6 函数y=Asin(ωx_φ)的性质与图象 课件(共138张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共138张PPT)
第一章 三角函数
§6 函数的性质与图象
必备知识解读
知识点 “五点（画图）法”作函数 的图象
用“五点（画图）法”作函数 的图象的步骤:
第一步：列表，即令 分别为0，， ，， ，再分别求出相应，
的值，如下表所示.#1.1
0
0 A 0 0
第二步：描点，在同一平面直角坐标系中描出这五个点.
第三步：连线，用光滑曲线顺次连接这些点得到一个周期内的图象.
第四步：利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图象.
特别提醒 作给定区间上函数的图象时，若 ，应先求出
的相应范围，在求出的范围内确定其关键点.
说明：同样地，可以用“五点（画图）法”作函数 的图象.#1.6
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P52 A组T2］利用“五点（画图）法”作出函数 在
长度为一个周期的闭区间上的简图.
【解析】列表：
0
0 0 0
描点画图，如图1-6-5所示.
图1-6-5
点评 用“五点（画图）法”作函数 的图象充分体现了研究三角函
数性质时常用的整体换元思想，令,则 对应的“五点”便有“迹
”可寻了.
知识点2 参数 ， ，对函数 的图象的影响
1 对, 的图象的影响
函数的图象是将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（切勿认为是倍）（当时）或伸长（当时）到原来的 （纵坐标不
变）得到的.
影响函数的周期，且函数最小正周期 （横向伸缩变换，
周期改变）.
. .
. .
. .
2 对, 的图象的影响
（1）函数的图象，可以看作是将函数 的图象上的所有
点向左或向右平移 个单位长度而得到的.简记为“左加右减”
（【注意】左右平移是对 本身而言的）.
（2）函数的图象，可以看作是将函数 图象上的所有
点向左或向右平移 个单位长度得到的.
. .
3 对， 的图象的影响
的图象是将 的图象上的每个点的纵坐
标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的 倍（横坐标不变）得到
的.决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 为振
幅.（纵向伸缩变换，最值和值域改变）
. .
. .
4 由函数的图象得到函数， 的图象
（同样适用作函数 的图象）
（1）， 决定“形变（伸缩）”， 决定“位变（平移）”.
（2）以上两种方法平移的单位长度是不同的，但最后得到的结果是相同的.
教材链接 的图象可由 的图象向上
（当时）或向下（当时）平移 个单位长度得到.此即回答了教材第49页
【思考交流】.
. .
. .
学思用·典例详解
例2-2 [多选题](2025·河南省南阳市期中)有以下四种变换方式，其中能将 的
图象变换成函数 的图象的是( )
AD
A.先向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的
B.先向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的
C.先将图象上每个点的横坐标变为原来的，再向右平移 个单位长度
D.先将图象上每个点的横坐标变为原来的，再向左平移 个单位长度
【解析】将的图象先向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变
为原来的可得函数 的图象，故A满足要求；
将的图象先向右平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的
可得函数 的图象，故B不满足要求；
先将的图象上每个点的横坐标变为原来的，再向右平移 个单位长度可得
函数 的图象，故C不满足要求；
先将的图象上每个点的横坐标变为原来的，再向左平移 个单位长度可得
函数 的图象，故D满足要求.
知识点3 , 中各量的物理意义
物理中，当, 表示一个简谐运动的表
达式时，各量就有了物理意义.
是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
是简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间；
是简谐运动的频率，（周期的倒数）它是做简谐运动的物体在单位时
间内往复运动的次数；
称为相位；
时的相位 称为初相.
. .
. .
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例3-3 函数 的振幅为___，周期为___，初相为____.
3
【解析】在函数中，,,， .
函数的振幅为3，周期为 ，初相为 .
知识点4 函数, 的性质
1 函数 的性质
定义域
值域
周期性
单调性
. .
. .
对称性
奇偶性
续表
特别提醒
， 的符号对函数 单调性的影响
若，则的单调性与 的单调性相反;
若,则一般是先利用诱导公式将原式变形为 的形式，
再讨论函数的单调性.#1.1.1.2
2 函数 的性质
定义域
值域
周期性
. .
单调性
对称性
奇偶性
续表
. .
. .
