九年级上册数学期末训练卷（人教第21-27章，含答案）

九年级数学期末训练卷（人教第21-27章，含答案）
（时间：100分钟，满分120分）
一、单选题(共10题；共30分)
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024九上·拱墅月考）抛物线y＝x2+1的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
3．（3分）（2025九上·镇海区期末）如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0
C．k≥﹣1且k≠0 D．k1且k≠0
5．（3分）（2024九上·邯山月考）要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是(　　)
A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
6．（3分）（2024九上·宁波期中）如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（　　）
A．70° B．80° C．75° D．60°
7．（3分）一元二次方程经过配方变形为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连结OD.若AE=2，CD=12，则⊙O的半径为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连结OB，点P是半径OB上任意一点，连结AP，若OB=5，OC=3，则AP的长不可能是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）（2025九下·温州模拟）如图，在中，，设，且是定值.点是AC上一点，点为AB中点，连接CE，将线段CE绕点顺时针旋转，得到线段EF交AC于点，若点关于直线DE的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（　　）
A．AD B．CD C．CG D．DE
二、填空题(共5题；共15分)
11．（3分）（2025·惠城模拟）将一把直尺和正五边形如图所示的位置放置，若直尺的长边过点A，且与边垂直，则　 　°．
12．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2cm，那么PA＝　 　cm.
13．（3分） “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型.图②是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N 的半径分别是1 cm 和10 cm，当⊙M 顺时针转动3周时，⊙N 上的点 P 随之旋转n°，则n=　 　.
14．（3分）如图，已知等边三角形的边长为，点为平面内一动点，且，将点绕点按逆时针方向转转，得到点，连接，则的最大值　 　．
15．（3分）（2025九下·萧山开学考）如图，五边形ABCDE为的内接五边形，对角线AC为的直径，，KD为五边形ABCDE的外接圆的三条切线，则　 　.
三、计算题(共8题；共75分)
16．（10分）（2024九上·交城期中） 按要求解下列方程：
（1）（5分）（公式法） （2）（5分）（因式分解法）
17．（9分）（2024九上·长沙月考）在如图所示的直角坐标系中，画图并解答下列问题：
（1）（2分）分别写出A、B两点的坐标；
（2）（3分）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的；
（3）（4分）求的面积．
18．（9分）如图，在□ABCD中，是BC的中点，BD和AP相交于点，连结CE.
（1）（5分）在AE=CE的条件下，
①求证：□ABCD为菱形.
②若AB=5，CE=3，求BD的长.
（4分）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆相交于点E，F，点恰好在射线CE上．若，求的值．
19．（8分）（2024·永修模拟）如图一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，.
（1）（4分）求一次函数的解析式.
（2）（4分）结合图象，直接写出不等式的解集.
20．（10分）某节能灯厂出售一批额定功率为的节能灯，每盒装有100个节能灯，由于包装工人的疏忽，在包装时混进了额定功率的节能灯.某批发商从工厂购进了50盒的节能灯，每盒中混入灯数如表：
每盒中混入灯数（个） 0 1 2 3 4
盒数 14 25 9 1 1
（1）（5分）平均每盒混入几个灯？
（2）（5分）若一盒混入节能灯的数量大于，工厂需给批发商赔偿.从这50盒中任意抽取一盒，记事件A为：该盒需要给批发商赔偿.求事件A的概率.
21．（9分）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点，求证：．
22．（10分）（2024九上·蔡甸月考）阅读材料：
材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，．
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．
例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．
例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
（1）（5分）已知实数m、n满足，，且，求值．
（2）（5分）已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
23．（10分） 综合与实践
问题情景：小琴在延时服务剪纸课上发现了奇妙的数学知识，可以利用方程解决剪纸问题中的剩余面积问题．
（1）（2分）独立思考：如图1，长方形纸片长为，宽为，按如图方式剪下一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，则x的值为　 　．
（2）（4分）实践探究：如图2，M为上一点，N为上一点，且，沿着剪下一个，若剩余部分图形面积为，求x的值．
（3）（4分）问题解决：如图3，将长方形纸片剪掉一个宽为的边框，剩余面积能否为，若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A.，整理得，不符合题意；
B.，不一定是一元二次方程，不符合题意；
C.是一元二次方程，符合题意；
D.，不是一元二次方程，不符合题意；
故选C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解： 抛物线y＝x2+1的顶点坐标是 （0，1）.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的顶点式可以直接写出其顶点的坐标.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】直接根据弧长计算公式计算即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得 k＜1且k≠0.
