1 周期变化 2 任意角 课件 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共79张PPT)
第一章 三角函数
§1 周期变化 §2 任意角
必备知识解读
知识点1 周期函数
概念 一般地，对于函数,，如果存在一个非零常数 ，使得对任意
的，都有且满足，那么函数 称作
周期函数.
周期 非零常数 称作这个函数的周期.
最小正 周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最
小正数就称作函数 的最小正周期.
说明 若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.#1.1
特别提醒 1.周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的．如果只有个别的 值
满足,那么是不能称为 的周期的.
2.从来看，自变量 本身所加的非零常数才是周期，如
,不是 的周期，应将原式写成
,即是 的周期.
3.周期函数的周期不是唯一的，如果是函数的周期，那么
也一定是它的周期.
4.不是所有周期函数都有最小正周期，如:函数 是周期函数，但无最小
正周期.
5.函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数，则只需
研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．#1.2.4
学思用·典例详解
例1-1 新定义 锯齿波函数 ［教材改编P2例2］ (2025·河南省驻马店市新蔡县第一
高级中学开学考试改编)函数是物理中常见的锯齿波函数，其中 表示不
大于 的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如
此反复.讨论函数 是否为周期函数，如果是，请指出它的周期.
【解析】表示不大于 的最大整数（【知识回顾】这是取整函数），
则 ，
所以, ,
则函数 是以3为周期的函数.
. .
例1-2 [教材改编P4 T3]（(2025·河北省保定市期末）设函数 是以2为最小
正周期的周期函数，且当时，，则 ___.
0
【解析】函数的周期为2，故 .
知识点2 任意角
1 角的概念的推广
如图1-1-1,平面内一条射线绕着它的端点 按箭头所示方向旋转到终止位置
,形成角 .（在不引起歧义的情况下,“角 ”或“ ”可以简写为）其中点 是角
的顶点,射线是角 的始边,射线是角 的终边.（【归纳】角的三要素：顶
点，始边，终边）
图1-1-1
. .
. .
. .
. .
2 正角、负角、零角
定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角叫作正角.
负角 按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.
零角 如果一条射线没有作任何旋转，我们称 它形成了一个零角.这样，零角的始边与 终边重合，如果 是零角，那么 .
特别提醒 （1）正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的.它们是用来表示具有
相反意义的旋转量的，正角、负角的规定出于习惯，就像正数、负数的规定一样.
（2）高中阶段所说的角实际上是初中所学角的概念“由一点出发的两条射线组
成的图形叫作角”的推广.对于角的形成过程，既要知道旋转量又要知道旋转方向.
（3）角的概念推广后，角度的范围不再限于 （本书中，角 在
范围内是指 ）.#1.3
. .
学思用·典例详解
例2-3 新情境 塔钟 塔钟是一种大型钟表，通常安装在学校的钟楼或塔楼顶部，常
用于报时.有一天因停电导致塔钟慢了10分钟，需要将塔钟拨快到准确时间，分针在
旋转过程中与起始位置所形成的角为( )
D
A. B. C. D.
【解析】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为 ，所以有
,即分针在旋转过程中与起始位置所形成的角是 .
（【总结】正常情况下，钟表的时针或分针都是顺时针旋转的，因此在旋转时与起
始位置所形成的角总是负角）
例2-4 [教材改编P5 图1-5与图1-6]图1-1-2中旋转到，， 时所成的角分
别为______，_______，_____.
图1-1-2
【解析】图1-1-2（1）中旋转到所成的角是一个正角， .图1-1-2（2）
中旋转到，所成的角分别是一个负角和一个正角， , .
知识点3 象限角与轴线角及其表示
1 象限角与轴线角
为了方便研究问题，本节及以后经常将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶
点在坐标原点，始边在 轴的非负半轴.以角的终边（除端点外）在平面直角坐标系
的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边
在坐标轴（【易错点】象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，
不能说第二象限角比第一象限角大）上，这个角就不属于任何象限，就说这个角是
轴线角．
. .
2 终边相同的角
如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转 的整数倍，那么所得新角的
终边与原角的终边重合（相同）.
一般地，给定一个角 ，（任意角）所有与角 终边相同的角，连同角 在内，
可构成一个集合 ，，（不能漏）即任何一个与角 终
边相同的角，都可以表示成角 与周角的整数倍的和.
特别提醒 当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相
等；终边相同的角有无数个，它们相差 的整数倍；终边不同则表示的角一定不同.
