【2025.9.17】一外数学试题
1．（2025.9.17一外）已知，，则a b（比较大小）
【答案】>
【知识点】换元法
【解析】【解答】解：设2+3+…+2023=x，
则a=(1+a)(a+2024)，b=a(1+a+2024)，
∴a-b=(1+a)(a+2024)-a(1+a+2024)=(a2-2025a+2024)-(a2-2025a)=2024>0，
∴a>b，
故答案为：>.
【分析】设2+3+…+2023=x，则可得到a=(1+a)(a+2024)，b=a(1+a+2024)，然后求差解答即可.
2．（2025.9.17一外）对每一个两位数，将其两个数位上的数字相乘，然后再把所得的乘积相加，则和为 。
【答案】2025
【知识点】数字问题
【解析】【解答】解：十位数字为1的两位数：10到19，其乘积和为
十位数字为2的两位数：20到29，其乘积和为
十位数字为3的两位数：30到39，其乘积和为
以此类推，直到十位数字为9的两位数：90到99，其乘积和为405。
所有两位数的乘积和相加为45+90+，
故答案为：.
【分析】根据十位数字分类计算乘积和，然后计算总和即可.
3．（2025.9.17一外） 。
【答案】
【知识点】分数拆项与裂项；通项归纳
【解析】【解答】解：分母 ，
∴
.
故答案为：.
【分析】先得到分母的通式为n(n+1)，然后根据分数的裂项相消解答即可.
4．（2025.9.17一外）从1-100，这100个自然数中，任意选出一个数，这个数是质数的可能性是 。
【答案】
【知识点】枚举法
【解析】【解答】解：1-100中的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97， 共25个，
∴ 任意选出一个数，这个数是质数的可能性是，
故答案为：.
【分析】于先找出1-100中质数的个数，根据某事件发生的可能性=该事件发生的情况数÷总情况数计算即可.
5．（2025.9.17一外）把6块相同的巧克力分给 3 个小朋友，每人至少分得一块，那么一共有 种分法。
【答案】10
【知识点】组合；“插板法”相同元素分组问题
【解析】【解答】解：
，
故答案为：10.
【分析】将巧克力分给小朋友，每人至少一块，可以采用插板法来求解，即在巧克力之间的空位中插入板子，将巧克力分成不同的组，组数对应小朋友的人数。
6．（2025.9.17一外）一幅彩色作品，其红、黄、蓝三原色之间的配色比例为5：3：8时，色彩强度达到平衡。已知橘色、紫色、绿色分别由红色 + 黄色、红色 + 蓝色、黄色 + 蓝色调和而成。那么，橘、紫、绿的配色比例为 时，色彩强度达到平衡。
【答案】8：13：11
【知识点】按比分配问题
【解析】【解答】解：设红色占比为5x，黄色占比为3x，蓝色占比为8x。
橘色由红色和黄色调和而成，所以橘色中红色占比为5x，黄色占比为3x，那么橘色的占比为5x+3x=8x；
紫色由红色和蓝色调和而成，所以紫色中红色占比为5x，蓝色占比为8x，那么紫色的占比为5x+8x=13x；
绿色由黄色和蓝色调和而成，所以绿色中黄色占比为3x，蓝色占比为8x，那么绿色的占比为3x+8x=11x；
∴橘、紫、绿的配色比例为橘色占比：紫色占比：绿色占比， 即8x：13x：11x=8：13：11，
故答案为：8：13：11.
【分析】根据已知的红、黄、蓝三原色的配色比例，分别求出橘色、紫色、绿色中各颜色的占比，进而求出它们的配色比例.
7．（2025.9.17一外）某商场自动扶梯匀速上行，维修员甲和乙两人从顶部逆行到底部，甲每秒走 3 级，用时 100 秒，乙每秒走 2 级，用时 200 秒，则甲用原速从底部走到顶部，需用 秒。
【答案】50
【知识点】人速未知的扶梯问题
【解析】【解答】解：设自动扶梯的速度为每秒y级，
则，
解得y=1，
自动扶梯的可见级数为级，
∴甲从底部走到顶部所需的时间为200÷(3+1)=50 (秒)，
故答案为：50.
【分析】先设自动扶梯的速度为每秒y级，根据自动扶梯的可见级数列出方程，求出自动扶梯的可见级数和速度，再计算甲从底部走到顶部所需的时间.
