北京版七（下）数学第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试基础卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2025七下·潮南月考）下列式子中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据不等式的定义，可得
A：x+3=0是方程，不是不等式，不符合题意；
B：是代数式，不是不等式，不符合题意；
C：是方程，不是不等式，不符合题意；
D：2x+3>0是不等式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的定义：一用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式，然后对各个选项进行分析即可判断
2．（2024七下·福州期中）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意；
B. 由，得，故本选项变形错误，不符合题意；
C. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意；
D.，因为，所以可得，故本选项变形正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】不等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；（3）等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．再对各选项逐一判断.
3．（2025七下·渠县月考）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A、将两边都减去3，得：，故此选项错误；
B、将两边都乘以，再加上5，得：，故此选项正确；
C、将两边都乘以，得：，故此选项错误；
D、将两边都除以，得：，故此选项错误；
故选：B．
【分析】根据不等式的性质“不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”逐个判断即可．
4．（2025七下·藤县月考）若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示为
，
故选：D．
【分析】本题考查了利用数轴表示不等式的解集，根据解集的表示方法：大于向右，小于向左，带等号是实心圈，不带等号是空心圈，据此作答，即可得到答案.
5．（2025七下·东坡期中）解下列不等式的过程中有错误的是（ ）
A．，移项，得
B．，去括号，得
C．，去分母，得
D．，系数化为1，得
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：A、，移项，得，∴此选项不符合题意；
B、，去括号，得，∴此选项不符合题意；
C、，去分母，得，∴此选项不符合题意；
D、，系数化为1，得，∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据移项要变号可判断求解；
B、根据"去括号时，不要漏乘"可判断求解；
C 、根据去分母时，不漏项可判断求解；
D、根据不等式的性质"系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变"可判断求解．
6．（2024七下·白云期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵
∴由，得出，
∴由，解得，
∴原不等式组的解集为，
∴在数轴上表示如图所示：
故答案为：C．
【分析】
先分别求出每个不等式的解集：，；根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集为，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可解答．
7．（2025七下·龙胜各族期中）某公司开发了一个模型，用于实时视频分析．模型的推理时间T（单位：毫秒）与输入数据的大小（单位：）的关系表达式为：，为了保证实时性，公司希望模型的推理时间不超过100毫秒．以下哪个选项正确描述了输入数据大小的取值范围，使得推理时间不超过100毫秒？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得：，
∴输入数据大小的取值范围为：．
故答案为：B．
【分析】根据“ 公司希望模型的推理时间不超过100毫秒 ”列出不等式，再求解即可.
8．（2021七下·丰台期末）已知关于x的不等式组 有以下说法：
①如果a＝﹣2，那么不等式组的解集是﹣2≤x＜1
②如果不等式组的解集是﹣3≤x＜1，那么a＝﹣3
③如果不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，那么a＝﹣2
④如果不等式组无解，那么a≥1
其中所有正确说法的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
如果 ，那么不等式组的解集是 ，即说法①符合题意；
如果不等式组的解集是 ，那么 ，即说法②符合题意；
如果不等式组的整数解只有 ，那么 ，则说法③不符合题意；
如果不等式组无解，那么 ，即说法④符合题意；
综上，所有正确说法的序号是①②④，
故答案为：B．
【分析】先求出各不等式的解集，在根据各小题的结论解答即可。
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024七下·襄汾月考）如果，那么 （用“>”或“<”填空）
【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：>
【分析】利用不等式的性质：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，即可求解.
10．（2024七下·中山期末）如图是关于x的不等式组的解集在数轴上的表示，则其解集为 ．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
11．（2022七下·宁武期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
【答案】m=2
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0，
所以m-3=±1，m≠4，
解得m=2．
故答案为：m=2.
【分析】一元一次不等式：不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，据此可得|m-3|=1，m-4≠0，求解可得m的值.
12．（2021七下·襄汾期末）关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为 ．
【答案】4
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x+1＞3可得x＞1，
解不等式a-x＞1，可得x＜a-1，
然后根据不等式组的解集为1＜x＜3，
可知a-1=3，
解得a=4.
故答案为4.
【分析】先利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再根据不等式组的解集为1＜x＜3，可得a-1=3，然后求出a的值即可。
13．（2023七下·衡阳期末）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式的解集是，
∴a-3＜0，
∴a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】根据不等式的基本性质可得a-3＜0，解不等式即可求解.
14．（2021七下·郾城期末）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示.按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行.若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 .
