北京版七（下）数学第五章 二元一次方程组 单元测试提升卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2025七下·温岭期中） 对于方程，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵x+3y=2，∴3y=2-x，∴y=.
∴按照题意要求： 用含x的代数式表示y 。∴选项A、B是不符合题意的；而选项C是错误的.
故答案为：D.
【分析】按照题意的要求，先把含x的项移到等号的右端.再把y的系数化为1，两边同时除以3，即可得到正确答案.
2．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
3．（2025七下·宁海期中）若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵由可得，由可得.
∴，即。
∵y有正整数解，
∴必须是6的正约数.
∴的取值可能为1，2，3，6.
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（满足条件）
验证：原方程组为，解得，是正整数解.
故答案为：B.
【分析】先通过原方程组整理得到，再根据y和x均为正整数的条件，分析分母的可能取值，从而确定k的可能值.
4．（2025七下·义乌月考）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.若关于x，y的方程组是“关联方程组”，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，x+y=0，
①+②得，2x+2y=4+2a，
即x+y=2+a，
由于x+y=0，
所以2+a=0，
解得a =-2，
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程组解的定义以及二元一次方程组的解法进行计算即可.
5．（2021七下·青龙期末）三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解
令①+②得x-z=2④，
③+④得2x=8，解得x=4
把x=4代入①解得y=3，
把x=4代入③解得z=2，
∴原方程组的解为
故答案为：D.
【分析】此题方法灵活，可先用加减消元法求出方程组的解，也可将四个选项逐一代入到方程组中去验证。
6．（2023七下·宁阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。
故答案为：D。
【分析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50可得方程：①，根据甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50可得方程：②，把①②组成方程组即可。
7．（2023七下·柯桥期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
【分析】由第二个方程可得x=2y+m，代入第一个方程中可得y，然后将y代入第二个方程中表示出x，据此判断.
8．（2025七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：4y=8-4a，
解得：y=2-a，
将y=8-4a代入②式得：x-(2-a)=3a，
解得：x=2a+2，
故方程组的解为：；
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，
x+y=2a+2+2-a=0，
解得：a=-4，
故①正确；
②当a=1时，方程组的解为 ，
将代入 中得：
4+1=4+2a，
解得：≠1，
则方程组的解也不是方程的解，
故②错误；
③x+2y=2a+2+（2-a）=4，
则无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④将变形得，
将代入得： ，
故④正确；
综上所述，正确的有：①③④；
故答案为：D.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，可得出x，y的值，再根据各项一 一代入即可判断，得出答案.
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2025七下·上城期末） 写一个解为的二元一次方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】答案不唯一如：
故答案为：
【分析】以1和2列出算式 确定出所求即可.
10．（2024七下·番禺期末）已知，、是方程组的解，则 ．
【答案】-1
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把、代入得：
，
解得：，
∴，
故答案是：．
【分析】把x与y的值代入方程组建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入计算即可．
11．（2025七下·滨江期末） 已知，其中m，n为互不相等实数，且满足，则 ．（结果用只含a的代数式表示）
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得(
∵m，n为互不相等实数，
故答案为：
【分析】方程组中的两个方程相减，再利用等式的基本性质得结论.
12．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大铁球和 个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
13．（2025七下·长兴期中）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c为常数）， b=a+1 ，c=b+1，对任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，则这个公共解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ b=a+1 ，c=b+1，
∴c=a+1+1=a+2，
将c=a+2与b=a+1都代入ax+by=c，
得ax+(a+1)y=a+2，
化简，得a(x+y-1)+(y+2)=0
∵ 对于任意一个满足条件的a ，此二元一次方程都有一个公共解 ，
∴
解得，
∴这个公共解为.
故答案为：.
【分析】由已知可得c=a+2，从而将c=a+2与b=a+1都代入ax+by=c，可得a(x+y-1)+(y+2)=0；由于对于任意一个满足条件的a ，此二元一次方程都有一个公共解 ，于是可得，求解该方程组即可.
