7 正切函数 课件(共70张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共70张PPT)
第一章 三角函数
§7 正切函数
必备知识解读
知识点1 正切函数的定义
1 正切函数的定义
根据函数的定义,比值是的函数,称为的正切函数,记作 ,其中定义
域为 ，【释疑解惑】若，则 ，
无意义
. .
. .
2 用角的终边上的点的坐标表示正切函数
若角 的终边上任取一点,则 .
3 正切函数值的符号
角所在象限 一 二 三 四
正切函数值的符号 正 负 正 负
知识剖析 三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”,
即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正，
第四象限只有余弦值为正.
4 特殊角的正切函数值如下表
0
0 1 不存在 0
1 不存在 0
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P64 T3］已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，
终边过点,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
例1-2 (2025·上海市同济中学月考)若,则点 在第____象限.
四
【解析】因为，故可知角 位于第三象限，所以, ,所
以点 位于第四象限.
例1-3 已知角的终边过点,则 ____.
【解析】依题意，,又 ,且其终边在第四象限
因为,，所以 .
. .
知识点2 正切函数的诱导公式
,
, ,
,.（其中的 是使等式两边都有意义的任意实数.）
知识延伸（1）利用诱导公式,可以把任意实数的正切函数值问题转化为 上的正
切函数值问题，当 表示角的大小时，可将任意角的正切函数值问题转化为锐角正切
函数值问题，求解步骤依然是“负化正，大化小，化为锐角求值”.
（2）事实上，我们把比值称为的余切函数，记作 ,所以
,这样, .因此，正切函数的诱导公式
仍可以用“奇变偶不变，符号看象限”来记忆.
学思用·典例详解
例2-4 ［教材改编P60例3］求值：
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） .
【解析】
.
知识点3 正切函数的图象与性质
1 正切函数的图象与性质
函数
图象 （正切曲 线）
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数，图象关于原点对称
单调性
对称性
续表
特别提醒 （1）正切函数在每一个开区间 ， 上单调递增，
但不能说正切函数在整个定义域内单调递增.
（2）正切曲线的对称中心不一定在正切曲线上.
（3）正切函数没有最大值、最小值.#1.3
. .
2 正切函数图象的作法
（1）正切曲线的渐近线
正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成
的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.（正切曲线与渐近线无限接近但不相交）
（2）三点两线法作图
我们可以根据“三点”，“两线”直线和直线
作出，， 的大致图象.
. .
学思用·典例详解
例3-5 （1）[教材改编P65 T4](2025·北京市清华附中期中)函数 的定义
域为( )
B
A. ,} B. , }
C. ,} D., }
【解析】的自变量应满足 ,，解得 ,
.
故函数定义域为 , }.
（2）(2025·上海市杨浦区期中)已知函数, ，则函数的最小值为
____.
【解析】在上单调递增，故当 时，函数取得最小值，为
.
例3-6 [教材改编P62 例4]作出函数， 的简图.
【解析】（1）列表:
0
0 1
1 2 3
（2）在平面直角坐标系中，画， 两条虚线，描点.
图1-7-1
（3）用光滑曲线顺次连接各点，如图1-7-1所示.
也可先作出,， 的图象，再将图象向上平移2个单
位长度即可
释疑惑 重难拓展
知识点4 正切型函数的图象与性质
【教材深挖】对教材第63页【思考交流】的深挖.
1 正切型函数的图象
我们不仅可以由三点两线法作出正切型函数 的图象，还可以
由的图象，结合函数的图象变换规律作出正切型函数 的
图象.
2 正切型函数的性质
函数
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
对称性
学思用·典例详解
例4-7 (2025·陕西省渭南市瑞泉中学期中)已知函数 ，则下列说法
正确的是( )
B
A. 在定义域内是增函数
B.函数图象的对称中心是点
C.的最小正周期是
D. 是奇函数
【解析】正切函数在定义域内不单调，故A错误；令， ,得
，，可得函数图象的对称中心是点， ，故B正
确；，故C错误；由 ,可知
不是奇函数，故D错误.