【答案】8＜x≤13
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】第一次运行： ，解得 ；
第二次运行： ，解得 ；
∴8＜x≤13.
故答案为：8＜x≤13.
【分析】按照运算程序列出不等式组求解即可.
15．（2024七下·金堂期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ．
【答案】1或4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵
解不等式①得：x>2－m，
解不等式②得：x≤4，
由题意可得不等式组的解为：，
∵关于x的不等式组所有整数解的和为9，
∴或者
当整数解x的值为时，，
解得：m=1.
当整数解x的值为时，
解得：
故答案为：1或4
【分析】先分别算出的解集为，再结合所有整数解的和为9，得出或者，然后列式计算，即可作答．
16．（2024七下·宁乡市期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据新定义逐项进行判断即可求出答案.
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024七下·庄浪期末）解不等式：．
【答案】解：，去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】 本题考查了解一元一次不等式。按照去分母、去括号、移项并合并同类项，再将系数化为1的顺序，就能顺利解出不等式 ，需要注意的是，系数化1时不等号两边同时除以负数，不等号的方向要发生改变.
18．（2024七下·宁乡市期末）解不等式（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
解，
可得，
解，
可得，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）不等式两边同时乘以6，然后再去括号，合并同类项，移项，最后再将系数化为1即可求解
（2）先对第一个不等式进行移项，求解；对第二个不等式两边同时乘以6，然后再进行去括号，移项，合并同类项，最后再将系数化为1，求出第二个不等式的解集，最后再取这两个不等式的公共部分，即可求解
（1）解：
（2）解：
解可得，
解可得，
∴不等式组的解集为
19．（2024七下·长沙期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解.
20．（2024七下·黔南期末）小米同学求解一元一次不等式的过程：
解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为.
（1）该解题过程中从第_________步开始出现错误；
（2）请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程.
【答案】（1）一
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，解题过程中去分母的时候1漏乘6，
∴ 该解题过程中从第一步开始出现错误，
故答案为：一.
【分析】（1）根据去分母可知每一项都要乘以最小公分母，据此即可求解；
（2）根据求解一元一次不等式的过程进行求解即可．
21．（2024七下·安次月考）今年植树节，某班同学共同种植270棵树苗，这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵35元，乙树苗每棵20元，购买这批树苗的总费用不超过5700元，请问最多购买甲树苗多少棵？
【答案】解：设购买甲树苗x棵，则购买乙树苗棵，
由题意得，，
解得，
∴x的最大值为20，
答：最多购买甲树苗20棵．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式在实际问题中的应用。通过设未知数，根据题目中的数量关系列出不等式，进而求解得出符合实际意义的结果。在解决这类问题时，关键是要准确找出题目中的不等关系，然后根据不等关系列出相应的不等式进行求解。同时，要注意解出的结果需要符合实际情况，比如在本题中树苗的数量不能为负数，所以x的取值范围是合理的．
22．（2024七下·庄浪期末）某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证每件利润率不低于，这批电子产品每件最多可降价多少元？（）
【答案】解：设这批电子产品每件降价x元，根据题意可得，
解得．
∵x为正整数，
∴x最大取140．
答：这批电子产品每件最多可降价140元．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 本题考查了一元一次不等式的应用 ，设这批电子产品每件降价x元，由关系式可找到本题关系，求得x的取值范围，所以最多可讲价140元.
23．（2025七下·沙坪坝期末）某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈周边设置了、两个智能停车场．停车场有100个普通车位和60个充电桩车位，B停车场有80个普通车位和50个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，且A停车场的车位建设总成本比停车场多15万元．
（1）求每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？
（2）为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈周边再新建一个总车位数为120个的智能停车场，为确保该停车场的建设成本不超过停车场的建设成本的，问新建停车场最多配备多少个充电桩车位？
【答案】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则充电桩车位为万元，
根据题意列方程：，
解得，
故充电桩车位成本为万元，
答：每个普通车位的建设成本是万元，每个充电桩车位的建设成本是万元．
（2）解：设新建停车场配备个充电桩车位，
列不等式：
解得，
答：新建停车场最多可配备个充电桩车位．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据题意列一元一次方程解答；
（2）设新建停车场配备个充电桩车位，利用题意列不等式，求出最大整数解解答即可．
（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则充电桩车位为万元，
根据题意列方程：，
解得，
故充电桩车位成本为万元，
答：每个普通车位的建设成本是万元，每个充电桩车位的建设成本是万元．
（2）解：设新建停车场配备个充电桩车位，
列不等式：
解得，
答：新建停车场最多可配备个充电桩车位．
24．（2024七下·宁江期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】（1）解：设书架上数学书有本，
由题意得：，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）解：设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设书架上数学书有本，根据图形列出方程，再求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式，再求解即可.
