3 弧度制 课件 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共73张PPT)
第一章 三角函数
§3 弧度制
必备知识解读
知识点1 弧度制的有关概念
1 弧度制
弧度 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的（半径为单位长
度1的圆）
角.其单位用符号表示，读作弧度（通常“弧度”或“ ”省略不写）.
弧度数 在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.
弧度制 这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制.
. .
图示 如图1-3-1，在单位圆中，的长等于1,就是 的角;如图1-3-2，
在单位圆中，的长等于2,就是 的角.
角的正负由角的终边的旋转方向决定.
_____________________________________________________________________________
图1-3-1
图1-3-2
续表
2 弧度制建立的意义
一般地,弧度数与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个
负数,零角的弧度数是0.
在弧度制下，角的集合与实数集 之间建立起一一对应的关系，如图1-3-3所示.#1.1
图1-3-3
. .
学思用·典例详解
例1-1 ［多选题］下列说法正确的是( )
BD
A.在单位圆中，1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B.在单位圆中，一条弧所对的圆心角为，那么该弧的弧长为
C.若两个角的终边重合，则这两个角相等
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关
【解析】对于A选项，在单位圆中，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故
A错误；
对于B选项，在单位圆中，圆心角的弧度数就是对应弧的长度，所以弧长为 ，故
B正确；
对于C选项，零角与周角终边重合，但两个角不相等，故C错误；
对于D选项，根据角度制和弧度制的定义可知，无论是用角度制还是用弧度制度量
角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，（【重点掌握】
圆心角一定时，弧长与半径的比值是确定的值，与圆的半径无关）故D正确.
. .
知识点2 弧度与角度的换算
1 换算公式
根据弧度的定义，可知
由此可得：设一个角的弧度数为 ,角度数为,则 ，
.
. .
. .
2 特殊角的度数与弧度数的对应表
度
弧度 0
0
度
弧度
3 终边相同的角的弧度表示
在弧度制下，与任意角 终边相同的角 组成的集合为 ,
｝.
注意 角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如
,这种写法是错误的.
学思用·典例详解
例2-2 (教材改编P10例1)把 化成弧度是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ,
.（【小提示】 可不写）
点评 以弧度为单位度量角时，常把弧度数写成 的形式，若无特别要求，
不必把 写成小数，如,不必写成 .
. .
例2-3 [教材改编P10例2]把 化为度是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ,
.
例2-4 ［教材改编P12习题1-3 T2］将 表示为 的
形式为_ ________.
【解析】 .
【另解】
知识点3 角度制与弧度制下的三个公式
公式 角度制 弧度制
弧度数公式
弧长公式
扇形的面积公 式 （可类比三角形面积公式 记
忆）
说明：是圆的半径， 是圆心角的角度数， 是圆心角的弧度数. 注意 根据弧度制下的弧度数公式 ，可知圆心角的弧度数等于该角所对的
弧长与半径之比.
. .
学思用·典例详解
例3-5 ［教材改编P13 T3］(2025·广东省中山市第一中学段考)扇形的弧长为4，面积
为16，则圆心角的弧度数为( )
D
A.4 B.3 C.2 D.
【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为 ，
则由扇形面积公式与弧长公式可得，
，，解得 .
关键能力构建
题型1 角度与弧度的换算及应用
1 先换算，再求解
例6 [教材改编P12 T7]设 , ,, .
（1）将, 用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
【解析】 ,
，
.
, ,
【学以致用】写成的形式，判断 所在象限
角的终边在第二象限，角 的终边在第四象限.
. .
（2）将，用角度表示出来，并在 范围内找出与它们各自终边相
同的所有的角.
【解析】 .
设， ，
则 ,
或 .
在 范围内与角终边相同的角是 .
.
设， ,
则 ,
或 .
在 范围内与角终边相同的角是 .
教材深挖 弧度制下象限角的表示
（教材第12页【习题 】 A组第5题的解答）
第一象限角 , }
第二象限角 , }
第三象限角 , }
第四象限角 , }
2 用弧度制表示给定区域角
例7 如图1-3-4所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边
落在阴影部分内的角的集合.
