北京版七（下）数学第五章 二元一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·乐清期末）用代入消元法解二元一次方程组时，将①代入②，得（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·郸城月考）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y， B．要消去x，
C．要消去y， D．要消去x，
5．（新人教版数学七年级下册 第八章二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法同步训练）以 为解建立三元一次方程组，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·沈丘期中）某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·海珠期末）下列几组解中，二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文如下：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何 ”其大意是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问：木头长多少尺 可设木头长x尺，绳子长y尺，则所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a= .
10．（2024七下·宁波期末）已知是方程的一个解，则 ．
11．（2025七下·杭州月考）二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ．
12．（2023七下·桑植期末）已知关于x、y的方程组的解满足x+y=2，k= ．
13．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
14．（2023七下·邹平期末）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为 里/小时．
15．（2024七下·桃源期末）首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有 块．
16．（2024七下·黄埔期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ．
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2025七下·天台期末） 解方程组：
18．（2025七下·长沙期末） 解二元一次方程组：
19．（2024七下·浈江期中）列二元一次方程组求解应用题．
某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示：
书名 价格 青春之歌 林海雪原
进价（元∕本） 20 25
标价（元∕本） 30 40
（1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？
（2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？
20．（2024七下·红花岗期中）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①，得．③…（第一步）
②③，得，解得，…（第二步）
将代入①，得…（第三步）
所以原方程组的解为…（第四步）
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
21．（2024七下·舒兰期末）已知是关于，的二元一次方程的一组解．
（1）求的值；
（2）请用含有的代数式表示．
22．（2024七下·长春期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
23．（2024七下·东莞期中）某商场用6600元购进甲、乙两种节能灯共100只.甲种进价60元/只，售价80元/只；乙种进价70元/只，售价100元/只.
（1）甲、乙两种节能灯各进了多少只
（2）全部售完这100只节能灯后，该商场获利多少元
24．（2024七下·南宁期中）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？
25．（2025七下·游仙期末）某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表．
单价（元/件） A种 B种
进价 200 320
标价 300 500
（1）这两种服装各购进多少件？
（2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？
26．（2025七下·遂宁期末）已知关于、的方程组．
（1）求方程组的解(用含的代数式表示)；
（2）若方程组的解满足条件，且．求的取值范围．
27．（2025七下·杭州期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。
（1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。
（2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下：
设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）.
②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系.
28．（2025七下·雨花期末）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）：
甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元
第一次 10 8 1020
第二次 6 12 900
（1）求甲、乙两款玩偶的进货单价；
（2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：时，将①代入②，得2x+x-4=2.
故答案为：C.
【分析】根据代入消元法将①代入②，即②中的y用x-4进行替代即可.
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：要消去x ，2和3的最小公倍数是6，
∴，
要消去y，即可，
故答案为：C．
【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】因为将未知数的值代入C项中为 ，所以选择C．
【分析】将三个未知数的值代入选项中的三元一次方程中逐个验证即可．
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：该班男生有人，女生有人．根据题意，，
故选：D
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入二元一次方程，
左边右边，
是二元一次方程的解，A符合题意；
B、把 代入二元一次方程，
左边右边，
不是二元一次方程的解，B不符合题意；
C、把 代入二元一次方程，
左边右边，
不是二元一次方程的解，C不符合题意；
D、把 代入二元一次方程，
左边右边，
不是二元一次方程的解，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木头长x尺，绳子长y尺，
∵用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺， 即绳子比木头长4.5尺
∴方程y -x = 4.5
∵将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺， 即木头比对折后的绳子长1尺 ，
∴方程 x = 1
∴联立成方程组：
故选：D.
【分析】等量关系：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺， 即绳子比木头长4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺， 即木头比对折后的绳子长1尺 .
