4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质-4.3 诱导公式与对称 4.4 诱导公式与旋转 课件(共59张PPT)

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第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.3 诱导公式与对称 4.4 诱导公式与旋转
必备知识解读
知识点1 正弦函数、余弦函数的诱导公式
1 正弦函数、余弦函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
推导 角的终边相 同 利用角的终边对称和三角函数 定义 利用角的终边旋转和三角函 数定义 注意 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 巧学妙记 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
. .
2 诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一
公式二 将负角转化为正角求值.
公式三
公式四
公式五、六 实现正弦与余弦的相互转化.
说明 事实上，用诱导公式的目的是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数
值求解.、、
学思用·典例详解
例1-1 的值是___.
0
【解析】 .
例1-2 ［教材改编P22 T1］
（1） 等于( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
（2） 的值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
例1-3 (2025·湖南省岳阳市期末)下列各项与 一定相等的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确．
例1-4 [教材改编P25 T1]已知角 的终边经过点，求 _ ____.
【解析】因为角 的终边经过点，且 ，
所以 ，
从而 .
释疑惑 重难拓展
知识点2 一组重要公式
（1） ;
.
（2） ;
.
说明 对于含有整数 的三角函数求值，可以利用上面的公式直接求解，也可
以对整数分类讨论，当为偶数时， 为奇数时，分别求解.
学思用·典例详解
例2-5 求 的值.
【解析】 .
关键能力构建
题型1 利用诱导公式化简
例6 [教材改编P25 例9]化简：
.
【解析】原式 .
例7 设 为整数，化简：
.
思路点拨 求解本题时，可以将整数 分为奇数、偶数两种情况进行讨论；也可以
根据 并结合诱导
公式将题目中的角均转化为 ；也可以直接利用公式进行化简.
【解析】 当为偶数时，设 ，则
原式
.
当为奇数时，设 ，则
原式
.
综上可得，原式 .
由 ，
，
得 ，
.
又 ，
故原式 .
原式 .
（【学以致用】利用知识点2一组重要公式快速化简）
利用诱导公式化简的原则
一般原则为负化正、大化小、异角化同角、异名化同名，对于比较复杂的化简问题，
主要是进行角的转化，将角度统一，能求值的要求出值.
当三角函数式中含有 , ,时，要注意讨论 为奇数或偶数.
【学会了吗丨变式题】
1.化简：
（1） ;
【答案】原式 .
（2） ．
【答案】 当 时，
原式 ；
当 时，
原式 ．
故原式
（利用公式快速化简）
,
. .
当为偶数时，原式 ，
当为奇数时，原式 .
题型2 利用诱导公式求值
1 给角求值
例8 计算下列函数值：
（1） ;
【解析】原式 .
（2） .
【解析】原式
.
【归纳总结】与，与，与 互补，对于互补的两个角，其余弦值的和为0.
,
思路点拨 （1）注意观察角，将角化为 ， ， 等形
式后，再利用诱导公式求解.
（2）根据两互补角的余弦值互为相反数求解.
利用诱导公式求任意角的正、余弦函数的步骤
利用诱导公式将任意角的正、余弦函数转化为锐角的正、余弦函数.
口诀：负化正，大化小，化至锐角再求值.
【学会了吗丨变式题】
2. 的值是____.
【解析】
.
2 给值求值
例9（1）已知，则 ______.
【解析】由，得 ,所以
.
（2）已知,则 _ ____.
【解析】因为 ，所以
.
（3）已知，则 ____.
【解析】因为,所以
.
应用诱导公式解决给值求值问题的一般步骤
（1）定关系.确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有： 与
; 与 ; 与 等.常见的互补关系有： 与 ；
与 等.
（2）定公式.依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.
（3）得结果.根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案.
【学会了吗丨变式题】
3.若，则 的值为______.
【解析】因为 ，所以
,
所以 .
题型3 诱导公式在三角形中的应用
例10 已知，，为 的三个内角，求证：
.
【解析】 .
在中， ,
,即 ,
]= ,
.
例11 在中，，试判断 的形状.
【解析】 ,
, .
又 ,
,
,即 ,
又,为 的内角，
,故 为等腰三角形.
三角形中的诱导公式
设，，是的三个内角，则有 ，所以
， ，
， .
注意：已知三角形中两个内角的余弦值或正弦值相等，则这两个内角相等，即在三
角形中，若或,则 .
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·浙江省杭州四中期末)已知,,为 的三个内角，下列各式不成立的是
( )
D
A. B.
C. D.
【解析】由题意知，在中， .
