第2节 力的分解
课时作业
1.(双选)把一个力分解为两个力时,下列说法正确的是( )
A.一个分力大小变化,另一个分力大小也一定变化
B.一个分力方向变化,另一个分力方向不一定变化
C.无论如何变化,两个分力不能同时小于这个力的一半
D.无论如何分解,两个分力不能同时大于这个力的两倍
【答案】 BC
【解析】 根据三角形定则,如图所示。
由图可知,分力F1大小变化,另一个分力F2大小可以不变,分力F2方向变化,另一个分力F1方向可以不变,故A错误,B正确;若两个分力同时小于这个力的一半,当这两个分力方向相同时,合力最大,则有F合max<+=F,说明无论如何变化,两个分力不能同时小于这个力的一半,故C正确;当两个分力之间夹角接近180°时,两个分力可以同时都很大,同时大于这个力的两倍,故D错误。
2.如图所示,被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球,若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G,则G的两个分力的方向分别是图中的( )
A.1和4 B.3和4 C.2和4 D.2和3
【答案】 B
【解析】 小球重力产生两个效果,一是使绳子拉伸,二是使斜面受压,故应按此两个方向分解,分别是3和4。选项B正确。
3.如图所示,AB、AC两光滑斜面互相垂直,AC与水平面成30°角。如把球O受到的重力G按照其作用效果分解,则两个分力的大小分别为( )
A.G,G B.G,G
C.G,G D.G,G
【答案】 A
【解析】 已知重力和两个分力的方向,根据平行四边形定则作力的分解,如图所示,由图得到F1=G·sin 60°=G,F2=G·sin 30°=G,故选A。
4.如图所示,一质量为0.8 kg的木块放在水平面上向左运动,且受到一个与水平面成30°角向上的拉力F=8 N 作用,木块与水平面间的动摩擦因数是0.5,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
A.物体受到的支持力大小是8 N
B.摩擦力大小为4 N,方向水平向左
C.合力大小是8 N
D.摩擦力大小是2 N,方向水平向右
【答案】 D
【解析】 如图所示,对力F进行正交分解,
在竖直方向上有N+F·sin 30°=G,解得N=4 N,故A错误;由滑动摩擦力公式f=μN,解得f=2 N,故B错误;木块相对水平面向左运动,所受滑动摩擦力方向向右,大小为2 N,故D正确;木块竖直方向上合力为零,对水平方向求合力f+F·cos 30°=2 N+4 N=(2+4) N,木块所受合力F合=(2+4) N,故C错误。
5.如图所示,某工人正在修理草坪,推力F与水平方向成α角,割草机沿水平方向做匀速直线运动,则推力F在水平方向的分力大小为( )
A.Fsin α B.Fcos α
C. D.
【答案】 B
【解析】 根据题干可知推力F与水平方向成α角,将力F沿水平方向和竖直方向分解,水平方向的分力为Fcos α,竖直方向的分力为Fsin α。故选B。
6.如图所示,光滑水平地面上一物块受一恒力F作用,现要使该物块沿直线AB运动,应该再施加另一个力F′,下列关于F′的说法正确的是( )
A.F′有最小值,最小值为Fsin θ
B.F′有最小值,最小值为Fcos θ
C.F′有最大值,最大值为Fsin θ
D.F′有最大值,最大值为Fcos θ
【答案】 A
【解析】 要使物块沿AB方向运动,恒力F与另一个力的合力必沿AB方向,当另一个力与AB方向垂直时最小,故F′=Fsin θ,故A正确,B错误;由以上分析可知,只要F′与F的合力沿AB方向即可,则F′没有最大值,故C、D错误。
7.力的合成和分解在生产和生活中有着重要的作用,下列说法正确的是( )
A.高大的桥要建很长的引桥,减小斜面倾角,是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面方向的分力和摩擦力
B.幼儿园的滑梯很平缓,是为了减小小孩滑滑梯受到的重力,使小孩下滑得更慢
C.运动员做引体向上(缓慢上升)动作时,双臂张开很大的角度时要比双臂平行时费力(即需要更大的力)
D.将汽车与树用水平张紧的钢索相连,在钢索中点垂直汽车与树连线方向,必须施加一个大于钢索拉力的力才可能把陷入泥沼的车拉出
【答案】 C
【解析】 高大的桥要建很长的引桥,减小斜面倾角,是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面的分力,增大重力垂直于斜面的分力,从而增大摩擦力,故A错误;幼儿园的滑梯很平缓,是为了减小小孩滑滑梯时受到的重力沿滑梯向下的分力,使小孩下滑得更慢,重力不变,故B错误;运动员做引体向上(缓慢上升)动作时,有mg=2Fcos θ,双臂张开很大的角度时,即θ变大,cos θ变小,F变大,即比双臂平行时费力(即需要更大的力),故C正确;将汽车与树用水平张紧的钢索相连,在钢索中点垂直于汽车与树连线方向施加一个力,此时有F=2F1cos θ,当θ较大时,cos θ较小,F小于F1,即施加的作用力小于钢索拉力,故D错误。
8.在药物使用时应用到很多物理知识。下面分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角很小,医生沿着注射器施加一个较小的力F,针尖会对瓶塞产生很大的推力,现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力,则( )
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小
C.若F一定,增大θ,直侧面推力减小
D.若θ一定,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比增大
【答案】 C
【解析】将力分解在垂直于两个侧面的方向上,如图所示,针尖在倾斜侧面上对瓶塞倾斜推力为N,在直侧面上对瓶塞的推力为N′,则=cos θ,解得N′9.许多篮球运动员都具有惊人的弹跳能力。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程,屈膝是其中的一个关键动作。如图所示,人屈膝下蹲时,大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等,当膝关节弯曲的角度为θ=120°时,大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后,此时脚掌对地面竖直向下的弹力约为( )