14．（2025七下·西湖期中）已知方程组，若与的和为4，则的值为 ．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意知：
对得到：
∵
∴，解得．
故答案为：．
【分析】
由等式的基本性质得，得到，然后利用，求出m的值．
15．（2024七下·西湖期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
16．（2021七下·上虞期末）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是 cm2
【答案】140
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得
解之：
∴AB=x+y=10
大长方形ABCD的面积为10×14=140.
故答案为：140.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用BC=14，AB段中的6，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可求出AB的长，然后求出大长方形的面积.
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2025七下·麦积期中）解方程（组）
（1）
（2）
【答案】（1）解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
（2）解：
得，
解得：；
把代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为．
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的一般步骤求解；
（2）利用加减消元法解方程组．
（1）解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
（2）解：
得，
解得；
把代入①解得，，
故方程组的解为．
18．（2024七下·临海期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得③（依据： ▲ ） 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2（ ▲ ）．
（1）补全上述空白部分内容；
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答．
【答案】（1）解：等式的性质1（说明：写等式的性质或移项法则也给分）
（2）解：
把①代入②得：
解得
把代入①得：
解得
所以原方程组得解为
（说明：其他解法只要正确均得分）
【知识点】等式的基本性质；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据等式的性质结合题意即可求解；
（2）根据代入消元法把①代入②得求出y，进而即可求出x，从而即可求解。
19．（2024七下·余杭月考）已知关于，的方程组
（1）若方程组的解互为相反数，求的值
（2）若方程组的解满足方程，求的值.
【答案】（1）解：
①－②，得5y＝k+4，
①×2＋②×3，得5x＝7k+8．
∵方程组的解互为相反数，
∴x＋y＝0，
即5x＋5y＝7k＋8＋k＋4＝0，
∴．
（2）解：
②×2－①，得x－7y＝－4③，
∵3x＋y＝10④，
∴
解得
将代入x-2y=k，得3-2=k
∴k＝1
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先利用加减消元法分别求出x与y关于k的关系式，再根据方程组的解互为相反数，可得x+y=0，即可求解；
（2）先消除方程组中的k，求出x、y的关系式，再联立即可求出x、y的值，最后代入方程组即可求出k的值.
20．已知下列五对数值：
（1）哪几对数值是方程的解
（2）哪几对数值是方程2+31y=-11的解
（3）直接写出方程组的解.
【答案】（1）解：①②③是方程的解，
将①代入方程得， ，故①是方程的解；
将②代入方程得， ，故②是方程的解；
将③代入方程得， ，故③是方程的解；
将④代入方程得， ，故④不是方程的解；
将⑤代入方程得， ，故⑤不是方程的解；
（2）解：③④⑤是方程的解，
将①代入方程得， ，故①不是方程的解；
将②代入方程得， ，故②不是方程的解；
将③代入方程得， ，故③是方程的解；
将④代入方程得， ，故④是方程的解；
将⑤代入方程得， ，故⑤是方程的解；
（3）解：方程组的解为
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（3）由（1）（2）可知，③是方程的解 ，又是 方程2+31y=-11的解，故③是方程组的解.
【分析】（1）将①-⑤分别代入 ，能够使方程成立的，即为该方程的解；
（2）将①-⑤分别代入 2+31y=-11 ，能够使方程成立的，即为该方程的解；
（3）既是的解，又是 2+31y=-11的解，即为方程组的解，即可求得.
21．（2025七下·雨花期末）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了A，B两种食品作为午餐A餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克.B餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克。
（1）若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得，
解方程组得，
即选用A种食品3包，B种食品2包，
答：选用A种食品3包，B种食品2包
（2）解：设选用A种食品a包，则选用B种食品(7-a)包，
根据题意，得5a+10(7-a)≥55，
整理得，5a≤15，
解得a≤3，
设总热量为wkJ，则w=700a+800（7-a)=-100a+5600，
∵-100<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝3时，w最小，
7-a=7-3=4.