8．（2025.9.17一外）小红同学用31元去买单价为 2、3、4 元的三种签字笔，每种至少买 1 支，则她最少能买 支。
【答案】9
【知识点】最佳方法问题
【解析】【解答】每种笔至少买1支，先各买1支，此时花费2+3+4=9(元)，还剩下31-9=22(元)，
剩下的钱继续购买单价为4元的签字笔，22÷4=5(支) 2(元)，即可以再买5支单价为4元的签字笔，还剩2元。
剩下的2元刚好可以买1支单价为2元的签字笔，
则她最少能买笔的数量为1+1+1+5+1=9支，
故答案为：9.
【分析】优先购买单价高的签字笔，因为单价高的笔每支花费的钱更多，在总花费一定的情况下，购买数量少，那么笔的总数就少.
9．（2025.9.17一外）7点 分时，分针落后时针 100 度。
【答案】20
【知识点】钟面上的追及问题
【解析】【解答】解：分针1分钟走 时针1分钟走7点整时，分针与时针夹角为
设7点x分时时针和分针的夹角为 则有
x=20
故答案为：20，
【分析】根据分针1分钟走 时针1分钟走利用追级问题列方程解答即可.
10．（2025.9.17一外）若a + 2b - 3c = 4，5a - 6b + 7c = 9，则9a + 2b - 5c = 。
【答案】25
【知识点】分组求和
【解析】【解答】解：
又∵
得：9a+2b-5c=25.
故答案为：25.
【分析】先把方程a+2b-3c=4的左右两边同乘以4得到4a+8b-12c=16，然后再同方程5a-6b+7c=9相加即可得到答案.
11．（2025.9.17一外）
【答案】解：
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先运算乘除，然后运算加减解答即可.
12．（2025.9.17一外）
【答案】解：
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先运算小括号，然后运算中括号，再运算加减解答即可.
13．（2025.9.17一外）
【答案】解：
=0+0.625-0.125
=0.5
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先运算括号内的四则运算，然后运算乘法，最后运算加减解答即可.
14．（2025.9.17一外）
【答案】解：
.
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先利用乘法分配律计算中括号，然后运算乘除，最后运算加减解答即可.
15．（2025.9.17一外）
【答案】解：
整理，得
去分母，得9y-15-2(5y-70)=6
去括号，得9y-15-10y+140=6
移项，得9y-10y=6+15-140
合并同类项，得-y=-119
系数化为1，得y=119.
【知识点】一元一次方程
【解析】【分析】先整理方程，然后去分、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元二次方程即可.
16．（2025.9.17一外）
【答案】解：
5(0.1x+15)-60-30=150x-90
0.5x+75-60-30=150x-90
0.5x-150x=-90-75+60
-149.5x=-75
【知识点】一元一次方程
【解析】【分析】先去大括号，然后去中括号，再去小括号，再移项、合并同类项、系数化为1解答即可.
17．（2025.9.17一外）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇点距离A、B中点 200 米，已知甲车的速度是乙车速度的，求A、B两地的路程。
【答案】解：由题意得：甲乙两车速度比是4：5。
所以当两车相遇时，甲车行驶路程与乙车行驶路程比时4： 5。
即甲车行驶路程占两地总路程的
所以A、B两地的路程：
=3600(米)
答： A、B两地的路程是3600米.
【知识点】其他行程问题
【解析】【分析】根据甲车的速度是乙车的速度是 可得甲乙两车速度比是4：5，可知当两车相遇时，甲车行驶路程与乙车行驶路程比是4：5，可知甲车行驶路程占两地总路程的 再根据“相遇点距离A、B中点200米”，列算式解答即可.
18．（2025.9.17一外）四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AD = 4，BC = 12，△ OAB与△ OCD的面积都是 21，求四边形ABCD的面积。
【答案】解：
三角形DAB的高=三角形ACD的高；
三角形OAD和三角形OBC相似；
AD=4，BC=12，BC=3AD；
则OB=3OD；
.
【知识点】相似三角形的性质（份数、比例）；等积变形等高模型
【解析】【分析】由题可知，根据等底的两个三角形面积相等，则它们的高相等，可得 ，再根据BC和AD之间的关系，求出OB和OD之间的关系，进而求解.
19．（2025.9.17一外）四位数能被 72 整除，这个四位数是多少？
【答案】解： 72=8×9， 则 或8，
当b=0时， 则四位数为9720，
当b=8时， 则四位数为1728.
答： 这个四位数是9720或1728.
【知识点】特殊数的整除特征
【解析】【分析】 则 或8，分别计算b=0或8时四位数即可解答.