A.F B.F
C. D.
【答案】 B
【解析】 大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等,设大小为F1,当膝关节弯曲的角度为θ=120°时,大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后,则有2F1cos 60°=F,解得F1=F。此时脚掌对地面竖直向下的弹力约为F′=F1sin 60°=F1=F,故选B。
10.榫卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为榫眼的凿削操作,图乙为截面图,凿子尖端夹角为θ,在凿子顶部施加竖直向下的力F时,其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2,不计凿子所受的重力及摩擦力,下列说法正确的是( )
A.F1=F2cos θ
B.F2=F1cos θ
C.夹角θ越小,F1越大,F2越小
D.夹角θ越大,凿子越容易凿入木头
【答案】 A
【解析】 作出力F与F1、F2的关系图,如图所示,
由图可知F1=F2cos θ,故A正确,B错误;由数学知识有F2=,F1=,可知力F一定时,夹角θ变小,F1、F2均变大,夹角θ变大,F1、F2均变小,越不容易凿入木头,C、D错误。
11.如图所示,绳OC与竖直方向成30°角,绳OB与水平方向成30°角,O为质量不计的光滑滑轮,已知物体B重1 000 N,物体A重400 N,物体A、B均静止,则物体B所受摩擦力大小为 N,支持力大小为 N,OC绳的拉力大小为 N。(结果均保留
3位有效数字)
【答案】 346 800 693
【解析】 OB、OA绳中的拉力大小均等于A的重力大小,即FOB=FOA=GA=400 N,物体B所受摩擦力大小为f=FOBcos 30°≈346 N;对物体B,GB=N+FOBsin 30°,N=800 N,OC绳的拉力大小为FOC=2FOBcos 30°≈693 N。
12.如图所示,小孩与冰车静止在冰面上,大人用F=20 N的恒定拉力,使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角θ=37°,小孩与冰车的总质量m=20 kg,冰车与冰面间的动摩擦因数μ=0.05,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小孩与冰车所受的支持力;
(2)小孩与冰车在水平方向所受的合力。
【答案】 (1)188 N,方向竖直向上
(2)6.6 N,方向水平向右。
【解析】 (1)小孩与冰车受重力mg、支持力N,恒力F和冰面的滑动摩擦力f,如图所示,由正交分解得,
竖直方向有N+Fsin 37°-mg=0,
代入数据解得支持力为N=188 N,
方向竖直向上。
(2)小孩与冰车在水平方向所受的合力F合=Fcos 37°-μN=6.6 N,
方向水平向右。(共53张PPT)
第2节
力的分解
学习目标 课标解读
1.知道力的分解的概念。 2.理解力的分解是力的合成的逆运算,掌握分解力的方法。 3.能应用力的分解分析生产和生活中的相关问题。 1.通过力的分解概念的建立,体会物理观念的形成过程。
2.研究用平行四边形定则求解分力的技巧,体会科学思维培养的意义。
3.结合力的分解在生活中的应用,体会物理学技术应用在生活中的作用。
探究·必备知识
「探究新知」
一、力的分解
1.定义:求一个已知力的 的过程。
2.分解与合成的关系:力的分解是力的合成的 。
3.分解法则
力的分解遵循 。
分力
逆运算
平行四边形定则
4.力的分解依据
(1)一个力可以分解为两个力,如果没有限制,同一个力可以用 等效替代。
(2)在实际问题中,要依据力的实际作用效果或需要分解。
多个分力
二、力的正交分解
1.定义: 把一个力分解为两个 的分力的方法,如图所示,
F1= ,F2= 。
互相垂直
Fcos θ
Fsin θ
2.适用:正交分解适用于各种矢量运算。
三、力的分解的应用
1.在生产生活中,力的分解有着十分广泛的应用,如盘山公路、很长的引桥、拱桥等。
2.分力与夹角的关系
当合力一定时,分力的大小和方向将随分力间 的改变而改变。在两分力大小相等的情况下,分力间夹角越大,分力 。
夹角
越大
「新知检测」
1.思考判断
(1)分力与合力是等效替代的关系,它们不是同时存在的。( )
(2)把已知力F分解时,只能分解为两个力。( )
(3)在力的分解中,分力可以比合力大。( )
(4)如果不加限制,一个力可以分解出无数多组分力。( )
√
×
√
√
2.思维探究
(1)为了行车方便和安全,高大的桥往往要建造很长的引桥。
问题:①在引桥上,汽车重力有什么作用效果
【答案】 (1)①汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压桥面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行。
②从力的分解的角度分析,引桥很长有什么好处
【答案】 ②高大的桥建造很长的引桥可以减小汽车重力沿桥面向下的分力,使行车更安全。
(2)观察以下两图力F的分解示意图,它们有什么共同的特点 F1和F2的大小分别为多少
【答案】 (2)题图中力F的分解都是沿相互垂直方向分解的,两图中F1和F2的值均可表示为F1=Fcos θ,F2=Fsin θ。
突破·关键能力
要点一 按力的效果分解
「情境探究」
如图所示,某同学设计了一个小实验,他将细绳的一端系在手指上,细绳的另一端系在直杆的A端,杆的左端顶在掌心,组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂重物,并保持静止。
【答案】 (1)该同学会感受到手指被绳拉紧、掌心被杆压紧。
探究:(1)通过实验该同学会有什么感受
