第二十八章 锐角三角函数【章末复习】- 课件（共46张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件

(共46张PPT)
人教版数学9年级下册培优备课课件
章末复习
第二十八章 锐角三角函数
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月07 .
(2)∠A 的余弦：cosA =　　　　　 = 　 ；
(3)∠A 的正切：tanA = 　　　　　 = 　 .
1. 锐角三角函数的定义
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
(1)∠A 的正弦：
∠A 的对边
斜边
sin A =
∠A 的邻边
斜边
∠A 的邻边
∠A 的对边
sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　；
cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　；
tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　.
2. 特殊角的三角函数
1
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，
∠B，∠C 的对边．
三边关系：___________；
两锐角关系：________________；
边角关系：sinA＝cosB＝___，cosA＝sinB＝___，
tanA＝______，tanB＝_____，sin2A + cos2A = .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B　
3. 解直角三角形
1
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素.
解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求
出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两
边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或
勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另
一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问
题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = ____________，
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果.
(不同计算器操作可能不同)
第一步：按计算器上的 键；
sin
tan
cos
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键；
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
第一步：按计算器 键；
°＇″
2nd F
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，
则有 i = tan α.
坡度通常写成 1∶m 的形式，如
i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α
就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比
叫做坡面坡度.记作 i，即 i = .
(3) 坡度、坡角
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
A
C
M
N
①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α；
E
②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l；
③量出测倾器的高度 AC = a，可求出
MN = ME + EN = l · tanα + a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
β
③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距
离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 2，c = 6，求 sinA，cosA 和 tanA 的值．
解：由勾股定理得 b = = = 4 ，
∴ sinA = = = ，cosA = = = ，
tanA = = = .
2．在△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，AC = 4 ，求 BC 的长．
解：由 cosA = ，得∠A = 30°.
∴ tan A = = .
∴ BC = AC = ×4 = 4.
3．求下列各式的值：
（1） cos45° - tan45°；
（2） sin60° + tan60° - 2cos230°．
解:（1）原式 = × - 1 = 1 - 1 = 0.
（2）原式 = × + - 2×
= + - = .
4．用计算器求下列各式的值：
（1）cos76°39′ + sin17°52′；
（2）sin57°18′ - tan22°30′；
（3）tan83°6′ - cos4°59′；
（4）tan12°30′ - sin15°.
解:（1）原式 ≈ 0.5377.（2）原式 ≈ 0.4273.
（3）原式 ≈ 7.2673.（4）原式 ≈ -0.0371.
5．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 A 的度数：
（1）cosA = 0.7651； （2）sinA = 0.9343；
（3）tanA = 35.26； （4）tanA = 0.707．
解:（1）∠A ≈ 40.08°.
（2）∠A ≈ 69.12°.
（3）∠A ≈ 88.38°.
（4）∠A ≈ 35.26°.
6．等腰三角形的底角是 30°，腰长为 2 ，求它的周长．
解：由题意知该等腰三角形的底边长为 2×2 ×cos30° = 6，故其周长为 2×2 + 6 = 4 + 6.
7．从一艘船上测得海岸上高为 42 m 的灯塔顶部的仰角为 33° 时，船离海岸多远（结果取整数）？
解： ≈ 65．
答：船离海岸约 65 m．
8．如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 32.6 m，从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 35°12′，测得 C 点的俯角 β 为 43°24′，求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．
解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，则四边形 BCDE 为矩形.
则 DE = BC = 32.6，CD = BE，∠ADE = 35°12′，∠ACB = 43°24′.
E
在 Rt△ABC 中，AB = BC·tan∠ACB = 32.6×tan43°24′ ≈ 30.8（m）.
在 Rt△ADE 中，AE = DE·tan∠ADE = 32.6×tan35°12′ ≈ 23.0（m）.
∴ CD = BE = AB - AE
≈ 30.8 - 23.0 = 7.8（m）.
答：两座建筑物的高度分别
约为 30.8 m 和 7.8 m．
E
9．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AC，BD 和 AB 的长度（结果保留小数点后两位）.
E
F
解：如图，在 Rt△ACE 中，
AC = = ≈ 7.07 (m).