20．（2025.9.17一外）将一空池加满水，若同时开启 1、2、3、4 号进水管，则 12 分钟可以完成；若同时开启 2、3、4、5 号进水管，则 9 分钟可以完成；若同时开启 1、5 号进水管，则 18 分钟可以完成；若同时开启 1、2、3、4、5 号进水管，则需多少分钟可以完成？
【答案】解：
(分钟)，
答：需8分钟可以完成.
【知识点】进排水问题
【解析】【分析】根据题意若同时开启1、2、3、4号进水管，则12分钟可以完成；若同时开启2、3、4、5号进水管，则9分钟可以完成；若同时开启1、5号进水管，则18分钟可以完成。得 是共同加满两个空池的工作效率，所以共同加满一个空池的工作效率是 根据工作时间=工作总量÷工作效率解答即可.
21．（2025.9.17一外）甲、乙两个码头，相距 18 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，6 小时后货船追上游船，又行驶了 10 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），1 小时后被船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇，则游船在静水中的速度为每小时多少千米？
【答案】解：两船的速度差：18÷6=3 (千米/时) ，
接着的10个小时后，它们的相距：3×10=30 (千米) ，
货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距：30+3=33 (千米) ，
从货船开始回追物体到它们相遇共用时1小时，两船的速度和：33÷1=33 (千米/时) ，
游船的速度：(33-3) ÷2=15 (千米/时) ，
答：游船在静水中的速度为15千米/时.
【知识点】其他流水行船综合
【解析】【分析】两船的速度差是18÷6=3 (千米/时) ，由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米；在紧接着的10个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3×10=30 (千米) ，这时货船上的东西落入水中，1小时后货船上的人才发现，此时货船离落在水中的东西的距离正好是货船的静水速度×1小时的路程，这段路程÷它们的速度和=这段路程的用时，即货船的静水速度×1÷货船的静水速度=1 (小时) ；那么，货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距30+3=33 (千米) ，相遇用时是1小时，则两者的速度和是33÷1=33 (千米/时) ，这与它俩在静水中的速度和相等。又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为(33-3) ÷2=15 (千米/时) 解答即可.
1 / 1【2025.9.17】一外数学试题
1．（2025.9.17一外）已知，，则a b（比较大小）
2．（2025.9.17一外）对每一个两位数，将其两个数位上的数字相乘，然后再把所得的乘积相加，则和为 。
3．（2025.9.17一外） 。
4．（2025.9.17一外）从1-100，这100个自然数中，任意选出一个数，这个数是质数的可能性是 。
5．（2025.9.17一外）把6块相同的巧克力分给 3 个小朋友，每人至少分得一块，那么一共有 种分法。
6．（2025.9.17一外）一幅彩色作品，其红、黄、蓝三原色之间的配色比例为5：3：8时，色彩强度达到平衡。已知橘色、紫色、绿色分别由红色 + 黄色、红色 + 蓝色、黄色 + 蓝色调和而成。那么，橘、紫、绿的配色比例为 时，色彩强度达到平衡。
7．（2025.9.17一外）某商场自动扶梯匀速上行，维修员甲和乙两人从顶部逆行到底部，甲每秒走 3 级，用时 100 秒，乙每秒走 2 级，用时 200 秒，则甲用原速从底部走到顶部，需用 秒。
8．（2025.9.17一外）小红同学用31元去买单价为 2、3、4 元的三种签字笔，每种至少买 1 支，则她最少能买 支。
9．（2025.9.17一外）7点 分时，分针落后时针 100 度。
10．（2025.9.17一外）若a + 2b - 3c = 4，5a - 6b + 7c = 9，则9a + 2b - 5c = 。
11．（2025.9.17一外）
12．（2025.9.17一外）
13．（2025.9.17一外）
14．（2025.9.17一外）
15．（2025.9.17一外）
16．（2025.9.17一外）
17．（2025.9.17一外）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇点距离A、B中点 200 米，已知甲车的速度是乙车速度的，求A、B两地的路程。
18．（2025.9.17一外）四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AD = 4，BC = 12，△ OAB与△ OCD的面积都是 21，求四边形ABCD的面积。
19．（2025.9.17一外）四位数能被 72 整除，这个四位数是多少？
20．（2025.9.17一外）将一空池加满水，若同时开启 1、2、3、4 号进水管，则 12 分钟可以完成；若同时开启 2、3、4、5 号进水管，则 9 分钟可以完成；若同时开启 1、5 号进水管，则 18 分钟可以完成；若同时开启 1、2、3、4、5 号进水管，则需多少分钟可以完成？
21．（2025.9.17一外）甲、乙两个码头，相距 18 千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，6 小时后货船追上游船，又行驶了 10 小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），1 小时后被船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇，则游船在静水中的速度为每小时多少千米？
答案解析部分
1．【答案】>
【知识点】换元法
【解析】【解答】解：设2+3+…+2023=x，
则a=(1+a)(a+2024)，b=a(1+a+2024)，
∴a-b=(1+a)(a+2024)-a(1+a+2024)=(a2-2025a+2024)-(a2-2025a)=2024>0，
∴a>b，
故答案为：>.