(2)重物的重力产生了什么效果
【答案】 (2)重物的重力产生的作用效果有两个,一是拉紧细绳,二是使杆压紧。
(3)重物的重力应该怎样分解
「要点归纳」
按效果分解力的几个实例
实例 产生效果分析
拉力F一方面使物体沿水平地面前进或有运动的趋势,另一方面向上提物体,其分力F1、F2分别为F1=Fcos α,F2=Fsin α
物体静止在斜面上,其重力产生两个效果:一是使物体具有沿斜面下滑的趋势,二是使物体压紧斜面,其分力分别为F1=mgsin α,F2=mgcos α
[例1] 如图所示,光滑斜面的倾角为θ,有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住,挡板A沿竖直方向,挡板B垂直于斜面,则两挡板受到小球的压力大小之比为多大 斜面受到两小球的压力大小之比为多大
【答案】 1∶cos θ 1∶cos2θ
[思路点拨]
按力的效果分解的基本步骤
(1)根据力的实际作用效果确定两个分力的方向。
(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形。
(3)利用数学知识解三角形,分析、计算分力的大小。
·学习笔记·
[针对训练1] 拉链是方便人们生活的近代十大发明之一,图甲为拉头劈开链齿的实例,链齿容易被劈开是因为拉头内部的等腰楔形物插入链齿时,楔形物两侧会对链齿产生很大的侧向压力,此过程可简化成图乙的模型。若对拉头施加一个竖直向下的力F,等腰楔形物顶端夹角为θ,则( )
B
C.若F一定,θ减小时,侧向压力减小
D.若θ一定,F减小时,侧向压力增大
要点二 力的正交分解
「情境探究」
已知竖直平面内有一个大小为10 N的力作用于O点,该力与x轴正方向之间的夹角为30°,与y轴正方向之间的夹角为60°,现将它分解到x轴和y轴方向上,则x轴和y轴上的分力Fx和Fy 各是多少
「要点归纳」
1.正交分解的目的
正交分解,“分”是为了更好地“合”。
2.方法步骤
(1)建立坐标系:以共点力的作用点为坐标原点,直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上。
(2)正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力的大小,如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力,即Fx合=F1x-F2x-F3x,Fy合=
F1y+F2y-F3y。
[例2] 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N,方向如图所示,求它们的合力。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
【答案】 38.2 N,与F1夹角成45°斜向右上
【解析】 如图甲,建立平面直角坐标系,把各个力分解到这两个坐标轴上,并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy,有Fx=F1+F2cos 37°-F3cos 37°=27 N,
F y=F2sin 37°+F3sin 37°-F4=27 N,
正交分解的一般步骤
(1)建坐标系:应使尽量多的力与坐标轴重合。
(2)分解:将不在坐标轴上的力分解到坐标轴上。
(3)求两坐标轴方向上的合力。
(4)将两坐标轴方向上的合力再合成。
·学习笔记·
[针对训练2] 有三个力F1、F2、F3作用于同一点O,并在同一平面内,互成120°角。
(1)若三个力大小都为10 N,如图1所示,求它们的合力的大小;
【答案】 (1)0
(2)第(1)问中,将F1顺时针旋转120°,求它们的合力;
(3)若三个力大小分别为10 N、40 N、70 N,如图2所示,求它们的合力。
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
应用数学方法讨论解的个数
已知条件 条件示意 关系图示 作图说明 解的情况
合力、两个 分力的方向 过F的末端作两分力的平行线组成平行四边形 唯一解
合力、一个 分力的大 小和方向 由F1末端到F末端作有向线段,该线段表示F2 唯一解
合力、一个分力的大小和另一个分力的方向 F2F2=Fsin θ 以F的末端为圆心、F2的大小为半径画圆,与F1只有一个交点 唯一解
Fsin θF2≥F 以F的末端为圆心、F2的大小为半径画圆,与F1只有一个交点 唯一解
[示例] (双选)已知合力F的大小和方向,在以下三种条件下,通过作图求两个分力F1和F2。
(1)图甲,已知两个分力的方向,即图中角α和β确定,求两力的大小;
(2)图乙,已知分力F1的大小和方向,求另一个分力F2的大小和方向;
(3)图丙,已知F1的方向和F2的大小(Fsin α下列判断正确的是( )
A.图甲中F1和F2的大小有无数组解
B.图乙中F2的大小和方向有唯一解
C.图丙中F1的大小有唯一解
D.图丙中F2的方向有两解
BD
【解析】 题图甲中,已知两个分力的方向,根据平行四边形定则,作出两个分力如图甲所示,由图可知,两个分力只有唯一解,故A错误;题图乙中,已知分力F1的大小和方向,作出两个分力如图乙所示,由图可知,F2的大小和方向有唯一解,故B正确;题图丙中,已知F1的方向和F2的大小(Fsin α「科学·技术·社会·环境」
神奇的劈和楔
人们把刀、斧等切割工具的刃部叫作劈,而一头厚一头薄的斜面木料叫作楔,劈能轻而易举地劈开坚硬的物体,楔可使物体间接触更加紧密。古代有这样一个传说,明朝年间,苏州的虎丘寺塔因年久失修,塔身倾斜,有倒塌的危险。当时,有人建议用大木柱将其撑住,可这样又大煞风景;不久,有一位和尚把木楔一个一个地从塔身倾斜的一侧的砖缝中敲进去,结果扶正了塔身。
