28.1.1正弦函数- 课件（共36张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件

(共36张PPT)
人教版数学9年级下册培优备课课件
28.1.1正弦函数
第二十八章 锐角三角函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月 .
学习目标
经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实.
理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法.
会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长.
鞋跟多高合适
美国人体工程研究学人员调查发现，
当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左
右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到
脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？
11
导入新知
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使
出水口的高度达到
35 m，需要准备多
长的水管？
情境引入
30°
已知直角三角形的边长求正弦值
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
A
B
C
30°
35 m

合作探究
A
B
C
30°
35 m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的
边等于斜边的一半”，可知
∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m).
故需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？
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B
1.
[2025广西中考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，
AC＝3，则sin B＝(　　)
返回
2.
A
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则sin C的值为(　　)
在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC，
由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，
思考1：
所以 ，
因此
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
思考2：
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
归纳：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即
例如，当∠A＝30° 时，我们有
当∠A＝45° 时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
归纳：
∠A的对边
斜边
sin A =
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3.
A
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠A的正弦值为(　　)
返回
4.
如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，其顶点B的坐标为(－1，0)，则sin B的值是________.
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和
sinB 的值.
A
B
C
4
3
图①
？
A
B
C
13
5
图②
？
典例精析
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
A
B
C
4
3
图①
？
A
B
C
13
5
图②
？
返回
5.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是______.
6.
(4分)[教材P64练习T1变式]分别求出图①、图②中∠A，∠B的正弦值.
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例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
A (3，0)
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
因此
α
已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
解：∵∠C = 90°， ，∴ ，
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
∴
∴
∴
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7.
(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，求sin A和sin B的值.
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
返回
8.
12
返回
9.
6
返回
10.
返回
11.
C
如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值(　　)
A．扩大到原来的3倍
B．扩大到原来的6倍
C．没有变化
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12.
D
返回
13.
D
如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为(　　)
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14.
四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则sin α的值为________.
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15.
16.
(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点，若∠ADC＝45°，BD＝2DC.
(1)求sin∠ABC的值；
(2)求sin∠BAD的值.
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正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =