北京版七（下）数学第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试提升卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024七下·湖南期中）①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023七下·广宁期末）已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·天河月考）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七下·西宁期末）小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页 设第六天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022七下·仁寿期中）若不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2
6．（2025七下·遂宁期末）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．>4 D．<4
7．（2024七下·合肥期中） 已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2024七下·怀宁期中） 若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39 B．42 C．45 D．48
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024七下·黔江期末）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
10．（2024七下·江安期中）写一个解集为的不等式： ．
11．（2020七下·增城期末）某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题，答对一题加10分，答错（或不答）一道题扣5分，如果小明参加本次竞赛得分要不低于140分，那么他至少答对 道题 ．
12．（2024七下·黄石港期末）高斯函数，也称取整函数，即表示不超过的最大整数，例如：，，若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围为 ．
13．（2024七下·衡阳期末）不等式组的所有整数解的和是 ．
14．（2024七下·温岭期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ．
15．（2024七下·恩平期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为 ．
16．（2024七下·雷州期末）关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024七下·长沙期末）求不等式的非负整数解．
18．（2025七下·饶平期末） 解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来.
19．（2024七下·新会期中） x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x-1）与x≤2-x都成立？
20．（2025七下·麦积期中）下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式：
解：去分母，得： 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项， 第四步
两边同时除以，得 第五步
任务：
（1）上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______；
（2）请写出该不等式正确的求解过程；
（3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项．
21．（2024七下·孝南期末）某商场计划购进一批某型号冰箱和洗衣机，经投标，购买台冰箱元，购买台洗衣机元．
（1）商场根据实际情况，决定购买冰箱和洗衣机共台，要求购买的总费用不超过元，则购买冰箱最多多少台？
（2）在的条件下，购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的倍请问有几种购买方案？
22．（2024七下·滨海月考）感知：解不等式．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组①或不等式组不等式组①，得；解不等式组②，得，所以原不等式的解集为或．
（1）探究：解不等式．
（2）应用：解不等式．
23．（2024七下·广州期中）已知关于x的方程．
（1）若该方程的解满足，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
24．（2024七下·江安期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
25．（2024七下·玉州期末）【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x－y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞－1．
又∵y＜0，∴－1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得－1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求2x+2y的取值范围．
26．（2024七下·北流期末）阅读理解：
例：解不等式．
解：把不等式进行整理，得，通分得，
即，则有：①；②．
解不等式组①得：；解不等式组②得：．
所以原不等式的解集为：或．
请根据以上解不等式的思想方法解不等式．
27．（2025七下·慈利期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号）
（2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
28．（2024七下·玉州期末）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵，∴．
又∵，∴，∴．
又∵，∴，①
同理得②
由得．
∴的取值范围是．
【尝试应用】已知，且，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：∵①②⑤是不等式，③④不是不等式，
∴不等式有3个，
故答案为：C．
【分析】根据不等式的定义求解．
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-b＞b-b，即a-b＞0，所以此选项不成立，不符合题意；
B、∵a＞b，∴，所以此选项成立，符合题意；
C、∵a＞b，当c≠0时，c2＞0，∴ac2＞bc2，所以此选项不一定成立，不符合题意；
D、∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a-1＞2b-1，所以此选项不成立，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意，x的解集为-1＜x≤2，因此只有B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据解集直接判断选项即可.
4．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设第六天起平均每天要读x页，由题意可得，
，
即：．
故答案为：A．
【分析】设第六天起平均每天要读x页，根据100页+后5天读的页数≥400，列出不等式即可.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
∵解不等式②得：x＞2.
又∵不等式组 的解集是x＞2，∴m≤2.
故答案为：C.
【分析】解不等式②得x＞2，由于不等式组的解集是x＞2，根据同大取大，可得m≤2.
6．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得 x≥4 ，
解不等式②得 x≥a ，
∵不等式组的解集为 x≥4，
∴ a≤4
故答案为：B.