9．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
10．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，得到关于待求字母参数的方程求解．
11．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①得③，
把③代入②，得，
故答案为：．
【分析】此题要求用代入消元法消去未知数x，故只需要将方程组中一个方程变形为用含y的式子表示x的形式后再代入另一个方程即可；观察发现第一个方程未知数x的系数为1，故由方程①得，再代入方程②可得答案．
12．【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②×3，可得y=4-k
再将y=4-k，代入①中，可得x=2k-6
∵x+y=2
∴2k-6+4-k=2，
解得：k=4
故答案为：4．
【分析】根据加减消元法可得x=2k-6，y=4-k，再代入等式，解方程即可求出答案.
13．【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
14．【答案】60
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：（里小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里小时），
设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，
由题意得：，
解得：，
设戴宗的速度为60里小时，
答：戴宗的速度为60里小时。
故答案为：60。
【分析】设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组：，然后再解方程组即可。
15．【答案】12
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设白色皮块有x块，黑色皮块有y块，
根据题意，得，
解得，
则黑色皮块有12块，
故答案为：12．
【分析】设黑色皮块有x块，白色皮块有y块，根据“一个足球上共有黑白皮块共32块”，建立方程：x+y=32；每块白色皮有3条边与黑色皮相连，所以，黑色皮共有3x条边，而黑色皮共有5y条边，据此建立方程：3x=5y，联合以上两条方程即可求解
16．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意得：，
．
故答案为：6．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出关于，的二元一次方程，化简得到的值，即可得到答案.
17．【答案】解：
将①代入②得，
解得，③
将③代入①得，.
原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法即可求解.
18．【答案】解：由①得：4x-4y=8-3y，即4x-y=8
由②得：3x+2y=6④
③×2得：8x-2y=16⑤
④+⑤得：11x=22
解得：x=2
把x=2代入③得：8-y=8
解得：у=0
所以这个方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先分别整理两个二元一次方程，再利用等式的基本性质把两个方程中一个未知数的系数变成相同数字或相反数，再利用加减消元法求解即可.
19．【答案】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，
根据题意得，，
解得：，
答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；
（2）根据题意得，商店共获利：
（30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元），
答：商店共获利700元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据 用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；；
（2）根据 《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，列式计算，即可求解．
20．【答案】（1）解：根据解二元一次方程组的过程，可知这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，马小虎同学从第二步开始出现错误，
故答案为：加减消元，二；
（2）解：
①，得……③ ，
②③，得 ，
解得：，
将代入①，得．
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据解二元一次方程组的过程，可判断使用加减消元法，观察步骤可知第二步合并同类项时出错；
（2）按照用”加减消元法“解二元一次方程组的步骤进行求解即可.
（1）解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错，
故答案为：加减消元法，第二步．
（2）解：方程组：
解：①，得……③ ，
②③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
21．【答案】（1）解：将代入，得，
解得：．
（2）解：∵，
∴原方程可变为：，
∴．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将代入，得出关于a方程，解关于a的方程即可求出答案.
（2）把代入得，化简即可求出答案.
（1）解：将代入，得，
解得：．
（2）解：∵，
∴原方程可变为：，
∴．
22．【答案】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
每个小长方形的面积为，
阴影部分的面积．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽，列出二元一次方程组，求出和的值，即可得到答案.
23．【答案】（1）解：设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只，
根据题意得，
解得，
甲种节能灯进了40只，乙种节能灯进了60只．
（2）解：（元），
全部售完这100只节能灯后，该商场获利2600元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只，根据“商场用6600元购进节能灯100只”，结合甲乙两种节能灯的进价，列出关于x，y的二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）根据题意，结合利润为甲、乙两种节能灯的售价减去进价乘以数量之和，列出算式，即可求解．
24．【答案】解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，则
，
解得：，
答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据 购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案.