图1-3-4
【解析】（1）如图1-3-4（1）所示， 角的终边与 角的终边相同，将
化为弧度，即，而 ，则所求集合
， }.
（【易错点】注意不要将所求的集合写成{ , },这是
一个空集）
（2）如图1-3-4（2）所示， 角的终边与 角的终边相同，将 化为
弧度，即，而 ，则所求集合
， }.
. .
（3）如图1-3-4（3）所示，因为,，这两个角的终边都在直线 上，
则终边在直线上的角为, .
又终边在轴上的角为, ,
故所求集合, }.
名师点评
弧度制下轴线角的表示
角的终边落在 轴的非正半轴上 , ｝
角的终边落在 轴的非负半轴上 , ｝
角的终边落在 轴的非正半轴上 , ｝
角的终边落在 轴的非负半轴上 , ｝
角的终边落在 轴上 , ｝
角的终边落在 轴上 , ｝
角的终边落在坐标轴上 , ｝
角度与弧度相互转化的方法
1.由角度化为弧度，利用公式，其中 为角度数.
2.由弧度化为角度，若含有 ，则直接将 代入；若没有 ，则将
代入.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·安徽省临泉田家炳实验中学期中)已知角 ．
（1）将 改写成的形式，并指出 是第几象限角；
【答案】因为 ，
所以角 与 的终边相同，
又 ，所以角 是第二象限角．
（2）在区间上找出与 终边相同的角．
【答案】因为与角 终边相同的角（含角 在内）为 , ，
所以由，得 ．
因为，所以或 ．
当时， ；
当时， .
故在区间上与角 终边相同的角是， ．
2.(2025·北京市中央民族大学附属中学月考)集合 , }中
角所表示的范围（阴影部分）是( )
C
A. B. C. D.
【解析】当时，, ，
（【思路】对 分奇偶讨论，结合终边相同的角的定义判断）
此时 表示的范围与 表示的范围一样；
当时,, ,
此时 表示的范围与 表示的范围一样.
综上可知，选项C正确.
. .
题型2 弧长公式与扇形的面积公式的应用
1 弧度数的确定
例8 (2025·安徽省淮南二中月考)若扇形的面积是，它的周长是 ，则扇形
圆心角 的弧度数为( )
A
A. B. C. D.
给什么得 什么 设扇形的半径为，弧长为，由已知得解得 或
求什么想 什么 要求扇形的圆心角，想到弧长公式 .
差什么找 什么 直接代入公式可求得或.因为 ,所以 不合
题意，所以 .
2 弧长的计算
图1-3-5
例9 数学文化 圆材埋壁(2025·上海市复旦大学附属中学期末)我
国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问
题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一根不确定大小的圆
柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图1-3-5所示．用锯去锯
这木材，若锯口深，锯道，则图中 的长
度为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设截面圆半径为，则，， .
又 ，
即，解得 ，
，即 ，
的长度为 ．
3 扇形面积、周长的最值
母题 致经典·母题探究
扇形最值问题中的特殊角
例10 已知扇形的周长为定值，当该扇形面积取得最大值时，圆心角（正角）为___.
2
【解析】 设扇形的圆心角为 ，半径为，周长为，面积为，
缺什么，设什么，不要怕有未知数
则有,,给什么，用什么，将题中所给条件转化到位
.（求什么，写什么，将要求的量写出来，才能一探
究竟）
又，当且仅当，即 时等号成立,（注意基本不
等式的应用）
故当时，有最大值，为 ．
设扇形的半径为，弧长为，圆心角为 ，周长为，面积为 ，则
，
, 【另解】利用基本不等式求解，
可变形为
.（注意二次函数的妙用）
当时，有最大值，为 .
又当时，， ．
故当时， 有最大值．
. .
. .
. .
命题探源
扇形最值问题中的特殊角
本题中没有提供任何实质性数据，扇形的周长虽然确定，但不知数为几何，所以一
定要大胆设，大胆写，方能柳暗花明.本题所求出的圆心角是一个十分经典、特殊的
角 ，针对该角的变式，接下来我们进行一下研讨.