【分析】先根据不等式基本性质求出不等式的解，再利用不等式的解集口诀“大大取大”得到 a≤4即可.
7．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【解答】A．若，则，即，则：
，故A正确；
B．若，则，
把代入得：
，
∴，
把，代入得：
，
分解因式得：，
∴或
∴或，故B错误；
C．若，则，
∴，
∴，故C错误；
D．若，则
把代入得：，
∴，故D错误．
故答案为：A．
【分析】利用题干中的等式，再结合各选项中a、b、c的值及之间的关系逐项分析判断即可.
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解①式得；解②式得. 则解集为.
若x只有3个整数解，则这三个整数解只能为1，2，3，即要求，解得，则符合条件的整数k有12、13和14，三数之和为39.
故答案为：A.
【分析】先解不等式组，然后根据题目关于x的整数解的限定条件，推算出k的取值范围，再从中选出符合整数条件的k的可能取值，相加即可.
9．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 关于的不等式的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得关于a的不等式，解不等式即可求解．
10．【答案】
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解集为不等式可以为.
故答案为：.
【分析】根据不等式的性质对其变形得到即可.
11．【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小明应答对x道题，则答错（或不答）（20-x）道题，
依题意，得：10x-5（20-x）≥140，
解得：x≥16．
故答案为：16．
【分析】根据小明参加本次竞赛得分要不低于140分，列不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得：-1≤x＜，
∵ 不等式组的整数解恰有个 ，
∴=2，
∴.
故答案为：.
【分析】先求出不等式组的解集-1≤x＜，根据不等式组的整数解恰有个 ，可得=2，再根据表示不超过的最大整数即可求解.
13．【答案】7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集是，
故不等式组的所有整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4，
∴ 不等式组的所有整数解的和是，
故填：7.
【分析】按照解不等式组的一般步骤解不等式组并分析其整数解求和即可.
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解： 要在内通过，
x×64÷3600≥0.8，
解得，x≥45，
∵ 限速60km/h，
∴ 小车当前行驶速度的取值范围是．
故答案为：.
【分析】先求出要在内通过时的最小速度，再结合道路限速60km/h，即可求得.
15．【答案】，0，1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可将不等式组转化为，
解得．
所以不等式组的整数解为，0，1．
故答案为：；0；1．
【分析】根据新定义运算法则列出常规的不等式组，然后根据解一元一次不等式的步骤，分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，最后找出解集范围内的整数解即可．
16．【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：k-2x=3（k-2），
k-2x=3k-6，
2x=6-2k，
x=3-k，
∵k-2x=3（k-2）的解为非负数，
∴3-k≥0，
解得：k≤3，
解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1，
解不等式≥x，得：x≤k，
∵不等式组有解，
∴k≥-1，
则-1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5，
故答案为：5．
【分析】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。
17．【答案】，
去分母得，
去括号得，
移项合并得，
解得．
原不等式的非负整数解为：或1．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤“去分母（两边同时乘以6，左边的1也要乘以6，不能漏乘）、去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）、移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集，然后找出其中的非负整数解即可．
18．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴表示在数轴上为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
本题考查一元一次不等式组的解法，并用数轴表示不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解法是解题关键.
一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；先根据一元一次不等式的解法可分别求出两个不等式的解集，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后根据解集在数轴上的表示方法：小于向左，大于向右；实心表示包含该点的值，空心表示不包含，将解集在数轴上表示出来，即可得出答案.