答：选用A种食品3包，B种食品4包
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质 ”列
方程组求解即可；
（2）设选用A种食品a包，则选用B种食品（7-a)包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于55克列不等式求解即可.
22．（2025七下·长沙期末）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表：
分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦
1克碳水化合物 1 1.5 15
1克脂肪 3 3 45
请解答下列问题：
（1）研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克．
（2）已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟）
【答案】（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，
根据题意，得，
解得，
答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克．
（2）解：设小祺分配a分钟进行快走，则分配（60－a）分钟骑脚踏车，根据题意，得
，解得，
∵结果精确到1分钟，
∴a的最小值为43，
故小祺至少需要分配43分钟进行快走．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，根据题意得等量关系“每分钟分解碳水消耗的氧气+分解脂肪消耗的氧气=2.5”，“每分钟分解碳水产生的二氧化碳+分解脂肪产生的二氧化碳=3”，由据此列二元一次方程组求解即可；
（2）设小祺分配a分钟进行快走，则分配（60－a）分钟骑脚踏车，由此列不等式求解，再结合题意即可确定a的最小值．
（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，
根据题意，得，
解得，
答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克．
（2）解：设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，
根据题意，得，
解得，
∵结果精确到1分钟，
∴的最小值为43，
答：小祺至少需要分配43分钟进行快走．
23．（2025七下·平武期末）我校到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元；
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，我校决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的80%，且保证这次购买的B品牌足球不少于20个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？请你求出学校在第二次购买活动中最少需要多少资金？
【答案】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
由题意得
解得，
答：购买一个A种品牌需要80元，一个B种品牌的足球需要100元
（2）解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（42-m）个，
，
解得：20≤m≤22，
∵m为整数，
∴m=20，21，22，
∴一共有三种方案：
第一种：购买A种足球20个，则购买B种足球22个，
第二种：购买A种足球21个，则购买B种足球21个，
第三种：购买A种足球22个，则购买B种足球20个
（3）解：方案1：购买A种足球20个，购买B种足球22个，总费用为（80+5）×20+100×0.9×22=3680（元）；
方案2：购买A种足球21个，购买B种足球21个，总费用为（80+5）×21+100×0.9×21=3675（元）；
方案3：购买A种足球22个，购买B种足球20个，总费用为（80+5）×22+100×0.9×20=3670（元）．
∵3670＜3675＜3680，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案3，即购买22个A种品牌的足球，20个B种品牌的足球，学校在第二次购买活动中最少需要3670元
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元”和“购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同”列出方程组，解方程组即可；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（42-m）个，根据“购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的80%”和“保证这次购买的B品牌足球不少于20个”列出方程组，再利用m为整数即可解答；
（3）利用（2）中的方案，逐一计算即可．
24．（2025七下·杭州月考）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板 张或裁得B型纸板 张：
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
【答案】（1）9；15
（2）解：设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，
则根据题意得：，
整理得，
解得 .
∴，
∴ 用 200 张原材料板材裁剪 A 型纸板，用 60 张原材料板材裁剪 B 型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒 180 个，横式无盖长方体纸盒 360 个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） 每张原材料板材可以裁得A型纸板张，或裁得B型纸板张.
故答案为：9、15.
【分析】（1） 原材料板材的规格是 150cm×90cm，结合由图1中A、B型纸板的尺寸，可计算得到答案；
（2）设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，根据题意列出二元一次方程组并求解出x、y，然后再进行相关计算即可.
25．（2024七下·衡阳期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
（1）已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
（2）若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
（3）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
【答案】（1）②
（2）解：，
将上述两个方程相加可得：，
即有，
∵是方程组与不等式的一组“完美解”，
∴，
解得：；
（3）解：根据题意有：，
解得：，，
∴，
即的取值范围为：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由，得：，
①当x=-1时，，则方程的解不是不等式①的“完美解”；
②当x=-1时，，则方程的解是不等式②的“完美解”；
故答案为：②；
【分析】（1）首先利用解一元一次方程的步骤求出方程2x+3=1的解为x=-1，然后根据“完美解”的定义将x=-1分别代入两个不等式计算即可判断；
（2）将方程组中的两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解；
（3）根据“完美解定义”可得，求解得，，进而将两个不等式相加即可得出结论.
26．（2024七下·莘县期中）阅读下列材料：为了提高全县学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目：
解方程，王栋同学发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题.下面是他的解题过程：令，，这时方程组可化为解得，把代入，得，解得，
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.类比思想
（2）请你参考王栋同学的做法，解决下面的问题：解方程组
【答案】（1）
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
【分析】（1）求解二元一次方程组时，基本思路是“消元”，通过“代入消元法”或“加减消元法”，将“二元方程”化为“一元方程”，求得方程组的解；
（2）根据题意，令，，得到方程组，结合加减消元法，求得方程组得解，即可得到答案.
（1）解：在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
27．（2025七下·浙江期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60
（2）解：根据题意得：120x+90y=3000，
∴40x+30y=1000，
∴(120-80)x+(90-60)y=40x+30y=1000
答：该商场可获利1000元
（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：(120-80-10)a+(90×3-60×3-10×2)b=600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”可得出关于m，n的二元一次方程组，解出即可得出m，n的值；
(2)利用销售总价=销售单价×销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
(3)设该日商场销售a个A款足球，36个B款足球，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论.
28．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
1 / 1北京版七（下）数学第五章 二元一次方程组 单元测试提升卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2025七下·温岭期中） 对于方程，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·南湖期中）若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·宁海期中）若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不存在
4．（2025七下·义乌月考）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.若关于x，y的方程组是“关联方程组”，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
5．（2021七下·青龙期末）三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·宁阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·柯桥期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2025七下·上城期末） 写一个解为的二元一次方程 ．
10．（2024七下·番禺期末）已知，、是方程组的解，则 ．
11．（2025七下·滨江期末） 已知，其中m，n为互不相等实数，且满足，则 ．（结果用只含a的代数式表示）
12．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大铁球和 个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
13．（2025七下·长兴期中）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c为常数）， b=a+1 ，c=b+1，对任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，则这个公共解为 .
14．（2025七下·西湖期中）已知方程组，若与的和为4，则的值为 ．
15．（2024七下·西湖期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
16．（2021七下·上虞期末）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是 cm2
三、解答题（共12题，共68分）
17．（2025七下·麦积期中）解方程（组）
（1）
（2）
18．（2024七下·临海期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得③（依据： ▲ ） 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2（ ▲ ）．
（1）补全上述空白部分内容；
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答．
19．（2024七下·余杭月考）已知关于，的方程组
（1）若方程组的解互为相反数，求的值
（2）若方程组的解满足方程，求的值.
20．已知下列五对数值：
（1）哪几对数值是方程的解
（2）哪几对数值是方程2+31y=-11的解
（3）直接写出方程组的解.
21．（2025七下·雨花期末）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了A，B两种食品作为午餐A餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克.B餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克。
（1）若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？
22．（2025七下·长沙期末）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表：
分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦
1克碳水化合物 1 1.5 15
1克脂肪 3 3 45
请解答下列问题：
（1）研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克．
（2）已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟）
23．（2025七下·平武期末）我校到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元；
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，我校决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的80%，且保证这次购买的B品牌足球不少于20个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？请你求出学校在第二次购买活动中最少需要多少资金？
24．（2025七下·杭州月考）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板 张或裁得B型纸板 张：
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
25．（2024七下·衡阳期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
（1）已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
（2）若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
（3）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
26．（2024七下·莘县期中）阅读下列材料：为了提高全县学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目：
解方程，王栋同学发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题.下面是他的解题过程：令，，这时方程组可化为解得，把代入，得，解得，
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.类比思想
（2）请你参考王栋同学的做法，解决下面的问题：解方程组
27．（2025七下·浙江期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价／（元／个） 售价／（元／个）
款 120
款 90
若该商场购进4个款足球和11个款足球需980元；购进2个款足球和3个款足球需340元．
（1）求和的值．
（2）某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费3000元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：＂买足球送跳绳＂的促销活动：＂买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳＂，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
28．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵x+3y=2，∴3y=2-x，∴y=.
∴按照题意要求： 用含x的代数式表示y 。∴选项A、B是不符合题意的；而选项C是错误的.
故答案为：D.
【分析】按照题意的要求，先把含x的项移到等号的右端.再把y的系数化为1，两边同时除以3，即可得到正确答案.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组的解为
∴，即
又∵方程组
∴
解得
故答案为：C.
【分析】先根据方程组的解为，得到，进而得到，求解即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵由可得，由可得.
∴，即。
∵y有正整数解，
∴必须是6的正约数.
∴的取值可能为1，2，3，6.
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（非正整数，舍去）；
当时，（满足条件）
验证：原方程组为，解得，是正整数解.
故答案为：B.
【分析】先通过原方程组整理得到，再根据y和x均为正整数的条件，分析分母的可能取值，从而确定k的可能值.
4．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，x+y=0，
①+②得，2x+2y=4+2a，
即x+y=2+a，
由于x+y=0，
所以2+a=0，
解得a =-2，
故答案为：D.
【分析】根据二元一次方程组解的定义以及二元一次方程组的解法进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解
令①+②得x-z=2④，
③+④得2x=8，解得x=4
把x=4代入①解得y=3，
把x=4代入③解得z=2，
∴原方程组的解为
故答案为：D.
【分析】此题方法灵活，可先用加减消元法求出方程组的解，也可将四个选项逐一代入到方程组中去验证。
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。
故答案为：D。
【分析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50可得方程：①，根据甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50可得方程：②，把①②组成方程组即可。
7．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
【分析】由第二个方程可得x=2y+m，代入第一个方程中可得y，然后将y代入第二个方程中表示出x，据此判断.
8．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：4y=8-4a，
解得：y=2-a，
将y=8-4a代入②式得：x-(2-a)=3a，
解得：x=2a+2，
故方程组的解为：；
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，
x+y=2a+2+2-a=0，
解得：a=-4，
故①正确；
②当a=1时，方程组的解为 ，
将代入 中得：
4+1=4+2a，
解得：≠1，
则方程组的解也不是方程的解，
故②错误；
③x+2y=2a+2+（2-a）=4，
则无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④将变形得，
将代入得： ，
故④正确；
综上所述，正确的有：①③④；
故答案为：D.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，可得出x，y的值，再根据各项一 一代入即可判断，得出答案.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】答案不唯一如：
故答案为：
【分析】以1和2列出算式 确定出所求即可.
10．【答案】-1
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把、代入得：
，
解得：，
∴，
故答案是：．
【分析】把x与y的值代入方程组建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入计算即可．
11．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得(
∵m，n为互不相等实数，
故答案为：
【分析】方程组中的两个方程相减，再利用等式的基本性质得结论.
12．【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
13．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ b=a+1 ，c=b+1，
∴c=a+1+1=a+2，
将c=a+2与b=a+1都代入ax+by=c，
得ax+(a+1)y=a+2，
化简，得a(x+y-1)+(y+2)=0
∵ 对于任意一个满足条件的a ，此二元一次方程都有一个公共解 ，
∴
解得，
∴这个公共解为.
故答案为：.
【分析】由已知可得c=a+2，从而将c=a+2与b=a+1都代入ax+by=c，可得a(x+y-1)+(y+2)=0；由于对于任意一个满足条件的a ，此二元一次方程都有一个公共解 ，于是可得，求解该方程组即可.
