5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 课件(共78张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共78张PPT)
第一章 三角函数
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
必备知识解读
知识点1 正弦函数的图象与性质
1 正弦函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
单调性
最值
奇偶性 奇函数
对称性
续表
. .
知识剖析 （1）正弦函数, 的图象称作正弦曲线.
（2）正弦曲线的对称轴经过其最高点或最低点，此时正弦函数取最大值或最小值.
（3）正弦曲线的对称中心是其与 轴的交点，此时的正弦函数的值为0.#1.3
2 五点（画图）法
图1-5-1
根据正弦曲线的基本性质，描出,, ,
,这五个关键点后，函数 ，
, 的图象就基本确定了（如图1-5-1）.因此，在
精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后
用光滑
特别提醒 五点（画图）法是一种近似作图法，精确度不高.它是画三角函数简图的
常用方法.五个关键点主要指函数图象的平衡点（与 轴的交点）及最高点、最低点，
作图时要保持平滑连线，同时注意凹凸方向.
曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点
（画图）法”.
. .
. .
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 函数 的值域为______，单调递增区间为____________________
__________.
【解析】 函数的值域为 ，
函数的值域为 .
由函数在区间 上单调递减，知函数
的单调递增区间为 .
教材深挖
针对例 及教材第33页第6，7题，可总结出以下结论.
对于函数，当时，值域为 ，单调性与函数
的单调性相同；当时，值域为 ，单调性与函数
的单调性相反.
例1-2 ［教材改编P31例2］ 用五点（画图）法画出函数在区间 上的
大致图象．
【解析】列表：
0
0 1 0 0
0 2 0 0
描点并用光滑的曲线顺次连接，可得函数在区间 上的大致图象
（如图1-5-2所示）.
图1-5-2
例1-3 [教材改编P33 T2（1）][多选题] 函数, 的图象与直线
为常数 的交点可能有( )
ABD
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】首先画出函数， 的图象，如图1-5-3所示.
图1-5-3
当 时，有0个交点；
当 时，有1个交点；
当 时，有3个交点；
当 时，有1个交点；
当 时，有0个交点.
知识点2 余弦函数的图象与性质
1 余弦函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
单调性
最值
奇偶性 偶函数
对称性
知识剖析 1.余弦函数, 的图象称作余弦曲线.
2.同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与
轴的交点.#1.1.2
续表
. .
. .
. .
2 余弦函数图象的作法
图1-5-4
（1）五点（画图）法
根据余弦曲线的基本性质，描出,, ,
, 这五个点后（区分正弦函数、余弦函数图象
的五个关键点），函数在区间 上的图
象就基本确定了（如图1-5-4）.因此，在精确度要求不太
高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余
弦函数的简图.这种作余弦曲线的方法也称为“五点（画图）法”.
. .
. .
. .
. .
. .
（2）平移法
由诱导公式可知，的图象就是函数 的
图象.即余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平移 个单位长
度得到.
学思用·典例详解
例2-4 函数 的值不可能是( )
A
A.0 B. C. D.
【解析】，， ,即函数
的值域为.故函数 的值不可能是0.
点评 函数的值域为 .
例2-5 ［教材改编P38 T1（4）］ 已知函数和在区间 上都单调递
减，那么区间 可以是( )
B
A. B. C. D.
【解析】在区间上单调递增；在区间 ， 上单调递增；
，在区间 上都单调递增.故排除A，C，D，选B.
点评 结合正弦曲线和余弦曲线可知，函数和在区间 ，
上都单调递减，在区间 上都单调递增.
例2-6 ［教材改编P36例5］ 作出函数 的简图．
【解析】列表：
0 1 0
0 1
2
0 1
1 0
图1-5-5
描点并用光滑的曲线顺次连接起来，可得函数
的简图，如图1-5-5所示.
关键能力构建
题型1 与正、余弦函数有关的函数最值（值域）问题
1 求最值
例7 ［教材改编P39 T2］ 求下列函数的最大值、最小值,并分别写出函数取得最大
值、最小值时自变量 的集合:
（1） ；
【解析】当,即时，函数 取得最大
值，最大值是1，相应的集合为, ｝;
当,即时，函数 取得最小值，最小
值是,相应的集合为, ｝.
（2） .
【解析】因为,所以当时, 取得最大值4,函
数取得最大值时的集合为, };
当时,取得最小值,函数取得最小值时 的集合为
, }.
例8 求下列函数的值域:
（1） ;
【解析】令,, ，
原函数可化为，, 为函数的单调递
减区间，
当时，；当时， .
故函数的值域为 .
. .
（2），， .
【解析】令，因为，，所以，即 .则原函数可
化为，，且该函数在闭区间 上单调递
增，所以的最小值为1，最大值为 .