学思用·典例详解
例4-4 函数 的最大值为( )
A
A. B.1 C. D.
【解析】因为=, 【解题思路】通过观察可以
发现,利用诱导公式将余弦转化为正弦，即可求解
所以 ,
所以的最大值为 .
例4-5 (2025·江苏省射阳中学月考)将函数 的图象上各点的横坐标缩短
为原来的 （纵坐标不变），则所得图象对应的函数在下列区间中单调递增的为
( )
A
A. B. C. D.
【解析】依题意，原函数经图象变换后，得到函数 的图象.令
，解得 ，则函数
的单调递增区间为 .
结合选项可知，当时，函数在区间， 上单调递增．
例4-6 [多选题]下列函数中，最小正周期为 的有( )
ABC
A. B. C. D.
【解析】的最小正周期为 ;
的最小正周期为 ；
的最小正周期为 ；
的最小正周期为 .
释疑惑 重难拓展
知识点5 三角函数的最值与单调性、奇偶性、周期性的联系
1 三角函数的最值与周期性之间的联系
由三角函数图象可知，相邻两个最大值点之间的区间长度为周期 ，相邻的最大
值点与最小值点之间的区间长度为，相邻的最值点与零点之间的区间长度为 .
2 三角函数的最值与单调性之间的联系
如图1-6-1，由函数
的图象可知：图
象相邻两个最高点的横坐标之间的距离为
一个周期，两个最高点之间有一个最低点，
最高点对应函数的最大值，最低点对应函数的最小值，因此从左至右看，第一个最
大值点与最小值点之间的范围为减区间，最小值点 与第二个最大值点
之间的范围为增区间，从而函数 的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
当然也可以从右至左看，如图1-6-2，最大值点 向左半个周期所对应的区间为
增区间，向右半个周期所对应的区间为减区间，此时函数
的单调递增区间为 ，单调递减区间为
.
函数的最小值可类似讨论.
3 三角函数的最值与奇偶性之间的联系
由图1-6-3可知，函数
, , 为常数，且
为偶函数时，在 处取得最值.
由图1-6-4可知，函数
, , 为常数，且 为奇函数时，当时， .
4 最值、零点与对称性之间的关系
函数在 处取最大（小）值，则函数图象关于直线
对称；在处函数值为0，则函数图象关于点 对称.
思考 上述内容可类比到函数, , 为常数，且
中，同学们可自己思考一下，动手做一做.
学思用·典例详解
例5-7 (2025·北京理工大学附属中学期中)已知函数 ，若对任意的
都有成立，则 的最小值是( )
B
A.4 B.2 C.1 D.
【解析】函数的最小正周期.由于对任意的 都有
成立，则, ，从而
的最小值为 .
例5-8 (2021·新高考全国Ⅰ卷)下列区间中，函数 单调递增的区间是
( )
A
A. B. C. D.
【解析】令，可得函数的一个最大值点为 ，而函数的最小正周期
，从而函数的单调递增区间为 ，又
,故区间是函数 的一个单调递增区间.
5-9.(2025·陕西省西安市期末)若函数是上的偶函数，则
等于( )
C
A.0 B. C. D.
【解析】 函数是偶函数，则或 ,即
或
又 ,所以 .
因为函数是奇函数，结合选项，要使 是
偶函数，故只需把的图象向左平移个单位长度即可，即只需 .
例5-10 (2025·江苏省天一中学期末)已知函数 的图象关
于直线对称，则 的值是____．
【解析】由函数的图象关于直线对称，得 ，
因为，所以，所以,解得 .
关键能力构建
题型1 三角函数图象的变换
1 同名三角函数图象之间的变换
例11 [教材改编P52 A组T3] 由函数 的图象经过怎样的变换，可以得到函数
的图象？
【解析】 的图象
的图象
的图象
的图象.
的图象 的图象
的图象
的图象.
名师点评 两种变换方法中向右平移的单位长度是不同的（即和 ），但得到的结
果是一致的.
例12 [教材改编P51 T1（3）](2025·山西省太原市期末)把函数 的图
象先向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数解析式为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】将原函数图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短为
原来的（纵坐标不变），得 的图象.
易错警示 在函数图象的左右平移中，平移的单位长度是相对自变量 而言的，在
函数中，,所以由函数 的图象得到
函数的图象时，平移的单位长度不是，而是 ，这点很容易
出错.