25．【答案】（1）解：设购进A种服装x件，B种服装y件，
依题意得：
解得：
答：购进A种服装15件，B种服装10件．
（2）解：300×（1-0.8）×15+500×（1-0.75）×10
=300×0.2×15+500×0.25×10
=900+1250
=2150（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2150元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由已知条件中与销售有关的数量关系列出方程组，求解即可。
（2）A种服饰8折售出，每件衣服较原标价减少60元，B种服饰7.5折售出，每件衣服较原标价减少125元，再结合第（1）题中已经求得的A、B两种服装的数量，即可求得打折售出比按标价售出收入减少的值。
26．【答案】（1）解：
①-②×3得：
将代入②得
∴方程组的解为
（2）解：∵
∴
解得
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】⑴根据加减消元法解二元一次方程组.
⑵根据题意，得到不等式组，求出m的取值范围即可.
27．【答案】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个，
由题意得：，
解得：，
答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个；
（2）解：①甲：元，
乙：
答：甲商场付款金额为元， 乙商场付款金额为元；
②由题意得：48a+20b=36a+15b+510，
则12a+5b=510.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可；
（2）①这一问考察学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；
②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系。
28．【答案】（1）解：设甲款玩偶杯的进价为元，乙款玩偶杯的进价为元，
由题意得，
解得：，
答：甲款玩偶杯的进价为70元，乙款玩偶杯的进价为40元．
（2）解：设购买甲款玩偶杯个，则购买乙款玩偶杯个，
由题意得，，解得：，
的最小值为70，
答：至少购买甲款玩偶杯70个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“单价×数量=总费用”这个关系，利用表格里的信息列出两次进货的方程，求解即可；
（2）设未知数表示出甲、乙两款玩偶的利润之和，令其大于或等于3700，解不等式即可求出未知数的取值范围，从而确定其最小值。
1 / 1北京版七（下）数学第五章 二元一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．（2025七下·乐清期末）用代入消元法解二元一次方程组时，将①代入②，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：时，将①代入②，得2x+x-4=2.
故答案为：C.
【分析】根据代入消元法将①代入②，即②中的y用x-4进行替代即可.
4．（2024七下·郸城月考）用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y， B．要消去x，
C．要消去y， D．要消去x，
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：要消去x ，2和3的最小公倍数是6，
∴，
要消去y，即可，
故答案为：C．
【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
5．（新人教版数学七年级下册 第八章二元一次方程组8.4三元一次方程组的解法同步训练）以 为解建立三元一次方程组，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】因为将未知数的值代入C项中为 ，所以选择C．
【分析】将三个未知数的值代入选项中的三元一次方程中逐个验证即可．
6．（2024七下·沈丘期中）某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：该班男生有人，女生有人．根据题意，，
故选：D
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
7．（2023七下·海珠期末）下列几组解中，二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入二元一次方程，
左边右边，
是二元一次方程的解，A符合题意；
B、把 代入二元一次方程，
左边右边，
不是二元一次方程的解，B不符合题意；
C、把 代入二元一次方程，
左边右边，
不是二元一次方程的解，C不符合题意；
D、把 代入二元一次方程，
左边右边，
不是二元一次方程的解，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.
8．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文如下：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何 ”其大意是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问：木头长多少尺 可设木头长x尺，绳子长y尺，则所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木头长x尺，绳子长y尺，
∵用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺， 即绳子比木头长4.5尺
∴方程y -x = 4.5
∵将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺， 即木头比对折后的绳子长1尺 ，
∴方程 x = 1
∴联立成方程组：
故选：D.
【分析】等量关系：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺， 即绳子比木头长4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺， 即木头比对折后的绳子长1尺 .
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a= .
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
10．（2024七下·宁波期末）已知是方程的一个解，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，得到关于待求字母参数的方程求解．
11．（2025七下·杭州月考）二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①得③，
把③代入②，得，
故答案为：．
【分析】此题要求用代入消元法消去未知数x，故只需要将方程组中一个方程变形为用含y的式子表示x的形式后再代入另一个方程即可；观察发现第一个方程未知数x的系数为1，故由方程①得，再代入方程②可得答案．
12．（2023七下·桑植期末）已知关于x、y的方程组的解满足x+y=2，k= ．
【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②×3，可得y=4-k
再将y=4-k，代入①中，可得x=2k-6
∵x+y=2
∴2k-6+4-k=2，
解得：k=4
故答案为：4．
【分析】根据加减消元法可得x=2k-6，y=4-k，再代入等式，解方程即可求出答案.