. .
. .
3 象限角与轴线角的集合表示
（1）象限角的集合表示
（2）轴线角的集合表示（【教材深挖】教材第8页【习题 】A组第4题）
角的终边位置 集合表示
角的终边在 轴非负半轴上 ， }
角的终边在 轴非正半轴上 ， }
角的终边在 轴上 ， }
角的终边在 轴非负半轴上 ， }
角的终边在 轴非正半轴上 ， }
角的终边在 轴上 ， }
角的终边在坐标轴上 ， }
知识剖析 1.象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如第四象限角还可以表示为
,},终边在 轴非正半轴上的角的集合还可以表
示为 , }.
2.在用集合表示两个象限的角时，应注意排除轴线角.如终边在第一、二象限的
角用集合表示为 或
, }
发散讨论 在上述轴线角的集合表示中， , , 要如何理解？能
否进行推广？
可以理解为每旋转 ， ， ，角的终边就到了所求轴线的位置.比如，
终边在坐标轴上：以 为起始，每旋转 ，终边都在坐标轴上，故角的集合
可写成 ,，即 , }.
此表示可以进行推广.比如，终边在直线 上的角的集合：先确定一个角如
，由于角的终边旋转 后还在直线 上，故所求集合可写成
， }.
学思用·典例详解
例3-5 [教材改编P7例3]
（1）(2025·江西省修水县第一中学期中)下列角中与 角的终边相同的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】与 角的终边相同的角的集合为 ， }.取
，得 ，故与 角的终边相同的角是 .（其他三个选项中的角
代入后，求得的 均不是整数）
（2）(2025·江西省新余市期末)与 角的终边相同的角用集合可表示为( )
C
A.} B. }
C.} D. }
【解析】 ,故与 角的终边相同的角用集合可表示
为 }.
例3-6 [多选题](2025·广东省惠州市第一中学期末)已知第一象限角， 锐角
，小于 的角，那么，， 的关系是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】第一象限角 ，， 锐角
,小于 的角}={锐角、零角和负角（,, 的关系
为,），对比各选项可知，, 正确．
教材深挖 锐角、 的角、小于 的角、第一象限角四者的区别
此处是对教材第7页【练习】第1题的深挖.
（1）锐角、 的角、小于 的角及第一象限角的范围如下表所示：
角 集合表示
锐角
的角
小于 的角
第一象限角 , }
图1-1-3
（2）锐角、 的角、小于 的角及第一象限角的关系用
图表示，如图1-1-3所示.
例3-7 （1）[教材改编P6例1] 角的终边在( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 ， 角与 角的终边相同，故 角的
终边在第一象限．
（2）[教材改编P7例2]下列角中，终边在 轴非负半轴上的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】终边在轴非负半轴上的角的集合为 , ，
当时， ，
当时， ，
当时， .
结合选项可知B正确.
释疑惑 重难拓展
知识点4 角的终边的对称与垂直问题
【教材深挖】教材第7页【思考交流】的深挖.
角 与 终边的位置关系 , 的关系
与 的终边关于 轴对称 ,
与 的终边关于 轴对称 ,
与 的终边关于原点对称 ,
与 的终边在一条直线上 ,
与 的终边互相垂直 ,
与 的终边关于直线 对称 ,
与 的终边关于直线 对称 ,
学思用·典例详解
例4-8 若角 ， ，，，则角 与 的
终边的位置关系是( )
D
A.重合 B.关于原点对称 C.关于轴对称 D.关于 轴对称
【解析】 角 的终边和 角的终边相同，角 的终边与 角的终边相
同， ， 角 与 的终边关于 轴对称.
，角 与 的终边关于 轴对称.
（【秒解】画出 和 的角，直观看出两角关于 轴对称）
关键能力构建
题型1 函数的周期性及其应用
1 周期函数的判断
例9 已知函数是定义在上的奇函数，且满足 ，则函数
的周期为___.
8
【解析】由函数是定义在 上的奇函数，
得且 .
由，得 ，则
，
于是函数 的最小正周期为8.
2 利用周期求函数解析式及函数值
例10 (2025·山东省淄博第一中学月考)定义在上的函数为奇函数，且
为偶函数，当时，，则 ( )
A
A. B.0 C.1 D.2
【解析】因为函数为奇函数，且 为偶函数，
所以（,则 ）
，
所以 的周期为4，
所以 .
. .