2 异名三角函数图象之间的变换
例13 (2025·山东省桓台第一中学月考)为了得到函数 的图象，可以将
函数 的图象( )
B
A.向右平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度
【解析】因为 （利用诱导公式将异名化同名）,而
，所以将的图象向右平移 个单位长度
可得到 的图象.
. .
3 逆向变换
例14 ［教材改编P52 B组T2］把函数 的图象向左平
移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所
得图象的函数解析式为 ，则( )
B
A., B., C., D.,
【解析】 （逆向变换）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）,所得图象的函数解析式为，再将此函数图象向右平移 个
单位长度可得的图象，即的图象，所以 ,
.
（正向变换）将的图象向左平移 个单位长度后，得到
（【易错点】“左加右减”是针对自变量而言的）
的图象，
. .
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即得函数
的图象，又,, ,
所以解得
感悟升华 由的图象得到 的图
象，可采用逆向思维.
三角函数图象变换的策略
（1）解决三角函数图象的变换问题时,若两函数异名,则先利用诱导公式，将异名三
角函数化为同名三角函数,再分析变换过程.
（2）在进行图象的变换时，提倡先进行平移变换,再进行伸缩变换，但先伸缩变换再
平移变换在考试中经常出现，无论哪种变换,需记住每一种变换都是对自变量而言的.
（3）平移变换:左右平移遵循“左加右减”的原则,上下平移遵循“上加下减”的原则.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·安徽省淮北一中期末)若将函数的图象向左平移 个单位长度，则
平移后图象的对称轴方程为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】函数的图象向左平移 个单位长度，得到的图象对应的函数解
析式为，令 ，解得
，所以所求图象的对称轴方程为 ．
2.将函数的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】将函数的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，由 ，则
.
3.(2025·广东省深圳外国语学校期中)为了得到函数 的图象,只要把函数
图象上所有的点( )
D
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
【解析】因为，所以要得到函数 的图象，
只要把函数的图象上所有的点向右平移 个单位长度.故选D.
题型2 单调性问题
1 求正、余弦型函数的单调区间
母题 致经典·母题探究
例15 [教材改编P74 T11]函数 的单调递增区间为________________
__________.
,,
【解析】 函数的单调递增区间为 ,, .
令 , （为什么这样做可以看母题探源的分析），
得 ,，所以函数 的单调递增区间为
,, .
令，得，所以函数在 处取得最大值.
又函数的最小正周期为 ，根据周期性与单调性（在周期函数中，一个最大单调区
间的长度为半个最小正周期）的关系可知，函数 的一个单调递增区
间为,,即[-, ,
所以函数的单调递增区间为 ,, .
. .
. .
母题探源
用“同增异减”的眼光看正弦型函数的单调性
该母题取材于教材第52页【习题 】A组第4题，求正弦型函数的单调区间可谓是
各类考试的常客.解此类题的关键是对求复合函数单调性的口诀“同增异减”的灵活运
用，函数可看成是外层函数，内层函数 的复合，
内层函数在定义域 上是单调递增的，但是外层函数在定义域上显然有增
有减，根据“同增异减”口诀，函数 与外层函数的单调性相同.这就是
令 的由来.
子题
子题1 函数 的单调递减区间为_________________________.
,,
【解析】求函数的单调递减区间即求函数 的单调
递增区间，
令 ,，得 , ，
所以函数的单调递减区间为 ,, .
名师点评 结合母题及子题1可知，在同一单调区间上，函数
与函数
的单调性相反.
子题2 函数 的单调递增区间为_________________________.
，
【解析】 （（此处不能直接由 ,
求得单调递增区间）） ,令
, ,
得, ,
所以函数的单调递增区间为， ．
,求它的单调递增区间，即求函数
的单调递减区间.由, ,得
. .
, .
故所求函数的单调递增区间为， ．
函数的单调递减区间为 ,,， 是
减函数，因此由复合函数的单调性可知，求 的单调递增区间，
即求 , 的解集.
解得 ,，由的任意性可知 ,
.
所以的单调递增区间为， .
名师点评 当或中的 是负数时，我们一般先将
转化为正数，然后结合或 的单调性求解单调区间.
例16 函数 的单调递增区间为_____________________________.