【分析】设2+3+…+2023=x，则可得到a=(1+a)(a+2024)，b=a(1+a+2024)，然后求差解答即可.
2．【答案】2025
【知识点】数字问题
【解析】【解答】解：十位数字为1的两位数：10到19，其乘积和为
十位数字为2的两位数：20到29，其乘积和为
十位数字为3的两位数：30到39，其乘积和为
以此类推，直到十位数字为9的两位数：90到99，其乘积和为405。
所有两位数的乘积和相加为45+90+，
故答案为：.
【分析】根据十位数字分类计算乘积和，然后计算总和即可.
3．【答案】
【知识点】分数拆项与裂项；通项归纳
【解析】【解答】解：分母 ，
∴
.
故答案为：.
【分析】先得到分母的通式为n(n+1)，然后根据分数的裂项相消解答即可.
4．【答案】
【知识点】枚举法
【解析】【解答】解：1-100中的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97， 共25个，
∴ 任意选出一个数，这个数是质数的可能性是，
故答案为：.
【分析】于先找出1-100中质数的个数，根据某事件发生的可能性=该事件发生的情况数÷总情况数计算即可.
5．【答案】10
【知识点】组合；“插板法”相同元素分组问题
【解析】【解答】解：
，
故答案为：10.
【分析】将巧克力分给小朋友，每人至少一块，可以采用插板法来求解，即在巧克力之间的空位中插入板子，将巧克力分成不同的组，组数对应小朋友的人数。
6．【答案】8：13：11
【知识点】按比分配问题
【解析】【解答】解：设红色占比为5x，黄色占比为3x，蓝色占比为8x。
橘色由红色和黄色调和而成，所以橘色中红色占比为5x，黄色占比为3x，那么橘色的占比为5x+3x=8x；
紫色由红色和蓝色调和而成，所以紫色中红色占比为5x，蓝色占比为8x，那么紫色的占比为5x+8x=13x；
绿色由黄色和蓝色调和而成，所以绿色中黄色占比为3x，蓝色占比为8x，那么绿色的占比为3x+8x=11x；
∴橘、紫、绿的配色比例为橘色占比：紫色占比：绿色占比， 即8x：13x：11x=8：13：11，
故答案为：8：13：11.
【分析】根据已知的红、黄、蓝三原色的配色比例，分别求出橘色、紫色、绿色中各颜色的占比，进而求出它们的配色比例.
7．【答案】50
【知识点】人速未知的扶梯问题
【解析】【解答】解：设自动扶梯的速度为每秒y级，
则，
解得y=1，
自动扶梯的可见级数为级，
∴甲从底部走到顶部所需的时间为200÷(3+1)=50 (秒)，
故答案为：50.
【分析】先设自动扶梯的速度为每秒y级，根据自动扶梯的可见级数列出方程，求出自动扶梯的可见级数和速度，再计算甲从底部走到顶部所需的时间.
8．【答案】9
【知识点】最佳方法问题
【解析】【解答】每种笔至少买1支，先各买1支，此时花费2+3+4=9(元)，还剩下31-9=22(元)，
剩下的钱继续购买单价为4元的签字笔，22÷4=5(支) 2(元)，即可以再买5支单价为4元的签字笔，还剩2元。
剩下的2元刚好可以买1支单价为2元的签字笔，
则她最少能买笔的数量为1+1+1+5+1=9支，
故答案为：9.
【分析】优先购买单价高的签字笔，因为单价高的笔每支花费的钱更多，在总花费一定的情况下，购买数量少，那么笔的总数就少.
9．【答案】20
【知识点】钟面上的追及问题
【解析】【解答】解：分针1分钟走 时针1分钟走7点整时，分针与时针夹角为
设7点x分时时针和分针的夹角为 则有
x=20
故答案为：20，
【分析】根据分针1分钟走 时针1分钟走利用追级问题列方程解答即可.