14．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意知：
对得到：
∵
∴，解得．
故答案为：．
【分析】
由等式的基本性质得，得到，然后利用，求出m的值．
15．【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
16．【答案】140
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得
解之：
∴AB=x+y=10
大长方形ABCD的面积为10×14=140.
故答案为：140.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用BC=14，AB段中的6，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可求出AB的长，然后求出大长方形的面积.
17．【答案】（1）解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
（2）解：
得，
解得：；
把代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为．
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的一般步骤求解；
（2）利用加减消元法解方程组．
（1）解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
（2）解：
得，
解得；
把代入①解得，，
故方程组的解为．
18．【答案】（1）解：等式的性质1（说明：写等式的性质或移项法则也给分）
（2）解：
把①代入②得：
解得
把代入①得：
解得
所以原方程组得解为
（说明：其他解法只要正确均得分）
【知识点】等式的基本性质；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据等式的性质结合题意即可求解；
（2）根据代入消元法把①代入②得求出y，进而即可求出x，从而即可求解。
19．【答案】（1）解：
①－②，得5y＝k+4，
①×2＋②×3，得5x＝7k+8．
∵方程组的解互为相反数，
∴x＋y＝0，
即5x＋5y＝7k＋8＋k＋4＝0，
∴．
（2）解：
②×2－①，得x－7y＝－4③，
∵3x＋y＝10④，
∴
解得
将代入x-2y=k，得3-2=k
∴k＝1
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先利用加减消元法分别求出x与y关于k的关系式，再根据方程组的解互为相反数，可得x+y=0，即可求解；
（2）先消除方程组中的k，求出x、y的关系式，再联立即可求出x、y的值，最后代入方程组即可求出k的值.
20．【答案】（1）解：①②③是方程的解，
将①代入方程得， ，故①是方程的解；
将②代入方程得， ，故②是方程的解；
将③代入方程得， ，故③是方程的解；
将④代入方程得， ，故④不是方程的解；
将⑤代入方程得， ，故⑤不是方程的解；
（2）解：③④⑤是方程的解，
将①代入方程得， ，故①不是方程的解；
将②代入方程得， ，故②不是方程的解；
将③代入方程得， ，故③是方程的解；
将④代入方程得， ，故④是方程的解；
将⑤代入方程得， ，故⑤是方程的解；
（3）解：方程组的解为
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（3）由（1）（2）可知，③是方程的解 ，又是 方程2+31y=-11的解，故③是方程组的解.
【分析】（1）将①-⑤分别代入 ，能够使方程成立的，即为该方程的解；
（2）将①-⑤分别代入 2+31y=-11 ，能够使方程成立的，即为该方程的解；
（3）既是的解，又是 2+31y=-11的解，即为方程组的解，即可求得.
21．【答案】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得，
解方程组得，
即选用A种食品3包，B种食品2包，
答：选用A种食品3包，B种食品2包
（2）解：设选用A种食品a包，则选用B种食品(7-a)包，
根据题意，得5a+10(7-a)≥55，
整理得，5a≤15，
解得a≤3，
设总热量为wkJ，则w=700a+800（7-a)=-100a+5600，
∵-100<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝3时，w最小，
7-a=7-3=4.
答：选用A种食品3包，B种食品4包
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质 ”列
方程组求解即可；
（2）设选用A种食品a包，则选用B种食品（7-a)包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于55克列不等式求解即可.
