§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质-4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

(共73张PPT)
第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2 单位圆与正弦函
数、余弦函数的基本性质
必备知识解读
知识点1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
1 利用单位圆定义正弦函数、余弦函数
图1-4.1-1
如图1-4.1-1,给定任意角 ,作单位圆,角 的终边与单位圆的交点
为,点的纵坐标、横坐标都是唯一确定的.把点 的纵坐
标叫作角 的正弦值;把点的横坐标叫作角 的余弦值.
于是，在弧度意义下，对于,称 为任意角
的正弦函数， 为任意角 的余弦函数.
知识剖析 （1）对任意一个给定的角 ,它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆
只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的.
（2）终边相同的角与单位圆的交点相同，所以终边相同的角的正弦函数值、余
弦函数值相等,即对任意, , , .
（3）根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到 .
（这也是后面将学的同角三角函数的基本关系式之一）
. .
2 用角的终边上的点的坐标表示正弦函数、余弦函数
设角 终边上除原点外的一点,则,,其中 .
3 特殊角的正弦函数值、余弦函数值
0
0 1
1 0
0 0
0 1
教材链接 该表格回答了教材第16页【思考交流】.
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P15例2] 在单位圆中， .
（1）画出角 ;
图1-4.1-2
【解析】如图1-4.1-2,以原点为角的顶点,以 轴的非负半轴为始
边,逆时针旋转,与单位圆交于点,过点作轴的垂线交 轴于
点 .
于是 即为所作的角.
（2）求角 的正弦函数值和余弦函数值.
【解析】在中，， ，
则， .
例1-2 在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为角的始边，如果角 ， 的终边分
别与单位圆交于点，和，那么 等于( )
B
A. B. C. D.
【解析】,,所以 .
例1-3 ［教材改编P16 T6］ 若角 的终边经过点,则
_ ____.
【解析】由题意可知，,,为坐标原点,所以
.（三角函数值只与角 的终边所在的位置有关，与点 在终边上的位置无关）
. .
例1-4 若点在函数的图象上，则 的值为( )
D
A.0 B. C. D.
【解析】由题意可知,解得,所以 .
知识点2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
设任意角 的终边与单位圆交于点,当自变量 变化时，点 的横坐标、
纵坐标也在变化.因此，根据正弦函数 和余弦函数 的定义，不难
看出它们具有以下基本性质.#1
函数
定义域 值域 最值
周期性 单调性
学思用·典例详解
例2-5 [教材改编P19 T3] 求下列函数的定义域：
（1） ；
【解析】由于函数的定义域是，因此，函数的定义域也是 .
（2） .
【解析】函数 有意义，
则，即 , ，
故函数的定义域为 , }.
例2-6 [教材改编P19 例4] 函数,, 的最大值和最小值分别是( )
C
A.1， B.1， C.， D.1，
【解析】函数在区间上单调递增，（【解惑】,
是函数在一个周期内完整的单调递增区间）故最大值是 ，最小值
是 .
. .
知识点3 正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号
根据正弦函数、余弦函数的定义和各象限内点的横、纵坐标的符号可以得到正
弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号,如图1-4.1-3所示.
图1-4.1-3
（ 一全正、二正弦、三全负、四余弦.）
学思用·典例详解
例3-7 [教材改编P26 T3] 确定下列各三角函数值的符号：
（1） ;
【解析】因为 是第三象限角，
所以 .
（2） .
【解析】因为是第四象限角，所以 .
（【方法】准确判断角的终边位置，从而判断该角正弦、余弦函数值的符号）
方法帮 解题课丨关键能力构建
题型1 求正弦、余弦函数值
1 已知角求正弦、余弦函数值
例8 [教材改编P15 例2] 在平面直角坐标系的单位圆中, .
（1）画出角 ;
图1-4.1-4
【解析】因为,所以角 的终边与角 的终边
相同.
以原点为角的顶点,以轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转 ,与
单位圆交于点,则角 如图 1-4.1-4所示.
（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标;
【解析】由（1）知，点在第二象限,且在角的终边上，所以点的坐标为 .
（3）求出角 的正弦函数值、余弦函数值.
【解析】由（2）及正、余弦函数的定义可得, .
