2025-2026 学年九年级上学期期末监测卷
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上、下册全部。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两
个图形之间属于图形的（ ）
A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转
2．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个不可伸拉的梯子与地面所成的夹角为∠ (0° < < 90°)，关于∠ 的三角函数值与梯子的倾斜
程度之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．sin 值越大，梯子越陡 B．cos 值越大，梯子越陡
C．tan 值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠ 的函数值无关
4．把抛物线 = 2 2先向右平移 6个单位长度，再向下平移 2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A． = 2( + 6)2 + 2 B． = 2( + 6)2 2
C． = 2( 6)2 + 2 D． = 2( 6)2 2
5．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴
影区域的概率为（ ）
A 3 B 2． ． C 1 D 2． ．
4 3 2 2
6 2．已知反比例函数 = ，当 > 0时． 随 的增大而增大、则 的取值范围是（ ）
A． ≤ 2 B． < 2 C． > 2 D． ≥ 2
7．如图，△ 中，∠ = 65°， = 6， = 3，将△ 沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角
形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
8 ．如图，直线 = 与双曲线 = ( > 0)交于点 ．将直线 = 向右平移 4 个单位长度后，与双曲线 =
( > 0)交于点 ，与 轴交于点 ．若 = 2 ，则 的值为（ ）
A 6 B 8 C 49 D 64． ． ． ．
9 9
9．某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ ，已知 tan = 1，∠ = 45°，
3
则左视图的面积是（ ）
A．2 3 B．4 3 C．4 D．2
10．抛物线 = 2 + + 的对称轴为直线 = 1，部分图象如图所示，下列判断中：① > 0；②方
程 2 + + = 0 的两个根是 1 = 1， 2 = 3；③当 > 0 时，y 的值随 x 增大而增大；④若点 0.5, 1 ，
2.5, 2 均在抛物线上，则 1 = 2，其中正确的判断是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
第二部分（非选择题 共 90分）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）
11．在平面直角坐标系中，若点 1, 和点 , 2 关于原点中心对称，则 + 的值为 ．
12．关于 x 的一元二次方程 1 2 + 4 2 = 0 有两个不相等的实数根，则实数 的值可以是 （写
出一个即可）．
13 = = = 2．已知 ， + 2 + 3 = 6，则 + 2 + 3 = ．
3
14 1．在Δ 中，若 cos + tan 1 = 0，则∠ = 度；
2
15 6 2．如图，点 A 在函数 = ( < 0)的图象上，作 ∥ 轴交函数 = ( < 0)的图象于点 C，四边形
的面积为 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题 7 分）（1）计算： 2 2 × 4 3tan60° + 30
（2）关于 的一元二次方程 + + = 可以变形为 + 2 = 的形式，如下是小雨同学解方程的过
程：
解： + 7 + 5 = 8
原方程可变形为 + 6 + 1 + 6 1 = 8
+ 6 2 1 = 8
+ 6 2 = 9
∴ + 6 =± 3
∴ 1 = 3, 2 = 9
①上述解方程的方法是通过添项构造______________（填“平方差公式”或“完全平方公式”）
②仿照题中的方法，解方程： 1 3 = 15
17．（本题 8 分）如图，这是由 5 个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示．
(1)请在网格中画出它的左视图和俯视图．
(2)如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加________个同样大小的小正方体．
18．（本题 8 分）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的
记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，
切点为弦切角的顶点）．如图 1 中∠ 即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图 1.已知： 为圆上任意一点，当弦 经过圆心 ，且 切⊙ 于点 时．
易证：弦切角∠ = ∠ ．
②如图 2.当点 是优弧 上任意一点， 切⊙ 于点 ．
求证：弦切角∠ = ∠ ．
证明：连接 并延长交⊙ 于点 ，连接 ，如图 2 所示．
∵ 与⊙ 相切于点 ，∴ ∠ =______，∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ 是直径，∴ ∠ = 90°（_____），∴ ∠ + ∠ = 90°，∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ = ∠ （_______），∴ ∠ = ∠ ．
完成下列任务：(1)将上述证明过程及依据补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图 3，△ 的顶点 在⊙ 上， 和⊙ 相交于点 ，且 是⊙ 的切线，切点为 ，连接 ．若 = 2，