（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
25．（2024七下·青秀期末）“六一”儿童节到来之际，某校准备购进一批贺卡送给同学们，贺卡原价张，甲、乙两家商场优惠方式如下：
甲商场：所有贺卡按原价的九折出售；
乙商场：一次性购买不超过张不优惠，超过部分打八折．
设该校准备购买张贺卡．
（1）用含的式子分别表示到甲、乙两家商场购买贺卡的费用；
（2）该校到哪家商场购买贺卡花费少？
【答案】（1）解：根据题意得，
到甲商场购买贺卡的费用为元；
到乙商场购买贺卡的费用为元．
（2）解：当去甲商场购买贺卡的费用比去乙商场少时，
有，解得：，
即当时，去甲商场购买贺卡花费少；
当去甲商场购买贺卡的费用和去乙商场相同时，
有，解得：，
即当时，去甲商场和去乙商场购买贺卡花费相同；
当去甲商场购买贺卡的费用比去乙商场多时，
有，解得：，
即当时，去乙商场购买贺卡花费少．
综上，当时，去甲商场购买贺卡花费少；当时，去甲商场和去乙商场购买贺卡花费相同；当时，去乙商场购买贺卡花费少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据两个商场的优惠方式列出代数式即可；
（2）分三种情况讨论：去甲商场购买的费用比去乙商场的少、去甲商场和去乙商场买的费用相同和去甲商场购买的费用比去乙商场的多，分别列出不等式和等式，求解即可.
26．（2024七下·路桥期末）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计．
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数．
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度．
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
②图4中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
（2）求弹簧的原长．
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是．
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）．
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力．
任务3：
（4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了______N．
【答案】解：（1）①；②；
（2）（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，
∴，，
又，
∴
∴；
（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是
∴，
∴，即，
∴该弹簧测力计的量程为；
（4）0.12.
【知识点】一元一次不等式的应用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
②图4中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
（4）∵，
∴ 1.2×0.1=0.12，即弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，
故答案为：（1）；（2）；（4）0.12．
【分析】（1）①②根据弹簧伸长的长度即可求得；
（2）根据可得，，根据，即可求得L0；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，再根据，即可求得量程；
（4）直接根据即可．
27．（2023七下·玉环期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）解：解关于的方程，得．
解不等式组，得．
根据“关联方程”的定义，得
解得．
（3）解：解关于的方程，得．
关于的不等式组
解不等式①，得．
解不等式②，得．
根据不等式组有个整数解，可得
解得．
根据“关联方程”的定义，得
解得．
综上所述，．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：(1) ，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为，
① ，解得，故①是不等式组的''关联方程''；
② ，解得，故②不是不等式组的''关联方程''；
③ ，解得，故③是不等式组的''关联方程''.
故答案为：①③.
【分析】(1)先求得不等式组的解集，再分别求出方程的解，然后判断方程是不是不等式组的''关联方程''.
(2)先分别解得方程的解和不等式组的解集，再根据''关联方程''的定义得到关于k的不等式组，进而解得k的取值范围.
(3)先分别用m表示出方程的解和不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解得到关于m的不等式组，解得m的取值范围，然后利用''关联方程''的定义得到方程解的范围，进一步确定m的取值范围.