2 已知角的终边上的点求正弦、余弦函数值
例9 ［教材改编P16 T2］ 已知角 的终边上一点,则____,
____.
【解析】因为点在角 的终边上，
所以,,则单位圆的半径 为坐标原点
,
则, .
［教材改编P26 T8］ 已知角 的终边经过点 ，且
，则实数 的取值范围是________.
给什么得 什么
求什么想 什么
差什么找 什么
易错警示 如果变式中的条件为 ，那么要注意“等号”（轴线角）的情
况，所以掌握三角函数的定义是解决该问题的关键.
例10 [教材改编P27 T6] 已知第二象限角 的终边上有两点, ，且
，则 ( )
D
A. B. C.5 D.7
【解析】由点 是终边上一点，
得, ，
因为，所以，即 .
由点 是终边上一点，
得, ，
因为，所以，即 .
所以 .
3 已知角的终边在某一直线上，求正弦、余弦函数值
例11 [教材改编P27 T5] (2025·广西钦州市第四中学期中)已知角 的终边落在直线
上，求 , 的值.
【解析】 由解得或从而 或
直线，即 经过第二、第四象限.（【易错点】角的终边
是一条射线，而非直线，因此需分两种情况讨论，不要漏解）
在第二象限取直线上的一点 ，
则为坐标原点 ，
. .
所以, ;
在第四象限取直线上的一点，则 ，所以
, .
综上，,或， .
求正弦、余弦函数值的类型及解法
（1）若已知角 终边上一点 是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则
, .
（2）若已知角 ，只需确定角 的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，
即可求出 , .
（3）若已知角 终边上一点 不是以坐标原点为圆心的单位圆上
的点，先求，则， .
（4）若角 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·广东省广州市期中)已知角 的终边经过点,且，则 等
于( )
C
A. B. C. D.4
【解析】由,得, .
2.已知角 的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线 上，则
的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由于直线经过第一、三象限，故角 的终边在第一或第三象限.
①若角 的终边在第一象限，在角 的终边上任意取一点 ，则由任意角的三角
函数的定义，可得，，故 ；
②若角 的终边在第三象限，在角 的终边上任意取一点 ，则由任意角的
三角函数的定义，可得， ，故
.
综上，所求的值为 .
题型2 正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号
1 判断正弦函数值、余弦函数值的符号
例12 判断下列各式的符号：
（1） ；
【解析】因为 ，
所以 是第一象限角，则 .
又 ，
所以 是第二象限角，则 .
所以 .
（2） .
【解析】因为 8【易错点】注意8是弧度制下的角，而非 ,即
是第二象限角,
则,,所以 .
. .
判断 , 符号的方法
已知角 的大小判断 ， 的符号的步骤：
（1）把 化为或 ；
（2）根据（1）确定角 的终边所在的象限；
（3）根据角 的终边所在的象限确定 ， 的符号.
2 利用三角函数值的符号求值
例13 [多选题] 设角 的终边不在坐标轴上,则 的值可以为
( )
ABD
A. B.0 C.1 D.2
【解析】当 是第一象限角时, , 均为正值,
;
当 是第二象限角时, 为正值, 为负值,
;
当 是第三象限角时, , 均为负值,
;
当 是第四象限角时, 为负值, 为正值,
.
综上可知,的值可以为 ,0,2.
3 由三角函数值的符号判断角的终边所在象限
例14 若，且，试确定角 的终边所在的象限.
思路点拨 由条件,分别求得角 的范围，然后同时满足即可.
【解析】, ,
.
当为偶数时，令,则 ;
当为奇数时，令,则 .
为第一或第三象限角.
又，所以角 的终边在第三象限.
判断角的终边所在象限的相关结论
（1）若正弦函数值为正，则角的终边在第一或第二象限或 轴非负半轴上;若正弦函
数值为负，则角的终边在第三或第四象限或 轴非正半轴上.
（2）若余弦函数值为正，则角的终边在第一或第四象限或 轴非负半轴上;若余弦函
数值为负，则角的终边在第二或第三象限或 轴非正半轴上.
【学会了吗丨变式题】
3.若，且，则角 的终边在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】由，且可得， ，
又, 角 是第四象限角.
题型3 利用单位圆确定角的范围
母题 致经典·母题探究
例15 [教材改编P27 T2] 在单位圆上画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由
此写出角 的集合：
（1） ;
图1-4.1-5
【解析】如图1-4.1-5所示，作直线交单位圆于点, ，作射
线,，则阴影部分（包括边界）为满足的角 的
终边的范围.