关键能力构建
题型1 正切函数的图象及其应用
1 作图象
例8 画出函数在 上的简图.
【解析】令 ，,可得 ， ,
又，所以直线 是该函数图象的一条渐近线.
当时， ；
当时， ;
当 时， ；
当 时， .
图1-7-2
描点，，，，画虚线 ，
根据正切曲线的趋势，画出简图，如图1-7-2所示.
正切型函数 的图象的作法：
首先令 ，,结合 的已知范围，确定对应的渐近线；
其次计算所给区间左右端点对应的函数值，若已知，计算 及
，此处不妨假设 ,则在 , 内找到
，和 ，所对应的值及相应的 值；
然后画出渐近线（虚线），描出对应的点；
最后用光滑曲线连接.
2 图象识别问题
图1-7-3
例9 图1-7-3中的图形分别是； ;
；在， 内的大致图象，
那么由到 对应的函数关系式应是( )
D
A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③
解决图象识别问题的常用方法
1.作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案.
2.性质法：研究相关函数的性质（特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、
特殊点、函数值变化规律等），排除相关选项，从而确定正确答案.
3 解不等式
例10 ［教材改编P65 T6］不等式 的解集为
_ ________________________________.
,｝
图1-7-4
【解析】作出函数在区间 上的图象，如图
1-7-4所示.观察图象可得，在内，满足条件的 的取
值范围为 .由正切函数的周期性知，不等式的解
集为 , ｝.
解关于正切函数的不等式的步骤
（1）将不等式化为 或或或 的形式；
（2）在同一平面直角坐标系中画出在一个周期通常是 内的图象和
直线 ；
（3）借助图象写出不等式在一个周期 内的解集，此解集的两端同时加上
即不等式的解集.
【学会了吗丨变式题】
1.函数 的定义域为_____________________________.
,
图D 1-7-1
【解析】由,得 ,且
，（求与正切函数有关的定义域时，切记
保证正切函数有意义）
即 .
所以函数的定义域为 , .
由图D 1-7-1可得 ,即
.
. .
2.(2025·辽宁省大连市滨城高中联盟期中)先将 的图象上所有点的横坐标缩
小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数 的
图象，若 ，则不等式的解集为_ ____________________________．
,
【解析】将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到
的图象，
再将的图象向左平移 个单位长度后可得
的图象.
由，得 ，
得 , ，
解得, ，
所以不等式的解集为, .
4 零点问题
例11 ［教材改编P65 A组T1］在区间内，函数与函数 的
图象的交点的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
图1-7-5
【解析】在同一平面直角坐标系中，作出函数
与在， 内的图象，如图1-7-5所示.当
时，有 ，所以由图象可知它们
有3个交点．
名师点评 当时， ，这是在三角函数中特别重要的一个不
等式，我们可以利用单位圆进行证明，具体证明方法可参照教材第65页【习题1—7】
B组第1题的答案，此处不再赘述.
题型2 正切函数中诱导公式的应用
1 利用诱导公式求值
例12 已知，则 ___.
1
【解析】
. .
. .
. .
. .
2 利用诱导公式化简、证明
例13（1）化简：
【解析】原式
（2）已知，求证
【解析】 ,
,
题型3 正切函数单调性的应用
1 求单调区间
例14 [教材改编P65 A组T4](2025·上海师范大学附属中学月考)函数
的单调递减区间为_________________________.
【解析】
（利用诱导公式将 的系数化为正）
由 ,
（将 看成整体，代入正切函数的单调递增区间）
得
故函数的单调递减区间为
. .
. .
正切型函数单调区间的求解思路
正切函数在每一个开区间 上均单调递增.求函数
的单调区间时，若 ，则只需由
解出的取值范围即可，但若 ,则可先利用
诱导公式将自变量的系数化为正值，然后求解，此时要注意 的正负对函数单调性
的影响.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·湖南省长沙市明德中学月考)函数 的单调递增区间为
______________________ .
【解析】正切函数的单调递增区间为 ，
所以令 ，
解得 ，
即函数的单调递增区间为 .
2 求有关正切函数的值域
例15 求下列函数的值域：
（1）， ；
【解析】， ，
在 上单调递增，
， 函数，的值域为 .
