3.6 直线和圆的位置关系（七大题型）（含答案）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系
题型一 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
1．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是的内切圆，则的半径为 ．
3．已知直角三角形，，，，在边上有一点，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值．
题型二 圆外切四边形模型
4．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ．
6．如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分．
(1)求证：与相切；
(2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补；
(3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围)
题型三 三角形内心有关应用
7．如图，点是的内心，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点为的内心，，则的度数是 ．
9．如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线．
(1)求证：是的切线；
(2)若， 求的半径．
题型四 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
10．是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（ ）
A． B．24 C．26 D．52
11．如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 ．
12．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，．
(1)若，则　　；
(2)若，，求的半径．
题型五 三角形内切圆与外接圆综合
13．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ．
15．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
题型六 圆与三角形的综合（圆的综合问题）
16．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　）
A． B．1 C． D．
17．如图，扇形的圆心角，点C在上，将沿折叠得到，交弧于点E，连接，恰有，若，则的半径长是 ．
18．如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求和的长．
题型七 圆与四边形的综合（圆的综合问题）
19．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ．
21．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，．
(1)请判断的形状？说明理由；
(2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积．
3.6 直线和圆的位置关系
题型一 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
1．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、、、，
∵与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：．
2．如图，在中，，是的内切圆，则的半径为 ．
【答案】2
【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，掌握利用勾股定理求出斜边，结合直角三角形内切圆半径公式求解是解题的关键．
先利用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形内切圆半径公式计算半径．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得．
直角三角形内切圆半径公式为，
所以，
故答案为：2．
3．已知直角三角形，，，，在边上有一点，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，也考查了勾股定理的应用．
【详解】解：在直角三角形中，
，，，
根据勾股定理可得：．
设，则，
在直角三角形中，同理可得．
设的内切圆半径为 ，根据直角三角形内切圆半径公式（其中为直角边，为斜边），可得：．
设的内切圆半径为 ，其周长为，
在中，，
可得其周长．
，
由三角形内切圆公式可得，．
，
．
设，则方程化简为：，
交叉相乘得，，
展开左侧并化简，结合，解得．
将代入得：，解得（负值舍去）．
题型二 圆外切四边形模型
4．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切于点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题；
【详解】解：如图所示，设与相切于点K，

由题意得，，
由切线长定理可知，
设正方形边长为，，则，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴的半径为，
故选：D．
5．如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可．
【详解】解：如图，
∵的外切四边形，
∴，
∴，
∵，
∴设、、，则，即，
∵四边形的周长为32，
∴，解得：，
∴．
故答案为：8．
6．如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分．
(1)求证：与相切；
(2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补；
(3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等，
（1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切．
（2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补．
（3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得．
【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点，
∵与相切，
∴，又平分，
∴，
∴与相切．
（2）如图2，连接，
∵是四边形的内切圆，
∴，，，，
∴，
在四边形中，，
同理可证，．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形对角互补．
（3）∵是四边形的内切圆，
∴，①
记与的交点为点，
∵，
∴，②
由①②可得，
设，，
∴和都是方程的两根，
又，∴，，
又，∴平分，
∴为直径，
连接，则，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴．
题型三 三角形内心有关应用
7．如图，点是的内心，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由题意易得，分别是，的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵点O是的内心，
∴，分别是，的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，点为的内心，，则的度数是 ．
【答案】/120度
【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键．
首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵O是的内心，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
9．如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线．
(1)求证：是的切线；
(2)若， 求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)的半径为
【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理．
（1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明；
（2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论．
【详解】（1）证明：连接交于点H，
∵点E是的内心，
∴平分，即，
∴
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵点E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，，
设，则，
在中，
，
解得，
∴的半径为．
题型四 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
10．是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，的周长为26，则的面积为（ ）
A． B．24 C．26 D．52
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键．
如图所示，连接， ， ，，，，由三角形内切圆性质得到，，，，然后求出，然后根据列式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，，，
∵是的内切圆且半径为2，
∴，，，
∵的周长为26，
∴
．
故选：C．
11．如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为 ．
【答案】1.5
【分析】因为三角形为等边三角形，所以外接圆和内切圆共圆心，均为，过点作于点，利用直角三角形中对应边为斜边一半，求得长即为内切圆半径．
【详解】解：过点作于点，如图：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即其内切圆半径的长为，
故答案为： ．
12．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，．
(1)若，则　　；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键．
（1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解；
（2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答．
【详解】（1）解：，是的切线，
，
又，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，，，，
，，是的切线，
，，，
，，，
，
，
，
．
，
的半径为1．
题型五 三角形内切圆与外接圆综合
13．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴它们的内心与外心重合．
如图，过点O作的垂线，交于E，连接、．
设圆O的半径为R．
中，∵，
∴，即．
中，∵，
∴，即．
∴．
故答案为：．
14．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则 ．
【答案】65
【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出．
【详解】解：∵I是的内心，
∴分别平分，
∴，；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴．
故答案为：65．
15．如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）证出，则可得出结论；
（2）设，则，由可得出答案．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，点D是的中点，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的半径为5．
题型六 圆与三角形的综合（圆的综合问题）
16．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴的直径为5，半径，
过点作于，连接，
∵，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故选D．
17．如图，扇形的圆心角，点C在上，将沿折叠得到，交弧于点E，连接，恰有，若，则的半径长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，作于点F，利用折叠的性质可得：，，，证明是等边三角形，可得，利用四边形内角和可得，进而可得，，从而可得，再在和中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
【详解】解：连接，作于点F，如图，
则，，
将沿折叠得到，交弧于点E，
，，，
，
，，，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长是，
故答案为：
18．如图，在中，，为上一点，作，与交于点，经过点、、的与相切于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题主要考查平行线的性质，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，与相切于点，推出，已知，得到，推出，进而得到，得证平分；
（2）连接，已知，得到，结合，得到，已知，得到，可求得，得到，进一步证明，得到，即，已知，即可求得的长，进而可得的长．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
∵，，
∴，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
题型七 圆与四边形的综合（圆的综合问题）
19．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：连接，作于点，
∵是的直径，点在上，，
，
是等边三角形，
，
是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是四个全等的等边三角形，边长均为2，
∵，
∴，
∵
∴弓形的面积弓形的面积，
图中阴影部分的面积为等边三角形的面积，
即图中阴影部分的面积为，
故选：A．
20．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解．
【详解】解：连接，
的面积为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，，
过点C作，且使，
∴，
连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，
∵，且，则四边形为平行四边形，
则，
故的周长为最小，
则，
则的周长的最小值为5+1＝6，
故答案为：6．
21．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，．
(1)请判断的形状？说明理由；
(2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值．
（1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形；
（2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积．
【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下：
在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下：
如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F．
∵ ，
∴ ，
当点P为的中点时，为的直径，
∴此时四边形的面积最大．
又∵的半径为1，
∴其内接正三角形的边长，
∴．