名校联考联合体2026届高三年级1月联考
数学
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.全集U=(-3,-2,-1,0),A={-1,01,则CA=
A.
B.{-2)
C.(-3)
D.(-3,-21
2复数x的共轭复数为z,若z=1一2i,则x=
A1-2i
B.1+2i
C.2-i
D.2+i
3.平面向量a=(3,-1),b=(x,1),且a-b=(1,-2),则x=
A-1
B.2
C.5
D.3
中
4.函数f(x)=e,若f(x+2)
州
A(-2,2)
B(-2,-1)
C.(-1,1)
D.1,2)
5,正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2，侧棱PA与底面ABCD所成角为45，则该四棱锥的体
积为
A
B.22
c9
D.42
氏.函数f八x)=co(aa一符)(a>0)的图象关于直钱x=写对称，则a的最小值为
A号
B.1
c
D.2
1横国C+学-1的E,右聪点为Ak,精圆C的右焦点为F,点P是桶圆C上异于A,
的一动点，过F作直线A;P的垂线，垂足为M,若椭圆C的离心率为亏，三角形AA,M的面积
最大值为6，则楠圆C的方程为
A三+=1
“22V6
G
n后+1
数学试题第1页（共5页）
2单
1
3(25+1),z∈[0,1]，
8.函数y=(x)(x∈R)满足：当x∈[-1,1]时，f(x)=
-f(-x),x∈[-1,0)，
且f(x+1)=
f(1-x),f(x+2)=f(x-2),若函数g(x)=f(x)-|log.(x+1),(a>0且a≠1)共有6个
零点，则实数a的取值范围是
A(0,4]
B.[o,4)
c而，沉u
派u(语)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.等差数列{an)的前n项和为S.,a1=12,a十as=a%十10，则
A.a2=10
B.公差d=-2
C.an=-8
D.S.的最大值为S,或S,
10抛物线C:y2=2印x的焦点为F,准线为L.若点P(1,2)在地物线C上，过F点的直线1交抛物
线C于A,B两点，则
A.p=2
B.PFI=2
C.圆x2+y=5与准线l交于M,N两点，则三角形FMN的面积为8
D.以FA为直径的圆与y轴只有一个公共点
11.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，AB=1,AA1=2,E,F分别在侧面AA,BB和侧面
AA,CC内运动（含边界），点A,在平面AEF上的射影H在△AEF内（含边界），直线AA
与平面AEF所成的角为30°则
A正三棱柱ABC-AB,G的体积为号
B正三棱柱ABC-ABG的外接球的体积为票。
C,H点到棱AA1的距离为3
D.若直线BH与平面ABC所成的角为0，则tn9的最大值为3(2十√3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=3x十hx在点P(o,%)处的切线斜率为4，则0=
13.从0,1,2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有
个
数学试题第2页（共5页）
2(共39张PPT)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.全集U=,A=,则 UA=
A. B. C. D.
A. B. C. D.
【解析】由题意,U=,又A=,所以 UA=.故选:D.
2.复数z的共轭复数为,若=1-2i,则z=
A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i
A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i
【解析】由=1-2i,故z=1+2i,故选:B.
3.平面向量a=,b=,且a-b=(1,-2),则x=
A.-1 B.2 C. D.3
A.-1 B.2 C. D.3
【解析】因为a=,b=,所以a-b=(3-x,-1-1)=(1,-2),所以x=2.故选:B.
4.函数f=ex,若fA.
B.
C.
D.
【解析】因为f在R上单调递增,由f所以x2+2<3,所以x2-1<0,解得-15.正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2,侧棱PA与底面ABCD所成角为45°,则该四棱锥的体积为
A. B.2 C. D.4
A. B.2 C. D.4
【解析】如图,正四棱锥P-ABCD中,正方形ABCD的对角线相交于点O,连接PO,
则PO⊥平面ABCD,则∠PAO为PA与底面ABCD所成角,且∠PAO=45°,
所以PO=PAsin 45°=,且AC=2OA=2OP=2,所以AB=2,
所以该四棱锥的体积为V=AB·BC·OP=.故选C.
6.函数f=cos的图象关于直线x=对称,则ω的最小值为
【解析】函数f=cos的图象关于直线x=对称,
所以ω-=kπ,k∈Z,得ω=3k+,k∈Z,因为ω>0,
所以当k=0时,ω取最小值,为,故选:A.
