27.2.1.3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似- 课件（共30张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件

(共30张PPT)
人教版数学9年级下册培优备课课件
27.2.1.3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
第二十七章 相似
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月 .
利用刻度尺和量角器画 △ABC 和 △A′B′C′，使
∠A =∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，它
们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个
角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC.
又 ∠A′ = ∠A，
∴ △A′DE≌△ABC.
∴ △A′B′C′∽△ABC.
∵ A′D = AB， ，
∴
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ，∠A =∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
返回
A
1.
A．一定相似
B．一定不相似
C．不一定相似
D．无法判断是否相似
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2.
A
△ABC的三边长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(　　)
对于△ABC和 △A′B′C′，如果
∠C = ∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
不一定，如下图，因为不能证明构造出来的三角形一定和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似.
典例精析
例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm，
∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm．
解：∵ ， ，
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
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3.
C
已知△ABC的三边长分别为12，15，18，△DEF的一边长为4，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似？(　　)
A．2，3
B．4，5
C．5，6
D．6，7
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4.
(4分)如图，网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF相似吗？
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，
∴ AD = AE，AB = AC．
∴
又 ∵∠DAB =∠CAE，
∴∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，
即∠DAE =∠BAC．∴△ABC∽△ADE．
A
B
C
D
E
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5.
C
如图，已知△ABC，则下列三角形中，与△ABC相似的是(　　)
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6.
B
[教材P34练习T2(2)变式]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA:OC＝OB:OD，则下列结论一定正确的是(　　)
A．①和②相似
B．①和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
解：∵ AE = 1.5，AC = 2，
A
C
B
E
D
例3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
∴
又∵∠EAD =∠CAB，
∴ △ADE∽△ABC．
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
证明：∵ CD 是边 AB 上的高，
∴∠ADC =∠CDB = 90°.
∴△ADC∽△CDB. ∴∠ACD =∠B.
∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且
，求证：∠ACB = 90°．
A
B
C
D
∵ ，
方法总结：解题时需注意挖掘隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为 90° 角等.
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7.
A
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC∽△AED，还需满足下列条件中的(　　)
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8.
△ADC和△ACB
[教材P44习题T13变式]如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD·AB，则一定相似的两个三角形是____________.
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9.
(4分)[2024广州中考]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.
求证：△ABE∽△ECF.
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10.
D
在三角形纸片ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　　)
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11.
B
在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　)
A．①处 B．②处
C．③处 D．④处
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12.
45°
如图，用边长均为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2的度数为______.
13.
(2)连接EC，求证：△ABD∽△ACE.
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14.
(8分)如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4.
(1)求证：△ACP∽△PDB；
解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠B.
∵∠A＋∠APC＝∠PCD＝60°，
∴∠A＋∠B＝60°，
∴∠APB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－60°＝120°.
(2)求∠APB的度数.
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15.
(8分) 如图，A，B两点的坐标分别为A(10，0)，B(4，3)，点P，Q同时出发做匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动．设从出发起，运动了t秒，
使得以O，P，Q为顶点的三角形
与△OAB相似，求出此时t的值.
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两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
B
A
C
B'
A'
C'