19．【答案】-解：根据题意解不等式组，解不等式①，得：x＞-，
解不等式②，得：x≤1，
∴-＜x≤1，
故满足条件的整数有-2、-1、0、1．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解，根据题意，分别求出每个不等式解集，结合同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定不等式组的解集，得出确定整数值，即可得到答案．
20．【答案】（1）第一步，去分母时，漏乘常数项
（2）解：，
去分母，得：
去括号，得
移项，得
合并同类项，
两边同时除以，得．
（3）解：建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）根据解不等式的基本步骤，
发现第一步开始出现了错误，
错因是去分母时漏乘了常数项，
故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项．
【分析】（1）去分母，注意不要漏乘常数项；
（2）按照解不等式的基本步骤解答即可．
（3）注意不要漏乘常数项．
（1）解：根据解不等式的基本步骤，发现第一步开始出现了错误，错因是去分母时漏乘了常数项，
故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项．
（2）解：，
去分母，得：
去括号，得
移项，得
合并同类项，
两边同时除以，得．
（3）解：建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项．
21．【答案】（1）解：设购买台冰箱，则购买台洗衣机，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：购买冰箱最多台；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又，且为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案．
答：共有种购买方案．
方案1：购买冰箱38台，洗衣机62台；
方案2：购买冰箱39台，洗衣机61台；
方案3：购买冰箱40台，洗衣机60台
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=单价×数量，设购买冰箱x台，则购买洗衣机（100-x)台，根据购买的总费用不超过96000元列一元一次不等式求解；
（2）根据购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的1.7倍列得，进而求出，即可得到x的正整数解，由此得到购买方案。
22．【答案】（1）解：根据题意原不等式可化为不等式组
①或②{
解不等式组①，．
解不等式组②，得：．
所以原不等式的解集为或．
（2）解：原不等式可化为不等式组：
①或②，
解不等式组①得：不等式组无解，
解不等式组②得：．
故答案为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组求解即可；
（2）根据题意先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组求解即可．
23．【答案】（1）解：解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解：不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．
24．【答案】（1）③
（2）
（3）解：解方程，得；
解方程，得．
解不等式组得．
由关联方程的定义，得解得．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）③提示：解方程，得；解方程，得；解方程，得，不等式组的关联方程是③．
（2）解不等式组，
得：＜x＜，
这个关联方程可以是x﹣1＝0，
故答案为：x﹣1＝0
【分析】（1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再逐一判断即可.
（2）先求出不等式组的解集，得到整数解，再写出关联方程即可.
（3）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义列出一元一次不等式组，进行求解即可.
25．【答案】解：∵x﹣y＝﹣3，
∴x＝y﹣3．
又∵x＜﹣1，
∴y﹣3＜﹣1，
∴y＜2．
又∵y＞1，
∴1＜y＜2，…①
同理得﹣2＜x＜﹣1…②
由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1，
∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1，
∴2x+2y的取值范围是﹣2＜2x+2y＜2
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【分析】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
26．【答案】解：把不等式进行整理，得
通分得，即
则有：①；②
解不等式组①得：；
解不等式组②得：．
所以原不等式的解集为：或．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】参照提干中的定义及计算方法并利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
27．【答案】（1）①③
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
解得：，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
解得：；
∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
∴，
解得，
又∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
∴m的取值范围为：．
【知识点】解一元一次不等式组；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，
去分母得，，
移项合并得，，
系数化为1得，；
②，
去括号得，，
移项合并同类项得，；
③，
移项得，，
系数化为1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
其中和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”．
故答案为：①③．
【分析】（1）分别解三个方程和不等式组，再根据定义进行判断即可；
（2）分别解方程和不等式组，根据定义可得，再解关于k的不等式组即可；
（3）解方程和不等式组后，根据“关联方程”的定义可得关于m的不等式组并求解，再由不等式组有3个整数解得到新的关于m的不等式组并求解，取两个不等式组解集的公共部分即可．
（1）解：①，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
②，
去括号得，，
移项合并同类项得，；
③，
移项得，，
系数化为1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”．
故答案为：①③．
（2）解：
解得，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得；
（3）解：，
去分母得，
移项合并同类项得，；
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
∴．
28．【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴①，
同理得②，
由得，
∴的取值范围是，
∴的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【分析】参照题干中的定义及计算方法可得①，②，再结合可得，最后求出即可．
1 / 1北京版七（下）数学第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单元测试提升卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024七下·湖南期中）①；②；③；④；⑤．其中不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：∵①②⑤是不等式，③④不是不等式，
∴不等式有3个，
故答案为：C．
【分析】根据不等式的定义求解．
2．（2023七下·广宁期末）已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-b＞b-b，即a-b＞0，所以此选项不成立，不符合题意；
B、∵a＞b，∴，所以此选项成立，符合题意；
C、∵a＞b，当c≠0时，c2＞0，∴ac2＞bc2，所以此选项不一定成立，不符合题意；
D、∵a＞b，∴2a＞2b，∴2a-1＞2b-1，所以此选项不成立，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
3．（2024七下·天河月考）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意，x的解集为-1＜x≤2，因此只有B选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据解集直接判断选项即可.