故满足条件的角 的集合为 ｝.
【勿遗漏】在写角 的终边对应的角时，不要忘记加上,
. .
（2） .
【解析】如图1-4.1-6所示，作直线交单位圆于点,，作射线, ,则阴影
部分（包括边界）为满足的角 的终边的范围.
图1-4.1-6
故满足条件的角 的集合为, ｝.
思路点拨 利用单位圆解三角不等式，作出满足,的角 的终
边，然后根据已知条件确定所求角 的终边的范围.
子题
利用单位圆求解关于角 的不等式组：
图1-4.1-7
【解析】如图1-4.1-7所示，在单位圆中作直线交单位圆于 ,
两点，作射线,，则劣弧与, 形成的扇形区域
（包括边界）为满足的角 的终边的范围；
作直线交单位圆于,两点，作射线,，则劣弧 与
,形成的扇形区域（包括边界）为满足的角 的
终边的范围.
两个扇形区域相重合的部分为满足不等式组的角 的终边的范围，即图中阴影部分.
故不等式组的解为, }.
利用单位圆解三角不等式的方法
1.求解形如,的不等式的具体方法为：
（1）如图1-4.1-8，画出单位圆;
（2）在轴上截取,过点作轴的垂线，交单位圆于,两点,作射线
,;
（3）写出以射线与为终边的角;
（4）图1-4.1-8中阴影部分（包括边界）为满足不等式的角 的终边的范围，
空白部分（包括边界）为满足不等式的角 的终边的范围.
图1-4.1-8
图1-4.1-9
2.求解形如, 1 的不等式的具体方法为：
（1）如图1-4.1-9,画出单位圆;
（2）在轴上截取,过点作轴的垂线，交单位圆于， 两点，作射
线, ;
（3）写出以射线与 为终边的角;
（4）图1-4.1-9中阴影部分（包括边界）为满足不等式的角 的终边的范围，
空白部分（包括边界）为满足不等式的角 的终边的范围.
【学会了吗丨变式题】
4.利用单位圆求解满足的角 的集合.
图D 1-4.1-1
【答案】如图D 1-4.1-1所示，在单位圆中作直线 交单位
圆于,两点，作射线,，则优弧与， 之间的扇
形区域（不包括边界）为满足的角 的终边的范围；
作直线交单位圆于,两点，作射线,，则劣弧 与
,之间的扇形区域（不包括边界）为满足的角 的
终边的范围.
两个扇形区域相重合的部分为满足不等式组的角 的终边的范围，即图中阴影部分.
故满足不等式组的角的取值集合为 , }.
题型4 正、余弦函数的基本性质的应用
例16（1）若,,求 的取值范围.
【解析】因为,所以,由此解得 ，
（结合 的值域求解）
故的取值范围是 .
（2）[教材改编P19 T1] 求下列函数的单调区间：
①,, ;
【解析】函数在区间[-,上单调递增，在区间, 上单调递减.
②, .
【解析】函数在区间和 ,上单调递增，在区间, 上单调递减.
（3）[教材改编P20 T4] 求下列函数的值域：
①,, ;
【解析】函数在区间[-,上单调递增，在区间, 上单调递减.
又,, ,
故函数的值域为[-, .
②, .
【解析】函数在区间,上单调递减，在区间 , 上单调递增，
又,, ,
故函数的值域为 .
所以函数的值域为 .
名师点评 求解函数的值域时要注意函数的定义域，并注意定义域区间端点的取值.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节知识是后续学习的基础，高考主要考查对正弦函数、余弦函数的基本性质的应
用.考查题型主要为选择题,试题难度简单或中等.
核心素养：逻辑推理（正弦函数值和余弦函数值的符号的判断）.
考向 正弦函数、余弦函数的基本性质
例17 (2025·上海)函数在 上的值域为______.
【解析】由，得 .
例18 (全国Ⅱ卷)若 为第四象限角，则( )
D
A. B. C. D.
给什么 得什么
求什么 想什么
差什么 找什么
高考新题型专练
1.[多选题] (2025·四川省德阳成都外国语学校月考)下列三角函数值符号为负的有
( )
BD
A. B. C. D.
【解析】对于A,因为 角是第一象限角,所以 ,选项A不满足题意;
对于B,因为 角是第二象限角,所以 ,选项B满足题意;
对于C,因为，所以角是第二象限角，所以 ,选项
C不满足题意；
对于D,因为,所以选项D满足题意.故选 .