10．【答案】25
【知识点】分组求和
【解析】【解答】解：
又∵
得：9a+2b-5c=25.
故答案为：25.
【分析】先把方程a+2b-3c=4的左右两边同乘以4得到4a+8b-12c=16，然后再同方程5a-6b+7c=9相加即可得到答案.
11．【答案】解：
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先运算乘除，然后运算加减解答即可.
12．【答案】解：
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先运算小括号，然后运算中括号，再运算加减解答即可.
13．【答案】解：
=0+0.625-0.125
=0.5
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先运算括号内的四则运算，然后运算乘法，最后运算加减解答即可.
14．【答案】解：
.
【知识点】四则混合运算中的巧算
【解析】【分析】先利用乘法分配律计算中括号，然后运算乘除，最后运算加减解答即可.
15．【答案】解：
整理，得
去分母，得9y-15-2(5y-70)=6
去括号，得9y-15-10y+140=6
移项，得9y-10y=6+15-140
合并同类项，得-y=-119
系数化为1，得y=119.
【知识点】一元一次方程
【解析】【分析】先整理方程，然后去分、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元二次方程即可.
16．【答案】解：
5(0.1x+15)-60-30=150x-90
0.5x+75-60-30=150x-90
0.5x-150x=-90-75+60
-149.5x=-75
【知识点】一元一次方程
【解析】【分析】先去大括号，然后去中括号，再去小括号，再移项、合并同类项、系数化为1解答即可.
17．【答案】解：由题意得：甲乙两车速度比是4：5。
所以当两车相遇时，甲车行驶路程与乙车行驶路程比时4： 5。
即甲车行驶路程占两地总路程的
所以A、B两地的路程：
=3600(米)
答： A、B两地的路程是3600米.
【知识点】其他行程问题
【解析】【分析】根据甲车的速度是乙车的速度是 可得甲乙两车速度比是4：5，可知当两车相遇时，甲车行驶路程与乙车行驶路程比是4：5，可知甲车行驶路程占两地总路程的 再根据“相遇点距离A、B中点200米”，列算式解答即可.
18．【答案】解：
三角形DAB的高=三角形ACD的高；
三角形OAD和三角形OBC相似；
AD=4，BC=12，BC=3AD；
则OB=3OD；
.
【知识点】相似三角形的性质（份数、比例）；等积变形等高模型
【解析】【分析】由题可知，根据等底的两个三角形面积相等，则它们的高相等，可得 ，再根据BC和AD之间的关系，求出OB和OD之间的关系，进而求解.
19．【答案】解： 72=8×9， 则 或8，
当b=0时， 则四位数为9720，
当b=8时， 则四位数为1728.
答： 这个四位数是9720或1728.
【知识点】特殊数的整除特征
【解析】【分析】 则 或8，分别计算b=0或8时四位数即可解答.
20．【答案】解：
(分钟)，
答：需8分钟可以完成.
【知识点】进排水问题
【解析】【分析】根据题意若同时开启1、2、3、4号进水管，则12分钟可以完成；若同时开启2、3、4、5号进水管，则9分钟可以完成；若同时开启1、5号进水管，则18分钟可以完成。得 是共同加满两个空池的工作效率，所以共同加满一个空池的工作效率是 根据工作时间=工作总量÷工作效率解答即可.
21．【答案】解：两船的速度差：18÷6=3 (千米/时) ，
接着的10个小时后，它们的相距：3×10=30 (千米) ，
货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距：30+3=33 (千米) ，
从货船开始回追物体到它们相遇共用时1小时，两船的速度和：33÷1=33 (千米/时) ，
游船的速度：(33-3) ÷2=15 (千米/时) ，
答：游船在静水中的速度为15千米/时.
【知识点】其他流水行船综合
【解析】【分析】两船的速度差是18÷6=3 (千米/时) ，由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米；在紧接着的10个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3×10=30 (千米) ，这时货船上的东西落入水中，1小时后货船上的人才发现，此时货船离落在水中的东西的距离正好是货船的静水速度×1小时的路程，这段路程÷它们的速度和=这段路程的用时，即货船的静水速度×1÷货船的静水速度=1 (小时) ；那么，货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距30+3=33 (千米) ，相遇用时是1小时，则两者的速度和是33÷1=33 (千米/时) ，这与它俩在静水中的速度和相等。又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为(33-3) ÷2=15 (千米/时) 解答即可.
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