第二十七章 相似【章末复习】- 课件（共34张PPT）-2025-2026学年人教版九年级数学下册培优备课课件

(共34张PPT)
人教版数学9年级下册培优备课课件
章末复习
第二十七章 相似
授课教师： .
班 级： .
时 间：2026年01月 .
(1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
1. 图形的相似
形状相同，大小不计
各对应角相等、各对应边成比例.
通过定义
平行于三角形一边的直线截三角形
三边成比例
两边成比例且夹角相等
两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
(三个角分别相等，三条边成比例)
2. 相似三角形的判定
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
3. 相似三角形的性质
(1) 测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
(不能直接测量的两点间的距离)
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距
4. 相似三角形的应用
(1) 如果两个图形不仅相似，而且所有对应点的
连线都相交于同一点，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时
的相似比也称为位似比)
5. 位似
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在
一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
G
C
E
D
F
●P
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
C
D
E
F
G
A′
B′
G′
E′
D′
F′
●P
C′
位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k.
1. 如图，已知四边形 EFGH 相似于四边形 KLMN，求∠E，∠G，∠N 的度数以及 x，y，z 的值．
解：由题意得
∠E =∠K = 67°，
∠G =∠M = 107°，
∠F =∠L = 143°，
则∠N = 360°-∠K-∠L-∠M = 43°.
由相似得
解得 x = 14，y = 15，z = 25．
2．△ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，求△DEF 的其他两条边长和周长．
解：设△DEF 的其他两条边长分别为 x 和 y，根据题意知 ，解得 x = 36，y = 39.
15 + 36 + 39 = 90.
答：△DEF 的其他两条边长分别为 36 和 39，周长为 90.
3．根据下图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出 x 和 y 的值．
解:（1）由∠1 =∠2，∠G =∠I = 90°，可知△FGH∽△JIH.
∴ ，
解得 x = 4，y = 10.
（1）
3．根据下图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出 x 和 y 的值．
解:（2）由∠FHK =∠GHJ = 90°，可得∠FHG =∠JHK.
又 ，即 ，
∴ △FGH∽△JKH.
∴ x = 124， ，
解得 y = 33.
（2）
4. 李华要在报纸上刊登广告，一块 10 cm×5 cm 的长方形版面要付 180 元的广告费. 如果他要把版面的边长扩大为原来的 3 倍，要付多少广告费（假设每平方厘米版面的广告费相同）？
解：10×5 = 50，由题意知每 50 cm 版面要付 180 元广告费. 若把版面边长扩大为原来的 3 倍，则面积为 3×10×3×5 = 9×50，即面积扩大了 9 倍，故要付广告费 9×180 = 1620（元）.
5．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为 2 : 1．
解：如图所示（答案不唯一）.
6．某同学的座位到黑板的距离是 6 m，老师在黑板上要写多大的字，才能使这名同学看黑板时，与他看相距 30 cm 的教科书上的字感觉相同（教科书上的小四号字大小约为 0.42 cm×0.42 cm）？
解：设老师在黑板上写的字的边长为 x cm，依题意得 ，解得 x = 8.4.
答：老师在黑板上要写 8.4 cm×8.4 cm 的字.
7．如图，已知零件的外径为 a，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等）测量零件的内孔直径 AB，如果 OA : OC = OB : OD = n，且量得 CD = b，求 AB 以及零件厚度 x.
解：∵OA : OC = OB : OD，∠AOB =∠COD，∴△ABO∽△CDO.
∴ AB : CD = OA : OC = n.
∴AB = nCD = bn.
∴厚度 x = （a - AB）= （a - bn）．
8．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD⊥AB，垂足为 P，求证 PC = PA·PB.
证明：连接 AC，BD.
则∠A =∠D，∠C =∠B.
∴△APC∽△DPB．
∴ ，即 CP DP = AP BP．
∵ AB 是直径，CD⊥AB，∴ DP = CP．
∴ PC = PA PB．
9．如图，AD⊥BC，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为 E，AD 与 BE 相交于点 F，连接 ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
解：△ACD∽△BCE（答案不唯一）.
理由如下：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC =∠BEC = 90°.
∴∠CAD =∠CBE.
又∵∠C =∠C，
∴△ACD∽△BCE．
10．如图，△ABC 的三条边与△A′B′C′ 的三条边满足 A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，且 OB = 3OB′．△ABC 的面积与△A′B′C′ 的面积之间有什么关系？
解：由题意知△A′B′C′ 和△ABC 是位似图形，且位似比为 1 : 3，
∴ S△A′B′C′ : S△ABC = 1 : 9.
∴ S△ABC = 9S△A′B′C′．
11．如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
解：∵ 四边形 EGHF 为正方形，
∴ BC∥EF，∴△AEF∽△ABC.
设正方形零件的边长为 x mm，则KD = EF = x，AK = 80 - x.
∵ EF∥BC，
∴ .
∴ .
解得 x = 48．
答：正方形零件的边长为 48 mm.
12．如图，为了求出海岛上的山峰 AB 的高度，在 D 处和 F 处树立标杆 CD 和 EF，标杆的高都是3丈，D，F 两处相隔 1000 步（1 丈 = 10 尺，1 步 = 6 尺），并且 AB，CD 和 EF 在同一平面内．从标杆 CD 后退 123 步的 G 处，可以看到顶峰 A 和标杆顶端 C 在一条直线上；从标杆 EF 后退 127 步的 H 处，可以看到顶峰 A 和标杆顶端 E 在一条直线上. 求山峰的高度 AB
及它和标杆 CD 的水平距离 BD 各是多
少步？(提示：连接 EC 并延长交 AB 于
点 K，用含 AK 的式子表示 KC 和 KE.)
解：∵ AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴ AB∥CD∥EF.∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH.
∴ ， .
∵ CD = EF = 3 丈 = 5 步，DG = 123步，FH = 127步，
∴ .
解得 BD = 30750 步，AB = 1255 步.
答：山峰 AB 的高度及它和标杆 CD 的
水平距离 BD 各是 1255 步，30750 步．
返回
D
1.
下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是(　　)
返回
2.
如图，把矩形ABCD对折再展开，折痕为MN，若矩形DMNC和矩形ABCD相似，则它们的相似比为(　　)
A
返回
3.
如图，AB∥CD∥EF，DE＝2AE，BC＝9，则CF的长为(　　)
A．6
B．8
C．9
D．10
A
返回
4.
B
返回
5.
[2025保定模拟]如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________.
6
返回
6.
[2024湖南中考]如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是(　　)
A．DE∥BC
B．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DE
D
返回
7.
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，则不一定能判定△ABC∽△EDC的条件是(　　)
A．∠CDE＝∠B
B．∠DEC＝∠A
D
8.
[2025东营中考]如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC的中点，点E在AB上，当AE为 ________时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似.
返回
9.
[2025唐山期末]如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G，作射线AG，交BC边于点H.已知BC＝10，CH＝8，则AB＝________.
返回
相似
相似图形
位似
相似多边形
相似三角形
性质
平面直角坐标系中的位似
应用
性质
判定
平行线分线段成比例
定义
定义、判定、性质