2025-2026学年广东省深圳市高三期末自编模拟题数学试题（二）（含答案）

2025-2026学年广东省深圳市高三期末自编模拟题数学试题（二）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题）
1．满足等式{0，1}∪X＝{x∈R|x3＝x}的集合X共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．某学校为了拓展学生的国际视野，培养学生的创新精神，让学生学有动力，学有信心，举办了英语手抄报比赛为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，得到如图所示的频率分布直方图，则估计考生成绩的第70百分位数为（ ）
A．74 B．75 C．76 D．77
3．婆罗摩芨多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为婆罗摩芨四边形．如图，已知圆O内接四边形ABCD中，对角线于点P，过点P的直线EF分别交一组对边AB，CD于点E，F，且，则①；②；③为定值；④，以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．对于命题：①存在，，的某个排列，使得对任意，这三个数均不能成等比数列；②对，，的任意排列，均存在相应的，使得这三个数成等差数列，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
5．已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于
A．4 B． C．5 D．
6．函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长半轴、短半轴、半焦距的长分别为 ，满足 ，过点的动直线与椭圆交于两点，且的周长为，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．当 时，是直角三角形
C．使得中一角为的直线共有条
D．当时，直线的斜率为
10．已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为递减数列 D．的前5项和为
11．定义在上的函数满足，其中为实数，其值域是.若对于任何满足上述条件的都有，则（ ）
A．方程可以有无数多解
B．当时，
C．当时，将所有满足（）且大于等于1的实数从小到大排成一列，组成数列，若，则数列的最大项为
D．的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知圆台的下底面半径为，上底面半径为，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为 ．
13．在中，角的对边分别为，其面积为，已知，则（1） ；（2）的最大值为 ．
14．若函数在区间上单调递增，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，圆与轴相切于圆心在直线上运动．过点向圆作非轴的切线，切点分别为两条切线交于点，设点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为线段上一点（不含端点），过的直线交曲线于两点，且为的中点，求面积的最大值．
16．设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围．
17．中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．
(1)求点H到平面ABCD的距离；
(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．
18．已知函数，．
(1)若直线与曲线相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．
19．将连续正整数、、、、从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率.
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时，的最大值.
参考答案
1．D
2．C
3．D
4．C
5．B
6．A
7．B
8．A
9．ABC
11．AB
12．
13．
14．-4
15．（1）
由双曲线的定义知曲线为双曲线的一支，且
不在轴上，曲线的方程为
（2）直线斜率不存在时，的中点在轴上，不符合题意；
设与联立，有，所以
由题意
设则，
∵点在线段上，∴，∴，∴
∴，∴，，
点到直线的距离
令则
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
∴当时，直线不经过点，满足题意，此时的面积最大，为
16．（1），，解得，；
由，可知，；
，，
又，
，
即，解得或（舍去），
．
（2）由（1）知：
可知，，解得，
所以为等差数列，故，
存在，有即
又
所以
故，整理解得．
所以的取值范围是.
17．（1）如图所示，取的中点，连接，
因为，可得，
又因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，同理可得：平面，
因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，且平面，平面，所以平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面与平面和平面分别交于，可得，
又由，，且和，
所以平面平面，
因为平面与平面和平面分别交于，所以，
可得四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，
在直角，可得，
在直角梯形中，可得，
因为平面，所以点到平面的距离为.
（2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．（1）设切点为，∵，∴
∴（*）
消去a整理，得，∴
∴
（2）①当时，，，∴在上无零点
②当时，，．
若，，此时，是的一个零点，
若，，此时，不是的零点
③当时，，此时的零点即为的零点．
令，得，令，则，
当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，且当时，
（i）若，即时，在上无零点，即在上无零点
（ii）若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点
（iii）若，即时，在上有两个零点，即在上有两个零点
（iv）若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点
综上所述，当或时，在上有唯一零点；
当或时，在上有两个零点；
当时，在上有三个零点
19．（1）当时，一位数有，二位数个，三位数个，
这个数中总共有个数字，
其中数字的数有、、、、、，数字的个数为，
所以恰好取到的概率为.
（2）当时，全是一位数，；
当时，一位数个数为，二位数的个数为，；
当时，一位数的个数为，二位数的个数为，三位数的个数为，
；
当时，一位数的个数为，二位数的个数为，三位数的个数为，
四位数的个数为，.
综上所述，.
（3）当时，；
当时，；
当时，，
所以，，
同理可得，
由可知，
所以当时，，
当时，，
当时，；
当时，，
由随着的增大而增大，故当时，的最大值为，
又，所以当时，的最大值为.
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