27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似- 课件（共33张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件

(共33张PPT)
人教版数学9年级下册培优备课课件
27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似
第二十七章 相似
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月 .
学习目标
掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理.
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
导入新知
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题：
这两个三角形是相似的！
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E，
则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′．
∵∠B =∠B′，
∴∠A′DE =∠B．
又∵ A′D = AB，∠A =∠A′，
∴△A′DE ≌△ABC（ASA）．
∴△ABC∽△A′B′C′．
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′.
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵∠A =∠A'，∠B =∠B'，
∴△ABC∽△A'B'C'.
符号语言：
归纳：
C
A
B
A'
B'
C'
在△ABC 和△A'B'C' 中，
证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，
∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°．
在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°，
∴∠B =∠E，∠C =∠F．
∴△ABC∽△DEF．
例 1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF．
A
C
B
F
E
D
典例精析
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55
1.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝50°，∠B＝75°，∠A′＝50°，则当∠C′＝________°时，△ABC∽△A′B′C′.
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2.
∠ADE＝∠C
(答案不唯一)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________．(写出一种情况即可)
例 2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB = PC · PD．
证明：连接 AC，DB．
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A = _______．
同理 ∠C = _______，
∴ △PAC ∽ △PDB.
∴__________， 即 PA · PB = PC · PD.
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
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3.
3
如图，AD，BC相交于点P，连接AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝6，CP＝4，DP＝2，则BD的长为________.
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4.
B
[教材P36练习T1变式]下列各组三角形中，可能不相似的是(　　)
A．底角为40°的两个等腰三角形
B．有一个角是45°的两个等腰三角形
C．有一个角是60°的两个等腰三角形
D．有一个角为120°的两个等腰三角形
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°.
判定两个直角三角形相似
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
D
A
B
C
E
∴
又∠C = 90°，∠A =∠A，
∴△AED ∽△ABC.
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
归纳：
对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考：
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = 90°，
∠C′ = 90°， ．求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
要得到两个三角形相似，需要证明
什么呢？
目标：证
C
A
A'
B
B'
C'
证明：设 = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′.
由 ，得 ，
∴ .
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
__________
________________
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
归纳：
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5.
证明：∵∠DEC＝∠ADB，
∠DEC＋∠AED＝∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠AED＝∠ADC.
∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC.
(4分) 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC＝∠ADB.求证：△AED∽△ADC.
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6.
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠DBC.
又∵∠AEB＝∠C，∴△ABE∽△DBC.
(4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，点E在对角线BD上，连接AE，∠AEB＝∠C.求证：△ABE∽△DBC.
例 4 如图，已知∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB = 时，△ABC 与 △ACD 相似．
【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论．
C
A
B
D
2
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，
AC : AD = AB : AC，
即 : 2 =AB : ，
解得 AB = 3；
∴
(2) 当 Rt△ABC ∽ Rt△CAD 时，
AC : CD ＝ AB : AC，即 : = AB : ，
解得 AB = ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
C
A
B
D
2
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7.
D
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是(　　)
A．∠A＝65°，∠D＝25°
B．AC＝3，BC＝4，DF＝6，EF＝8
C．AC＝9，BC＝12，DF＝12，EF＝16
D．AB＝12，BC＝8，DE＝35，EF＝21
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8.
3
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9.
(4分)[教材P36练习T2变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且CD⊥AB.
求证：AC2＝AB·AD.
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10.
D
[2025河北中考]如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　　)
A．∠B＋∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
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11.
C
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，请用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD与△ABC相似．下面是四种不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是(　　)
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12.
B
如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的是(　　)
A．△BFA B．△BAE
C．△BEC D．△AEF
13.
解：如图，直线l即为所求．
(8分)[2025廊坊一模]如图，量角器放置在矩形纸面中，AB为其直径，点O为其圆心，点C，D对应的刻度分别为30°和60°，连接OC，OD，BD.
(1)尺规作图：求作线段OA的垂直平分线l，直线l与OA交于点E，与OC交于点F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)连接AF，求证：△AFO∽△BOD.
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14.
70°
(12分) 在等边三角形ABC和等边三角形DMN中，点D为AB边的中点，DM，DN分别交AC，BC于点E，F，连接EF.
(1)如图①，若∠ADM＝70°，则∠DFB的度数为________(直接写出结果)；
证明：∵△ABC和△DMN为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠EDF＝60°，
∵∠BDE＝∠A＋∠AED＝∠EDF＋∠BDF，
∴∠AED＝∠BDF，
又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BFD.
(2)如图①，若∠ADE为任意锐角，证明：△ADE∽△BFD；
解：仍成立．
(3)若将△DMN绕点D顺时针旋转，如图②所示，DM与AC的延长线交于点E，其他条件不变，则(2)中的结论是否仍成立？请直接写出结论无需证明.
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两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
C
A
B
A'
B'
C'