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D不正确．
新考法 思维创新
例12 新定义 数字黑洞(2025·湖南省邵阳市期中)数字串2024，依次写出该数字串中
偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字
串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称这个反复出现的数
字串为“数字黑洞”.如果把这个数字串看作一个数，将这个数设为 ，则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】数字串2024经过第一步之后为404，经过第二步之后为303，再变为123，再
变为123，123反复出现，所以 ，所以
.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
在求三角函数值的时候常借助诱导公式，转化为求 内的三角函数值.利用诱导公
式对三角函数式进行变形是高考考查的热点，一般与后面将要学习的三角恒等变换
综合命题.题型以选择、填空为主，试题难度简单或中等.
核心素养:逻辑推理（利用诱导公式变形）、数学运算（特值法计算函数值）.
考向 诱导公式的应用
例13 (2023·全国甲卷)若为偶函数，则 ___.
2
【解析】 （定义法）因为为偶函数，所以 ，即
，得 .
（特值法）因为 为偶函数，
所以 ，
即，得 .
例14 (2024·全国甲卷)函数在区间 的图象大致
为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题知函数的定义域为 ，关于原点对称，
，所以函数
为偶函数，函数图象关于 轴对称，排除A,C；
， 【详解】通分可
得,又,所以 排除D.故选B.
. .
素养探源 素养 考查途径
数学运算 特值法计算函数值，排除选项.
逻辑推理 选择诱导公式进行三角变形.
变式探源
(2022·全国甲卷)函数 在区间[， 的图象大致为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 （特值法）取，则；取 ，
则 .
结合选项知选A．
（函数奇偶性的应用）令，则
，所以函数 是奇函数，排除B，D；
取，则 0，排除C.选A．
例15 (2024·北京)在平面直角坐标系中，角 与角 均以 为始边，它们的终
边关于原点对称.若，，则 的最大值为____.
给什么 得什么
求什么 想什么
差什么 找什么
【解析】因为 与 的终边关于原点对称，所以 ，所以
.因为，所以 ，所以
，所以 的最大值为 .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·皖豫名校联盟期中) ( )
BD
A. B. C. D.
【解析】对于A， ，故A
错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确.故选
.
2.[多选题](2025·辽宁省沈阳市期中)某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，
质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的 上逆
时针做匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与 轴正半
轴的交点，的角速度大小为，起点为射线与 的交点，
则当与重合时， 的坐标可以为( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点， 的坐标均为
，
由题意可得， ,，解得, .
当时，，，所以点的坐标为 ，故A正确；
当时，，，所以点 的坐标为
，故B正确；
当时，，，所以点的坐标为 ，
故C错误，D正确.故选 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·四川省乐山市期末)已知角 的终边与单位圆交于点 ，则
的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】显然，则 .
2.(2025·河北省保定市第一中学月考)已知，则 的值为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 .
3.(2025·安徽省合肥一中期末)已知角 的终边上有一点 ，则
的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由点在角 的终边上，
可得, .
故 .
4.[多选题](2025·湖南省桃源县第一中学月考)已知 ，则下列等式恒成立的是
( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】 ，故A成立；
，故B不成立；
，故C成立；
，故D不成立．
5.已知,则____， _____．
【解析】因为，所以 ,
所以 .
6.(2026·广东省部分学校联考)已知函数，若 ，则
___.
2
【解析】 ，
，
，则 .
7.求值： _ ___.
【解析】 .
8.已知，判断函数 的奇偶性.
【答案】的定义域为 ， ,定义域关于原点对称，
.
,
函数 是偶函数.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.[多选题](2025·河北省盐山中学月考)在平面直角坐标系中，若角 的顶点为坐
标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则
的值可能为( )
BD
A. B. C. D.2
【解析】因为终边经过点 ，所以由三角函数的定义得
, .
当 时，
；
当 时，
.
故选 .
10.新考法 开放探究 若对任意，恒成立，则常数 的一个
取值为_________________.
（答案不唯一）
【解析】因为对任意 ，
恒成立，所以
，，可得，，所以当 时，可
得，常数 的一个取值可以为 ．
11.（1）已知函数,.若,求 .
【答案】 .
又,所以 .
（2）已知函数，，且，求 的值.
【答案】因为，且 ，
所以 ，所以
.
12.化简：
（1） ；
【答案】原式 .
（2） .
【答案】原式
.
C 培优练丨能力提升
13.(2025·黑龙江省牡丹江市第一高级中学月考)已知函数
，若,，则实数 的取值范围
为________.
【解析】 ，
，
令，得 ，化简
得 .
因为， ，
所以在上有解，又 ，
所以实数的取值范围为 .