随着科技的发展,现在针对岩石太硬,挖掘机破碎锤打不动的工程中,应用最多的是一种液压开石机器——愚公斧劈裂机。
B
[示例] 刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈,如图是用斧头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三角形,使用劈的时候,垂直劈背方向自上方加一力F,从而把木柴劈开。设劈背的宽度为d,劈的斜面长为l,不计斧头的自身重力,则劈的侧面推压木柴的力约为( )
检测·学习效果
1.如图所示,某人游泳时,某时刻手掌对水的作用力大小为18 N,该力与水平方向的夹角为30°,若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力,则水平方向的分力大小为( )
B
2.(双选)如图所示,物体放在粗糙的斜面上静止不动,斜面的倾角为θ,把斜面上物体所受的重力G分解为F1、F2两个分力,下列说法正确的是( )
A.将重力G分解为F1、F2两个分力是根据重力的实际作用效果进行分解
B.F1是斜面受到的压力
C.F2是斜面作用在物体上使物体下滑的力
D.两个分力大小分别为F1=Gcos θ和F2=Gsin θ
AD
【解析】 将重力G分解为F1、F2两个分力是根据重力的实际作用效果进行分解,选项A正确;F1是重力沿垂直斜面方向的分力,与压力是不同性质的力,只能说F1的大小等于斜面受到的压力的大小,选项B错误;F2是重力沿斜面方向向下的分力,不是斜面作用在物体上使物体下滑的力,选项C错误;两个分力大小分别为F1=Gcos θ,F2=Gsin θ,选项D正确。
3.如图所示,小孩坐在雪橇上,现用一个与水平方向成α角、大小为F的力拉着雪橇沿水平地面运动,则拉力在水平方向的分力大小是( )
B
【解析】 将力F沿着相互垂直的两个方向分解,如图所示,根据数学上三角函数关系,可得拉力在水平方向的分力大小为Fx=Fcos α,故选B。
4.如图所示,将力F=10 N进行分解,其中一个分力F1的方向与F夹角为53°(取sin 53°=0.8),另一个分力F2的大小至少为 N,若分力F1的大小与F相等,则另一个分力F2的大小为 N。若另一个分力F2与F垂直,则
大小为 N。
8
5.在同一平面内的四个共点力F1=20 N、F2=30 N、F3=22 N、F4=40 N,方向如图所示,求它们的合力大小和方向。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,要求写出求解过程即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
【答案及解析】建立如图所示的平面直角坐标系;
由图可知,沿x轴方向的合力Fx=F4-F2sin 37°=40 N-30 N×0.6=22 N,
沿y轴方向的合力
Fy=F1+F2cos 37°-F3=20 N+30 N×0.8-22 N=22 N,
感谢观看第2节 力的分解
学习目标 课标解读
1.知道力的分解的概念。 2.理解力的分解是力的合成的逆运算,掌握分解力的方法。 3.能应用力的分解分析生产和生活中的相关问题。 1.通过力的分解概念的建立,体会物理观念的形成过程。 2.研究用平行四边形定则求解分力的技巧,体会科学思维培养的意义。 3.结合力的分解在生活中的应用,体会物理学技术应用在生活中的作用。
探究新知
一、力的分解
1.定义:求一个已知力的分力的过程。
2.分解与合成的关系:力的分解是力的合成的逆运算。
3.分解法则
力的分解遵循平行四边形定则。
4.力的分解依据
(1)一个力可以分解为两个力,如果没有限制,同一个力可以用多个分力等效替代。
(2)在实际问题中,要依据力的实际作用效果或需要分解。
二、力的正交分解
1.定义: 把一个力分解为两个互相垂直的分力的方法,如图所示,F1=Fcos θ,F2=Fsin θ。
2.适用:正交分解适用于各种矢量运算。
三、力的分解的应用
1.在生产生活中,力的分解有着十分广泛的应用,如盘山公路、很长的引桥、拱桥等。
2.分力与夹角的关系
当合力一定时,分力的大小和方向将随分力间夹角的改变而改变。在两分力大小相等的情况下,分力间夹角越大,分力越大。
新知检测
1.思考判断
(1)分力与合力是等效替代的关系,它们不是同时存在的。( √ )
(2)把已知力F分解时,只能分解为两个力。( × )
(3)在力的分解中,分力可以比合力大。( √ )
(4)如果不加限制,一个力可以分解出无数多组分力。( √ )
2.思维探究
(1)为了行车方便和安全,高大的桥往往要建造很长的引桥。
问题:①在引桥上,汽车重力有什么作用效果
②从力的分解的角度分析,引桥很长有什么好处
(2)观察以下两图力F的分解示意图,它们有什么共同的特点 F1和F2的大小分别为多少
【答案】 (1)①汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压桥面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行。
②高大的桥建造很长的引桥可以减小汽车重力沿桥面向下的分力,使行车更安全。
(2)题图中力F的分解都是沿相互垂直方向分解的,两图中F1和F2的值均可表示为F1=Fcos θ,F2=Fsin θ。
要点一 按力的效果分解
情境探究
如图所示,某同学设计了一个小实验,他将细绳的一端系在手指上,细绳的另一端系在直杆的A端,杆的左端顶在掌心,组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂重物,并保持静止。
探究:(1)通过实验该同学会有什么感受
(2)重物的重力产生了什么效果
(3)重物的重力应该怎样分解
【答案】 (1)该同学会感受到手指被绳拉紧、掌心被杆压紧。
(2)重物的重力产生的作用效果有两个,一是拉紧细绳,二是使杆压紧。
