28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形- 课件（共30张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件
文档属性
| 名称 | 28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形- 课件（共30张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-08 21:28:47 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
人教版数学9年级下册培优备课课件
28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月 .
解与方向角有关的问题
典例精析
例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)
= 80×cos25°
≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile.
65°
34°
P
B
C
A
1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）c = 8，∠A = 30°；
（2）b = 7，∠A = 15°；
（3）a = 5，b = 12.
解:（1）∠B = 60°，a = 4，b = 4 ；
（2）∠B = 75°，a ≈ 1.9，c ≈ 7.2；
（3）c = 13，∠A ≈ 22.62°，∠B ≈ 67.38°.
2．如图，厂房屋顶的人字架 (等腰三角形) 的跨度 BC = 10 m，∠B = 36°，求中柱 AD (D 为底边中点) 和上弦 AB 的长 (结果保留小数点后一位).
解：∵ BC = 10 m，D 为底边中点，
∴ BD = 5 m，AD⊥BC.
在 Rt△ABD 中，∠B = 36°，
∴ AD = BD·tanB = 5tan36° ≈ 3.6 (m)，
AB = = ≈ 6.2 (m).
例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续
向东航行，有没有触礁的危险？
解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，
则 AF 的长是 A 到 BC 上所有
点中的最短距离.
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∵ BD∥CE∥AF，
∴ AF = AC · cos30° = 6
≈ 10.392 ＞ 8，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC，
∴ BC = AC = 12 海里．
3．如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC = 1200 m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 α = 16°31′．求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数）．
解：由题意知∠B = α = 16°31′，
在 Rt△ABD 中，AC = 1200 m，
∴ AB = = ≈ 4221 (m).
答：飞机 A 与指挥台 B 的距离约为 4221 m.
解与坡度有关的问题
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？
A
B
C
观察与思考
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
α
l
h
i = h∶l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的
比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l .
坡面
水平面
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
4．从高出海平面 55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 21°，此时帆船距灯塔多远（结果取整数）？
解：如图，由题意知∠B =∠BAD = 21°，AC = 55 m.
在 Rt△ABC 中，BC = =
≈ 143（m）．
答：此时帆船距灯塔约 143 m.
5. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 5.5 m. 测得斜坡的倾斜角是 24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离
（结果保留小数点后一位）．
解：如图，由题意得 AC = 5.5 m，∠A = 24°，则 AB = AC÷cosA = 5.5÷cos24° ≈ 6.0 (m)．
答：相邻两树间的坡面距离约为 6.0 m．
例 3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A
出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的
坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到
0.01°，长度精确到 0.1 m）？
i = 1:2
典例精析
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A ≈ 26.57°，
AC = 240 m，
解：
用 α 表示坡角的大小，由题意可得
因此 α ≈ 26.57°.
答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升
了约 107.3 m.
从而 BC ≈ 240 sin26.57° ≈ 107.3 (m)．
因此
例 4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
解： 斜坡 CD 的坡度 i = tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可求得 α ≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F.
在 Rt△ABE 中，
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m).
E
F
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m.
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在 Rt△DCF 中，
故坝底 AD 的长度为
132.5 m，斜坡 AB 的
长度为 72.7 m.
6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（1）已知∠A，c，写出解 Rt△ABC 的过程；
解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 a = c·sinA，b = c·cosA．
6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（2）已知∠A，a，写出解 Rt△ABC 的过程；
解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 c = ，b =
6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（3）已知 a，c，写出解 Rt△ABC 的过程.
解：由勾股定理，得 b = . 由锐角三角函数的定义，得 sinA = . 求得∠A 的度数之后，由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° -∠A.
7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为 130 m 的正方形，且每一个侧面与地面成 65° 角，这座金字
塔原来有多高 (结果取整数)？
解： ×130 tan65° ≈ 139 (m).
答：这座金字塔原来约有 139 m 高.
8．如图，一枚运载火箭从地面 L 处发射. 当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达站测得 AR 的距离是 6 km，仰角为 43°；1 s 后火箭到达 B 点，此时测得仰角为 45.54°.
这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是
多少 (结果取小数点后两位)
解：在 Rt△ALR 中，AL = 6×sin43°，LR = 6×cos43°.
在 Rt△BLR 中，BL = LR · tan45.54° = 6×cos43°· tan45.54°.
∴ AB = BL - AL = 6×cos43°· tan45.54° - 6×sin43° ≈ 0.38 (km).
0.38÷1 = 0.38 (km/s).
答：这枚火箭从 A 到 B 的平均
速度是 0.38 km/s.
9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）.
解：如图，在 Rt△ABC 中，BC : AC = 1 : 1.5， ∴ AC = 1.5 BC = 1.5×5 = 7.5 (m). 由勾股定理
C
9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）.
C
得 AB = = ≈ 9 (m).
答：斜坡 AB 的长度约为 9 m.
返回
A
1.
如图，小宇为了测量某河流的宽度，他在河岸边相距200米的P，Q两点分别测量对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽(PT的长)为( )
返回
2.
137
[教材P77练习T1变式]如图，小晨为了测量宿舍楼与食堂的距离，在宿舍楼A处测得食堂B位于北偏东60°方向，他向南走50 m到达D点，测得食堂B位于北偏东45°方向，则宿舍楼与食堂之间的距离AB约为________m．
返回
3.
14
如图，点A在点B北偏东30°方向上，且A，B之间的距离为100 m，已知点C在点B的西北方向，在点A的正西方向，则点A，B到点C的距离差约为________m．
解直角三角形的应用
坡度问题
方向角问题
坡角
坡度(或坡比)
人教版数学9年级下册培优备课课件
28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月 .
解与方向角有关的问题
典例精析
例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)
= 80×cos25°
≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile.