4．（2022七下·西宁期末）小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页 设第六天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设第六天起平均每天要读x页，由题意可得，
，
即：．
故答案为：A．
【分析】设第六天起平均每天要读x页，根据100页+后5天读的页数≥400，列出不等式即可.
5．（2022七下·仁寿期中）若不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
∵解不等式②得：x＞2.
又∵不等式组 的解集是x＞2，∴m≤2.
故答案为：C.
【分析】解不等式②得x＞2，由于不等式组的解集是x＞2，根据同大取大，可得m≤2.
6．（2025七下·遂宁期末）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．>4 D．<4
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得 x≥4 ，
解不等式②得 x≥a ，
∵不等式组的解集为 x≥4，
∴ a≤4
故答案为：B.
【分析】先根据不等式基本性质求出不等式的解，再利用不等式的解集口诀“大大取大”得到 a≤4即可.
7．（2024七下·合肥期中） 已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【解答】A．若，则，即，则：
，故A正确；
B．若，则，
把代入得：
，
∴，
把，代入得：
，
分解因式得：，
∴或
∴或，故B错误；
C．若，则，
∴，
∴，故C错误；
D．若，则
把代入得：，
∴，故D错误．
故答案为：A．
【分析】利用题干中的等式，再结合各选项中a、b、c的值及之间的关系逐项分析判断即可.
8．（2024七下·怀宁期中） 若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39 B．42 C．45 D．48
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解①式得；解②式得. 则解集为.
若x只有3个整数解，则这三个整数解只能为1，2，3，即要求，解得，则符合条件的整数k有12、13和14，三数之和为39.
故答案为：A.
【分析】先解不等式组，然后根据题目关于x的整数解的限定条件，推算出k的取值范围，再从中选出符合整数条件的k的可能取值，相加即可.
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024七下·黔江期末）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ 关于的不等式的解集为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得关于a的不等式，解不等式即可求解．
10．（2024七下·江安期中）写一个解集为的不等式： ．
【答案】
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解集为不等式可以为.
故答案为：.
【分析】根据不等式的性质对其变形得到即可.
11．（2020七下·增城期末）某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题，答对一题加10分，答错（或不答）一道题扣5分，如果小明参加本次竞赛得分要不低于140分，那么他至少答对 道题 ．
【答案】16
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小明应答对x道题，则答错（或不答）（20-x）道题，
依题意，得：10x-5（20-x）≥140，
解得：x≥16．
故答案为：16．
【分析】根据小明参加本次竞赛得分要不低于140分，列不等式求解即可。
12．（2024七下·黄石港期末）高斯函数，也称取整函数，即表示不超过的最大整数，例如：，，若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得：-1≤x＜，
∵ 不等式组的整数解恰有个 ，
∴=2，
∴.
故答案为：.
【分析】先求出不等式组的解集-1≤x＜，根据不等式组的整数解恰有个 ，可得=2，再根据表示不超过的最大整数即可求解.
13．（2024七下·衡阳期末）不等式组的所有整数解的和是 ．
【答案】7
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集是，
故不等式组的所有整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4，
∴ 不等式组的所有整数解的和是，
故填：7.
【分析】按照解不等式组的一般步骤解不等式组并分析其整数解求和即可.
14．（2024七下·温岭期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解： 要在内通过，
x×64÷3600≥0.8，
解得，x≥45，
∵ 限速60km/h，
∴ 小车当前行驶速度的取值范围是．
故答案为：.