故所求函数的值域为 .
. .
易错警示 设立新元后，一定要注意新元的取值范围，它是由原三角函数的取值范围
决定的，且同时需注意三角函数的有界性，即取值范围必不大于1，也必不小于 .
例9 求下列函数的值域：
（1） ；
【解析】当时， ；
当时， .
原函数解析式可化为
由，可知 ，
故函数的值域为 .
（2） .
【解析】 .
, ,
, ,
.
故函数的值域为 .
思路点拨 （1）根据 的大小去绝对值符号，转化为分段函数的值域问题；
（2）先将函数变形为，再由 并结合不等式性质求解即可.
求与正、余弦函数有关的函数最值（值域）问题的常见类型与方法
（1）求形如，的函数的最值，主要利用 ,
的有界性以及复合函数的有关性质.
（2）求, 与二次函数复合的函数的值域，一般利用换元法，令
,将所给的三角函数转化为二次函数，并通过配方法求值域.
（3）求形如 的函数的值域，一般利用分离常数法，将
原函数化为只有分母含有的函数，然后利用 的有界性并结合不等式的
性质，求得值域.
【学会了吗丨变式题】
1.求出下列函数的值域：
（1）， ；
【答案】因为 ，
所以当时，取最小值， ，
当时，取最大值， ，
所以函数的值域为 .
（2） ;
【答案】 ，
因为，所以 ，
所以，所以 ，
即函数的值域是 .
（3） .
【答案】令，则 .原函数可变形为
，所以当时，该函数取得最小值 ；
当 时，该函数取得最大值1.
故函数的值域为[-, .
2 已知函数值域求参数
例10 已知函数的值域为[-,，则 的最大值为___.
【解析】作出正弦函数的图象，如图1-5-6所示， 函数 的
定义域为，值域为[-,，又 ，（【解惑】利用诱导公式
得出函数取最小值时的取值）故结合图象可知的最大值为．
图1-5-6
思考POINT
本题要求解的是最大值，那么最小值是多少呢？同学们思考一下，动手做一做！
. .
题型2 正、余弦函数的单调性及其应用
1 求单调区间
例11（1）下列区间中，是函数 的一个单调递增区间的是( )
D
A., B., C.[-, D. ,
【解析】因为函数的单调递增区间是[- ,， ，
所以结合选项知，函数的一个单调递增区间为， .
（2）[教材改编P39 T4] 函数 的单调递增区间为___________________
__________.
,,
【解析】因为,所以函数的单调性与正弦函数 的单调性
相反，又正弦函数的单调递减区间是 ,, ，
所以函数的单调递增区间是 ,, .
2 比较大小
例12 ［教材改编P39 T6］ 比较下列各组中三角函数值的大小:
（1）和 ;
【解析】 .
,且在区间上单调递增,,即 .
（2）和 ;
【解析】 .
,而在区间上单调递减， ,即
.
（3） 和 ；
【解析】 ,
.
,
, ,
即 .
（4）和 .
【解析】 .
,且在区间 上单调递增，
,即 .
又在区间 上单调递减，
故 .
比较三角函数值大小的关键是利用诱导公式将三角函数式化成同名函数并将角转化
到同一单调区间上，然后利用三角函数的单调性进行比较.
【学会了吗丨变式题】
2.若,, ,则( )
D
A. B. C. D.
【解析】, ,
（【易错点】切勿直接由判断，因为 ,所以由
诱导公式将角转化到同一单调区间上再比较大小）
因为,, ，
所以 .
又函数在, 上单调递增,
所以 ，
即,即 .
. .
. .
题型3 与正、余弦函数有关的奇偶性、对称性问题
例13 ［教材改编P39 T5］ 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
C
A. B. C. D.
【解析】对于A， 为奇函数.
对于B，函数的定义域为，且，
为奇函数.（【另解】与都是奇函数， 为奇函数）
对于C，函数 （【扫清障碍】一个奇函数“加上”一个偶函数，需
用定义去确定其奇偶性）的定义域为 ，令
，得，解得 ，不满足对任意
都成立;
. .
令，得，得 ，不满足对任
意 都成立，
故 既不是奇函数，也不是偶函数.
对于D，函数的定义域为，且， 为奇
函数．
（【另解】是奇函数，而是偶函数， 是奇函数）
例14 函数 图象的对称中心为点___________________，对称轴为直线
______________.
【解析】图象的对称中心为点 ，对称轴为直线
.
由的图象向下平移1个单位长度，得到 的图象，所以
图象的对称中心为点 ，对称轴为直线
.