2.[多选题] (2025·浙江省台州市期末)若,,则 可以是
( )
AC
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】因为, ，
所以,,故 是第一象限角，
由,,得, ，
当为偶数时，令,则, 是第一象限角，
当为奇数时，令,则, 是第三
象限角.故选 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.若点在角的终边上，且为坐标原点,则点 的坐标为( )
D
A. B. C. D.
【解析】设,则,,则 .
2.三个实数 ， ， 的大小关系是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】因为 是第二象限的角，所以， ，
又，所以 .故选C．
3.已知角终边上一点的坐标为，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】角终边上一点的坐标为，即 ，
则 为第四象限角，从而 .
4.[多选题]下列选项中，三角函数值符号为负的是( )
AD
A. B. C. D.
【解析】， （特殊角的三角函数），故A符合题意，B不符合
题意；
因为 ，是第二象限角，所以， ，故C不符合题意，D符
合题意.故选 ．
. .
5.[多选题]下列说法正确的有( )
AD
A.的定义域为
B. 的最小值为1
C.的单调递减区间为
D.函数是周期为 的周期函数
【解析】由正弦函数的定义域可知A正确；
当时，取得最小值 ，故B错误；
的单调递减区间为 ，故C错误；
因为=[令, 的周
期为 ,即，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 ,
故D正确.
. .
. .
6.函数 的定义域为__________________________.
[- ,
图D 1-4.1-1
【解析】要使函数式有意义，则需，解得 .
如图D 1-4.1-1所示,作与轴平行的直线,交单位圆于, 两点，
作射线,.由图及可知，满足条件的角
的范围为[- , .
故所求函数的定义域为[- , .
7.(2025·广东省八校联盟期末)已知角 的终边在函数 的图象上，求
， 的值．
【答案】 角 的终边在函数 的图象上，
在角 的终边上任意取一点，则 ，
可得， ．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
8.(2025·江苏省南京师范大学附属中学期末)已知角 的始边与 轴非负半轴重合，终
边过点，且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】角 的始边与轴非负半轴重合，终边过点 ，
则 ，
由，得，解得 .
9.(2025·山东省诸城第一中学月考)设 是第一象限的角，且，则 的
终边所在的象限是( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】 是第一象限角，， ,
则,, 是第一或第三象限角.
又， ,
故 的终边所在的象限是第一象限.
10.(2025·河南省许昌市期末)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重
合，终边上一点，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意可得 ，，则 ，所以
，所以,整理可得 ，
解得或（舍去），所以.所以 .
11.[多选题]已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的
是( )
AC
A. B. C. D.
【解析】 角 的终边经过点 ，
， ，
，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D不正确.
故选 ．
12.函数,, 的单调递增区间是______，最大值是____.
,
【解析】结合单位圆可知在[-,上单调递增，在, 上单调递减，所以函
数,,的单调递增区间是,，单调递减区间是 .
又, ，
所以最大值为 .
13.利用单位圆求解满足的角 的取值范围.
图D 1-4.1-2
【答案】如图D 1-4.1-2所示，在单位圆中作直线 交单位圆
于,两点，作射线,，则优弧与， 形成的扇形区
域（包括边界）为满足的角 的终边的范围；作直线
交单位圆于,两点，作射线,，则优弧与,
之间的扇形区域（不包括边界）为满足的角 的终边
的范围.
两个扇形区域相重合的部分为满足不等式的角 的终边的范围，即图中阴影部分.
故角 的取值范围为 或
, }.
C 培优练丨能力提升
14.已知 为锐角，求证：
（1） ;
【答案】设单位圆与轴，轴的正半轴分别交于,两点，角 的终边与以坐标原
点为圆心的单位圆交于点 .
图D 1-4.1-3
如图D 1-4.1-3，连接,,,过点作， ,
， 分别为垂足.
, ,
,
,
又,四边形在扇形 内，
，即 ,
.
又,即, .
（2） .
【答案】在图D 1-4.1-3中，,,, .
图D 1-4.1-3
函数在 上单调递减，
, , .
, .