第26章二次函数单元小测（含答案）

2025-2026学年度九年级数学
二次函数单元小测
本试卷共印11个班： 初三全年级， 命题人：石老师 时间：2025-12-25 满分：100分
一、单选题（21分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线向下平移1个单位再向右平移一个单位所得到的函数抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（ ）
A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3
4．将函数y＝2x2+x﹣3的图象向左平移两个单位，以下错误的是（　　）
A．顶点坐标改变 B．对称轴改变 C．开口方向不变 D．与y轴的交点不变
5．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、，且，与轴交于正半轴．下列结论错误的是（ ）．
A． B．当时，随增大而增大
C．当时，随增大而减小 D．
7．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
二、填空题（8分）
8．二次函数y＝－2(x－3)(x＋1)的图象与y轴的交点坐标是 ．
9．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线的函数解析式是 ．
三、解答题（71分）
10．（8分）已知二次函数，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为 y=a(x+h)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；
（2）若它的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，求△ABC的面积．
11．（7分）已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）．
（1）求二次函数的关系式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标．
12．（7分）二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点．
（1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的对称轴与y轴交点的坐标．
13．（8分）已知二次函数（m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
14．（8分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，它们的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F.已知点A的坐标为（﹣1，0）.
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△EMF与△BNF的面积之比.
15．（8分）建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：
如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2米，此时水位上升了多少米？
16．（8分）已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．
（1）求k的值；
（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；
（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．
17．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．
（1）求点B、点D的坐标，
（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．

18．（9分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《二次函数单元小测》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B B D D C D
8．(0，6)
9．
10．解：（1）∵y=-2x2+8x-4
=-2(x2-4x)-4
=-2(x2-4x+4-4)-4
=-2(x-2)2+4
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），对称轴为直线x=2；
（2）令y=0可得：-2(x-2)2+4=0，即：(x-2)2=2，
解得：x-2=，即：x1=，x2=.
∴与x轴的交点坐标为A（,0），B(，0).
又∵顶点C的坐标为（2，4），
∴S△ABC=×[（）-()] ×4=．
11．（1）∵y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）．
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为y=x2﹣3x；
（2）∵y=x2﹣3x=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．
12．（1）∵二次函数y=ax2+2x+c的图象经过（-1，0）（3，0）两点．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3；
（2）令x=0，则y=3，
∴该二次函数图象与y轴交点的坐标为（0，3）．
13．解：（1）∵，
∴方程没有实数解．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
（2）∵，
∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）．
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
14．解：（1）∵点A在抛物线上，
∴，
解得：c=3，
∴抛物线的解析式为.
∵，
∴抛物线的顶点M（1，4）；
（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B（3，0）.
∴EM=1，BN=2.
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF.
∴．
15．解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系，
根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3），
设y=kx2（k＜0），
将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣，
∴y=﹣x2，
将x=代入，得：y=﹣2，
∴上升了1米．
16．（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；
（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．
则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；
（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．
在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．
则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．
17．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵与x轴交于点A（3，0），
∴0=4a+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，
令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3
∴B点坐标为（﹣1，0），D点坐标为（0，3）；
（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），
∴AD==3，CD==，AC==2，
∴AD2+CD2=（3）2+（）2=20=（2）2=AC2 ，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴S△ACD=AD CD=×3×=3．
18．解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
答案第1页，共2页
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