【分析】先求出要在内通过时的最小速度，再结合道路限速60km/h，即可求得.
15．（2024七下·恩平期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为 ．
【答案】，0，1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意可将不等式组转化为，
解得．
所以不等式组的整数解为，0，1．
故答案为：；0；1．
【分析】根据新定义运算法则列出常规的不等式组，然后根据解一元一次不等式的步骤，分别解出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，最后找出解集范围内的整数解即可．
16．（2024七下·雷州期末）关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
【答案】5
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：k-2x=3（k-2），
k-2x=3k-6，
2x=6-2k，
x=3-k，
∵k-2x=3（k-2）的解为非负数，
∴3-k≥0，
解得：k≤3，
解不等式x-2（x-1）≤3，得：x≥-1，
解不等式≥x，得：x≤k，
∵不等式组有解，
∴k≥-1，
则-1≤k≤3，
∴符合条件的整数k的值的和为-1+0+1+2+3=5，
故答案为：5．
【分析】先求出方程的解及不等式组的解集，根据不等式组有解即可求出k的取值范围，再根据题目要求求出答案。
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2024七下·长沙期末）求不等式的非负整数解．
【答案】，
去分母得，
去括号得，
移项合并得，
解得．
原不等式的非负整数解为：或1．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】按照解一元一次不等式的步骤“去分母（两边同时乘以6，左边的1也要乘以6，不能漏乘）、去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）、移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集，然后找出其中的非负整数解即可．
18．（2025七下·饶平期末） 解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴表示在数轴上为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
本题考查一元一次不等式组的解法，并用数轴表示不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解法是解题关键.
一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；先根据一元一次不等式的解法可分别求出两个不等式的解集，再取它们的交集得到不等式组的解集，最后根据解集在数轴上的表示方法：小于向左，大于向右；实心表示包含该点的值，空心表示不包含，将解集在数轴上表示出来，即可得出答案.
19．（2024七下·新会期中） x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x-1）与x≤2-x都成立？
【答案】-解：根据题意解不等式组，解不等式①，得：x＞-，
解不等式②，得：x≤1，
∴-＜x≤1，
故满足条件的整数有-2、-1、0、1．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解，根据题意，分别求出每个不等式解集，结合同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定不等式组的解集，得出确定整数值，即可得到答案．
20．（2025七下·麦积期中）下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式：
解：去分母，得： 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项， 第四步
两边同时除以，得 第五步
任务：
（1）上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______；
（2）请写出该不等式正确的求解过程；
（3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项．
【答案】（1）第一步，去分母时，漏乘常数项
（2）解：，
去分母，得：
去括号，得
移项，得
合并同类项，
两边同时除以，得．
（3）解：建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）根据解不等式的基本步骤，
发现第一步开始出现了错误，
错因是去分母时漏乘了常数项，
故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项．
【分析】（1）去分母，注意不要漏乘常数项；
（2）按照解不等式的基本步骤解答即可．
（3）注意不要漏乘常数项．
（1）解：根据解不等式的基本步骤，发现第一步开始出现了错误，错因是去分母时漏乘了常数项，
故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项．
（2）解：，
去分母，得：
去括号，得
移项，得
合并同类项，
两边同时除以，得．
（3）解：建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项．
21．（2024七下·孝南期末）某商场计划购进一批某型号冰箱和洗衣机，经投标，购买台冰箱元，购买台洗衣机元．
（1）商场根据实际情况，决定购买冰箱和洗衣机共台，要求购买的总费用不超过元，则购买冰箱最多多少台？
（2）在的条件下，购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的倍请问有几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买台冰箱，则购买台洗衣机，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：购买冰箱最多台；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又，且为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案．
答：共有种购买方案．
方案1：购买冰箱38台，洗衣机62台；
方案2：购买冰箱39台，洗衣机61台；
方案3：购买冰箱40台，洗衣机60台
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=单价×数量，设购买冰箱x台，则购买洗衣机（100-x)台，根据购买的总费用不超过96000元列一元一次不等式求解；
（2）根据购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的1.7倍列得，进而求出，即可得到x的正整数解，由此得到购买方案。
22．（2024七下·滨海月考）感知：解不等式．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组①或不等式组不等式组①，得；解不等式组②，得，所以原不等式的解集为或．