例11 (2025·北京一零一中开学考试)设是定义在 上的周期为2的偶函数，已知
时，，则时，的解析式为 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由是定义在上的周期为2的偶函数知，当时， ，
时，，此时 ；
当时，， ，
此时 ，
所以
综上可得，时， .
函数周期性的判断及应用的思路
1.函数周期的判断要依据定义，看是否存在一个非零常数 ，在定义域中使
成立.
2.利用周期求函数值或解析式的关键是将自变量加（或减）周期的整数倍，转化到
已知区间上，代入解析式求解即可.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·江西省南昌聚仁高级中学月考)已知函数对任意的 ，都有
，若的图象关于点对称，且 ，则
( )
B
A.0 B. C.3 D.4
【解析】由于的图象关于点对称，故的图象关于点
对称，即为奇函数，又 ，则
，即16为 的周期，
将代入，得 ，（【方法】赋值
法的运用）
故 .
2.(2025·山东省泰安市期中)设是定义在上的奇函数，且对任意实数 ，恒有
，当时 .
（1）求证： 是周期函数；
【答案】 ，
，
是周期函数，且其周期为4．
（2）当时，求 的解析式.
【答案】令，则， ，又
是定义在上的奇函数，即 ，
当时， .
当时， ，
，
由于的周期是4， ，
当时， ．
题型2 终边相同的角的应用
1 在指定范围内求终边相同的角
例12 ［教材改编P7例3］写出与 角终边相同的角的集合，并求出该集合中适合
不等式 的角 .
【解析】与 角终边相同的角的集合为
, }.
当 ，即 时,
解得 .
又,所以或 .
当时， ;当时， .
综上所述，适合不等式 的角 为 ， .
在指定条件下，求与角 终边相同的角时，可先将这样的角表示为
的形式，然后用赋值法或解不等式（组）确定 的值，从而求出
满足条件的角.
2 求终边在某条直线上的角的集合
例13 ［教材改编P7 T1（8）&P8习题1-2 B组T1］终边在直线 上的角可用
集合表示为____________________________.
,}
【解析】 终边在射线 上的角的集合
, };
终边在射线上的角的集合 , }.
于是，终边在直线上的角的集合 ,
, ,
, , }.
在 范围内，当终边在射线上时，对应的角为 ；
旋转 后，终边在射线上；再旋转 ，终边又在射线
上.
故终边在直线上的角的集合为 , }.
举一反三 POINT 如果终边在直线 上呢？同学们可以自己思考一下.
名师点评 注意 ，}和 ，
}这两个集合需要合并成 ， }.整数集可以按照奇数
、偶数 分为两个集合，而按照奇数、偶数分成的两个集合
也可以合并为整数集.
终边在某条直（射）线上的角的表示形式
1.若所求角 的终边在某条射线上，则角的集合的形式为 ，
}.
2.若所求角 的终边在某条直线上，则角的集合的形式为 ，
}.特别地，终边在直线上的角的集合为 , }；
终边在直线上的角的集合为 , }.
【学会了吗丨变式题】
3.设集合 , , ｝,集合
,｝,则集合与集合 的关系是_______.
【解析】图D 1-1-1（1）中的射线（包括坐标轴上的射线）表示集合 中的各角的
终边.图D 1-1-1（2）中的射线（包括坐标轴上的射线）表示集合 中的各角的终边.
比较图D 1-1-1（1）（2），得 .
图D 1-1-1
3 区域角的表示
区域角的求解方法
1.区间角、区域角的定义
介于两个角之间的角的集合称作区间角，如 .终边介于某两角终边
之间（两类角的区别之处.）的角的集合称作区域角，显然区域角包括无数个区间角.#1.2.1
. .
. .
. .
2.区域角的写法
（1）若角的终边在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出
一个区间角，再在它的两端分别加上“ ”，右端末尾注明“ ”即可；
（2）若角的终边在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边在每条直
线上的角的集合，进而得到区域角的范围.
注意:在书写集合时，若边界线是实线，则对应的不等式包含等号，若边界线是虚线，
则对应的不等式不包含等号.#1.3.3
图1-1-4
例14 ［教材改编P8习题1-2 B组T2］如图1-1-4所示，写出
终边在阴影区域Ⅰ,Ⅱ（不包括边界）的角的集合.
【解析】 第一步:根据图形写出终边在每个区域内的角的集合.
在 范围内，终边在阴影区域Ⅰ,Ⅱ（不包括边界）的角 应分别满足
， .