（2） .
【解析】令，则， ，（转化为熟
悉的二次函数问题）
故函数的值域为 .
思路点拨 （1）可先求出 的范围，再结合正切函数的图象直接求出值域.（2）
可先令 ，用换元法将原函数转化成二次函数，再利用配方法求解.
3 比较大小
例16 ［教材改编P65 T7］比较下列各组中三角函数值的大小：
（1） 与 ；
【解析】 ，
因为函数在 上是单调递增的，
所以 .
（2）与 .
【解析】 ，
.
因为函数在， 上是单调递增的，
而，所以 ，
即 .
易判断两个正角在正切函数的同一单调区间内时，直接利用正切函数的单调性解决;
不易判断两个角是否在正切函数的同一单调区间内时，可先利用诱导公式将其转化
为到 之间的角的正切函数，再比较大小.
【学会了吗丨变式题】
4.若,, ，则( )
D
A. B. C. D.
【解析】, ,且函数在区间
上单调递增， ,
,即 .
4 求参数
例17（1）(2025·四川省泸州市期末)已知函数在 上单调递增，
则符合条件的整数 的值为___.
1
【解析】因为在上单调递增，所以 ，（根据复合函数
的单调性“同增异减”判断）
当时， ，
故，解得 ，
又 为整数，所以 .
. .
（2）(2025·辽宁省名校联盟模拟)已知函数在区间 上单调递
增，则 的最大值为___.
5
【解析】由函数在区间上单调递增，可得 ，且
，
解得, .
当时，，又，所以 ；
当时， ；
当时，不等式,（由可得 ,所以
时原不等式无解）无解.
综上， 的最大值为5.
. .
【学会了吗丨变式题】
5.(2024·江西省丰城市第九中学开学考试)已知函数 的
单调递增区间是，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】令 , ，
解得, ，
故
解得,因为,所以 .
6.(2025·河南省豫东名校期末)若函数的最小正周期为 ，
且函数在区间上单调递增，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意知 ，解得 ，
所以 ，
令 ， ，
解得 ， ，
当时，可得在 上单调递增，
又函数在区间上单调递增，所以 ，
即的取值范围是 ．
题型4 周期性与对称性
例18（1）(2025·上海市复旦中学期中)函数 的最小正周期为_ _.
【解析】的最小正周期为 .
（2）(2026·福建省福州市质检)若函数 的图象与直线
的相邻两个交点的距离为，则 ( )
C
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】因为函数的图象与直线 的两个相邻交点之
间的距离为 ，
所以的最小正周期，又，且,所以 ．（正切函数图象
与直线 的相邻两交点的距离恰好是该正切函数的一个最小正周期）
例19 若函数的图象的一个对称中心是点，则 的最小值
为( )
B
A.2 B.3 C.6 D.9
【解析】因为正切函数图象的对称中心为点 ，
所以令,则 ，
所以函数的图象的对称中心为点 ,
又的图象的一个对称中心是点，所以令 ，解
得 ，
因为，所以当时， 取得最小值3.
易错警示 正切函数图象的对称中心，除使的对应点，即点 ，
外，还有渐近线与轴的交点,即点，，故 图象的对称
中心为点，，而非点， .
求正切型函数图象的对称中心的基本方法
求正切型函数 的图象的对称中心的基本方法仍
然是基本函数法，即熟记基本函数的图象的对称中心，再用
整体代换其中的 即可，即：
令,解得 .
故的图象的对称中心的坐标为 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·江苏省南京市期末)函数 的定义域为( )
D
A.，} B.， }
C.，} D.， }
【解析】令,，解得, ，
所以函数的定义域为, }.
2.(2025·山东省日照市期末)函数 的最小正周期为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】函数的最小正周期为 .
3.(2025·全国一卷)已知点是函数 的图象的一个对称中心，
则 的最小值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】令，，得，，故 的图象的对
称中心为， ，
由知，，所以其最小值为 .
4.(2025·北京市门头沟区期中) ，， 的大小关系为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】 ，
因为当 时，函数单调递增，且 ，所以
，
即 .