13．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
14．（2023七下·邹平期末）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为 里/小时．
【答案】60
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：（里小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里小时），
设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，
由题意得：，
解得：，
设戴宗的速度为60里小时，
答：戴宗的速度为60里小时。
故答案为：60。
【分析】设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组：，然后再解方程组即可。
15．（2024七下·桃源期末）首届“安海校园杯”足球赛火热进行中，足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．一般一个足球上共有黑白皮块共32块，请你计算一下，黑色皮块有 块．
【答案】12
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设白色皮块有x块，黑色皮块有y块，
根据题意，得，
解得，
则黑色皮块有12块，
故答案为：12．
【分析】设黑色皮块有x块，白色皮块有y块，根据“一个足球上共有黑白皮块共32块”，建立方程：x+y=32；每块白色皮有3条边与黑色皮相连，所以，黑色皮共有3x条边，而黑色皮共有5y条边，据此建立方程：3x=5y，联合以上两条方程即可求解
16．（2024七下·黄埔期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ．
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意得：，
．
故答案为：6．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出关于，的二元一次方程，化简得到的值，即可得到答案.
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2025七下·天台期末） 解方程组：
【答案】解：
将①代入②得，
解得，③
将③代入①得，.
原方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法即可求解.
18．（2025七下·长沙期末） 解二元一次方程组：
【答案】解：由①得：4x-4y=8-3y，即4x-y=8
由②得：3x+2y=6④
③×2得：8x-2y=16⑤
④+⑤得：11x=22
解得：x=2
把x=2代入③得：8-y=8
解得：у=0
所以这个方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先分别整理两个二元一次方程，再利用等式的基本性质把两个方程中一个未知数的系数变成相同数字或相反数，再利用加减消元法求解即可.
19．（2024七下·浈江期中）列二元一次方程组求解应用题．
某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示：
书名 价格 青春之歌 林海雪原
进价（元∕本） 20 25
标价（元∕本） 30 40
（1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？
（2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？
【答案】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，
根据题意得，，
解得：，
答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；
（2）根据题意得，商店共获利：
（30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元），
答：商店共获利700元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据 用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；；
（2）根据 《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，列式计算，即可求解．
20．（2024七下·红花岗期中）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①，得．③…（第一步）
②③，得，解得，…（第二步）
将代入①，得…（第三步）
所以原方程组的解为…（第四步）
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）解：根据解二元一次方程组的过程，可知这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，马小虎同学从第二步开始出现错误，
故答案为：加减消元，二；
（2）解：
①，得……③ ，
②③，得 ，
解得：，
将代入①，得．
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据解二元一次方程组的过程，可判断使用加减消元法，观察步骤可知第二步合并同类项时出错；
（2）按照用”加减消元法“解二元一次方程组的步骤进行求解即可.
（1）解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错，
故答案为：加减消元法，第二步．
（2）解：方程组：
解：①，得……③ ，
②③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
21．（2024七下·舒兰期末）已知是关于，的二元一次方程的一组解．
（1）求的值；
（2）请用含有的代数式表示．
【答案】（1）解：将代入，得，
解得：．
（2）解：∵，
∴原方程可变为：，
∴．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将代入，得出关于a方程，解关于a的方程即可求出答案.
（2）把代入得，化简即可求出答案.
（1）解：将代入，得，
解得：．
（2）解：∵，
∴原方程可变为：，
∴．
22．（2024七下·长春期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积．
【答案】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
每个小长方形的面积为，
阴影部分的面积．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽，列出二元一次方程组，求出和的值，即可得到答案.
23．（2024七下·东莞期中）某商场用6600元购进甲、乙两种节能灯共100只.甲种进价60元/只，售价80元/只；乙种进价70元/只，售价100元/只.