子题
已知扇形的面积，则扇形周长最小时，扇形的半径 ___.
1
【解析】设扇形弧长为 ，
扇形面积， ，
周长，当且仅当时取等号.此时圆心角
当时，周长 最小.
. .
归纳总结
扇形的面积为，周长为，弧长为，半径为，圆心角为 ,则
为定值 有最大值；
为定值 有最小值.
此时都有， .据此我们可以发现，有关扇形面积和周长的最值题目，万变
不离其宗，都可以通过， 快速求解相关题目.
运用扇形弧长及面积公式时的注意点
1.对于 ，,, 中“知二求二”的问题，实质上是方程思想的运用.
2.运用弧度制下的扇形弧长及面积公式比用角度制下的公式要简单得多，但要注意
其运用的前提条件是“弧度制”.若角是以“度”为单位，则必须先化成“弧度”，再代入
公式计算.
3.在运用公式时，还应熟练掌握这两个公式的变形形式，如, .
【学会了吗丨变式题】
3.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角
（正角）的弧度数为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设此圆的半径为，则正方形的边长为 ，所以这段弧所对的圆心角的弧
度数为，则这段弧所对的圆周角的弧度数为 .（【警示】一条弧所对
的圆周角等于它所对的圆心角的一半.注意本题所求的是圆周角的弧度数）
4.(2025·北京市人大附中期中)若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形
的周长为( )
C
A.1 B.2 C.4 D.6
【解析】设扇形的半径为，圆心角为 ，则弧长 ，
所以，扇形的面积，解得或 （舍去），所以
，
则该扇形的周长为 .
5.某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米.
（1）若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积.
【答案】设该扇形菜地的半径为，弧长为 ，
则解得
故该扇形菜地的面积（平方米）.
（2）当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大？最大是多少？
【答案】因为，所以 ，
则 .
当时， 取得最大值，为36，
此时，从而 .
故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积最大，最大为36平方米.
新考法 数学文化
图1-3-6
例11 数学文化 会圆术(2025·重庆市期中)沈括的《梦溪笔谈》是中
国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图
1-3-6，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点， 在
上，.“会圆术”给出的弧长的近似值 的计算公式：
.当, 时， ( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意知，是等边三角形，所以 .
连接，因为是的中点，所以，，又 ,
所以,,三点共线，（【破题点】明晰,,三点共线才可求解 ）
所以 ，
所以 ．
. .
. .
数学文化赏析
《梦溪笔谈》是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔
记体著作.《梦溪笔谈》中的“会圆术”是对圆的弧矢关系给出的比较实用的近似公式，
沈括进一步应用《九章算术》中弧田的面积近似公式，求出弧长，这便是“会圆术”
公式.沈括是我国数学史上由弦、矢给出弧长公式的第一人,此公式在圆心角不超过
时,所得弧长的相对误差小于 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节内容是研究三角函数的基础，较少直接考查，若考查，一般以选择题、填空题
的形式呈现，涉及的考点为弧度制与角度制的换算、弧长与扇形面积公式的应用、
终边相同的角的表示、象限角的判定，试题难度不大，更多的是与后续学习的内容
（三角函数的图象与性质）综合起来考查，试题难度中等及以上.
核心素养：数学运算（弧长、面积的计算），直观想象（借助图形分析边长关系）.
考向 扇形的面积公式
图1-3-7
例12 (新高考全国Ⅰ卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作
零件，零件的截面如图1-3-7所示.为圆孔及轮廓圆弧 所
在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧 与
直线的切点，四边形为矩形， ，垂足为
，,,,, 到直线
和的距离均为,圆孔半径为,则图中阴影部分的面积为_ ______ .
图1-3-8
【解析】如图1-3-8，连接,作，交 的
延长线于,作于,交于,交于 ，记
过且垂直于的直线与的交点为,设 ,
则，不难得出, ,于是
, ,, 为等
腰直角三角形，又, ,
,
,得,,, ,
则阴影部分的面积 .