(3)重力可分解为沿细绳方向的力F1和沿杆方向的力F2,如图所示,由三角函数得F1=,F2=Gtan θ。
要点归纳
按效果分解力的几个实例
实例 产生效果分析
拉力F一方面使物体沿水平地面前进或有运动的趋势,另一方面向上提物体,其分力F1、F2分别为F1=Fcos α,F2=Fsin α
物体静止在斜面上,其重力产生两个效果:一是使物体具有沿斜面下滑的趋势,二是使物体压紧斜面,其分力分别为F1=mgsin α,F2=mgcos α
光滑小球被竖直挡板挡住,其重力产生两个效果:一是使球压紧挡板,二是使球压紧斜面,其分力分别为F1=mgtan α,F2=
光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,其重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁,二是使球拉紧悬线,其分力分别为F1=mgtan α,F2=
物体被AO、BO两等长细线拉住,其重力产生两个效果:一是使物体拉紧AO线,二是使物体拉紧BO线,其分力为F1=F2=
物体被支架悬挂,其重力产生两个效果:一是拉伸AB,二是压缩BC,其分力分别为F1=mgtan α,F2=
[例1] 如图所示,光滑斜面的倾角为θ,有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住,挡板A沿竖直方向,挡板B垂直于斜面,则两挡板受到小球的压力大小之比为多大 斜面受到两小球的压力大小之比为多大
[思路点拨]
【答案】 1∶cos θ 1∶cos2θ
【解析】 对小球1所受的重力来说,其效果有二,第一,使小球沿水平方向挤压挡板;第二,使小球垂直压紧斜面。因此,力的分解如图甲所示,由此可得两个分力的大小分别为F1=Gtan θ,F2=。对小球2所受的重力G来说,其效果有二,第一,使小球沿斜面方向挤压挡板;第二,使小球垂直压紧斜面。因此,力的分解如图乙所示,由此可得两个分力的大小分别为F3=Gsin θ,F4=Gcos θ。由力的相互性可知,挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3=1∶cos θ,斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4=1∶cos2θ。
按力的效果分解的基本步骤
(1)根据力的实际作用效果确定两个分力的方向。
(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形。
(3)利用数学知识解三角形,分析、计算分力的大小。
[针对训练1] 拉链是方便人们生活的近代十大发明之一,图甲为拉头劈开链齿的实例,链齿容易被劈开是因为拉头内部的等腰楔形物插入链齿时,楔形物两侧会对链齿产生很大的侧向压力,此过程可简化成图乙的模型。若对拉头施加一个竖直向下的力F,等腰楔形物顶端夹角为θ,则( )
A.楔形物两侧对链齿产生的侧向压力为F·cos
B.楔形物两侧对链齿产生的侧向压力为
C.若F一定,θ减小时,侧向压力减小
D.若θ一定,F减小时,侧向压力增大
【答案】 B
【解析】将力F根据平行四边形定则分解如图,由几何知识得F=2Nsin,则侧向压力的大小为N==,故A错误,B正确;由N=可知,在F一定时,θ越小侧向压力越大,故C错误;由N=可知,在θ一定时,F越小时侧向压力越小,故D错误。
要点二 力的正交分解
情境探究
已知竖直平面内有一个大小为10 N的力作用于O点,该力与x轴正方向之间的夹角为30°,与y轴正方向之间的夹角为60°,现将它分解到x轴和y轴方向上,则x轴和y轴上的分力Fx和Fy 各是多少
【答案】画出坐标系及受力情况,如图所示,已知两分力方向,作出平行四边形。由三角形关系得Fx=Fcos 30°=5 N,F y=Fsin 30°=5 N。
要点归纳
1.正交分解的目的
正交分解,“分”是为了更好地“合”。
2.方法步骤
(1)建立坐标系:以共点力的作用点为坐标原点,直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上。
(2)正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力的大小,如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力,即Fx合=F1x-F2x-F3x,Fy合=F1y+F2y-F3y。
(4)求共点力的合力:合力大小F合=,合力的方向与x轴的夹角为α,则tan α=。
[例2] 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N,方向如图所示,求它们的合力。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
【答案】 38.2 N,与F1夹角成45°斜向右上
【解析】 如图甲,建立平面直角坐标系,把各个力分解到这两个坐标轴上,并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy,有Fx=F1+F2cos 37°-F3cos 37°=27 N,F y=F2sin 37°+F3sin 37°-F4=27 N,
因此,如图乙所示,合力F=≈38.2 N,tan φ==1。即合力的大小约为 38.2 N,方向与F1夹角为45°斜向右上。
正交分解的一般步骤
(1)建坐标系:应使尽量多的力与坐标轴重合。
(2)分解:将不在坐标轴上的力分解到坐标轴上。
(3)求两坐标轴方向上的合力。
(4)将两坐标轴方向上的合力再合成。
[针对训练2] 有三个力F1、F2、F3作用于同一点O,并在同一平面内,互成120°角。
(1)若三个力大小都为10 N,如图1所示,求它们的合力的大小;