（1）甲、乙两种节能灯各进了多少只
（2）全部售完这100只节能灯后，该商场获利多少元
【答案】（1）解：设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只，
根据题意得，
解得，
甲种节能灯进了40只，乙种节能灯进了60只．
（2）解：（元），
全部售完这100只节能灯后，该商场获利2600元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只，根据“商场用6600元购进节能灯100只”，结合甲乙两种节能灯的进价，列出关于x，y的二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）根据题意，结合利润为甲、乙两种节能灯的售价减去进价乘以数量之和，列出算式，即可求解．
24．（2024七下·南宁期中）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？
【答案】解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，则
，
解得：，
答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据 购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案.
25．（2025七下·游仙期末）某服装店用6200元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3300元．这两种服装的进价、标价见下表．
单价（元/件） A种 B种
进价 200 320
标价 300 500
（1）这两种服装各购进多少件？
（2）如果A种服装按标价的8折售出、B种服装按标价的7.5折售出，那么这批服装全售完后，服装店比按标价售出收入减少多少元？
【答案】（1）解：设购进A种服装x件，B种服装y件，
依题意得：
解得：
答：购进A种服装15件，B种服装10件．
（2）解：300×（1-0.8）×15+500×（1-0.75）×10
=300×0.2×15+500×0.25×10
=900+1250
=2150（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2150元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由已知条件中与销售有关的数量关系列出方程组，求解即可。
（2）A种服饰8折售出，每件衣服较原标价减少60元，B种服饰7.5折售出，每件衣服较原标价减少125元，再结合第（1）题中已经求得的A、B两种服装的数量，即可求得打折售出比按标价售出收入减少的值。
26．（2025七下·遂宁期末）已知关于、的方程组．
（1）求方程组的解(用含的代数式表示)；
（2）若方程组的解满足条件，且．求的取值范围．
【答案】（1）解：
①-②×3得：
将代入②得
∴方程组的解为
（2）解：∵
∴
解得
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】⑴根据加减消元法解二元一次方程组.
⑵根据题意，得到不等式组，求出m的取值范围即可.
27．（2025七下·杭州期末）为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。
（1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。
（2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下：
设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）.
②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系.
【答案】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个，
由题意得：，
解得：，
答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个；
（2）解：①甲：元，
乙：
答：甲商场付款金额为元， 乙商场付款金额为元；
②由题意得：48a+20b=36a+15b+510，
则12a+5b=510.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）这里根据题意设两个未知数，建立相应的二元一次方程组模型，求解即可；
（2）①这一问考察学生的文字理解能力，对于打折销售类问题，不仅要知道，还要充分考虑到两个商场不同的促销方式，列出符合题意的代数式，然后能准确化简结果；
②在第①问的基础上做这一问就很简单了，直接建立起关于a、b的一个等式，化简就得到它们之间应满足的关系。
28．（2025七下·雨花期末）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某商家购进甲、乙两款玩偶进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）：
甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元
第一次 10 8 1020
第二次 6 12 900
（1）求甲、乙两款玩偶的进货单价；
（2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩偶共100件，若每件甲款玩偶的售价为110元，每件乙款玩偶的售价为70元，且销售完这100件玩偶所获得的利润不低于3700元，则商家最少需购进甲款玩偶多少件？
【答案】（1）解：设甲款玩偶杯的进价为元，乙款玩偶杯的进价为元，
由题意得，
解得：，
答：甲款玩偶杯的进价为70元，乙款玩偶杯的进价为40元．
（2）解：设购买甲款玩偶杯个，则购买乙款玩偶杯个，
由题意得，，解得：，
的最小值为70，
答：至少购买甲款玩偶杯70个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“单价×数量=总费用”这个关系，利用表格里的信息列出两次进货的方程，求解即可；
（2）设未知数表示出甲、乙两款玩偶的利润之和，令其大于或等于3700，解不等式即可求出未知数的取值范围，从而确定其最小值。
1 / 1
