第1章一元二次方程期末复习卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版

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第1章一元二次方程期末复习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程 根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　）
A．2 B． C．2或 D．
4．已知a，b是方程x2-3x-3=0的两根，则代数式2a3-6a2+b2+3b+1的值是（　　）
A．-20 B．-24 C．22 D．20
5．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B．
C． D．
6． 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
7．把方程化为一般形式后是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法：
①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；
②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1；
③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)；
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
10．一元二次方程的解是　 　．
11．已知方程的两根分别为，则的值为　 　．
12．如果关于x的一元二次方程有解，那么系数a，b的符号关系是　 　．
13．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则可列方程　 　．
14． 如图，小程的爸爸用一段 10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 1m 宽的门（由其它材料制成），则 BC 长为　 　m.
15．我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载有这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐．请问三色，各该有几？”译文：有一座矩形门框，不知道其高度和宽度．如果拿支长竿横着过，门的宽度比长竿的长度少四尺；拿长竿竖着过，长竿的长度比门的高度多二尺；拿长竿沿门对角线斜着过，恰好通过．问门的高度、宽度及长竿的长度各是多少尺？设长竿的长度为尺，则　 　．
16． 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为　 　.
三、解答题
17．解下列方程：
（1）
（2）
18．如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度．
19．已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若是方程的两根，且，求的值
20．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为5．
（1）试说明：方程必有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，是等腰三角形，求的周长．
21．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地.据统计，2025年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为1.6万人次，第三天游客人数达到2.5万人次.
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为6元.根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得6300元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元
22．定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①；
②．
（2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．
23．请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系：；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根。
请根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n满足、，求的值．
（2）已知实数p、q满足、，且，求的值．
（3）已知实数a、b、c满足、，求c的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】，
11．【答案】
12．【答案】ab≤0
13．【答案】
14．【答案】5
15．【答案】10
16．【答案】
17．【答案】（1）解：
（x+4）2=0
（2）解：
移项得，，
因式分解得，（x-2）（2x-6）=0，
∴x-2=0或2x-6=0，
解得：x1=2，x2=3.
18．【答案】解：设道路宽为，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去；
答：道路的宽为．
19．【答案】（1）证明：根据题意可得：，，，
，
无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：，是方程的两根，
，，
，
，
解得，，．
20．【答案】（1）解：
，
故方程必有两个不相等的实数根
（2）解：，即
，
由题意的两边，，第三边长为5，
∵是等腰三角形，
∴若，则，此时，
若，则，此时，
综上所述，的周长为或
21．【答案】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意得：1.6（1+x）2=2.5，
解得：（不符合题意，舍去）.
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为25%；
（2）解：设每把扇子降价y元，则每把扇子的销售利润为（25-y-6）元，平均每天可售出（300+30y）把，
根据题意得：（25-y-6）（300+30y）=6300，
整理得：
解得：
又∵要尽可能地减少库存，
∴y=5.
答：每把扇子应降价5元.
22．【答案】（1）解：①，，，
，
不是“差1方程”，
②，，，
，
，
，
是“差1方程”
（2）解：，，，
方程（是常数）是“差1方程”，
或，
或
23．【答案】（1）解：由题意得：m和n为的两个不相等实数根
（2）解：∵1 3q 2q2=0
∴q≠0
∴
∵p2 3p 2=0，，pq≠1
∴p和为x2 3x 2=0的两个不相等实数根
∴，
∴
（3）解：∵a+b=，ab=
∴构造（c-1）x2+2cx+2+c=0，a和b为方程的两个实数根
∴△=（2c）2-4（c-1）（2+c）≥0
∴c≤2
∴cmax=2
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