(2)第(1)问中,将F1顺时针旋转120°,求它们的合力;
(3)若三个力大小分别为10 N、40 N、70 N,如图2所示,求它们的合力。
【答案】 (1)0 (2)10 N,水平向右
(3)30 N,与水平方向成60°角斜向右下方
【解析】 (1)先合成F1、F2,根据力的平行四边形定则与几何关系可得
F12=2F1cos=10 N,
如图甲所示,
方向竖直向上,与F3等大反向,
所以F1、F2、F3的合力等于0。
(2)将F1顺时针旋转120°,以水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立直角坐标系,如图乙所示,
x轴有Fx=F1cos 30°+F2cos 30°=10 N,
y轴有Fy=F1sin 30°+F2sin 30°-F3=0,
F1、F2、F3的合力F=Fx=10 N,水平向右。
(3)以水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立直角坐标系,如图丙所示,
x轴有Fx=-F1cos 30°+F2cos 30°=15 N,
y轴有
Fy=F1sin 30°+F2sin 30°-F3=-45 N,
F1、F2、F3的合力F==30 N,
tan θ==,θ=60°,
与水平方向成60°角斜向右下方。
模型·方法·结论·拓展
应用数学方法讨论解的个数
已知 条件 条件 示意 关系 图示 作图 说明 解的 情况
合力、两个 分力的方向 过F的末端作两分力的平行线组成平行四边形 唯 一 解
合力、一个 分力的大 小和方向 由F1末端到F末端作有向线段,该线段表示F2 唯 一 解
合力、一个分力的大小和另一个分力的方向 F2< Fsin θ 以F的末端为圆心、F2的大小为半径画圆,与F1无交点 无 解
F2= Fsin θ 以F的末端为圆心、F2的大小为半径画圆,与F1只有一个交点 唯 一 解
Fsin θ< F2F2≥F 以F的末端为圆心、F2的大小为半径画圆,与F1只有一个交点 唯 一 解
[示例] (双选)已知合力F的大小和方向,在以下三种条件下,通过作图求两个分力F1和F2。
(1)图甲,已知两个分力的方向,即图中角α和β确定,求两力的大小;
(2)图乙,已知分力F1的大小和方向,求另一个分力F2的大小和方向;
(3)图丙,已知F1的方向和F2的大小(Fsin α下列判断正确的是( )
A.图甲中F1和F2的大小有无数组解
B.图乙中F2的大小和方向有唯一解
C.图丙中F1的大小有唯一解
D.图丙中F2的方向有两解
【答案】 BD
【解析】 题图甲中,已知两个分力的方向,根据平行四边形定则,作出两个分力如图甲所示,由图可知,两个分力只有唯一解,故A错误;题图乙中,已知分力F1的大小和方向,作出两个分力如图乙所示,由图可知,F2的大小和方向有唯一解,故B正确;题图丙中,已知F1的方向和F2的大小(Fsin α科学·技术·社会·环境
神奇的劈和楔
人们把刀、斧等切割工具的刃部叫作劈,而一头厚一头薄的斜面木料叫作楔,劈能轻而易举地劈开坚硬的物体,楔可使物体间接触更加紧密。古代有这样一个传说,明朝年间,苏州的虎丘寺塔因年久失修,塔身倾斜,有倒塌的危险。当时,有人建议用大木柱将其撑住,可这样又大煞风景;不久,有一位和尚把木楔一个一个地从塔身倾斜的一侧的砖缝中敲进去,结果扶正了塔身。
随着科技的发展,现在针对岩石太硬,挖掘机破碎锤打不动的工程中,应用最多的是一种液压开石机器——愚公斧劈裂机。
[示例] 刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈,如图是用斧头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三角形,使用劈的时候,垂直劈背方向自上方加一力F,从而把木柴劈开。设劈背的宽度为d,劈的斜面长为l,不计斧头的自身重力,则劈的侧面推压木柴的力约为( )
A.F B.F
C.F D.F
【答案】 B
【解析】力F产生两个作用效果,使劈的两个侧面推压物体,F分解为F1、F2两个分力,如图所示。F1、F2分别与劈的两个侧面垂直,根据对称性,F1、F2大小相等,这样,以F1、F2为邻边的平行四边形是一个菱形,由数学知识可得F1=F2=,结合劈的参数,有 sin ==
,则F1=F2=·=F,选项B正确,A、C、D错误。
1.如图所示,某人游泳时,某时刻手掌对水的作用力大小为18 N,该力与水平方向的夹角为30°,若把该力分解为水平向左和竖直向下的两个力,则水平方向的分力大小为( )
A.9 N B.9 N
C.12 N D.20 N
【答案】 B
【解析】 力是矢量,遵循平行四边形定则,将手掌对水的作用力按照平行四边形定则进行分解,即沿水平方向和竖直方向将手掌对水的作用力分解,则该力在水平方向的分力大小为F′=Fcos 30°=18× N=9 N,故A、C、D错误,B正确。
2.(双选)如图所示,物体放在粗糙的斜面上静止不动,斜面的倾角为θ,把斜面上物体所受的重力G分解为F1、F2两个分力,下列说法正确的是( )
A.将重力G分解为F1、F2两个分力是根据重力的实际作用效果进行分解
B.F1是斜面受到的压力
C.F2是斜面作用在物体上使物体下滑的力
D.两个分力大小分别为F1=Gcos θ和F2=Gsin θ
【答案】 AD
【解析】 将重力G分解为F1、F2两个分力是根据重力的实际作用效果进行分解,选项A正确;F1是重力沿垂直斜面方向的分力,与压力是不同性质的力,只能说F1的大小等于斜面受到的压力的大小,选项B错误;F2是重力沿斜面方向向下的分力,不是斜面作用在物体上使物体下滑的力,选项C错误;两个分力大小分别为F1=Gcos θ,F2=Gsin θ,选项D正确。
3.如图所示,小孩坐在雪橇上,现用一个与水平方向成α角、大小为F的力拉着雪橇沿水平地面运动,则拉力在水平方向的分力大小是( )