，
【解析】由题意，得 （【明易错】千万不能忽略对数函数的定义域，
应保证真数大于0，不能直接求 的单调递增区间），所以
， ,
解得 ， .
令 , ,
则 , .
所以的单调递增区间为 （与定义域求交集可得
最终结果）， ，
所以函数的单调递增区间为， .
. .
. .
求单调区间的基本方法——基本函数法
【学会了吗丨变式题】
4.已知当时，函数取得最大值,则 的一个单调递减区间
是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 由，得 .不妨取
，由，得 ,
令，得的一个单调递减区间是 .
当时，函数 取得最大值，而函数的最小正周期为
， 于是函数的一个单调递减区间为，即 .
5.函数 的单调递增区间为____________________________.
,
【解析】 依据复合函数“同增异减”的原则，将代入 的单调递减
区间求解.
令,解得 ,故函数
的单调递增区间是[- ,,也即[- ，
.
根据诱导公式，得 ,令
,解得 ,故函数
的单调递增区间是 , .
2 已知单调性求参数
例17 (2025·江西省多校联考)若函数在区间， 上单调递减，
则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
思路点拨 根据正弦函数的单调递减区间及函数在区间
上单调递减，建立不等式组，即可求得 的取值范围.
【解析】 在， 上单调递减，且正弦函数的单调递
减区间为 ,, ,
解得, ,
,且,即 ，
取,则 .
令 ，
得 .
函数在区间上单调递减，
解得, ,
，得，又（则,即,则）,
取 ,
且, .
. .
已知函数或的单调区间求 或
时，一般先将 代入（或 ）相应的单调区间所对应的不
等式（组）中，求出的范围，再结合已知的单调区间建立关于 或 的不等式
（组）求解.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·甘肃省白银市联考)若函数在， 上单
调递减，则 的取值范围是( )
D
A. B.[-， C.， D.，
【解析】令 ，
解得 ，
因为在， 上单调递减，
所以解得 .
又，所以，故 ，
于是由，解得， ．
7.(2025·山东省济宁一中质检)已知函数在区间, 上
单调递增，且在区间,上恰好取得一次最大值1，则 的取值范围是( )
C
A., B., C., D.,
【解析】
（复合函数法） 令,,则 .
函数在区间, 上单调递增，
, ,
解得 .
当 时， ,
函数在区间,上恰好取得一次最大值1，由函数 的图象
可知，
, .
综上可知， ,故选C.
（特殊值法） 当时，令,,则 ,函数
在区间,上不单调， 不合题意，排除B，D.
当时，令, ,
则,则函数在区间,上取不到最大值1， 不合题意，排
除A.选C.
题型3 正、余弦型函数的最值问题
例18 [教材改编P52 T5]已知为常数 .
（1）求 的单调递增区间；
【解析】 ,，解得 , .
所以的单调递增区间为 .
（2）求的最大值及取得最大值时 的值的集合；
【解析】由正弦函数性质知，当 ,时， 取得最大值，为
，此时的值的集合为 , .
（3）若时，的最大值为4，求 的值.
【解析】因为，所以 ，
所以，即，解得 .
正、余弦型函数的最值问题求解策略
对于或 的函数，当
定义域为时，值域为 ；当定义域为某个给定的区间时，需先确定
的范围，然后结合函数的单调性确定最值.
【学会了吗丨变式题】
8.已知函数 ．
（1）求 的最小正周期.
【答案】 ，故的最小正周期为 .
（2）求的最大值以及取得最大值时 的值的集合．
【答案】当 ，，即 ， 时，
，得 ，
取得最大值时的值的集合为 , .
（3）求 的单调递减区间．
【答案】由 ，得 ， ，
所以函数的单调递减区间是， .
题型4 周期性问题
例19 已知，函数在区间上恰有9个零点，则 的取值范
围是( )
A
A. B. C. D.
给什么 得什么
求什么 想什么
差什么 找什么
例20 (2024·北京)设函数.已知, ,且
的最小值为,则 ( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】因为，且,， ，
（【扫清障碍】正弦函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个最小正周期）所
以的最小正周期 ，所以 .