【学会了吗丨变式题】
3.［多选题］已知函数 ，则下列结论中正确的有( )
ABC
A.函数 是奇函数
B.函数的一个周期为
C.函数图象的一个对称中心为
D.函数图象的对称轴方程为
【解析】因为的定义域是 ，关于原点对称，且
，所以函数 是奇函数，故A正确；
因为，所以的一个周期为 ，
故B正确；
函数图象的对称中心为，所以是 图象的一个对称中心，
故C正确；
函数图象的对称轴方程为 ，故D错误．
题型4 正弦曲线、余弦曲线的应用
1 解不等式
例15 函数 的定义域为_______________________________.
,}
【解析】由题意得, .
,结合余弦函数的图象可得函数的定义域为
, }.
例16 [教材改编P33 T5] 利用正弦曲线，解不等式： .
【解析】第一步：作出正弦函数在, 上的简图.
作出正弦函数在 上的图象，如图1-5-7.
图1-5-7
第二步：确定在一个周期,内 的取值范围.
作出直线，根据特殊角的正弦值，可知该直线与， 的图象的
交点横坐标为和 ；
作出直线,根据特殊角的正弦值，可知该直线与, 的图象的交
点横坐标为和 .
则在上的解集为 .
第三步：利用正弦函数的周期性延拓到 上.
由正弦函数的周期性可知，不等式 的解集为
.
名师点评 利用正（余）弦曲线解不等式（组），首先作出曲线和对应直线，再根据
图象的特点确定一个周期内的取值范围，注意依据正弦函数的周期添加“ ”
或“” 等.
2 求方程根（函数零点）的个数
例17 函数在区间 内( )
B
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
【解析】函数可理解为函数与正弦函数 的差，其
中在区间上单调递减，正弦函数的最小值为 ，
图1-5-8
在同一平面直角坐标系中画出函数和在 上的
图象 （将零点问题转化为函数图象交点问题）（如图1-5-8），注
意正弦函数的图象在区间 内从左到右的第1个最低
点的坐标是，且 ,
故在区间内有且仅有一个零点 .
. .
例18 方程在 内( )
C
A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根
【解析】求解方程在 内根的个数问题，可转化为求解函数
和的图象在内的交点个数问题.画出 和
的图象如图1-5-9所示.显然有两个交点，即原方程有且仅有两个根.
图1-5-9
对于这类问题，若用直接法求解则较困难，可以先观察题目中所涉及的函数
（或方程）的特点，然后构造出两个新函数，根据这两个新函数图象的交点情况来
求解.
【学会了吗丨变式题】
4.函数在 上的零点个数为( )
C
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】 ，
令，解得或 ，
又，所以由正、余弦曲线可知， 分别有两解．
综上所述，函数在 上的零点个数为4.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考主要考查运用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质（最值、奇偶性、
单调性等）.题型以选择题为主，难度简单或中等.
核心素养:直观想象（利用图象直观给出相关信息），逻辑推理（推断函数所具有的
性质）.
考向 正、余弦函数的图象与性质
例19 (2025·天津)设，则“”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由得，所以充分性成立；由得 ，所
以必要性不成立.
故“”是“ ”的充分不必要条件.
例20 (2024· 新课标Ⅱ卷)设函数, .当
时，曲线与恰有一个交点.则 ( )
D
A. B. C.1 D.2
【解析】令，则，即 .
令 .
由知为偶函数，由题意知 在
上有唯一零点，所以,偶函数图象关于轴对称，只有 才可有唯一
零点，否则零点将成对出现即,得 .
. .
图1-5-10
例21 (2022·全国乙卷)如图1-5-10是下列四个函数中的某个
函数在区间 的大致图象，则该函数是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】对于选项B，当时， ，与图象不符，故
排除B；对于选项D，当时， ，与图象不符，故排除D；对于选
项C，当时，（基本不等式的应用，当且仅
当 时取“”），与图象在 轴右侧最高点大于1不符，所以排除C.选A.
. .
高考新题型专练
1.新定义 运算 [多选题] (2025·陕西省咸阳市期末)设, ，定义运算
已知函数 ，则( )
ABD
A.在上单调递减 B. 是 的一个周期
C.是偶函数 D.的最小值为
图D 1-5-1
【解析】由题意可得函数
故作出函数 的图象，如图D 1-5-1所示（图中实线）.
对于A，当时，，则 ，
而在上单调递减 观察图象可直接得函数
在,上单调递减 ，A正确；
对于B，由图可知的一个周期为 ，B正确；
对于C，,，即，所以 不是偶函数，C错误；
观察图象可知的图象不关于轴对称，故不是偶函数
对于D，由图可知，的最小值为 ，D正确.
故选 .
. .