A.Fsin α B.Fcos α
C. D.
【答案】 B
【解析】 将力F沿着相互垂直的两个方向分解,如图所示,根据数学上三角函数关系,可得拉力在水平方向的分力大小为Fx=Fcos α,故选B。
4.如图所示,将力F=10 N进行分解,其中一个分力F1的方向与F夹角为53°(取sin 53°=0.8),另一个分力F2的大小至少为 N,若分力F1的大小与F相等,则另一个分力F2的大小为 N。若另一个分力F2与F垂直,则大小为 N。
【答案】 8 4
【解析】 当F2的方向与F1的方向垂直时,F2最小,如图甲所示,根据几何关系可得F2=Fsin θ=10×0.8 N=8 N。若F1与F相等,如图乙所示,根据余弦定理可得=+F2-2F1Fcos θ,解得 F2=4 N。F2与F垂直,如图丙所示,=tan θ,F2= N。
5.在同一平面内的四个共点力F1=20 N、F2=30 N、F3=22 N、F4=40 N,方向如图所示,求它们的合力大小和方向。(取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,要求写出求解过程即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
【答案】 见解析
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系;
由图可知,沿x轴方向的合力Fx=F4-F2sin 37°=40 N-30 N×0.6=22 N,
沿y轴方向的合力
Fy=F1+F2cos 37°-F3
=20 N+30 N×0.8-22 N
=22 N,
则合力大小为F合==22 N,
方向与x轴的夹角满足tan θ==1,解得θ=45°,
即合力方向与F4夹角为45°斜向右下方。
课时作业
1.(双选)把一个力分解为两个力时,下列说法正确的是( )
A.一个分力大小变化,另一个分力大小也一定变化
B.一个分力方向变化,另一个分力方向不一定变化
C.无论如何变化,两个分力不能同时小于这个力的一半
D.无论如何分解,两个分力不能同时大于这个力的两倍
【答案】 BC
【解析】 根据三角形定则,如图所示。
由图可知,分力F1大小变化,另一个分力F2大小可以不变,分力F2方向变化,另一个分力F1方向可以不变,故A错误,B正确;若两个分力同时小于这个力的一半,当这两个分力方向相同时,合力最大,则有F合max<+=F,说明无论如何变化,两个分力不能同时小于这个力的一半,故C正确;当两个分力之间夹角接近180°时,两个分力可以同时都很大,同时大于这个力的两倍,故D错误。
2.如图所示,被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球,若按力的实际作用效果来分解小球受到的重力G,则G的两个分力的方向分别是图中的( )
A.1和4 B.3和4 C.2和4 D.2和3
【答案】 B
【解析】 小球重力产生两个效果,一是使绳子拉伸,二是使斜面受压,故应按此两个方向分解,分别是3和4。选项B正确。
3.如图所示,AB、AC两光滑斜面互相垂直,AC与水平面成30°角。如把球O受到的重力G按照其作用效果分解,则两个分力的大小分别为( )
A.G,G B.G,G
C.G,G D.G,G
【答案】 A
【解析】 已知重力和两个分力的方向,根据平行四边形定则作力的分解,如图所示,由图得到F1=G·sin 60°=G,F2=G·sin 30°=G,故选A。
4.如图所示,一质量为0.8 kg的木块放在水平面上向左运动,且受到一个与水平面成30°角向上的拉力F=8 N 作用,木块与水平面间的动摩擦因数是0.5,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
A.物体受到的支持力大小是8 N
B.摩擦力大小为4 N,方向水平向左
C.合力大小是8 N
D.摩擦力大小是2 N,方向水平向右
【答案】 D
【解析】 如图所示,对力F进行正交分解,
在竖直方向上有N+F·sin 30°=G,解得N=4 N,故A错误;由滑动摩擦力公式f=μN,解得f=2 N,故B错误;木块相对水平面向左运动,所受滑动摩擦力方向向右,大小为2 N,故D正确;木块竖直方向上合力为零,对水平方向求合力f+F·cos 30°=2 N+4 N=(2+4) N,木块所受合力F合=(2+4) N,故C错误。
5.如图所示,某工人正在修理草坪,推力F与水平方向成α角,割草机沿水平方向做匀速直线运动,则推力F在水平方向的分力大小为( )