与周期相关的结论
由函数为, 的图象可知：
（1）相邻两个最大值点之间的区间长度为周期 ；
（2）相邻的最大值点与最小值点之间的区间长度为 ；
（3）相邻的最值点与零点之间的区间长度为 ；
（4）函数的单调递减区间和单调递增区间的长度都为 .
【学会了吗丨变式题】
9.(2025·广东省八校联盟期末)设，函数的图象向右平移 个单
位长度后与原图象重合，则 的最小值为( )
C
A. B. C. D.3
【解析】 函数的图象向右平移 个单位长度后，得到函数
的图象.
两图象重合，,解得 .
又, 当时， 取最小值，为 .
由题意可知，是函数的最小正周期 的正整数倍，
即 ,
,即 的最小值为 .
题型5 奇偶性与对称性问题
1 由函数的奇偶性求参数的值
例21（1）(2025·河北省承德第一中学月考)已知函数 是奇函
数，则 的值可以是( )
B
A.0 B. C. D.
【解析】 为奇函数，则只需 ,从而
.显然当时， 满足题意.
易知在处有定义的奇函数必有 ,即
,
将各选项代入可知 满足题意.
. .
（2）(2025·北京市第八中学月考)已知函数 的最小正周期
为 ，将的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，
则 的一个值是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 函数的最小正周期为 , ，解得
, ,
将的图象向左平移 个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为
= .
所得函数为偶函数，
,解得 ,
当时，.故 的一个值是 .
与奇偶性相关的结论
由于函数是奇函数， 是偶函数，因此有
如下结论.
1.要使为奇函数，则 .
2.要使为偶函数，则 .
3.要使为奇函数，则 .
4.要使为偶函数，则 .
【学会了吗丨变式题】
10.(2025·四川省凉山州宁南中学月考)将函数的图象向左平移
个单位长度后关于原点对称，则 的值可能为( )
D
A. B. C. D.
【解析】将函数的图象向左平移 个单位长度后，得到
的图象，因为的图象关于原点对称，所以 ，可
得，则 ，
又，结合选项，取，得 .
2 函数图象的对称性
例22 (2025·河南省邓州市第一高级中学校月考)如果函数 的图象关
于点中心对称，那么 的最小值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】函数图象关于点中心对称，则有 ,即
,所以,则 ,即
,所以当时，,此时 最小.
例23 (2025·贵州省遵义航天高级中学期末)已知函数 的
图象关于直线对称，且，则 的最小值为( )
A
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】 由题设知直线与点分别为函数 图象的对称轴与对称
中心，
故， ，
于是,即 ,又
,且,故 的最小值是2.
由题意可知，对称轴和对称中心之间的距离可以是 ，
， ,且,所以,且.所以 的最小值为2.
对称中心到相邻对称轴的距离为,显然当直线为点 的相邻对
称轴时，周期最大，则 最小，所以，得 .
. .
求解对称轴、对称中心及其应用问题的基本思路
1.函数和的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形. 的
图象的对称中心为，对称轴方程为 的图象
的对称中心为，对称轴方程为 .
2.对于函数, 的图象的对称性问题，应将
看成一个整体，利用整体代入思想，令 等于 或
，解出的的值即对称中心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与 轴的
交点的横坐标.
【学会了吗丨变式题】
11.已知函数在处取得最大值,则函数 的图象
( )
A
A.关于点对称 B.关于点 对称
C.关于直线对称 D.关于直线 对称
【解析】正弦函数的图象的对称轴与轴的交点便是余弦函数 的图
象的对称中心，反之，正弦函数的图象的对称中心便是余弦函数
的图象的对称轴与轴的交点.于是本题可得的图象关于点 对称.
题型6 由部分图象求函数解析式
例24 ［教材改编P52 B组T1］已知函数 在一个周期
内的图象如图1-6-6所示，求该函数的一个解析式．
图1-6-6
给什 么得 什么
求什 么想 什么
差什 么找 什么
【解析】 由图象知函数的最大值为，最小值为，又，．
由图象知,， ．
又, 图象上的最高点为，， ，
即，可取 .
故函数的一个解析式为 ．
（五点对应法） 由图象知.又图象过点， （【扫清障碍】
这两点可判断为“五点法”中的第一点与第三点），根据“五点法”原理得
解得
故函数的一个解析式为 ．
（图象变换法） 由图可知，,, .
该函数的图象可由的图象向右平移 个单位长度得到.