= 6，求 的长．
②如图 4，△ ， = ，以 为直径的⊙ 交 于点 ，过点 作⊙ 的切线，交 的延长线于点 ．直
接写出∠ 与∠ 的数量关系：______．
19 6．（本题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 = 的图象交 ( 1, )，
( , 2)两点，一次函数 = + 的图象与 y 轴交于点 C．
(1)求一次函数解析式；
(2) 6根据函数的图象，直接写出不等式 + ≤ 的解集；
(3)点 P 是 x 轴上一点，△ 的面积等于△ 面积的 2 倍，求点 P 坐标．
20．（本题 9 分）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算 tan15°时，可构造如图所示的图形．在
Rt △ 中，∠ = 90°，∠ = 30°，设 = ，延长 至点 ，使得 = ，连接 ，易知∠ = 15°, =
+ = + = 2 + 3 ，所以 tan15° = tan = ．
任务．(1)请根据上面的步骤，tan15° =_________．
(2)请类比这种方法，画出图形，并计算 tan22.5°的值．
(3)在 Rt △ 中，∠ = 90°，tan2 = 1，请你直接写出 tan 的值．
2
21．（本题 10 分）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如
图 1，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从 A 处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部
分，最终石头落在斜坡 上的点C处，以水平地面为 x轴， 为 y轴建立平面直角坐标系，如图2．已知 = 1
米，在石头运动过程中，当石头与 y 轴的水平距离为 4 米时，离水平地面的距离最大，为 1.8 米，斜坡
1
所在直线的函数表达式为 = ．
5
(1)求出石头的运动轨迹所在抛物线的函数表达式．
(2)如图 3，点 E 是石头运动轨迹上任一点，过点 E 作 ∥ 轴交坡面 于点 F．
①求石头运动过程中到坡面 的铅直高度 的最大值．
②直接写出石头运动过程中到坡面 的最大距离．
22．（本题 11 分）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法．
【原题呈现】
如图 1，在平行四边形 中，点 M 是 的中点，点 O 是线段 上一点， 的延长线交射线 于点 N．若
= 3 ，求 的值．
1 M ∥ H = 【尝试探究】如图 ，过点 作 交 于点 ，则 ， = ， = ．
【类比延伸】如图 2，在原题的条件下，若 = ，则 = （用含有 k 的代数式表示）．
【拓展迁移】如图 3，四边形 中， ∥ ，点 E 是 的延长线上的一点， 和 相交于点 O．若 = ，
= ， > 0, > 0 ，则 = （用含 m，n 的代数式表示）．
23．（本题 13 分）如图，抛物线 = 2 + + 2 交 轴于 1,0 , 4,0 两点，交 轴于点 ，
(1)求抛物线的解析式；
(2) 若点 是第一象限内抛物线上的一个动点，其横坐标为 ，连接 交直线 于点 ，求 的最大值，并求
出此时 的坐标；
(3)若点 为抛物线上一动点，是否存在点 ，使∠ = ∠ 若存在，请直接写出 的坐标；若不存在，请
说明理由．2025-2026学年九年级上学期期末监测卷
数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的)
2
3
4
5
6
8
9
10
C
B
A
C
B
D
D
◇
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11.-1
12.0(答案不唯一)
13.4
14.75
15.5
三、解答题（本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本题7分)
【详解】解：(1)(-2)-2×|-4-v3tan60°+30
-行×4-5x5+1
=1-3+1
=-1;3分
(2)①平方差公式…4分
②(x-1)(x-3)=15
原方程可变形为(x-2+1)(x-2-1)=15
(x-2)2-1=15
(x-2)2=16
.∴.x-2=±4
.X1=-2,X为2=6.7分
17.(本题8分)
【详解】(1)解：如图所示，该几何体的三视图如下，
1/10
主视图
左视图
俯视图
6分
(2)解：根据题意得，在原图形基础上，让该几何体变成一个3×2×2的长方体，
∴.至少需要添加3×2×2-5=7个这样的小正方体，
故答案为：7.8分
18.(本题8分)
【详解】(1)解：如图2
:OB是⊙O的半径，DB与⊙O相切于点B,
:OB L DB,
∠NBD=90°，
"BN是直径，
直径所对的圆周角是直角，
由同弧所对的圆周角相等，可得：∠N=∠A,
故答案为：90°；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等，3分
(2)解：①如图3，
:AB是⊙O的切线，切点为B,
·∠ABD=∠ACB,
又：∠A=∠A,
.∴△ABD∽△ACB
“铝=0，即：岩=0可
AD
AB
“品=提解得：AB=4,5分
②如图4，连接AE,
B
图4
2/10
AB是直径，
∠AEB=90°，AE⊥BC,
又：AB=AC,
:A是LBAC的角平分线，即：∠BAE=专∠BAC,
又：BD是⊙O的切线，
∠BAE=∠CBD,
LCBD=2BAC,
8分
故答案为：①4；②LCBD=∠BAC.
19.(本题9分)
【详解】(1)解：“反比例还数y=-的图象经过点A(-1,m,B(0,-2),
-1Xm=-6,-2n=-6,
解得m=6,n=3,
·A(-1,6),B(3,-2),
把A、B的坐标代入y=x+婿{6b二6
解得化=子，
。一次函数的解析式为y=一2x十4.…4分
(2)解：观察图象，不等式kx+b≤-的解集为：-1≤x<0或x≥3.6分
(3)解：连接0A,0B,由题意C(0,4),
Sa403=SA40c+5AB0c=x4x1+x4x3=8,
B
设P(m,0),
由题意影m·2=8×2,
3/10
