26.1.2.2 反比例函数的图象和性质的应用- 课件（共52张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件

(共52张PPT)
人教版数学9年级下册培优备课课件
26.1.2.2 反比例函数的图象和
性质的应用
第二十六章 反比例函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月 .
学习目标
1. 会用描点法画出反比例函数的图象 .
2. 结合图象分析并掌握反比例函数的性质.
3. 体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法.
导入新知
（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？
刘翔在2004 年雅典奥运会110 m 栏比赛中以 12.91s 的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人” .如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为 t s，平均速度为v m/s .
（1）你能写出用t 表示v 的函数表达式吗
用待定系数法求反比例函数的解析式
典例精析
例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一
象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这
个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
反比例函数图象和性质的综合
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？
O
x
y
例 2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，
所以m－5＞0，解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小.
因此，当x1＞x2时，y1＜y2.
O
x
y
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格：
合作探究
反比例函数解析式中 k 的几何意义
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2) ，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1与 S2 的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系
P (－1，4)， Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q 两
点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是
S矩形 AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
B
P
A
S
点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数 的图象上，
∴ xA·yA＝k.
又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4.
∴ 反比例函数的解析式为
例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
y
D
B
A
C
x
例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___.
3
2
5
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形.
O
反比例函数与一次函数的综合
在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
合作探究
①
x
y
O
x
y
O
②
k2 < 0
b < 0
k1 < 0
k2 < 0
b > 0
③
x
y
O
k1 > 0
④
x
y
O
例 6 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
k＞0
由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0
x
提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了.
例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 .
所以 ， .
解得 ， .
1．写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数：
（1）体积是常数 V 时，圆柱的底面积 S 与高 h 的关系；
解：S = ，反比例函数关系.
（2）柳树乡共有耕地面积 S（单位：hm ），该乡人均耕地面积 y（单位：hm /人）与全乡总人口 x 的关系．
解：y = ，反比例函数关系.
2．下列函数中是反比例函数的是（ 　 ）
B
3．填空：
（1）反比例函数y = 的图象如图（1）所示，则 k 0，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 ；
（1）
>
减小
3．填空：
（2）已知反比例函数 y = 的图象如图（2）所示，则 k 0，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 ．
<
增大
（2）
3．填空：
（3）若点（1，3）在反比例函数 y = 的图象上，则 k = ，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 ．
3
减小
4．如果 y 是 x 的反比例函数，那么 x 也是 y 的反比例函数吗？
解：是.
5. 正比例函数 y = x 的图象与反比例函数 y = 的图象有一个交点的纵坐标是 2．
（1）当 x = -3 时，求反比例函数 y = 的值；
解：在 y = x 中，当 y = 2 时，x = 2，则交点坐标是（2，2）. 把（2，2）代入 y = ，得 k = 4.
∴当 x = -3 时，y = .
5. 正比例函数 y = x 的图象与反比例函数 y = 的图象有一个交点的纵坐标是 2．
（2）当 -3＜x＜-1 时，求反比例函数 y = 的取值范围．
解：当 x = -3 时，y = ；当 x = -1 时，y = -4.
则当 -3＜x＜-1 时，y 的取值范围是 -4＜y＜ .
6. 如果 y 是 z 的反比例函数，z 是 x 的反比例函数，那么 y 与 x 具有怎样的函数关系？
解：y 与 x 具有正比例函数的关系.
7. 如果 y 是 z 的反比例函数，z 是 x 的正比例函数，且 x ≠ 0，那么 y 与 x 具有怎样的函数关系？
解：y 与 x 具有反比例函数的关系.
8. 在同一直角坐标系中，函数 y = kx 与 y = (k ≠ 0) 的图象大致是 （　　）
（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C）(2)(4) （D）(3)(4)
C
(1)
(2)
(3)
(4)
9. 已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限．
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数 w 的取值范围是什么？
解：图象的另一支位于第三象限，常数w的取值范围是 w > .
9. 已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限．
（2）在这个函数图象上任取点 和
. 如果 ＞ ，那么 与 有怎样的大小关系？
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A
1.
若反比例函数的图象经过点(3，5)，则反比例函数的解析式是(　　)
返回
2.
A
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3.
6
返回
4.
B
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5.
C
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6.
2.5
返回
7.
(－1，－1)
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8.
C
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9.
C
A．x＜－1或x＞1
B．x＜－1或0＜x＜1
C．－1＜x＜0或x＞1
D．－1＜x＜0或0＜x＜1
10.
(2)过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，求点B的坐标，并直接写出△ABC的面积.
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11.
C
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12.
C
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13.
(2，1)
14.
(1)反比例函数的解析式为________，一次函数的解析式为________；
解：x≤－4或0＜x≤2.
(2)观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
(3)点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标.
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