A.
B.1
C.
D.2
7.椭圆C:+=1的左、右顶点为A1,A2,椭圆C的右焦点为F,点P是椭圆C上异于A1,A2的一动点,过F作直线A1P的垂线,垂足为M,若椭圆C的离心率为,三角形A1A2M的面积最大值为6,则椭圆C的方程为
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】因为A1M⊥MF,所以点M在以A1F为直径的圆上,所以A1A2边上的高为半径时,△A1A2M的面积最大,即=·2a·==6,
又因为e==,即c=a,所以=6,解得a=2,所以c=,得b==,故椭圆C的方程为+=1.故选:C.
8.函数y=f(x∈R)满足:当x∈[-1,1]时,f(x)=且f=f,f=f(x-2),若函数g=f-,(a>0且a≠1)共有6个零点,则实数a的取值范围是
A.(,]
B.[,)
C.(,)∪
D.(,)∪
【解析】由f=得f=
因为f=f,所以函数y=f的图象关于直线x=1对称,
因为f=f,所以f=f=f=f,
所以函数f是以4为周期的周期函数.又函数y=f在区间[-1,1]上单调递增,且值域为,函数y=在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,且当x→-1时y=→+∞,当x=0时y==0.函数g的零点个数,即函数y=f图象与函数y=,图象的交点个数.不妨设a>1,作出函数y=f与y=的图象如下:
因为函数g=f-,共有6个零点,
所以当a>1,x>0时,得所以当00时,得所以所以实数a的取值范围是∪.故选:C.
二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
9.等差数列的前n项和为Sn,a1=12,a3+a5=a6+10,则
A.a2=10
B.公差d=-2
C.a11=-8
D.Sn的最大值为S7或S8
【解析】设等差数列的公差为d,
对于A:因为a3+a5=a6+a2=a6+10,所以a2=10,故A正确;
所以a2-a1=d=-2,故B正确;
对于C:a11=a1+d=12+10×=-8,故C正确;
对于D:因为所以6≤n≤7,可知数列的前7项非负,所以Sn的最大值为S6或S7,故D错误;故选:ABC.
10.抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l.若点P(1,2)在抛物线C上,过F点的直线l'交抛物线C于A,B两点,则
A.p=2
B.|PF|=2
C.圆x2+y2=5与准线l交于M,N两点,则三角形FMN的面积为8
D.以FA为直径的圆与y轴只有一个公共点
【解析】对于A:由点P(1,2)在抛物线C上,得4=2p.解得p=2,故A正确;
对于B:|PF|=1+=2,故B正确;
对于C:直线l:x=-1交圆x2+y2=5于点M(-1,2),N(-1,-2),又F(1,0),则三角形FMN的面积为×4×2=4,故C错误;
对于D:设A,根据抛物线定义可知=xA+1=4a2+1,又以FA为直径的圆的半径为=2a2+,而线段FA的中点到y轴的距离为2a2+,因此以FA为直径的圆与y轴相切.故D正确;故选:ABD.
11.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AA1=2,E,F分别在侧面AA1B1B和侧面AA1C1C内运动(含边界),点A1在平面AEF上的射影H在△AEF内(含边界),直线AA1与平面AEF所成的角为30°.则
A.正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
B.正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为π
C.H点到棱AA1的距离为
D.若直线BH与平面ABC所成的角为θ,则tan θ的最大值为3
【解析】对于A:因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AA1=2,所以正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=AB2×AA1=×12×2=,故A正确;
对于B:设正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心为O,则外接球的半经为R==,所以正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为V=πR3=π,故B错误;
对于C,D:因为点H为A1在平面AEF上的射影,所以A1H⊥平面AEF,连接AH,
则A1H⊥AH,故H在以AA1为直径的球面上.又AA1与平面AEF所成的角为30°,
所以∠HAA1=30°,过H作HO1⊥AA1于点O1,如图1所示,则HA1=1,HA=,HO1=,AO1=,所以H点到棱AA1的距离为,故C错误;所以H在如图2所示的圆锥AO1的底面圆周上,又H在△AEF内(含边界),故H在三棱柱ABC-A1B1C1及其内部,其轨迹是以O1为圆心,O1H为半径的圆中圆心角为60°的圆弧,且H在底面ABC上的射影H'的轨迹(以A为圆心,为半径的一段圆弧)如图3所示,连接BH',易知直线BH与平面ABC所成的角θ=∠HBH',
且tan θ===,故当BH'最小时,tan θ最大,A是圆弧圆心,则当H'在AB上时,BH'最小,最小值为
1-=,所以=×=3.故D正确.故选:AD.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.函数f(x)=3x+ln x在点P处的切线斜率为4,则x0= 1 .