高考新题型专练
1.传统文化玉佩饰品［多选题］(2025·吉林省长春市期末)玉佩是我国古人身上常佩
戴的一种饰品．现有一玉佩如图1-3-9（1）所示，其平面图形可以看成扇形的一部分
（如图1-3-9（2）），已知， ，则( )
ACD
图1-3-9
A.
B.的长为
C.该平面图形的周长为
D.该平面图形的面积为
【解析】如图D 1-3-1，分别延长与,交于点，易得 ，得
，所以为等边三角形， ，所以
，故A正确.
图D 1-3-1
的长为 ，故B错误.
该平面图形的周长为 ，故C正确.
该平面图形的面积为，故D正确.故选 ．
2.［多选题］(2025·河南省信阳市新县高级中学适应性考试)如图1-3-10，， 是在
单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点在处，质点 在第一象限，且
．质点以的角速度按顺时针方向运动，质点同时以 的角
速度按逆时针方向运动，则( )
BD
图1-3-10
A.经过后，扇形的面积为
B.经过后，劣弧的长为
C.经过后，质点的坐标为
D.经过后，质点， 在单位圆上第一次相遇
【解析】由题意可知，经过后，，所以此时扇形
的面积为，故A错误；经过 后，
，所以此时劣弧的长为 ，故B正确；
经过后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角 的
终边与单位圆的交点，所以质点的坐标为，，故C错误；经过 后，质点
转过的角度为，质点转过的角度为 ，因为
，所以经过后，质点， 在单位圆上第一次相遇，故D
正确．故选 ．
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：30分钟
1.一圆的半径为，则该圆上长为 的弧所对的圆心角是( )
B
A. B. C. D.
【解析】所求的圆心角是 .
2.(2025·江西省宜春市期中)某扇形的半径为，它的周长为 ，那么该扇形的
圆心角为( )
D
A. B.4 C. D.2
【解析】由题意可得扇形的弧长为 ，
则扇形的圆心角为 .
图1-3-1
3.传统文化 二十四节气 (2025·山东省济南第九中
学月考)二十四节气是中华民族上古农耕文明的产
物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节
令．如图1-3-1，每个节气对应地球在黄道上运动
所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立
春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相对应为地球在
黄道上逆时针运行了 ，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动的弧
度数为 ．
4.若扇形的半径变为原来的3倍，弧长也变为原来的3倍，则( )
B
A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积变为原来的3倍 D.扇形的圆心角变为原来的3倍
【解析】设原扇形的弧长为，半径为，变化前后的圆心角分别为 , ，变化前后
的面积分别为, ,当扇形的半径变为原来的3倍，弧长也变为原来的3倍时，扇形的
圆心角 ，即圆心角不变;扇形的面积 ,即扇形的
面积变为原来的9倍.
5.［多选题］下列角度与弧度转化结果正确的是( )
ABD
A. 化成弧度是 B.化成角度是
C. 化成弧度是 D.化成角度是
【解析】对于A， ；
对于B， ；
对于C， ；
对于D， .
图1-3-2
6.(2025·河北省唐县第一中学月考)用弧度制表示终边落在如图1-
3-2所示阴影部分内（含边界）的角 的集合是
_ _______________________________.
,
【解析】由题图，终边对应的角为，，终边
对应的角为，，所以阴影部分角 的集合
, }.
7.角 ， 的终边关于直线对称，且，则 _______________.
【解析】因为角 ， 的终边关于直线对称，所以 ，
又，所以 .
8.(2025·湖北省随州市部分高中联考)已知扇形的圆心角是 ，半径为，弧长为 ．
（1）若 ，，求扇形的弧长 ；
【答案】因为,所以 .
（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最
大？
【答案】由已知得,设扇形的面积为 ，
则 .
所以当时，扇形的面积最大,最大为，此时, .