A.Fsin α B.Fcos α
C. D.
【答案】 B
【解析】 根据题干可知推力F与水平方向成α角,将力F沿水平方向和竖直方向分解,水平方向的分力为Fcos α,竖直方向的分力为Fsin α。故选B。
6.如图所示,光滑水平地面上一物块受一恒力F作用,现要使该物块沿直线AB运动,应该再施加另一个力F′,下列关于F′的说法正确的是( )
A.F′有最小值,最小值为Fsin θ
B.F′有最小值,最小值为Fcos θ
C.F′有最大值,最大值为Fsin θ
D.F′有最大值,最大值为Fcos θ
【答案】 A
【解析】 要使物块沿AB方向运动,恒力F与另一个力的合力必沿AB方向,当另一个力与AB方向垂直时最小,故F′=Fsin θ,故A正确,B错误;由以上分析可知,只要F′与F的合力沿AB方向即可,则F′没有最大值,故C、D错误。
7.力的合成和分解在生产和生活中有着重要的作用,下列说法正确的是( )
A.高大的桥要建很长的引桥,减小斜面倾角,是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面方向的分力和摩擦力
B.幼儿园的滑梯很平缓,是为了减小小孩滑滑梯受到的重力,使小孩下滑得更慢
C.运动员做引体向上(缓慢上升)动作时,双臂张开很大的角度时要比双臂平行时费力(即需要更大的力)
D.将汽车与树用水平张紧的钢索相连,在钢索中点垂直汽车与树连线方向,必须施加一个大于钢索拉力的力才可能把陷入泥沼的车拉出
【答案】 C
【解析】 高大的桥要建很长的引桥,减小斜面倾角,是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面的分力,增大重力垂直于斜面的分力,从而增大摩擦力,故A错误;幼儿园的滑梯很平缓,是为了减小小孩滑滑梯时受到的重力沿滑梯向下的分力,使小孩下滑得更慢,重力不变,故B错误;运动员做引体向上(缓慢上升)动作时,有mg=2Fcos θ,双臂张开很大的角度时,即θ变大,cos θ变小,F变大,即比双臂平行时费力(即需要更大的力),故C正确;将汽车与树用水平张紧的钢索相连,在钢索中点垂直于汽车与树连线方向施加一个力,此时有F=2F1cos θ,当θ较大时,cos θ较小,F小于F1,即施加的作用力小于钢索拉力,故D错误。
8.在药物使用时应用到很多物理知识。下面分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角很小,医生沿着注射器施加一个较小的力F,针尖会对瓶塞产生很大的推力,现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力,则( )
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B.针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小
C.若F一定,增大θ,直侧面推力减小
D.若θ一定,增大F,直侧面与倾斜侧面推力之比增大
【答案】 C
【解析】将力分解在垂直于两个侧面的方向上,如图所示,针尖在倾斜侧面上对瓶塞倾斜推力为N,在直侧面上对瓶塞的推力为N′,则=cos θ,解得N′9.许多篮球运动员都具有惊人的弹跳能力。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程,屈膝是其中的一个关键动作。如图所示,人屈膝下蹲时,大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等,当膝关节弯曲的角度为θ=120°时,大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后,此时脚掌对地面竖直向下的弹力约为( )
A.F B.F
C. D.
【答案】 B
【解析】 大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等,设大小为F1,当膝关节弯曲的角度为θ=120°时,大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后,则有2F1cos 60°=F,解得F1=F。此时脚掌对地面竖直向下的弹力约为F′=F1sin 60°=F1=F,故选B。
10.榫卯结构是中国传统建筑、家具和其他木制器具的主要结构方式。如图甲所示为榫眼的凿削操作,图乙为截面图,凿子尖端夹角为θ,在凿子顶部施加竖直向下的力F时,其竖直面和侧面对两侧木头的压力分别为F1和F2,不计凿子所受的重力及摩擦力,下列说法正确的是( )
A.F1=F2cos θ
B.F2=F1cos θ
C.夹角θ越小,F1越大,F2越小
D.夹角θ越大,凿子越容易凿入木头
【答案】 A
【解析】 作出力F与F1、F2的关系图,如图所示,
由图可知F1=F2cos θ,故A正确,B错误;由数学知识有F2=,F1=,可知力F一定时,夹角θ变小,F1、F2均变大,夹角θ变大,F1、F2均变小,越不容易凿入木头,C、D错误。
11.如图所示,绳OC与竖直方向成30°角,绳OB与水平方向成30°角,O为质量不计的光滑滑轮,已知物体B重1 000 N,物体A重400 N,物体A、B均静止,则物体B所受摩擦力大小为 N,支持力大小为 N,OC绳的拉力大小为 N。(结果均保留
3位有效数字)
【答案】 346 800 693
【解析】 OB、OA绳中的拉力大小均等于A的重力大小,即FOB=FOA=GA=400 N,物体B所受摩擦力大小为f=FOBcos 30°≈346 N;对物体B,GB=N+FOBsin 30°,N=800 N,OC绳的拉力大小为FOC=2FOBcos 30°≈693 N。
12.如图所示,小孩与冰车静止在冰面上,大人用F=20 N的恒定拉力,使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角θ=37°,小孩与冰车的总质量m=20 kg,冰车与冰面间的动摩擦因数μ=0.05,重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小孩与冰车所受的支持力;
(2)小孩与冰车在水平方向所受的合力。
【答案】 (1)188 N,方向竖直向上
(2)6.6 N,方向水平向右。
【解析】 (1)小孩与冰车受重力mg、支持力N,恒力F和冰面的滑动摩擦力f,如图所示,由正交分解得,
竖直方向有N+Fsin 37°-mg=0,
代入数据解得支持力为N=188 N,
方向竖直向上。
(2)小孩与冰车在水平方向所受的合力F合=Fcos 37°-μN=6.6 N,
方向水平向右。