【解析】易知f'=3+,根据切线斜率为4,得f'=3+=4,解得x0=1.
13.从0,1,2,…,9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数,其中小于329的共有 167 个.
【解析】当百位数小于3时,共有·=144个;当百位数为3,十位数小于2时,此时共有·=16个;当百位数为3,十位数为2时,共有=7个.
综上所述,共有144+16+7=167个.
14.数列满足an=2n-1,数列满足b1=3,bn+1=2bn+1.将中的项按从小到大的顺序插入中,且在任意的bk,bk+1之间插入2k-1项,从而构成一个新数列:b1,a1,b2,a2,a3,a4,b3,…,设的前n项和为Tn,
则T100= 12182 .(请用数字作答).
【解析】对于数列,由bn+1=2bn+1可得bn+1+1=2,又b1+1=4≠0,
所以=2,所以数列是首项为4,公比为2的等比数列,
故bn+1=4×2n-1=2n+1,得bn=2n+1-1.
又an=2n-1,
新数列结构为:b1后插1项,b2后插3项,…,bk后插2k-1项,到bm,总项数为m+1+3+…+2m-3
=m+=m+=m2-m+1.
当m=10时,到b10共102-10+1=91项,
和为b1+b2+…+b10=22-1+23-1+…+211-1=-10=212-4-10=4082,
插入的a1到a81的和为==812,
第92到100项为b10后插的9项,即a82到a90,其和为902-812,故T100=4082+812+(902-812)=12182.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分13分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,S=sin A.
(1)证明:b=2c;
【解析】(1)在△ABC中,S=bcsin A,又S=sin A,
则bcsin A=sin A,而sin A>0, ………………3分
则bc=b2-2c2,即(b-2c)(b+c)=0,又b+c>0,则b=2c. ………………6分
(2)若a=c,求内角A的大小.
【解析】(2)由a=c,则a2=7c2, ……………… 8分
由余弦定理cos A===-, ……………… 11分
又0°16.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAD为等腰三角形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4,PC=2,M为棱PC的中点.
(1)证明:BM∥平面PAD;
【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示:
在△PCD中,因为M,N分别是棱PC,PD的中点,所以MN为△PCD的中位线,
所以MN∥DC,且MN=DC,易知AB=CD,AB∥DC, ……………… 2分
所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形,
所以AN∥BM, ……………… 4分
又AN 平面PAD,BM 平面PAD,所以BM∥平面PAD. ……………… 6分
(2)求平面PDM和平面DMB所成夹角的正弦值.
【解析】(2)由已知PD⊥CD,CD=4,PD=2,所以PD2+CD2=CP2,即PD2+16=20,得PD=2,所以AD=2, …… 8分
以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,
所以D,A,B,C,P, ……………… 9分
因为M为棱PC的中点,所以M,所以=,=,=,
设平面DMB的法向量为n=,则
令z=2,则y=-1,x=1,即平面DMB的一个法向量为n=, ……………… 11分
又PD⊥平面ABCD,DA 平面ABCD,所以PD⊥DA,由AD⊥DC,且PD∩DC=D,
所以DA⊥平面PCD,即DA⊥平面PDM,
所以=为平面PDM的一个法向量, ……………… 13分
所以cos===,
所以平面PDM和平面DMB所成夹角的正弦值为=. ……………… 15分
17.(本小题满分15分)
函数f=a-ln x.
(1)若a=e,求f的极小值;
【解析】(1)函数f的定义域为,当a=e时,f'=e-=, ……………… 1分
由f'>0,得x>,即f在上单调递增; ……………… 3分
由f'<0,得0所以f的极小值为f=e+1-ln=e+2. ……………… 7分
(2)当a=-1时,证明:xex+f≥0.
【解析】(2)当a=-1时,f=-,
因为xex+f=xex-,从而要证f+xex≥0,即证xex-x-ln x-1≥0,
令h(x)=xex-x-ln x-1,定义域为(0,+∞), ……………… 8分
h'(x)=ex+xex-1-=(x+1),其中x+1>0恒成立,设ex-=0的解为x=x0,
当0当x>x0时,ex->0,h'(x)=(x+1)>0,h单调递增,
因此h(x)=xex-x-ln x-1的最小值为h(x0)=x0-x0-ln x0-1, ……………… 11分
由-=0可知=,x0==, ……………… 12分
所以h(x0)=x0·-x0-ln -1=1-x0-(-x0)-1=0,
即h(x)=xex-x-ln x-1的最小值为0, ……………… 14分
综上,h(x)=xex-x-ln x-1≥0,即xex+f≥0得证. ……………… 15分
18.(本小题满分17分)
某人工智能研发公司为了开拓新产品市场,从最新研发的经典A型和卓越A+型两款机器人中(卓越A+型是A型的优化版),随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试,测试在同等环境中进行,评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据:经典A型优秀为7台,卓越A+型优秀为20台.
(1)完成下面2×2列联表,并根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
款类 测试结果 总计
优秀 良好
A+型 20 30
A型 7 30
总计
款类 测试结果 总计
优秀 良好
A+型 20 10 30
A型 7 23 30
总计 27 33 60
【解析】(1)依题意,列出2×2列联表如下:
零假设为H0:测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得:
χ2==≈11.380>10.828=x0.001, ……………… 3分
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为测试结果与越野驾驶性能有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001. ……………… 4分
……………… 1分
(2)该公司为了进一步测试卓越A+型机器人的汉语智能性能,组织机器人队与人类队(母语为汉语)进行诗词抢答赛.每局比赛只有胜和负两种情况(无平局),每局人类战胜机器人的概率为,胜者记2分,负者记1分.每个挑战者只能挑战一局,每局胜负不受其他因素的影响.
(i)求三局比赛中,人类队累计得分X的分布列和数学期望;
X 3 4 5 6
P
【解析】(2)(i)X的所有可能取值为3,4,5,6,
P==,P=×=,
P=××=,P==. ……………… 8分(全正确得4分,每正确一个得1分)
∴X的分布列为
……………… 9分
∴数学期望E=3×+4×+5×+6×=4. ……………… 10分
(ii)若采用“比赛赛满(2n-1)局,胜方至少获得n局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为A;若采用“比赛赛满(2n+1)局,胜方至少获得局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为A,比较A与A的大小,并说明其统计意义.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
参考公式:χ2=
【解析】(ii)设“赛满2n+1局人类队获胜”为事件C,要使事件C发生,有两种情况:第一阶段赛满(2n-1)局人类队胜,记为事件A1,和第一阶段赛满(2n-1)局人类队负,记为事件A2,
∴C=A1C+A2C,P=P+P, ……………… 11分
①若第一阶段人类队胜,则人类队在前(2n-1)局至少胜n局,分为人类队至少胜(n+1)局和人类队恰好胜n局,
(a)若人类队至少胜(n+1)局,无论后面两局结果如何,最终人类队获胜; ……………… 12分
(b)若人类队恰好胜n局,且后面两局中人类队均负的概率为pn,
∴P=A-pn. ……………… 13分
②若第一阶段人类负,则人类队恰好胜了(n-1)局,而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜,
∴P=pn-1p2,
∴A=P=P+P
=A-pn+pn-1p2,
A-A=pn-1p2-pn
=pn+1-pn
=pn=×<0, ……………… 16分
∴A在人类队每局获胜概率为的条件下,局数越多,人类队获胜的概率越小. ……………… 17分
19.(本小题满分17分)
双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l1:y=x,点B(5,4)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
【解析】(1)因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,点(5,4)在C上.
所以解得a2=b2=9, ……………… 2分
所以双曲线C的方程为-=1. ……………… 3分
(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点,且该直线与双曲线的渐近线不平行,则定义该直线为双曲线的切线,该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为l,求切线l与双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积;
【解析】 (2)设点N坐标为,当点N处的切线斜率不存在时,根据对称性,取切线方程为x=3,与渐近线y=±x的交点为A(3,3),B(3,-3),此时S△AOB=×6×3=9. ……………… 5分
当切线斜率存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),
与双曲线方程联立消去y,可得x2-=9,
整理得x2+x-k2+2ky0x0--9=0,
所以1-k2≠0且Δ=-4=0,
解得k=,代入y-y0=k(x-x0),得y0y-=x0x-,
所以切线方程为x0x-y0y=9,(直接写出切线方程扣3分) ……………… 9分
又双曲线C的渐近线方程为y=±x,
因为x0x-y0y=9与y=x联立得xA=,与y=-x联立得xB=, ……………… 10分
故S△AOB====9.