故答案为：B.
【分析】由根的情况使用判别式建立不等关系，同时需注意一元二次方程的定义存在的不等关系，建立不等式组解之即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移规律即可求出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形为的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出的度数，利用互余得出的度数，进而利用垂径定理和圆周角定理解答即可．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得可化为，
∴k=1，
故答案为：C
【分析】根据题意配方，进而即可得到正确答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：因为CD⊥AB，AB为圆O直径，
∴CE=ED=6，
设圆O半径为r，即OA=OD=r，
在Rt△OED中，
，
，
解得r=10，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理，得ED=6，设半径为r，在Rt△OED中，利用勾股定理列式求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OB＝5，OC＝3，
∴
∴.
∴OB≤AP≤AB，即.
∴四个选项中，只有D选项不符合AP取值范围.
故答案为：D.
【分析】由图片可知，AP最短为AO（半径），最长为AB，因此关键在于通过垂径定理、勾股定理计算出AB，就可以知道AP的取值范围，最后再根据取值范围判断各选项.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接.
中，
为的中点
中，
关于直线对称
设，则
中，，即：
整理得：，即：
是定值，
为定值.
故答案为：B.
【分析】由于轴对称图形的对应角相等，结合旋转的定义可推导出是直角，则是和的公共斜边，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理可表示出的平方值，进而可表示出的平方值，此时可设出的长，则可分别表示出的长，利用勾股定理可得出，由于只知道是定值，即都是变量，所以线段的值不固定，但由于则可继续表示出的值，此时恰好得出的值是的一半，则只有是定值.
11．【答案】54
【解析】【解答】解：因为多边形是正五边形，
所以，
∵，
∴，
，
故答案为：54．
【分析】
先求出正五边形的内角，再利用三角形内角和求解．
12．【答案】（ ﹣1）
【解析】【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2× ＝（ ﹣1）cm.
故答案为：（ ﹣1）cm.
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入运算即可.
13．【答案】108
【解析】【解答】解：根据题意得：点P移动的距离为3×2π×1=6πcm，
∴，
解得：n=108.
故答案为：108 .
【分析】先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解.
14．【答案】+1
【解析】【解答】解：如图所示，连接BE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=，∠ACB=60°.
∵将点绕点按逆时针方向转转，得到点，
∴EC=DC， ∠DCE=60°.
∴∠ACB=∠DCE.
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE.
即：∠ACD=∠BCE.
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD=1.
在△ABE中，
∵AE≤AB+BE.
∴当点E在AB的延长线上时，AE有最大值，最大值为+1.
故答案为+1.
【分析】连接BE，根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=，∠ACB=60°，再根据旋转性质可得EC=DC，∠DCE=60°，则∠ACD=∠BCE，再根据全等三角形判定定理可得△BCE≌△ACD，则BE=AD=1，再根据三角形三边关系可得AE≤AB+BE，即当点E在AB的延长线上时，AE有最大值，最大值为+1.
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD。
∵AC为直径，D、B点都在圆上，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠DAC=30°，∴∠DCA=60°，
∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∠ODC=60°，
∵KD是五边形ABCDE的外接圆的切线，
∴∠KDO=90°，∴∠CDK=∠KDO-∠ODC=90°-60°=30°；
∵FA、GC是五边形ABCDE的外接圆的两条切线，
∴∠FAC=∠GCA=90°，即∠FAC+∠GCA=180°，
而∠CAB+∠ACB=90°，∠BCG+∠BAF+∠CAB+∠ACB=180°
∴∠BCG+∠BAF=90°，
∴∠BCG+∠BAF+∠CDK=90°+30°=120°。
故答案为：120°。
【分析】本题利用外切圆的性质和内接角与直径所对圆周角的性质，可以首先推出∠ODC=60°，然后利用外切圆的性质、∠FAC+∠GCA=180°、∠CAB+∠ACB=90°，即可推出∠BCG+∠BAF=90°，最后求和即可。
16．【答案】（1）解：
∵，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根
∴，
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据公式法解方程。一元二次方程的求根公式为： ；
（2）根据因式分解法解方程。把方程右边的项移不对劲方程的左边，再把方程左边提取公因式（4-x）。
17．【答案】（1）
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：.