65°
34°
P
B
C
A
1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）c = 8，∠A = 30°；
（2）b = 7，∠A = 15°；
（3）a = 5，b = 12.
解:（1）∠B = 60°，a = 4，b = 4 ；
（2）∠B = 75°，a ≈ 1.9，c ≈ 7.2；
（3）c = 13，∠A ≈ 22.62°，∠B ≈ 67.38°.
2．如图，厂房屋顶的人字架 (等腰三角形) 的跨度 BC = 10 m，∠B = 36°，求中柱 AD (D 为底边中点) 和上弦 AB 的长 (结果保留小数点后一位).
解：∵ BC = 10 m，D 为底边中点，
∴ BD = 5 m，AD⊥BC.
在 Rt△ABD 中，∠B = 36°，
∴ AD = BD·tanB = 5tan36° ≈ 3.6 (m)，
AB = = ≈ 6.2 (m).
例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续
向东航行，有没有触礁的危险？
解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，
则 AF 的长是 A 到 BC 上所有
点中的最短距离.
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∵ BD∥CE∥AF，
∴ AF = AC · cos30° = 6
≈ 10.392 ＞ 8，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC，
∴ BC = AC = 12 海里．
3．如图，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC = 1200 m，从飞机上看地平面指挥台 B 的俯角 α = 16°31′．求飞机 A 与指挥台 B 的距离（结果取整数）．
解：由题意知∠B = α = 16°31′，
在 Rt△ABD 中，AC = 1200 m，
∴ AB = = ≈ 4221 (m).
答：飞机 A 与指挥台 B 的距离约为 4221 m.
解与坡度有关的问题
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？
A
B
C
观察与思考
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
α
l
h
i = h∶l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的
比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l .
坡面
水平面
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
4．从高出海平面 55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 21°，此时帆船距灯塔多远（结果取整数）？
解：如图，由题意知∠B =∠BAD = 21°，AC = 55 m.
在 Rt△ABC 中，BC = =
≈ 143（m）．
答：此时帆船距灯塔约 143 m.
5. 如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 5.5 m. 测得斜坡的倾斜角是 24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离
（结果保留小数点后一位）．
解：如图，由题意得 AC = 5.5 m，∠A = 24°，则 AB = AC÷cosA = 5.5÷cos24° ≈ 6.0 (m)．
答：相邻两树间的坡面距离约为 6.0 m．
例 3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A
出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的
坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到
0.01°，长度精确到 0.1 m）？
i = 1:2
典例精析
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A ≈ 26.57°，
AC = 240 m，
解：
用 α 表示坡角的大小，由题意可得
因此 α ≈ 26.57°.
答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升
了约 107.3 m.
从而 BC ≈ 240 sin26.57° ≈ 107.3 (m)．
因此
例 4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
解： 斜坡 CD 的坡度 i = tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可求得 α ≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F.
在 Rt△ABE 中，
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m).
E
F
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m.
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在 Rt△DCF 中，
故坝底 AD 的长度为
132.5 m，斜坡 AB 的
长度为 72.7 m.
6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（1）已知∠A，c，写出解 Rt△ABC 的过程；
解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 a = c·sinA，b = c·cosA．
6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（2）已知∠A，a，写出解 Rt△ABC 的过程；
解：由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° - ∠A. 由锐角三角函数的定义得 c = ，b =
6．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（3）已知 a，c，写出解 Rt△ABC 的过程.
解：由勾股定理，得 b = . 由锐角三角函数的定义，得 sinA = . 求得∠A 的度数之后，由直角三角形的两锐角互余，得∠B = 90° -∠A.
7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为 130 m 的正方形，且每一个侧面与地面成 65° 角，这座金字
塔原来有多高 (结果取整数)？
解： ×130 tan65° ≈ 139 (m).
答：这座金字塔原来约有 139 m 高.
8．如图，一枚运载火箭从地面 L 处发射. 当火箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达站测得 AR 的距离是 6 km，仰角为 43°；1 s 后火箭到达 B 点，此时测得仰角为 45.54°.
这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是
多少 (结果取小数点后两位)
解：在 Rt△ALR 中，AL = 6×sin43°，LR = 6×cos43°.
在 Rt△BLR 中，BL = LR · tan45.54° = 6×cos43°· tan45.54°.
∴ AB = BL - AL = 6×cos43°· tan45.54° - 6×sin43° ≈ 0.38 (km).
0.38÷1 = 0.38 (km/s).
答：这枚火箭从 A 到 B 的平均
速度是 0.38 km/s.
9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）.
解：如图，在 Rt△ABC 中，BC : AC = 1 : 1.5， ∴ AC = 1.5 BC = 1.5×5 = 7.5 (m). 由勾股定理
C
9．为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥. 已知天桥的斜面坡度为 1 : 1.5，计算斜坡 AB 的长度（结果取整数）.
C
得 AB = = ≈ 9 (m).
答：斜坡 AB 的长度约为 9 m.
返回
A
1.
如图，小宇为了测量某河流的宽度，他在河岸边相距200米的P，Q两点分别测量对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西50°方向，则河宽(PT的长)为( )
返回
2.
137
[教材P77练习T1变式]如图，小晨为了测量宿舍楼与食堂的距离，在宿舍楼A处测得食堂B位于北偏东60°方向，他向南走50 m到达D点，测得食堂B位于北偏东45°方向，则宿舍楼与食堂之间的距离AB约为________m．
返回
3.
14
如图，点A在点B北偏东30°方向上，且A，B之间的距离为100 m，已知点C在点B的西北方向，在点A的正西方向，则点A，B到点C的距离差约为________m．
解直角三角形的应用
坡度问题
方向角问题
坡角
坡度(或坡比)