所以终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ（不包括边界）中的角的集合分别为
， ,
, }.
第二步:对写出的两个集合求并集，并化简.
满足题意的角的集合为 ,
,
,
,
, ｝.
终边在第一、三象限内的边界线上的一个角为 ，则终边在该边界线上的
角可写为 , （【关键点】找出终边落在区域边界上的角）;终边在
第二、四象限内的边界线上的一个角为 ，则终边在该边界线上的角可写为
， .
故所求角的集合为 , }.
. .
4 终边对称角的表示
例15 若角 的终边与 角的终边关于直线对称，且 ,
则角 _____________.
或
图1-1-5
【解析】如图1-1-5所示，设 角的终边为射线，射线 关于
直线对称的射线为射线，则以射线 为终边的一个角
为，所以以射线 为终边的角的集合为
,},又 ，故由
,,得或.故角 的值
为 或 .
题型3 象限角的判定
1 判定给定角是第几象限角
例16 [教材改编P8 练习T2]在 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并
判断它们是第几象限角：
（1） ；
【解析】因为 ,
所以在 范围内与 角终边相同的角是 角，所以 是第三
象限角.
（2） ；
【解析】因为 ,
所以在 范围内与 角终边相同的角是 角，所以 是第四象限角.
（3） .
【解析】因为 ,
所以在 范围内与角终边相同的角是角，所以 是第
二象限角.
例17 ［教材改编P8 T5］已知 是第三象限角，则 是( )
D
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】由 是第三象限角可得， , ,
所以， ，
即 ， ,
所以 为第四象限角.
（【另解】利用特殊值验证,如取 ，则 ，
显然该角是第四象限角）
给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角 是第几象限角的常用方法是将 写成, 在 范
围内的形式，观察角 的终边所在的象限即可.
2 判定倍角、分角是第几象限角
例18 ［教材改编P8习题1-2 B组T3］若角 是第二象限角，试确定角 , 分别是
第几象限角.
【解析】 是第二象限角，
.
（1）, 是第三象限角或第四象
限角或终边在 轴非正半轴上的角.（切勿遗漏）
（2） ,当 时，
,此时， 是第一象限角；
当时，,此时， 是第
二象限角；
当时，,此时， 是第
四象限角.
综上所述， 是第一象限角或第二象限角或第四象限角.
. .
图1-1-6
将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从
轴非负半轴起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号
码1，2，3，4，如图1-1-6所示．
是第二象限角， 图中标有数字2的区域（不包括边界）
即 的终边所在的区域，
故 是第一象限角或第二象限角或第四象限角．
（【教材深挖】此处是对教材第8页【习题 】B组第3题同类题的通法的深挖与
探究）
确定角 所在象限的两种基本方法——不等式法、几何法
一、不等式法
由角 所在象限，确定角 所在象限的步骤：
（1）由角 的范围（用表示），求出角 的范围；
（2）通过对进行分类讨论，判断角 所在象限.
二、几何法
（1）画出区域：将坐标系每个象限等分，得到 个区域.
图1-1-7
（2）标号：自 轴正方向起，按逆时针方向把每
个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ（如图1-1-7所示）.
（3）确定区域：找出与角 所在象限标号一致
的区域，即为所求.
说明：当,时，角 的终边在四个象
限都有分布，一般不讨论研究.
【学会了吗丨变式题】
4.设 是第一象限角，则 是第________象限角.397
一或三
【解析】 （特殊值法） 取 ，则 ,为第一象限角；再取
，则 ,为第三象限角.
（分类讨论法） 由于 是第一象限角，即
，所以.分别令 为偶数和奇数，可知角
的终边在第一象限或第三象限.
图D 1-1-2
（等分象限法） 将各个象限二等分，如图D 1-1-2所示，
从 轴的非负半轴起，按逆时针方向依次在各等分区域循环标上1，
2，3，4.
因为 是第一象限角，则角 的终边所在的区域就是标号为1的区
域（不包括边界），从而可知角 的终边在第一象限或第三象限.
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·江苏省南京市励志高级中学月考)已知 是锐角，那么 是( )
C
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于 的正角 D.第一象限角或第二象限角
【解析】若 是锐角，则 ，则 ，则 是小于 的
正角.
2.(2025·江西省南昌中学期中)下列与 终边相同的角是( )
C
A. B. C. D.
【解析】与 角终边相同的角为 , ,
令 ,解得 不是整数，A错误；
令 ,解得 不是整数，B错误；
令 ,解得 ，C正确；
令 ,解得 不是整数，D错误；
3.若 是第四象限角，则 是( )
D
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】 是第四象限角， 是第一象限角（【解惑】 与 关于 轴对
称），则由任意角的定义知， 是第四象限角．
. .
