8 三角函数的简单应用 课件(共46张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共46张PPT)
第一章 三角函数
§8 三角函数的简单应用
必备知识解读
知识点 三角函数的应用
1 三角函数模型
如果某种现象的变化具有周期性，根据三角函数的性质，结合这一现象的特征
和条件，利用三角函数知识，构建数学模型，从而将这一具体现象转化为一个特定
的数学模型——三角函数模型.【敲黑板】常用函数模型 来刻
画实际问题
. .
2 三角函数常见的应用类型
（1）三角函数在物理中的简谐运动问题中的应用
物理中的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角
函数来模拟这种运动状态.
（2）三角函数在圆周运动问题中的应用
某些物体在圆周运动中具有周期性，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.
（3）三角函数在实际生活中的周期性变化问题中的应用
大海的潮汐现象、日常生活中的气温的变化、季节的更替等具有周期性，因此
可以用三角函数来模拟这种变化.
3 应用三角函数模型解决实际问题的步骤
特别提醒
解答三角函数的实际问题时的注意点
①自变量的取值范围要符合实际意义；
②数形结合思想的应用；
③认真审题，进行联想，选择适当的三角函数模型；
④涉及较复杂的数据时，计算要精确.
学思用·典例详解
例1 ［教材改编P68 T2］(2025·山东省淄博市期末)如果单摆从某点开始来回摆动，
离开平衡位置的距离（单位：）和时间（单位： ）的函数解析式为
,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
D
A. B. C. D.
【解析】单摆来回摆动一次即完成了一个周期运动，而周期 ，所以单摆来
回摆动一次所需的时间为 .
图1-8-1
例2 (2025·湖南省岳阳市期中)图1-8-1是一半径为 的水轮，水轮截
面圆的圆心距离水面.已知水轮上一点自点开始旋转， 旋
转一圈，点的纵坐标（单位：）与时间（单位： ）满足函数关
系式 ,则有( )
A
A., B., C., D.,
【解析】因为，所以,显然 ,
故 .
关键能力构建
题型1 利用三角函数解决实际问题
1 已知三角函数解析式
例3 ［教材改编P67 A组T1］(2025·湖北省武汉市第十四中学月考)已知电流
（单位：A）与时间（单位：）的关系为 .#1
图1-8-2
（1）函数在一个周期内的图象如图1-8-2所示，求
的解析式；
【解析】由题图可知， .
设，，则，故 .
由，可知 ，
所以 .
（2）为了使在任意一个的时间段内的电流能取得最大值与最小值，正整数
的最小值应是多少
【解析】问题等价于，即， ，故正整数 的最小值为629.
（1）
（2）
【学会了吗丨变式题】
图1-8-3
1.物理综合 简谐运动 (2025·山东省高密市期中)将
塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，
就做成了一个简易单摆.在漏斗下放纸板，板的中间
画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙
C
A. B. C. D.
并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲
线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间
（横坐标）变化的情况．如图1-8-3所示，已知一根长为 的线一端固定，另一端悬
一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位： ）的函
数关系是
，其中， ，则
估计线的长度应当是（精确到 ）( )
【解析】由，得 .
由函数的图象可知函数的周期为 ，
所以，即 .
2 建立三角函数模型
图1-8-4
例4 如图1-8-4，天津之眼，全称天津永乐
桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩
天轮，也是天津的地标之一．永乐桥分上
下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，
供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110
米，外装挂48个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要30分
钟．现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点，当点 到达最高点时，距离下层
桥面的高度为113米，点 在最低点处开始计时．
（1）试确定在时刻（单位：分）时点距离下层桥面的高度 （单位：米）；
【解析】如图1-8-5，建立平面直角坐标系．
图1-8-5
由题意可知在分钟内所转过的角为 ，
因为点在最低点处开始计时，所以以为始边，为终边的角为 ，所以点
的纵坐标为 ，则
，在分钟时点 距离下层
桥面的高度为 米．
（2）若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5
分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？（结果保留两位小数）
【解析】根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在 分钟时距离下层
桥面的高度．
由（1）可知，当 时，
（米）.
所以上层桥面距离下层桥面的高度约为10.37米．
建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤
题型2 用拟合法建立三角函数模型
数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研
究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚, ， 的具体含
义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言（解析式）与图形语言
（函数图象）之间的相互转化.
处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤:
（1）根据原始数据绘出散点图；
（2）通过观察散点图，画出与其“最贴近”的曲线，即拟合曲线；
（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数表达式；
（4）利用函数表达式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提
供依据
例5 下表是某地一年中10天的白昼时间统计表：（时间精确到0.1小时）
日期 1月1 日 2月28 日 3月21 日 4月27 日 5月6 日 6月21 日 8月13 日 9月20 日 10月25 日 12月21
日
日期位置 序号 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
白昼时间 时 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365天中的位置序号为横坐标，白昼时间 为纵坐标，在如图1-8-6给
定的坐标系中画出这些数据的散点图;
图1-8-6
【解析】散点图如图1-8-7所示．
图1-8-7
（2）试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号 之间的函数关系;
（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算）
【解析】由图1-8-7知白昼时间与日期位置序号 之间的函数关系近似为
.
由题意知函数的最大值为，最小值为 ，
即， .
由，得.
由，得.
又， .
当时， ,
又 ,. .
. .
. .
（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
【解析】由,得 ,
,
即 ,
又,,, .
该地大约有121天白昼时间大于15.9小时.