28．（2024七下·镇平县月考）阅读下列材料：求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：
①或②．
解①，得． 解②，得，
∴不等式的解集为或．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：①或②，
解①得，解②可知无解，
∴不等式的解集为；
（2）解：当，
根据“同号两数相除，商为正”可得：
①或②，
解①得，解②得，
∴不等式的解集为或；
当，即时，原不等式也成立；
综上所述，或．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可将两个因式乘积的不等式转化为一元一次不等式组求解解得得出答案；
（2）根据题意可将分式不等式转化为一元一次不等式组求解，需注意分分子等于0，和分子不等于0两种情况讨论；当，根据“同号两数相除，商为正”可得：①或②，解不等式组即可得到答案；当，即时，，故原不等式也成立，据此即可得到答案．
1 / 1北京版七（下）数学第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试基础卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2025七下·潮南月考）下列式子中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·福州期中）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
3．（2025七下·渠县月考）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·藤县月考）若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·东坡期中）解下列不等式的过程中有错误的是（ ）
A．，移项，得
B．，去括号，得
C．，去分母，得
D．，系数化为1，得
6．（2024七下·白云期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·龙胜各族期中）某公司开发了一个模型，用于实时视频分析．模型的推理时间T（单位：毫秒）与输入数据的大小（单位：）的关系表达式为：，为了保证实时性，公司希望模型的推理时间不超过100毫秒．以下哪个选项正确描述了输入数据大小的取值范围，使得推理时间不超过100毫秒？（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七下·丰台期末）已知关于x的不等式组 有以下说法：
①如果a＝﹣2，那么不等式组的解集是﹣2≤x＜1
②如果不等式组的解集是﹣3≤x＜1，那么a＝﹣3
③如果不等式组的整数解只有﹣2，﹣1，0，那么a＝﹣2
④如果不等式组无解，那么a≥1
其中所有正确说法的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024七下·襄汾月考）如果，那么 （用“>”或“<”填空）
10．（2024七下·中山期末）如图是关于x的不等式组的解集在数轴上的表示，则其解集为 ．
11．（2022七下·宁武期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
12．（2021七下·襄汾期末）关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为 ．
13．（2023七下·衡阳期末）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ．
14．（2021七下·郾城期末）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示.按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行.若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是 .
15．（2024七下·金堂期末）若关于x的不等式组所有整数解的和为9，则整数m的值为 ．
16．（2024七下·宁乡市期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024七下·庄浪期末）解不等式：．
18．（2024七下·宁乡市期末）解不等式（组）：
（1）
（2）
19．（2024七下·长沙期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（2024七下·黔南期末）小米同学求解一元一次不等式的过程：
解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为.
（1）该解题过程中从第_________步开始出现错误；
（2）请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程.
21．（2024七下·安次月考）今年植树节，某班同学共同种植270棵树苗，这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵35元，乙树苗每棵20元，购买这批树苗的总费用不超过5700元，请问最多购买甲树苗多少棵？
22．（2024七下·庄浪期末）某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证每件利润率不低于，这批电子产品每件最多可降价多少元？（）
23．（2025七下·沙坪坝期末）某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈周边设置了、两个智能停车场．停车场有100个普通车位和60个充电桩车位，B停车场有80个普通车位和50个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，且A停车场的车位建设总成本比停车场多15万元．
（1）求每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？
（2）为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈周边再新建一个总车位数为120个的智能停车场，为确保该停车场的建设成本不超过停车场的建设成本的，问新建停车场最多配备多少个充电桩车位？
24．（2024七下·宁江期末）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
25．（2024七下·青秀期末）“六一”儿童节到来之际，某校准备购进一批贺卡送给同学们，贺卡原价张，甲、乙两家商场优惠方式如下：
甲商场：所有贺卡按原价的九折出售；
乙商场：一次性购买不超过张不优惠，超过部分打八折．
设该校准备购买张贺卡．
（1）用含的式子分别表示到甲、乙两家商场购买贺卡的费用；
（2）该校到哪家商场购买贺卡花费少？
26．（2024七下·路桥期末）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计．
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数．
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度．
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
②图4中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
（2）求弹簧的原长．
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是．
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）．
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力．
任务3：
（4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了______N．
27．（2023七下·玉环期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号）
（2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
28．（2024七下·镇平县月考）阅读下列材料：求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：
①或②．
解①，得． 解②，得，
∴不等式的解集为或．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据不等式的定义，可得
A：x+3=0是方程，不是不等式，不符合题意；
B：是代数式，不是不等式，不符合题意；
C：是方程，不是不等式，不符合题意；
D：2x+3>0是不等式，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的定义：一用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式，然后对各个选项进行分析即可判断
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意；
B. 由，得，故本选项变形错误，不符合题意；
C. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意；
D.，因为，所以可得，故本选项变形正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】不等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；（3）等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．再对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A、将两边都减去3，得：，故此选项错误；
B、将两边都乘以，再加上5，得：，故此选项正确；
C、将两边都乘以，得：，故此选项错误；
D、将两边都除以，得：，故此选项错误；
故选：B．
【分析】根据不等式的性质“不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”逐个判断即可．
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示为
，
故选：D．
【分析】本题考查了利用数轴表示不等式的解集，根据解集的表示方法：大于向右，小于向左，带等号是实心圈，不带等号是空心圈，据此作答，即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：A、，移项，得，∴此选项不符合题意；
B、，去括号，得，∴此选项不符合题意；
C、，去分母，得，∴此选项不符合题意；
D、，系数化为1，得，∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据移项要变号可判断求解；
B、根据"去括号时，不要漏乘"可判断求解；
C 、根据去分母时，不漏项可判断求解；
D、根据不等式的性质"系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变"可判断求解．
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵
∴由，得出，
∴由，解得，
∴原不等式组的解集为，
∴在数轴上表示如图所示：
故答案为：C．
【分析】
先分别求出每个不等式的解集：，；根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集为，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可解答．
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得：，
∴输入数据大小的取值范围为：．
故答案为：B．
【分析】根据“ 公司希望模型的推理时间不超过100毫秒 ”列出不等式，再求解即可.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
如果 ，那么不等式组的解集是 ，即说法①符合题意；
如果不等式组的解集是 ，那么 ，即说法②符合题意；
如果不等式组的整数解只有 ，那么 ，则说法③不符合题意；
如果不等式组无解，那么 ，即说法④符合题意；
综上，所有正确说法的序号是①②④，
故答案为：B．
【分析】先求出各不等式的解集，在根据各小题的结论解答即可。
9．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：>
【分析】利用不等式的性质：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，即可求解.