22．【答案】（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，
根据题意，得，
解得，
答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克．
（2）解：设小祺分配a分钟进行快走，则分配（60－a）分钟骑脚踏车，根据题意，得
，解得，
∵结果精确到1分钟，
∴a的最小值为43，
故小祺至少需要分配43分钟进行快走．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，根据题意得等量关系“每分钟分解碳水消耗的氧气+分解脂肪消耗的氧气=2.5”，“每分钟分解碳水产生的二氧化碳+分解脂肪产生的二氧化碳=3”，由据此列二元一次方程组求解即可；
（2）设小祺分配a分钟进行快走，则分配（60－a）分钟骑脚踏车，由此列不等式求解，再结合题意即可确定a的最小值．
（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，
根据题意，得，
解得，
答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克．
（2）解：设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，
根据题意，得，
解得，
∵结果精确到1分钟，
∴的最小值为43，
答：小祺至少需要分配43分钟进行快走．
23．【答案】（1）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
由题意得
解得，
答：购买一个A种品牌需要80元，一个B种品牌的足球需要100元
（2）解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（42-m）个，
，
解得：20≤m≤22，
∵m为整数，
∴m=20，21，22，
∴一共有三种方案：
第一种：购买A种足球20个，则购买B种足球22个，
第二种：购买A种足球21个，则购买B种足球21个，
第三种：购买A种足球22个，则购买B种足球20个
（3）解：方案1：购买A种足球20个，购买B种足球22个，总费用为（80+5）×20+100×0.9×22=3680（元）；
方案2：购买A种足球21个，购买B种足球21个，总费用为（80+5）×21+100×0.9×21=3675（元）；
方案3：购买A种足球22个，购买B种足球20个，总费用为（80+5）×22+100×0.9×20=3670（元）．
∵3670＜3675＜3680，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案3，即购买22个A种品牌的足球，20个B种品牌的足球，学校在第二次购买活动中最少需要3670元
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元”和“购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同”列出方程组，解方程组即可；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（42-m）个，根据“购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的80%”和“保证这次购买的B品牌足球不少于20个”列出方程组，再利用m为整数即可解答；
（3）利用（2）中的方案，逐一计算即可．
24．【答案】（1）9；15
（2）解：设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，
则根据题意得：，
整理得，
解得 .
∴，
∴ 用 200 张原材料板材裁剪 A 型纸板，用 60 张原材料板材裁剪 B 型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒 180 个，横式无盖长方体纸盒 360 个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） 每张原材料板材可以裁得A型纸板张，或裁得B型纸板张.
故答案为：9、15.
【分析】（1） 原材料板材的规格是 150cm×90cm，结合由图1中A、B型纸板的尺寸，可计算得到答案；
（2）设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，根据题意列出二元一次方程组并求解出x、y，然后再进行相关计算即可.
25．【答案】（1）②
（2）解：，
将上述两个方程相加可得：，
即有，
∵是方程组与不等式的一组“完美解”，
∴，
解得：；
（3）解：根据题意有：，
解得：，，
∴，
即的取值范围为：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：由，得：，
①当x=-1时，，则方程的解不是不等式①的“完美解”；
②当x=-1时，，则方程的解是不等式②的“完美解”；
故答案为：②；
【分析】（1）首先利用解一元一次方程的步骤求出方程2x+3=1的解为x=-1，然后根据“完美解”的定义将x=-1分别代入两个不等式计算即可判断；
（2）将方程组中的两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解；
（3）根据“完美解定义”可得，求解得，，进而将两个不等式相加即可得出结论.
26．【答案】（1）
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
【分析】（1）求解二元一次方程组时，基本思路是“消元”，通过“代入消元法”或“加减消元法”，将“二元方程”化为“一元方程”，求得方程组的解；
（2）根据题意，令，，得到方程组，结合加减消元法，求得方程组得解，即可得到答案.
（1）解：在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
27．【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60
（2）解：根据题意得：120x+90y=3000，
∴40x+30y=1000，
∴(120-80)x+(90-60)y=40x+30y=1000
答：该商场可获利1000元
（3）解：设该日商场销售a个A款足球，3b个B款足球，
根据题意得：(120-80-10)a+(90×3-60×3-10×2)b=600，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元”可得出关于m，n的二元一次方程组，解出即可得出m，n的值；
(2)利用销售总价=销售单价×销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
(3)设该日商场销售a个A款足球，36个B款足球，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论.
28．【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
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