（3）若， ，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【答案】设所求的弓形面积为,由题知 ,
则 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
图1-3-3
9.新定义 古典正弦 (2025·安徽省马鞍山市期末)在如图1-3-3所示
的单位圆中，当的取值范围为时， 的“古典正弦”
为弦的长．根据以上信息，当所对的的长为 时，
的“古典正弦”为( )
B
A.1 B. C.2 D.
【解析】由题意可得 ，
由弧长与半径的比值等于圆心角，可得当所对的的长为
时， ，所以由勾股定理可得
，即当所对的的长为时，的“古典正弦”为 .
10.数学文化 九章算术 (2025·江苏省扬州大学附属中学期初)《九章算术》是我国古
代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：
弧田面积（弦 矢矢 ）.弧田（如图1-3-4）由圆弧和其所对弦所围成，公式中
“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，弧
长等于 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是( )
D
图1-3-4
A. B. C. D.
【解析】
给什么得 什么 已知圆心角为，弧长为 的弧田，结合弧长公式可知，该弧田的半径
为4.
求什么想 什么 要求弧田的面积，根据经验公式：弧田面积（弦×矢矢 ），可知只
需求得对应的弦和矢即可.
差什么找 什么 公式中“弦”指圆弧所对弦长，即图D 1-3-1中的 长，“矢”等于半径长与
圆心到弦的距离之差，即 长.
在中，可求得与的长，即得与 的长，然后代入公式
即得所求.
图D 1-3-1
如图 所示，由题可得， ，
根据，可得 .
在中，，， ，
则矢 ．
由 ，
可得弦长，所以弧田面积弦×矢 矢
.
图1-3-5
11.(2025·重庆市第八中学校月考)圆的半径为1, 为圆周上一点，
现将如图1-3-5所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点 和点
重合）沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动，点 第一次回到
点的位置，则点 走过的路程为( )
D
A. B. C. D.
图D 1-3-2
【解析】因为圆的半径,正方形的边长 ,所以以正方形
的一边为弦时所对应的圆心角为 ，正方形在圆周上滚动时，点
的位置如图D 1-3-2所示，故当点首次回到点 的位置时，正方
形相当于在圆周上滚动了2圈，而自身滚动了3圈.设第 次
滚动点走过的路程为,则, ,
,,所以点 所走过的路程为
.
12.新情境 美观扇面 [多选题](2025·广东省深圳市盐田高级中学期末)我国传统扇文
化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而
成的，如图1-3-6，设扇形的面积为，其圆心角为 ，圆面中剩余部分的面积为 ，
当与的比值为 时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是( )
ACD
图1-3-6
A.
B.若，扇形的半径，则
C.若扇面为“美观扇面”，则
D.若扇面为“美观扇面”，半径 ，则扇形面积为
【解析】对于A,扇形和剩余部分的圆心角分别为 , ，
所以 ，故A正确；
对于B，若，则，又 ，
则 ，故B错误；
对于C，若扇面为“美观扇面”，则 ，
所以 ，故C正确；
对于D,由C选项分析知， ，又 ，所以
，
故D正确.故选 .
图1-3-7
13.数学文化 环田 《九章算术》是一部中国古代的
数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地的
面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田
地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十
二步，外周一百二十二步，径五步，如图1-3-7所示，
则其所在扇形的圆心角（单位：弧度）大小为___
（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）．
6
【解析】设所在扇形的圆心角为 ，中周对应的半径为 步，则外周对应的半径为
步，则解得
即所在扇形的圆心角大小为6．
图1-3-8
14.新情境 扇环面花坛 (2025·安徽师范大学附属中学期初)某单位
拟建一个扇环面形状的花坛（如图1-3-8所示），该扇环面是由以
点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 的两条线段围成．按
设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.
设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（正角）为 （弧度）．
（1）当时，求 的值；
【答案】由题意得， ，
.当时，解得 .
（2）现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，
弧线部分的装饰费用为9元/米，求花坛每平方米的装饰费用 的最小值
．
【答案】花坛总面积为 ，装饰总
费用为 ，
故，令, ，
则 ，
，当且仅当，即 时，等号成立，
的最小值为 ，
故花坛每平方米的装饰费用最小为 元．