4.在平面直角坐标系中，下列结论正确的是( )
C
A.小于 的角一定是锐角 B.第二象限的角一定是钝角
C.始边相同且相等的角的终边一定重合 D.始边相同且终边重合的角一定相等
【解析】对于A，小于 的正角是锐角，故A错误.
对于B，第二象限角强调终边落在第二象限，例如 的终边落在第二象限，
但不是钝角，故B错误．
对于C，始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确.
对于D， 与 角的始边相同且终边重合，但两角不相等，故D错误．
5.如果角 与 角的终边相同，角 与 角的终边相同，那么 与 之间的
关系是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】由题意，得, ,
, .结合选项可知选D.
6.集合 ,}中角 的终边所在的区域
（阴影部分）是( )
C
A. B. C. D.
【解析】当时， ;
当时， ,
故C中图象符合.
7.(2025·江西省丰城市第九中学段考)将时钟拨快 ，则时针转过的角为_______，
分针转过的角为______.
【解析】将时钟拨快，时针转过的角为 ，分针转过的角为
.
8.已知角 的终边在直线 上．
（1）写出角 的集合 ；
【答案】在 范围内终边在直线上的角有两个： ， ．
因此，终边在直线上的角的集合 ，
， ，
， ，
．
（2）写出集合中适合不等式 的元素．
【答案】由 ，即 ， ，解
得，，所以， ，0，1．
则当时， ；
当时， ；
当时， ；
当时， .
所以集合中适合不等式 的元素为 , , , .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.是定义在上的奇函数，,当 时，
,则 ( )
D
A.0 B.1 C.2 D.
【解析】，所以函数是周期为4的函数，又 是
定义在上的奇函数，所以 .
10.(2025·广东省肇庆市碧海湾学校月考)若集合 , ,
,, , },则下列关系中正确的是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意知，集合表示终边在轴的非负半轴上的角，集合表示终边在 轴
上的角，集合表示终边在坐标轴上的角，故 .
11.设角 的终边为射线，射线与关于轴对称，射线与 关于直线
对称，则以 为终边的角的集合是( )
C
A. ,｝ B. , ｝
C. ,｝ D. , ｝
【解析】依题意知，射线所对应的角 满足 , ①,
射线所对应的角 满足, ②， 得
,即 , .
12.［多选题］(2025·陕西省渭南市大荔县大荔中学质检)如果角 的终边在第三象限，
则 的终边可能在( )
ACD
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 为第三象限角， ，
， ， .
当时，,此时， 的终边在第
一象限；
当时，，此时, 的终
边在第三象限；
当时，，此时， 的
终边在第四象限.
综上， 的终边可能在第一象限、第三象限、第四象限.
图D 1-1-1
将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从 轴非负半轴
起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号码1，2，3，4，
如图D1-1-1所示．
是第三象限角， 图中标有数字3的区域（不包括边界）,即
的终边所在的区域，故 是第一象限角或第三象限角或第四象
限角．
13.已知角 与 的顶点均在原点，始边均在 轴的非负半轴上，终边相同，
且 ，则 ______.
【解析】 角 与 的顶点均在原点，始边均在 轴的非负半轴上，终边相同，
，， ，
即 ，， ，
即 ，， ,
又 ，则 .
14.已知 是第一象限角， 是第二象限角，试确定角 的终边所在的位置.
【答案】由已知得 ①,
②.
,得 .
.
当时， ，
角的终边在第一象限或第二象限或 轴的非负半轴上；
当时， , 角
的终边在第三象限或第四象限或 轴的非正半轴上.
综上，角的终边可能在第一、二、三、四象限或 轴上.
C 培优练丨能力提升
图1-1-1
15.(2025·江苏省通州高级中学月考)如图1-1-1，一只红蚂蚁与一
只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点
按逆时针方向匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过 角，黑蚂蚁
每秒爬过 角（其中 ），如果两只蚂蚁都在
第14秒回到点，并且在第2秒时均位于第二象限，求 ， 的
值．
【答案】根据题意可知 ， 均为 的整数倍，
故可设 ，， ， ，
则 ，, ， ，
由 ，知 ，
又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，
，即 ，
, ，
, .
，，又， ，
，, , .