛物线的解析式为
（2）解：设抛物线的解析式为
将点(-1，0)和(0，3)代入得，解得
故抛物线解析式为.
18．【答案】（1）解：由题意，得 解得
∴ 二次函数的表达式为 x+3
（2）解：将点 B(1，7)向上平移2个单位，向左平移m(m>0)个单位后得到点(1-m，9).
由题意，可知点(1-m，9)在二次函数 的图象上，
解得m=4或m=-1(舍去).
∴m=4
（3）解：当 时，最大值为x=-2时y的值，即为5，最小值为x=n时y的值，即为
∴ 最大值与最小值的差为 解得 不符合题意，舍去.
当 时，最大值为x=-2时y的值，即为5，最小值为 时y的值，即为
∴ 最大值与最小值的差为 ，符合题意.
当n>1时，最大值为x=n时y的值，即为 最小值为x= ·时y的值，即为
∴ 最大值与最小值的差为 解得n=1或n=-2，不符合题意，舍去.
综上所述，n的取值范围是 n≤1
19．【答案】（1）解：∵二次函数，，
∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，
∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1，
∴，
∴；
（2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为；
②∵，
∴，
∴，
整理可得：，
∵时，始终有，
∴的值不会随的变化而变化，
∴．
20．【答案】（1）解：由已知可得：AD==，
则S=1×=；
（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m
∵AB＞0，AD＞0，AF＞0，
∴0设窗户的面积为S，
由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+，
当x=时，S有最大值，为，
∵＞1.05，
∴现在窗户透光的最大值变大.
21．【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，
理由如下：
当k=0时，y=b，此时函数图象上存在关于y轴对称的点，故此时函数y=kx+b(k，b为常数)是BY对称函数”：
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，若存在，设其中一点(x0，kx0+b)，则关于y轴的对称点为(-x0，kx0+b)，
∵-kx0+b≠kx0+b，
∴(-x0，kx0+b)不在函数图象上，
故当k≠0时，函数y=kx+b(k，b为常数)不是BY对称函数
（2）解：∵关于x的函数是“BY对称函数”，
∴设A(t，m)，B(-t，m)，t>0，且点A，B关于y轴对称，
∴2t+a=m，(-t)2=t2=m，
∴t2=2t+a，
∴t2-2t-a=0，
∴仅有一组“欣妮对”
∴Δ=(-2)2-4×1×(-a)=0，
∴
（3）解：存在常数，使恒成立，
理由如下：
∵“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A(0，-4)，
∴c=-4，
∴y=x2+bx-4，
∵y=x2+bx+c是“BY对称函数’
∴函数的对称轴是y轴
∴，
∴b=0，
∴y=x2-4，
设直线AB的解析式为y=k1x+b1(k1≠0)，
∵直线AB经过点A(0，-4)，
∴b1=-4，
∴直线AB的解析式为y=k1x-4，
联立
解得：，
∴
∵直线AB与直线y=f的交点为D，
∴f=k1x-4，
∴
∴
设直线AC的解析式为y=k2x+b2(k2≠0)，
∵直线AC经过点A(0，-4)，
∴b2 = -4，
∴直线AC的解析式为y=k2x-4，
联立
解得：，
∴，
∵直线AC与直线y f的交点为E，
∴
设经过原点O的直线BC的解析式为y=k3x，
将，代入解析式可得：
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴k2k1=-4，
∵OE⊥OD，
∴∠EOD=90°
∴OE2+OD2=DE2
∴
整理可得：，
∴4f2=(f+ 4)2，
解得f1=4，
∵f<0，
∴
∴存在常数，使OE⊥OD恒成立
22．【答案】（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
将函数与轴正半轴交点的坐标代入得，
解得，
则该二次函数的解析式为．
（2）解：的取值范围是．
（3）解：由题意，平移后的函数解析式为，
将点代入得，解得．
23．【答案】（1）解：设，将，，代入，
得，解得，
关于t的函数解析式为：；
（2）解：当时，，
答：汽车刹车后，行驶了；
（3）解：不会．理由如下：
，
当时，汽车停下，行驶了，
，
该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
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