综上可知,所求面积为9. ……………… 11分
(3)设点B关于l1的对称点为R,点B关于原点的对称点为B',双曲线上的动点M与B',B不重合,且动直线MB与直线OR相交于点P,动直线MB'与直线OR相交于点P'.求证:存在实数λ,使得=λ·,并求出实数λ的值.
【解析】(3)设M,依题意可得B',R,所以直线OR的方程为y=x,
①若a=5,则直线MB的方程为x=5,直线MB'的方程为y=-4,
此时点P,P',所以·=16=,
因为P,R,P',O四点共线,所以·=,
所以存在实数λ=1,使得=λ·; ……………… 12分
②若a=-5,则直线MB'的方程为x=-5,直线MB的方程为y=4,
此时点P,P',所以·=16=,
因为P,R,P',O四点共线,所以·=,
所以存在实数λ=1,使得=λ·; ……………… 13分
③若a≠5且a≠-5,kMB=,kMB'=,
直线MB的方程为y-4=,
联立方程组解得xP=, ……………… 14分
同理可得直线MB'的方程为y+4=,
联立方程组解得xP'=, ……………… 15分
因为M在双曲线上,所以a2-b2=9,
所以====-1,
所以·=16=, ……………… 16分
因为P,R,P',O四点共线,所以·=,
所以存在实数λ=1,使得=λ·. ……………… 17分名校联考联合体2026届高三年级1月联考
数学参考答案
一、二、选择题
题号
2
3
6
9
10
11
答案
D
B
B
C
C
ABC
ABD
AD
1.D【解析】由题意，U={一3，一2，一1,0》，又A={一1,0}，所以CA={一3，一2).故选：D.
2.B【解析】由之=1一2i,故之=1+2i,故选：B.
3.B【解析】因为a=(3,一1)，b=(x,1),所以a-b=(3-x,一1-1)=(1，一2)，所以x=2.故选：B.
4.C【解析】因为f(x)在R上单调递增，由f(x2+2)所以x2十2<3，所以x2-10,解得一15.C【解析】如图，正四棱雏P-ABCD中，正方形ABCD的对角线相交于点O,连接PO,
则PO⊥平面ABCD,则∠PAO为PA与底面ABCD所成角，且∠PAO=45°，
所以PO=PAsin45°=√2，且AC=2OA=2OP=2√2，所以AB=2,
所以滨四棱维的体积为V=号AB,BC,OP,故选C
6.A【解析】函数f(x)=cos(or-石）(w>0)的图象关于直线x=号对称，
所以受w一吾=km,k∈Z.得w=3k十号k∈Z因为m>0,
所以当=0时w取最小值，为2，故选：A
7.C【解析】国为A,MLMF,所以点M在以AF为直径的圆上，所以AA,边上的高为半径士时，△AAM的面积
最大，即SAw=合·2aaO=aa,e=6.
1
2
2
a(a+)
又因为-台-日即=合所以a2
=6,解得a=2√2，所以c=√2，得b=√a一=√6，故椭圆C的方程为
若+苦=1.故选，C
8.C【解析】由f(x)=
3(2-1),x∈[01，得f(x)=
3(2-1),x∈[0,1]，
-f(-x),x∈[-1,0)，
-3(2-1),x∈[-1,0)，
因为f(x十1)=f(1一x),所以函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，
因为f(x+2)=f(x-2),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[(x+2)-2]=f(x),
所以函效f(x)是以4为周期的周期函数.又函数y=f(x)在区间[一1,1]上单调递增，且值域为[一3,3]，函数y=
|1og(x十1)在区间（一1,0）上单调递减，在区间(0，十∞)上单调递增，且当x→一1时y=|1og(x十1)→+∞，
当x=0时y=log1=0.函数g(x)的零点个数，即函数y=f(x)图象与函效y=|log.(x十1)，(a>0,a≠1)图
象的交点个数，不妨设a>1,作出函数y=f(x)与y=|log(x十1)|的图象如下：
=l出11川
111213
v-fix}
因为函数g(x)=f(x)一log(x十1)|，(a>0,a≠1)共有6个零点，
数学参考答案一1