故所求函数的一个解析式为，即 .
. .
名师点评 由图象求得的 的解析式一般不唯一，需要
限定 的取值范围，才能得到唯一的函数解析式 .
由部分图象确定函数解析式 的“两法”
方法一
一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定, .
因为，所以往往通过求周期来确定 ，可通过已知曲线及其与 轴的
交点来确定，注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ，相邻的两个最高点
（最低点）之间的水平距离为 .
以“五点法”中的第二个点为突破口，即当 时， 有最大值，
或者以“五点法”中的第一个点 为突破口，从图象的升降情况找准“第一点”的
位置.
图1-6-7
方法二（五点对应法）
如图1-6-7，①“第一点”： .②“第二点”：
“第三点”： “第四点”：
“第五点”： .
在用以上方法确定 的取值时，还要注意题目中给出的 的范围，不在要求范围内
的要通过周期性转化到要求范围内.
特别地，当三角函数图象涉及上下变换时，如函数形为
时，可根据确定的值，参数, ,
, 的确定同上.
【学会了吗丨变式题】
12.(2025·江西省南昌中学月考)函数 的图
象如图1-6-8所示，为了得到的图象，则只需将 的图象( )
D
图1-6-8
A.向右平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度
【解析】根据函数的图象，可得 ,
又,.易得,则 ,又
,则,.故把的图象向左平移 个单
位长度，可得 的图象，故选D.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
三角函数的图象变换可以融入大多数的三角函数试题中，因此是高考考查的热点，
明确图象平移变换的原则是解题的关键.三角函数图象的应用也是高考重点考查内容，
“五点（画图）法”是突破口.由部分图象确定函数解析式能够完美考查函数图象与性
质间的互相转化，较好考查了学生的数学思维，要注意重点掌握.试题以选择题、填
空题为主，难度中等或较难.
核心素养：逻辑推理（利用图象变换规则推导函数解析式），直观想象（根据图象
确定函数解析式）.
考向1 三角函数图象的应用
例25 (2024·新课标Ⅰ卷)当时，曲线与 的交点个数
为( )
C
A.3 B.4 C.6 D.8
图1-6-9
【解析】因为函数的最小正周期 ，所以
函数在 上的图象恰好是三个周期的图象，
所以作出函数与在 上的图象，如
图1-6-9所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
例26 (2023·全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移
个单位长度得到，则的图象与直线 的交点个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
图1-6-10
【解析】把函数的图象向左平移 个单
位长度后得到函数
的图
象.作出函数的部分图象和直线 如图1-6-
10所示.观察图象知，共有3个交点.故选C.【易错点】把函数 的图象
向左平移个单位长度后错误得到函数 的图象，导
致错解
考向2 三角函数的性质
1 正弦型函数的性质
例27 (2025·天津)在, 上单调递增，
且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当,
时， 的最小值为( )
A
A. B. C. D.0
【解析】因为在上单调递增且为 图象的一条对称轴，所以
, ，
得，且 ①.
因为是图象的一个对称中心，所以 ，得
②,
由①②得，结合，得，
【另解】结合周期的范围可知直线与点是 图象相邻的对称轴和对称
中心，则，解得
则，又 ，所以，故 .
当时，，所以的最小值为 .
素养探源 素养 考查途径
逻辑推理 正弦型函数性质的判断.
变式探源
1.(2023·全国乙卷)已知函数在区间，单调递增,直线 和
为函数的图象的两条相邻对称轴，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得，解得，易知是 的最小值点，即
或 ，
所以 或 , ，
即 或 , ，
所以或 ，
所以或 .
故选D.
2.(2022·新高考全国Ⅰ卷)记函数的最小正周期为 .若
,且的图象关于点中心对称，则 ( )
A
A.1 B. C. D.3
【解析】因为 ,所以 ，解得 ．
因为的图象关于点中心对称，所以，且 ，
即0，所以 ,
又,所以，所以 ，解得 ，所以
，所以 ．
2 余弦型函数的性质
例28 (2023·新课标Ⅰ卷)已知函数在区间, 有且仅有3
个零点,则 的取值范围是______.
【解析】 函数在区间 有且仅有3个零点，即
在区间 有且仅有3个根，
因为,，所以 ，
则由余弦函数的图象可知， ，解得，即 的取值范围是
.
