2025-2026学年广东省深圳市高三期末自编模拟题数学试题（三）（含答案）

2025-2026学年广东省深圳市高三期末自编模拟题数学试题（三）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题）
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知某批零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其中的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（ ）
（附：若，则，，）
A． B． C． D．
4．已知M={(x,y)|y=x+t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值,S是M表示的图形的面积,则
A．d=3,S<1 B．d=3,S>1
C．d=,S<1 D．d=,S>1
5．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（ ）
A．6种 B．9种 C．12种 D．24种
8．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的图象交坐标轴于，，三点，部分图象如图所示，是直角三角形，.函数的图象是由的图象作如下变换得来：纵坐标不变，横坐标变为原来的.则（ ）

A．
B．的最小正周期为
C．为偶函数
D．在区间上单调递增
10．设抛物线的焦点为为其上一动点.当运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点.下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．以为直径的圆与轴相切
D．若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的图象与轴相切
B．存在，使得有极大值
C．若，则
D．若，则关于的方程有且仅有3个不等的实根
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数为奇函数，则 .
13．已知，用排列数表示 .
14．长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是___________.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长和面积.
16．如图，平面，在平面的同侧，，，，.
(1)若四点在同一平面内，求线段的长；
(2)若，平面与平面的夹角为，求线段的长.
17．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
18．如图所示，，分别为椭圆的左、右顶点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，证明直线过定点，并求面积的最大值．
19．在等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和;
(3)在（2）的条件下，当最小时，求的值.
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．C
5．B
6．B
7．C
8．D
9．ACD
10．BCD
11．ACD
12．
13．
14．##
15．（1），
，
，
，
，.
（2），
由余弦定理得，
，
的周长为：.
，，
.
16．（1），平面，平面，平面，
，则四点共面，
平面，平面，平面平面，，又，则四边形是平行四边形，
；
（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，
设是平面的一个法向量，
由，得，令，可得，
可得，
设是平面的一个法向量，
由，得，令，可得，
可得，
依题意，
解得，.
17．（1）函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
所以时，，所以在上单调递增；
时，，所以在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，不等式恒成立，
即，在时恒成立，
令，只需要在时恒成立，
，，
设，则，
所以在上单调递减，所以，
当时，，在上单调递减，所以恒成立，
当时，，在上单调递减，
所以，使得时，，在上单调递增，
所以，不合题意，
综上所述：实数a的取值范围为.
【思路导引】本题考查了函数的单调性讨论，利用导数研究函数的单调性及最值问题，不等式恒成立问题.解题关键是构建新函数。将恒成立问题转化成最值问题，要充分利用分类讨论的思想.
18．（1）解：由已知可得：，解得：，，
所以，椭圆的方程为．
（2）解：易知点，设点，，则，
若直线轴，则，，
所以，，不合乎题意，
设的直线方程为，
联立，整理得，
，
由韦达定理可得，．
因为，且，，
所以，
，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
所以，直线的方程为，
故直线过定点，
，
则．
令，
则，
由对勾函数单调性知，函数在上为增函数 ，
则．
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为．
19．（1）设等比数列的公比为，则，
化简可得，整理可得，
由，则，由方程解得，
由，则.
由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.
（2）由，则，，
由数列是以为首项，以为公差的等差数列，则.
（3）由（2）得：，所以，
因为当时，；当时，；当时，.
则当或时，最小.
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