【解析】【解答】解：（1）由图可知，A坐标为（2，0），B坐标为（-1，-4）；【分析】（1）由图直接写出坐标即可；
（2）将B、C分别绕点A顺时针旋转90°，得到对应点，再顺次连接即可；
（3）利用整体法求面积，所在正方形的面积减去周围3个小直角三角形的面积即可．
（1）解：由图可知，A、B两点的坐标分别为；
（2）如图，为所作，
（3）的面积
【点睛
18．【答案】（1）① 证明：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
在△AOE和△COE中，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠COE=180°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD为菱形.
② 设OE=x，
∵OA=OC，P为BC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE=2OE=2x，
∵OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2，
OA2=AB2-OB2=52-（3x）2=25-9x2，
∴9-x2=25-9x2，
解得x=.
∴OB=3x=.
∴BD=2OB=
（2）∵⊙A与⊙B相交于E，F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又∵F在直线CE上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG=BG=AB，EG=CE，
∵CE=AE，
∴GE= AE，CG=CE+EG= AE，
∴AG2=AE2-EG2=AE2-（ AE）2=AE2，
∴AG=AE.
∴AB=2AG=AE.
∴BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2.
∴BC=AE，
∴
【解析】【分析】（1） ① 通过证明平行四边形ABCD的对角线互相垂直，来证明四边形ABCD是菱形；
②设OE=x，利用勾股定理与三角形重心的性质，列出关于x的方程求得x，进而求得BD的长；
（2）利用勾股定理分别求出AB与AE的关系，BC和AE的关系，再求出它们的比值即可.
19．【答案】（1）解：点，在反比例函数的图象上，
，，即点，
把点，代入，
得解得
一次函数的解析式为
（2）解：或
【解析】【分析】（1）先根据题意将点A和点B代入反比例函数解析式，进而即可求出m和n，再运用待定系数法即可得到一次函数的解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题结合点A和点B的坐标即可求解。
20．【答案】（1）解：灯数个数：，
平均每盒混入：(个)
（2）解：每盒中混入0个，1个，2个，数量小于等于，不用赔偿，
混入3个数量是，混入4个数量是，需要赔偿，
【解析】【分析】（1）根据表格记录的数据，利用加权平均数的定义列式计算即可；
（2）用混入3个与4个15W节能灯的盒数除以总数量即可．
21．【答案】证明：如图所示：
是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【解析】【分析】先利用旋转的性质及角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得.
22．【答案】（1）解：，实数m、n满足，，
∴、 可看作方程的两根，
，

（2）解：∵、，
∴将，看作是方程得两实数根；
，
而，
，即
c的最大值为2．
【解析】【分析】（1）根据，、是方程的两根，根据根与系数的关系可求得和的值， 化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）将、看作是方程 的两实数根，根据判别式的意义得到，则，解不等式即可求出答案.
（1）解：，实数m、n满足，，
∴、 可看作方程的两根，
，
；
（2）解：∵、，
∴将，看作是方程得两实数根；
，
而，
，即
c的最大值为2．
23．【答案】（1）2
（2）解：由题意得：，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
故x的值为6．
（3）解：长方形纸片剪掉一个宽为的边框后，剩余长方形的长为，宽为，
令，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
故剩余面积能为， x的值为1．
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
解得，
故答案为：2；
【分析】（1）根据长方形面积减去小长方形面积等于列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）根据长方形面积减去的面积等于，列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（3）根据长方形纸片剪掉一个宽为的边框后，剩余长方形的长为，宽为，根据面积为列出一元二次方程，解方程，即可求解．
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