在 Rt△BDF 中，BD =
= ≈ 5.77 (m)，
9．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AC，BD 和 AB 的长度（结果保留小数点后两位）.
∴ BF = BD ≈ 2.89，
∴ AB = BE - AE = EF + BF - AE ≈ 3.40 + 2.89 - 5.00 = 1.29 (m)．
答：AC，BD 和 AB 的长度分别约为 7.07 m，5.77 m，1.29 m．
E
F
10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°. 现有一架长 6 m 的梯子.
（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？
解：6sin75° ≈ 5.8（m）．
答：使用这架梯子最高可以安全攀上约 5.8 m 高的墙.
10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°. 现有一架长 6 m 的梯子.
（2）当梯子底端离墙面 2.4 m 时，α 等于多少度（结果取整数）？此时人是否能够
安全使用这架梯子？
解：令 cosα = 2.4÷6 = 0.4，则 α ≈
66°，满足 50°≤α≤75°．
答：α 约等于 66°，此时人能够安全使用这架梯子.
11．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处. 已知折痕 AE = 5 cm，且 tan∠EFC = .
（1）△AFB 与△FEC 有什么关系？
解：△AFB∽△FEC（两个角分别相等的两个三角形相似）.
11．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处. 已知折痕 AE = 5 cm，且 tan∠EFC = .
（2）求矩形 ABCD 的周长.
解：在 Rt△EFC 中，tan∠EFC =
= . 设 CE = 3a，则 CF = 4a，EF =
5a. 由折叠可知 DE = EF = 5a. ∴ AB = CD = CE + DE = 8a. 由△AFB∽△FEC，得 = ，
即 ，∴ AF = 10a.
在 Rt△AEF 中，AF2 + EF2 = AE2，
∴ (10a)2 + (5a)2 = (5 )2，
解得 a = 1．
∴ AD = AF = 10，AB = 8.
∴ 矩形 ABCD 的周长为 2×(10 + 8) = 36 (m).
12．□ABCD 中，已知 AB，BC 及其夹角∠B (∠B 是锐角)，能求出□ABCD 的面积 S 吗？如果能，用 AB，BC 及其夹角∠B 表示 S.
解：能求出□ABCD 的面积，
如图，作 AE⊥BC 于 E，
则 AE = AB sinB．
∴ S = BC AE = BC AB sinB．
13．已知圆的半径为 R.
（1）求这个圆的内接正 n 边形的周长和面积；
解：周长为 2nRsin ，面积为 ．
13．已知圆的半径为 R.
（2）利用（1）的结果填写下表：
观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长（面积）有怎样的变化趋势？与圆的周长（面积）进行比较，你能得出什么结论？
内接正 n 边形 正六边形 正十二边形 正二十四边形 …
周长
面积
6R
24Rsin15°
48Rsin7.5°
R2
3R2
12R2sin15°
答：随着圆内接正多边形边数的增加，其周长和面积也在增大，并分别逐渐接近圆的周长 2πR 和面积 πR2．
14．如图，在锐角△ABC 中，探究
， ， 之间的关系.（提示：分别作 AB 和 BC 边上的高.）
D
E
解：作△ABC 的高 AD 和 CE.
在 Rt△ACE 中，CE = AC sin∠CAE = bsinA．
在 Rt△BCE 中，CE = BC sin∠B = asinB．
∴ bsinA = asinB．∴ = ．
同理可得 = ，∴ = = ．
返回
D
1.
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列选项正确的是(　　)
返回
2.
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tan A的值为(　　)
A
返回
3.
返回
4.
返回
5.
下列三角函数值是有理数的是(　　)
A．sin 45°
B．cos 30°
C．tan 60°
D．tan 45°
D
返回
6.
点M(－sin 60°，cos 60°)关于原点对称的点的坐标是(　　)
B
返回
7.
D
返回
8.
(2)tan 30°tan 60°＋cos230°－sin2 45°tan 45°.
返回
9.
A
锐角三角函数的定义
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单的实际问题
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
锐角关系
边角关系
仰、俯角问题
方向角问题
坡度、坡角问题