函数在区间有且仅有3个零点，即 在区
间 有且仅有3个根，
根据函数在上的图象可知，在区间 有2个根，所以若
在区间有且仅有3个根，则函数在 内至少包含2个
周期，但小于3个周期，即
又,所以，即 的取值范围是 .
例29 (2022·全国乙卷)记函数 的最小正周期为
.若，为的零点，则 的最小值为___.
3
【解析】因为，,所以,即.又 ,
所以 .
因为为的零点，所以，解得 .
又，所以当时， 取得最小值，且最小值为3.
考向3 由图象确定函数解析式
例30 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数,如图1-6-11，，是直线
与曲线的两个交点，若，则 _ ____.
图1-6-11
【解析】第1步：由题图及“五点（画图）法”得 , 的关系式
对比正弦函数的图象易知，点 为“五点（画图）法”中的第五点，所以
①.
（【易错点】将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点（画图）法”中
的哪一个点）
第2步：根据正弦函数图象的对称性求 的值
由题知，两式相减，得 ，即
，解得 .
第3步：求出 ，即可求得结果
代入①，得，所以 .
素养探源 素养 考查途径
直观想象 观察函数图象，并由所给图象得出函数所具有的一些性质.
逻辑推理 由函数的性质推断出参数的值.
变式探源
(全国甲卷)已知函数的部分图象如图1-6-12所示,则 ______.
图 1-6-12
【解析】 （五点画图法） 由题图可知为 的最小正
周期），即 ，所以 ，即. 【关键点】由题图中已知零点和最高
点的横坐标得到的最小正周期，进而得到 的值
不妨设,则.点 可看作“五点画图法”中的第二个点，故
,得，（【解惑】本题没有给出 的取值范围，需要结合图象
确定 的值）
即 ，
所以 .
（代点法）由题意知，为的最小正周期 ，所以
， ,即．不妨设,则 .
又点在函数的图象上，所以 ，结合图象可知
，
令，则 ，
所以 ，
所以 ．
（平移法） 由题意知，为的最小正周期 ，所以
， ,即 ．
不妨设，则 .
又函数的图象与轴的一个交点是，对应函数
的图象与轴的一个交点是 ，
所以的图象可看作由的图象向右平移 个单
位长度得到，
所以 ，所以
.
高考新题型专练
1.［多选题］(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数和 ，下列说
法中正确的有( )
BC
A.与有相同的零点 B.与 有相同的最大值
C.与有相同的最小正周期 D.与 的图象有相同的对称轴
【解析】对于A，令，则,，又 ，故A错误；
对于B,与 的最大值都为1，故B正确；
对于C，与的最小正周期都为 ，故C正确；
对于D，图象的对称轴方程为 ,，即,， 图
象的对称轴方程为 ,，即,，故与 的图
象的对称轴不相同，故D错误.故选 .
图1-6-13
2.[多选题](2025·广东省汕尾市期中)如图1-6-13是函数
的部分图象，则 ( )
BC
A. B.
C. D.
【解析】由题图可知，函数的最小正周期 , ,得 .
当时,,将代入得 ,
, ,解得,，故 .当
时，，将代入，得 ,故
,,得 ,, .故选项B
正确.
,选项C正确.
对于选项A，当时, ,错误.
对于选项D，当时,,错误.故选 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·湖南省衡阳八中开学考试)若将函数的图象先向左平移
个单位长度，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象，则
( )
A
A. B.
C. D.
【解析】将函数的图象先向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到
，故选A．
2.如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则 的值为
( )
B
A.3 B.6 C.12 D.24
【解析】相邻两个零点之间的距离为，则周期为，于是 .
3.已知函数的最小正周期为 ，为了得到函数
的图象，只要将 的图象 ( )
A
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
【解析】函数的最小正周期为 ，则，所以 .下面
用诱导公式化同名，
= .
要想得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移 个单位长度.
故选A.
4.(2025·北京市昌平区期末)若函数的图象向右平移 个
单位长度后，与函数的图象重合，则 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】把函数的图象向右平移 个单位长度后，得到
的图象，根据平移后所得图象与函数 的图象重合，
可得,，即 ,.又 ，可得 ,
故选C.