（1）探究：解不等式．
（2）应用：解不等式．
【答案】（1）解：根据题意原不等式可化为不等式组
①或②{
解不等式组①，．
解不等式组②，得：．
所以原不等式的解集为或．
（2）解：原不等式可化为不等式组：
①或②，
解不等式组①得：不等式组无解，
解不等式组②得：．
故答案为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组求解即可；
（2）根据题意先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组求解即可．
23．（2024七下·广州期中）已知关于x的方程．
（1）若该方程的解满足，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】（1）解：解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解：不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．
24．（2024七下·江安期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】（1）③
（2）
（3）解：解方程，得；
解方程，得．
解不等式组得．
由关联方程的定义，得解得．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）③提示：解方程，得；解方程，得；解方程，得，不等式组的关联方程是③．
（2）解不等式组，
得：＜x＜，
这个关联方程可以是x﹣1＝0，
故答案为：x﹣1＝0
【分析】（1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再逐一判断即可.
（2）先求出不等式组的解集，得到整数解，再写出关联方程即可.
（3）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义列出一元一次不等式组，进行求解即可.
25．（2024七下·玉州期末）【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x－y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞－1．
又∵y＜0，∴－1＜y＜0，…①
同理得1＜x＜2…②
由①+②得－1+1＜y+x＜0+2．
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
【尝试应用】已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求2x+2y的取值范围．
【答案】解：∵x﹣y＝﹣3，
∴x＝y﹣3．
又∵x＜﹣1，
∴y﹣3＜﹣1，
∴y＜2．
又∵y＞1，
∴1＜y＜2，…①
同理得﹣2＜x＜﹣1…②
由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1，
∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1，
∴2x+2y的取值范围是﹣2＜2x+2y＜2
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【分析】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
26．（2024七下·北流期末）阅读理解：
例：解不等式．
解：把不等式进行整理，得，通分得，
即，则有：①；②．
解不等式组①得：；解不等式组②得：．
所以原不等式的解集为：或．
请根据以上解不等式的思想方法解不等式．
【答案】解：把不等式进行整理，得
通分得，即
则有：①；②
解不等式组①得：；
解不等式组②得：．
所以原不等式的解集为：或．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】参照提干中的定义及计算方法并利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
27．（2025七下·慈利期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号）
（2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
解得：，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
解得：；
∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
∴，
解得，
又∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
∴m的取值范围为：．
【知识点】解一元一次不等式组；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，
去分母得，，
移项合并得，，
系数化为1得，；
②，
去括号得，，
移项合并同类项得，；
③，
移项得，，
系数化为1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
其中和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”．
故答案为：①③．
【分析】（1）分别解三个方程和不等式组，再根据定义进行判断即可；
（2）分别解方程和不等式组，根据定义可得，再解关于k的不等式组即可；
（3）解方程和不等式组后，根据“关联方程”的定义可得关于m的不等式组并求解，再由不等式组有3个整数解得到新的关于m的不等式组并求解，取两个不等式组解集的公共部分即可．
（1）解：①，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
②，
去括号得，，
移项合并同类项得，；
③，
移项得，，
系数化为1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”．
故答案为：①③．
（2）解：
解得，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得；
（3）解：，
去分母得，
移项合并同类项得，；
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
∴．
28．（2024七下·玉州期末）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵，∴．
又∵，∴，∴．
又∵，∴，①
同理得②
由得．
∴的取值范围是．
【尝试应用】已知，且，，求的取值范围．
【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴①，
同理得②，
由得，
∴的取值范围是，
∴的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【分析】参照题干中的定义及计算方法可得①，②，再结合可得，最后求出即可．
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