用拟合法建立三角函数模型的流程
【学会了吗丨变式题】
2.[教材改编P68 T3]某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间
（单位：）与位移（单位： ）之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确
定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1
【答案】振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移
随时间的变化规律可以用函数 来刻画．
图D 1-8-1
根据已知数据作出散点图，如图D 1-8-1所示．
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为
，因此 .
振子振动的周期为，即，解得 .
再由初始状态振子的位移为 ，可得
，解得， 可取 .所
以振子的位移关于时间的函数解析式为， ．
学业质量测评
图1-8-1
1.(2025·四川省成都市期中)某人的血压满足函数式
，其中为血压单位：， 为时
间单位： ，则此人每分钟心跳的次数为( )
C
A.60 B.70 C.80 D.90
【解析】因为最小正周期，所以频率 .
2.如图1-8-1，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为 ，角
速度为1，那么点到轴的距离关于时间 的函数图象大致为( )
C
A. B. C. D.
【解析】点的初始位置到轴的距离为，经过时间，点到 轴的距离为0，
随后呈周期性变化，选项C符合条件.
图1-8-2
3.(2025·北京市顺义区第一中学月考)为了研究钟表与三角函数的关
系，建立如图1-8-2所示的坐标系，设秒针指向位置 ，若初
始位置为，，秒针从注：此时 开始沿顺时针方向
走动，则点的纵坐标与时间 的函数关系为( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 秒针顺时针旋转， 角速度 ，
又每60秒转一周， （弧度/秒）.
设函数解析式为 .
初始位置为，，时,，，, 可取
．
函数解析式为 .
4.[多选题]商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某商场一天的人流量关于时
间的函数为 ，则下列时间段内人流量增加的是( )
AB
A. B. C. D.
【解析】由，，得 ， ，即
函数的单调递增区间为,.当 时，函数的单调递增区
间为，而，，故选 .
5.[多选题](2025·河南省郑州市期末)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一
项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．图1-8-3是一个半径为 的水
车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用
时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为 ，其纵坐标满足
．则下列叙述正确的是( )
ABD
图1-8-3
A.，,
B.当时，点到 轴的距离的最大值为6
C.当时，函数 单调递减
D.当时，
【解析】由题意得，，, .由一个水斗从点
出发，可知,，, ,
,又, ，A正确.
由上可知，，当时， ,,故点到 轴的
距离的最大值为6，B正确.
当时，，此时函数 不单调，C不正确.
当时，，点的纵坐标为6，此时 ，
，D正确.
6.据市场调查，某种商品在一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈
的模型波动为月份 ，已知3月份达
到最高价9千元，7月份价格最低，为5千元，根据以上条件确定 的解析式为
____________________________________________.
图 1-8-4
【解析】由题意得函数 的最小正周
期,,，则 ，
.
令,得， ，
,，即 , ，
又, .
故 .
7.李华以的速度骑着一辆车轮直径为24寸等于3尺，1尺等于10寸 的自
行车行驶在一条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印如图1-8-4中点
所示，则点滚动一周所用的时间为___（用 表示）；若刚开始骑行时，油漆印
离地面，在前行的过程中油漆印离地面的高度单位：与时间单位： 的
函数关系式可以用 来刻画，
则 _ ________________.
【解析】速度，车轮直径为24寸，等于2.4尺，等于 ，车轮
周长，则最小正周期 .
由，得，又半径 ，平衡高度为车轮中心，
，， .
刚开始骑行时，油漆印离地面 ,
时，，即，得 .
又，，即 .
8.(2025·浙江省台州市期末)已知某海滨浴场的海浪高度 （单位：米）是时间
，单位：时的函数，记作 ，下表是某日各时的浪高数据：
时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
米 1.5 1 0.5 1 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，可近似地看成函数 .
（1）根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅 及函数表达式；
【答案】由表中数据知函数的最小正周期 ,
.
当时，,故 ①，
当时，,故 ②.
由①②得, ,
函数表达式为 .
（2）根据规定，当海浪高度大于1米时浴场才可对冲浪爱好者开放，请依据（1）的
结论，判断一天内在8：00至20：00之间，有多长时间可供冲浪爱好者冲浪.
【答案】由题可知，当 时，浴场才可对冲浪爱好者开放，
由,得， ,即
③.
，故可令③中的值分别为0，1，2，得 或
或 .
故在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时可供冲浪爱好者冲浪.
9.(2025·山东省枣庄市期末)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫
潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码
头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0：00 4.25 9：00 1.75 18：00 4.25
3：00 6.75 12：00 4.25 21：00 1.75
6：00 4.25 15：00 6.75 24：00 4.25
（1）设港口在时刻的水深为 米，现给出两个函数模型：
和 ．请你
从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式
（直接选择模型，无须说明理由）,并求出 时，港口的水深.
【答案】选择函数模型 更适合．
因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合题表中数据可知
， ，
因为，所以 ，
所以 ，
因为时，，代入上式得， ，
又 ，所以 ，
所以 ．
当时， ，
所以在 时，港口的水深为3米．
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5
米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？
一天内货船可以在港口待多长时间？
【答案】因为货船需要的安全水深是 （米），
所以 时，船可以进港，
令，则 ，
所以 , ，
即, ,
因为，解得或 ，
所以货船可以在1时进入港口，在5时出港,或者在13时进港，17时出港．
因为 ，所以一天内货船可以在港口待的时间为8小时．