2.[多选题] (2025·辽宁省抚顺市六校协作体期末)关于函数 有下
述四个结论，其中正确的是( )
BC
A. 是奇函数
B.在区间 上单调递减
C. 的最大值为2
D.在 上有4 049个零点
【解析】由题意得的定义域为 ，关于原点对称，
，
所以 是偶函数，不是奇函数，故A错误.
当时，，则 ，
此时在区间 上单调递减，故B正确.
因为是偶函数，所以考虑 的情况即可，
当,时，函数 ，
此时当 ,时， 取最大值2；
当,时，函数 ，
综上， 的最大值为2，故C正确.
当时，，，则在 ， 上有无数
个零点，
故在不可能只有4 049个零点，故D错误.故选 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：30分钟
1.函数 的定义域是( )
D
A. B. , ｝
C.｝ D. , ｝
【解析】因为，所以，解得， ,故函数的定义
域为, ｝.
2.(2025·上海市同济中学月考)既在区间上单调递减，又以 为周期的偶函数是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】对于A，在上单调递增，且是以 为周期的奇函数，不符合
题意；对于B,的周期为 ，不符合题意；对于C， 的周期
， 为偶函数但在上单调递增，不符合题意；对于D， 为偶函
数，周期 ，且在 上单调递减，符合题意．故选D．
3.方程 的实根有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
图D 1-5-1
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数
与 的图象，如图D 1-5-1所示，
由图可以看出两函数图象有三个交点，即方程
的实根有3个.
4.已知 ,，且 ，则 与 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
【解析】由诱导公式得.因为，所以 ，又
， ，且正弦函数在 上单调递增，
所以 ，即 .
5.［多选题］(2025·安徽省淮南第二中学月考)下列关于函数 的四
个命题为真命题的是( )
BC
A.的图象关于轴对称 B. 的图象关于原点对称
C.的图象关于直线对称 D. 的最小值为2
【解析】由题意知的定义域为 , ，且关于原点对称.又
，所以函数 为奇函数，其
图象关于原点对称，所以A为假命题，B为真命题.
因为 ，
，
所以，所以函数的图象关于直线 对称，C为真命题.
当时， ，所以D为假命题.
6.函数的最大值为___，取得最大值时对应的自变量 的取值范围为
_____________________.
2
,}
【解析】当,即,时,
7.已知,若方程有解，则参数 的取值范围为______.
【解析】由,得 .
时，方程无解，即
, .
则,解得 .
8.（1）若的最大值为，最小值为，求 的最值；
【答案】若，当时，取得最大值，为 ①；
当时，取得最小值，为 ②.
由①②解得,，此时 ，
所以 的最大值为2，最小值为0.
若，当时，取得最大值，为 ③;
当时，取得最小值，为 ④.
由③④解得,，此时 ，
所以的最大值为0，最小值为 .
综上可知，当时， 的最大值为2，最小值为0;
当时，的最大值为0，最小值为 .
（2）设，若的最大值为0，最小值为,试求与
的值.
【答案】由题意知 .
当时，
解得
当时， 方程组无解.
综上，得
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.(2025·河南省南阳一中月考)在内，使成立的 的取值范围为
( )
A
A. B. C. D.
图D 1-5-2
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数 ,
与函数, 的图象，如图D 1-5-2
所示，则在,内，当时， .
10.函数在[- , 上的图象大致为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 任取, ,
在[- ,上为奇函数，故排除A；当时， ,故排除B，
C.选D.
当 时，,故排除A,C;当 时，
,故排除B,选D.
11.已知函数的定义域为，值域为[-,，则 的值不可能是( )
A
A. B. C. D.
【解析】结合已知条件和余弦函数的图象，由, ,得
，当且仅当,时，等号成立，故的值不可能是 .
12.(2025·湖南省邵阳市模拟)设函数， ，当曲
线和恒有交点时，记实数的最大值为，最小值为 ，则
___.
0
【解析】依题意，令，得 ，
令，曲线与恒有交点转化为直线 与曲线
恒有交点
，
是奇函数，，故 .
13.(2025·江苏省苏州大学附属中学月考)已知函数, ,
.
（1）当时，求 的最大值和最小值;
【答案】当时，,, ,
在[-,上单调递减;在[-, 上单调递增.
故当时，取得最小值，最小值为 ；
当时，取得最大值，最大值为 .
（2）若在[-,上是单调函数且，求 的取值范围.
【答案】 .
若在[-,上是单调函数且，则有或 ,即
或,解得或 .
故 的取值范围为,, .
C 培优练丨能力提升
14.在内，方程有且仅有两解，求实数 的取值
范围.
【答案】原方程可化为,则 .
,， .
.
令,则，作出,及 的图象（
图D 1-5-3
如图D 1-5-3），可知当或时，两图象在 内
有且仅有一个交点，即方程在, 内有且
仅有两解,此时的取值范围为或 ｝.