5.[教材改编P62例4](2025·江苏省无锡市期末)已知函数 ，则( )
D
A.的最小正周期为
B.的定义域为 , }
C. 是定义域上的增函数
D.
【解析】函数的最小正周期为 ，故A错误；
由 ，，解得 ,，所以 的定义域为
, ，故B错误；
由 ，，解得 ， ，所以
函数在， 上单调递增，故C错误；
由C选项知，当时，在上单调递增，所以 ，故D正确.
6.[多选题]将函数向左平移个单位长度，得到 的图象，则下
列关于 的判断正确的是( )
AC
A.在区间，上单调递增 B.最小正周期是
C.图象关于点成中心对称 D.图象关于直线 对称
【解析】,当， 时，
，，则在 上单调递增,A正确.
函数的最小正周期是 ，故B错误.
令，,则，,当时，,则 的图象关于点
成中心对称，故C正确.
正切型函数的图象没有对称轴，故D错误.
7.(2025·广东省清远市期中)若 是斜三角形的一个内角，则函数
的定义域为_ _____________.
,
【解析】由，可知，故 ，解得
或 ，
故函数的定义域为 .
8.若，，求函数的最值及相应的 值.
【答案】令，，，且函数在[-, 上单调递增，
，且函数 ，
故当，即时，取得最小值， ；
当，即时，取得最大值， .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.(2025·辽宁省大连市期末)若函数 的图象与直线
的两个相邻交点之间的距离为，将的图象向右平移 个单位长度后得到
函数的图象，若的图象关于坐标原点对称，则 的最小值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由函数的图象与直线 的两个相邻交
点之间的距离为 ，
得函数的最小正周期为，所以 .
将的图象向右平移 个单位长度后得到
的图象，由 的图象关于坐标原点
对称可得 为奇函数，
则，,即， ，
又，所以当时， 有最小值 .
10.函数的图象与直线 相邻两个交点之间的距离是( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意，令，解得，即，，
函数的图象与直线相邻两个交点之间的距离是
（【易错点】函数的图象与直线 相邻两个交点之间的距离并不等于
函数 的最小正周期）．
. .
11.(2025·广东省部分学校联考)已知函数 在区间
上单调，则 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】,时， ，
结合正切函数的单调性可知 ,
解得 .
由,可得 ，
由可知，即 ，
即，而，故 只能为0或1.
当时，结合可知；当时， .
故 .
12.[多选题](2025·四川省眉山市期末)关于函数 的性质，下列叙述正确
的是( )
ABD
A.的最小正周期为
B. 是偶函数
C.的图象关于点 成中心对称
D.在每一个开区间 上单调递增
【解析】由函数的图象知，的最小正周期为 ，A正确；又
，所以 是其定义域上的偶函数，B正确；
的图象关于直线对称，C错误；根据的图象知， 在每一
个开区间 上单调递增，D正确．
图1-7-1
13.(2025·天津市河东区期末)已知函数
， 的部分图象如图1-7
-1，则 ____.
【解析】由题图可知，此函数的半周期等于 ，故最
小正周期为，所以 .
又图象过点，所以 ，
即，所以 ，
又,所以.由图象过点可知 .
综上， .
故 .
14.(2025·上海师范大学附属中学期中)已知函数，其中 ，
．
（1）若，求函数 的最小正周期以及函数图象的对称中心.
【答案】由于， ，
的最小正周期为 .
令，，得， ，
故的图象的对称中心为， ．
（2）若函数在，上单调递增，求 的取值范围.
【答案】,, ,
若函数在，上单调递增，则，求得，即 的取值范围
为 ．
（3）若函数在,且满足：方程在 上至少
存在2 024个根.且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于，求
的取值范围．
【答案】方程在 上至少存在2 024个根，
即当时， 至少有2 024个根，
即当时，， 至少有2 024个根，
即当时，，至少有2 024个根,故 至少包含2 023个最小正
周期（临界情况：，均可表示为， 的形式），且在所有满足上述条件的
中，的最小值不小于，即，
， ．
. .
. .