图1-6-1
5.(2025·广东省佛山市期末)已知函数
的图象如图1-6-1
所示，则 ( )
A
A.0 B. C. D.
【解析】由图象可得的最小正周期 ，
，
由 ，，解得 ，，由得 ，
， ．故选A．
6.(2024·天津)已知函数的最小正周期为 ，则在[-, 的最
小值为( )
A
A. B. C.0 D.
【解析】由的最小正周期为 ，可得，所以，不妨令 ,则
,所以 .
当时，， ，
所以 ，故选A.
7.[多选题](2025·四川省南充市嘉陵第一中学月考)把函数 图象上各点的
横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，所得图象的一条
对称轴方程为( )
AC
A. B. C. D.
【解析】把函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
得的图象，再向右平移个单位长度，得 =
的图象，令 ，,则，.当 时，对
称轴方程为，当时，对称轴方程为 ，故选 .
8.已知函数，且函数 图象的两条相邻对称轴间的距
离为 ．
（1）求 的值；
【答案】由题意知，的周期 ，故 ，则,所以
因此 ．
（2）将函数的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横
坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求 的单调递减
区间．
【答案】将的图象向右平移个单位长度后，得到 的图象，再
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 4倍，纵坐标不变，得到 的图
象．
所以 ．
令，则 ，
因此的单调递减区间为 ．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
9.(2023·天津)已知函数图象的一条对称轴为直线, 的一个周期为4,则
的解析式可能为( )
B
A. B. C. D.
【解析】对于A,，最小正周期为，因为 ，所以
函数的图象不关于直线 对称，故排除A；
对于B，，最小正周期为，因为 ，所以函数
的图象关于直线 对称，故选项B符合题意；
对于C，D,函数和的最小正周期均为 ，均不符合题意,
故排除C，D.综上，选B.
10.(2025·广东省名校联考)函数，若 的一
个单调递增区间为，且，则 ( )
B
A. B. C. D.1
【解析】因为的一个单调递增区间为 ，
所以周期，所以 ，
因为,，所以或 ，
当时，,时，,此时在，
上不单调递增,
所以，所以，所以 ．
图1-6-2
11.(2025·湖南省衡阳县四中月考)函数
的部分图象
如图1-6-2所示，对任意实数 ，都有
，下列说法中正确的是( )
B
的最小正周期为 ；
②的最小值为 ；
③的图象关于点 对称；
④在[-， 上单调递增．
A.①③ B.②③ C.②④ D.③④
【解析】由题图可知，，，则 ， ，
所以 ，故①错误；
又，则 ，
，所以的最小值为 ，故②正确；
则点为函数 图象的对称中心，故③正确；
由，且，得 ，
所以，当，时，， ，显然
在-， 上不单调，故④错误．
故选B．
12.[多选题](2025·江苏省扬州市期末)若将函数的图象向左平移
个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是( )
ACD
A.的最小正周期为
B.在区间， 上单调递减
C.直线不是函数 图象的对称轴
D.在[-,上的最小值为
【解析】 将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象.
的最小正周期为 ，故A正确；
，时，，，函数 不单调，故B错误；
当时，，故直线不是函数 图象的对称轴，故C正确；
，时，，函数的最小值为 ，故D正确，故选
．
13.已知函数和 的图象的对称轴
完全相同，则___；若将的图象向左平移 个单位长度所得
图象对应的函数是偶函数，则 __.
【解析】函数与 的图象的对称轴完全相同，则两个函数的最小正周期完全
相同，所以，此时的图象向左平移 个单
位长度所得图象对应的函数为 ，要使它为偶函数，
则,，则，.因为，所以 .
14.新考法 结构不良 已知①函数的图象关于点对称；②函数 在
，上的最小值为；③函数的图象关于直线 对称．在上述三个条件
中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题．
已知函数（其中， ），若满足条件____与____，求
函数 的解析式．
【答案】若选①②，因为函数的图象关于点 对称，
所以 ，即， ，
又，所以 .
因为，所以 ，
所以 ，
所以，解得 ，
所以 ．
若选②③，因为函数的图象关于直线 对称，
所以，解得， ,
又，所以 .
因为，所以 ，
所以 ，
所以，解得 ，
所以 ．
当选①③时，不能求出,所以不能得到 的解析式.