10．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
11．【答案】m=2
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0，
所以m-3=±1，m≠4，
解得m=2．
故答案为：m=2.
【分析】一元一次不等式：不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，据此可得|m-3|=1，m-4≠0，求解可得m的值.
12．【答案】4
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x+1＞3可得x＞1，
解不等式a-x＞1，可得x＜a-1，
然后根据不等式组的解集为1＜x＜3，
可知a-1=3，
解得a=4.
故答案为4.
【分析】先利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再根据不等式组的解集为1＜x＜3，可得a-1=3，然后求出a的值即可。
13．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式的解集是，
∴a-3＜0，
∴a＜3.
故答案为：a＜3.
【分析】根据不等式的基本性质可得a-3＜0，解不等式即可求解.
14．【答案】8＜x≤13
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】第一次运行： ，解得 ；
第二次运行： ，解得 ；
∴8＜x≤13.
故答案为：8＜x≤13.
【分析】按照运算程序列出不等式组求解即可.
15．【答案】1或4
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：∵
解不等式①得：x>2－m，
解不等式②得：x≤4，
由题意可得不等式组的解为：，
∵关于x的不等式组所有整数解的和为9，
∴或者
当整数解x的值为时，，
解得：m=1.
当整数解x的值为时，
解得：
故答案为：1或4
【分析】先分别算出的解集为，再结合所有整数解的和为9，得出或者，然后列式计算，即可作答．
16．【答案】①③④
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】根据新定义逐项进行判断即可求出答案.
17．【答案】解：，去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】 本题考查了解一元一次不等式。按照去分母、去括号、移项并合并同类项，再将系数化为1的顺序，就能顺利解出不等式 ，需要注意的是，系数化1时不等号两边同时除以负数，不等号的方向要发生改变.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
解，
可得，
解，
可得，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）不等式两边同时乘以6，然后再去括号，合并同类项，移项，最后再将系数化为1即可求解
（2）先对第一个不等式进行移项，求解；对第二个不等式两边同时乘以6，然后再进行去括号，移项，合并同类项，最后再将系数化为1，求出第二个不等式的解集，最后再取这两个不等式的公共部分，即可求解
（1）解：
（2）解：
解可得，
解可得，
∴不等式组的解集为
19．【答案】解：，
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解.
20．【答案】（1）一
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴原不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，解题过程中去分母的时候1漏乘6，
∴ 该解题过程中从第一步开始出现错误，
故答案为：一.
【分析】（1）根据去分母可知每一项都要乘以最小公分母，据此即可求解；
（2）根据求解一元一次不等式的过程进行求解即可．
21．【答案】解：设购买甲树苗x棵，则购买乙树苗棵，
由题意得，，
解得，
∴x的最大值为20，
答：最多购买甲树苗20棵．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式在实际问题中的应用。通过设未知数，根据题目中的数量关系列出不等式，进而求解得出符合实际意义的结果。在解决这类问题时，关键是要准确找出题目中的不等关系，然后根据不等关系列出相应的不等式进行求解。同时，要注意解出的结果需要符合实际情况，比如在本题中树苗的数量不能为负数，所以x的取值范围是合理的．
22．【答案】解：设这批电子产品每件降价x元，根据题意可得，
解得．
∵x为正整数，
∴x最大取140．
答：这批电子产品每件最多可降价140元．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 本题考查了一元一次不等式的应用 ，设这批电子产品每件降价x元，由关系式可找到本题关系，求得x的取值范围，所以最多可讲价140元.
23．【答案】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则充电桩车位为万元，
根据题意列方程：，
解得，
故充电桩车位成本为万元，
答：每个普通车位的建设成本是万元，每个充电桩车位的建设成本是万元．
（2）解：设新建停车场配备个充电桩车位，
列不等式：
解得，
答：新建停车场最多可配备个充电桩车位．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据题意列一元一次方程解答；
（2）设新建停车场配备个充电桩车位，利用题意列不等式，求出最大整数解解答即可．
（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则充电桩车位为万元，
根据题意列方程：，
解得，
故充电桩车位成本为万元，
答：每个普通车位的建设成本是万元，每个充电桩车位的建设成本是万元．
（2）解：设新建停车场配备个充电桩车位，
列不等式：
解得，
答：新建停车场最多可配备个充电桩车位．
24．【答案】（1）解：设书架上数学书有本，
由题意得：，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）解：设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设书架上数学书有本，根据图形列出方程，再求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式，再求解即可.
（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
25．【答案】（1）解：根据题意得，
到甲商场购买贺卡的费用为元；
到乙商场购买贺卡的费用为元．
（2）解：当去甲商场购买贺卡的费用比去乙商场少时，
有，解得：，
即当时，去甲商场购买贺卡花费少；
当去甲商场购买贺卡的费用和去乙商场相同时，
有，解得：，
即当时，去甲商场和去乙商场购买贺卡花费相同；
当去甲商场购买贺卡的费用比去乙商场多时，
有，解得：，
即当时，去乙商场购买贺卡花费少．
综上，当时，去甲商场购买贺卡花费少；当时，去甲商场和去乙商场购买贺卡花费相同；当时，去乙商场购买贺卡花费少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据两个商场的优惠方式列出代数式即可；
（2）分三种情况讨论：去甲商场购买的费用比去乙商场的少、去甲商场和去乙商场买的费用相同和去甲商场购买的费用比去乙商场的多，分别列出不等式和等式，求解即可.
26．【答案】解：（1）①；②；
（2）（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，
∴，，
又，
∴
∴；
（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是
∴，
∴，即，
∴该弹簧测力计的量程为；
（4）0.12.
【知识点】一元一次不等式的应用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
②图4中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
（4）∵，
∴ 1.2×0.1=0.12，即弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，
故答案为：（1）；（2）；（4）0.12．
【分析】（1）①②根据弹簧伸长的长度即可求得；
（2）根据可得，，根据，即可求得L0；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，再根据，即可求得量程；
（4）直接根据即可．
27．【答案】（1）①③
（2）解：解关于的方程，得．
解不等式组，得．
根据“关联方程”的定义，得
解得．
（3）解：解关于的方程，得．
关于的不等式组
解不等式①，得．
解不等式②，得．
根据不等式组有个整数解，可得
解得．
根据“关联方程”的定义，得
解得．
综上所述，．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：(1) ，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为，
① ，解得，故①是不等式组的''关联方程''；
② ，解得，故②不是不等式组的''关联方程''；
③ ，解得，故③是不等式组的''关联方程''.
故答案为：①③.
【分析】(1)先求得不等式组的解集，再分别求出方程的解，然后判断方程是不是不等式组的''关联方程''.
(2)先分别解得方程的解和不等式组的解集，再根据''关联方程''的定义得到关于k的不等式组，进而解得k的取值范围.
(3)先分别用m表示出方程的解和不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解得到关于m的不等式组，解得m的取值范围，然后利用''关联方程''的定义得到方程解的范围，进一步确定m的取值范围.
28．【答案】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：①或②，
解①得，解②可知无解，
∴不等式的解集为；
（2）解：当，
根据“同号两数相除，商为正”可得：
①或②，
解①得，解②得，
∴不等式的解集为或；
当，即时，原不等式也成立；
综上所述，或．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可将两个因式乘积的不等式转化为一元一次不等式组求解解得得出答案；
（2）根据题意可将分式不等式转化为一元一次不等式组求解，需注意分分子等于0，和分子不等于0两种情况讨论；当，根据“同号两数相除，商为正”可得：①或②，解不等式组即可得到答案；当，即时，，故原不等式也成立，据此即可得到答案．
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