第一章 三角函数 章末总结 课件(共47张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共47张PPT)
第一章 三角函数
章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题 三角函数中 的范围问题
1 与单调性、零点、对称轴都相关
例1 (2025·北京市清华附中统练)已知函数
，是函数的一个零点，且 是
函数图象的一条对称轴，若，是的一个单调区间，则 的最大值为( )
D
A.18 B.17 C.15 D.13
【解析】因为是函数的一个零点，且直线 是函数图象的一条对称轴，
所以
得，令, ，
同时有， ,
即，,化简得， .
又，是的一个单调区间，所以，即,所以,化简得 .
设区间，右临首轴为，若函数图象在区间，右侧的第一条对称轴
，上的对称轴多于一条，为了使 尽可能大，故此处不考虑， 上无对称轴
的情况
则，化简得，与上述矛盾，故函数图象在， 上有且仅有一
条对称轴.
. .
. .
. .
. .
. .
由此可得， 为半个周期，作图可帮助理解：
此时，只需满足即可使得，
是的一个单调区间，将
由 ，可得
,, 代入上述不等式，
解得令， .
此题求,的最大值，又求得 ，
. .
故先令,求得 ，此时取不到小于18的奇数，
再令,求得 ，此时取不到小于18的奇数，
再令，求得 ，此时取到奇数13.
综上， .
题干：已知函数或,直线 是其
图象的一条对称轴，是函数的一个零点，若是 的一个单调区间，
则 的取值范围为____.
解题模板：右（左）临首轴法
解决不相关量 .
①有不相关量先消不相关量.
②借由， 条件列算式，消不相关量.
③或有 其他相关条件也可操作.
确定目标形式及大致范围.
①由,确定 的形式.
②由确定 的大致范围.
③或有 其他相关条件也可操作.
取目标区间右（左）临首轴，记为直线 .
设右临首轴还是左临首轴应由题干已知轴的位置决定，若已知轴在区间 的左边，
则在区间左边设左临首轴为直线，若已知轴在区间 的右边，则在
区间右边设右临首轴为直线 .
选定已知对称轴直线 进行下述操作.
假设函数图象在直线与直线之间有其他对称轴，通过 的范
围验证假设.
①对于求解 最大值的问题，验证之后，应选择函数图象在直线 与直线
之间可能存在的对称轴的情况进行列式.
②根据轴的条数列不等式求解 的范围（以右临首轴为例）.
若之间无轴，则列如下不等式组求解 的范围：
若之间有1轴，则列如下不等式组求解 的范围：
……
若之间有轴，则列如下不等式组求解 的范围：
③一般而言，题目都是之间无轴的情况.
④若,则，,将其代入上述不等式求得 的范围.
2 仅与单调性相关
例2 (2025·河南省许昌市质检)已知函数在区间 上
单调递增，则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为在区间上单调递增，所以,解得 .
【易遗漏】仅满足了在区间[-, 上“单调”的条件，并未满足“递增”
这一条件，故还需如下解析
易得函数的单调递增区间为, .
由题意知，，, ,
即，化简得 ，
又,所以令，解得 .
题干：已知函数或在区间 上单调递
增（减），则 的取值范围为____.
解题模板一 明确单调性 子集思想
表示函数的单调区间 .
令,求解 的范围.
解题模板二 只是单调 相邻两对称轴不在区间内
写出函数的图象的对称轴 的表达式.
令求解 的范围.
直线,表示两相邻对称轴，若是求 的范围，则图象的对称轴表示为直
线 .
解题模板三 不单调 轴在之间
写出函数的图象的对称轴 的表达式.
令在内，求解 的范围.
若是求 的范围，则图象的对称轴表示为直线 .#1.4.3
例3 已知函数在区间上不单调，则 的取值范围为
( )
B
A. B.
C. D.
【解析】的图象的对称轴为直线, ，
因为在区间上不单调，所以对称轴直线，在直线 与直
线之间，即 ，（【总结】结合正、余弦函数图象，若对称轴在某
区间内，则函数在该区间上必不单调）,化简得 , .
因为,所以令，得,又当时， ,
，,当时，， 恒成立，
所以时，综上 ,故选B.
. .
. .
3 仅与零点相关
例4 已知函数在区间上恰有三个零点，则 的
取值范围是_ _____.
【解析】令,因为,所以 ，于是
在区间上的零点个数等价于 在
区间 上的零点个数.
易知,因为在区间 上恰有三个零
点，所以,解得，故 .
题干：已知函数或在区间
上恰有个零点，则 的取值范围为___.
解题模板一 以特殊点、特殊结构为突破口 明确零点分布
整体换元 .
①换元得函数，将的零点个数问题转换成 的零点个数问题.
②若零点分布易于发现，也不必整体换元，换元不是必经之路，只是为了更好地找
到特殊点，以便明确零点分布，但零点问题多数需要换元.
寻找特殊点（结构），并以此为突破，明确零点分布.
特殊点有：①端点；②原点；③起点和终点的位置.
特殊结构为对称.
结合零点个数找到第个零点 .
列式 求目标范围.
若题干要求在区间 上没有零点.
解题模板二 表示零点和相邻零点均不在区间内
表示函数的零点 .
令相邻两零点在区间之外可求解 的范围.
例5 已知函数，若在区间内没有零点，则
的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】令得函数的零点为, ，
因为在区间 内没有零点，
所以 ,
化简得， ，
因为,所以令，得 ，
令,得 ,
又当时， 无解，（由,,得 ）
综上， .
. .
4 与最值相关
例6 已知函数在区间 上恰有一个最大值点和一个
最小值点，则实数 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为在区间 上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以
，（两个最值点间隔最少为半个周期，又区间为开区间，故区间长度
大于 ）
所以 ，
令,因为,所以 ,
于是在区间上的最值点个数等价于 在区间
上的最值点个数.
由知，, ,
. .
图1-1
如图1-1，因为在 上恰
有一个最大值点和一个最小值点，
所以 无解，
或解得 .
题干:已知函数 或在区间 上恰有一
个最大值点和一个最小值点，则实数 的取值范围为____.
解题模板 以特殊点、特殊结构为突破口 确定最值点分布
整体换元 .
①换元得函数 或,将的最值点个数问题转换成
的最值点个数问题.
②若最值点分布易于发现，也不必整体换元，换元不是必经之路，只是为了更好地
找到特殊点（特殊结构），以便明确最值点分布，但最值点分布问题多数需要整体
换元.
寻找特殊结构、特殊点，并以此为突破，确定最值分布.
特殊点有:①端点;②原点;③起点和终点的位置.
特殊结构为对称.
根据最值点个数及 中确定的分布列式求范围.#1.5
例7 (2025·山东省聊城市联考)已知函数，其中， ，
为的零点，且恒成立，在区间 上有最小值无
最大值，则 的最大值是( )
C
A.11 B.13 C.15 D.17
【解析】因为是函数的一个零点，且直线 是其图象的一条对称轴，
所以,,得令 ，
,
同时有，,即，,化简得 ，
.
又在区间， 上有最小值无最大值，所以
,解得 .
令,,因为 ，所以
, ,
于是在区间，上的最值点个数等价于 在区间
， 上的最值点个数.设最小值点为
,,其相邻最大值点为 ， ,依题意有
,,化简得令，结合, ,
,当或时， 无解.
令,得,令,得 ,
于是 ,故选C.
一题一课·学一题会一类
三角函数解析式的求解
前面章节中已经学习过利用函数（部分）图象确定函数解析式的两种方法，即最值法
和五点对应法，除以上方法外，下面再介绍几种求函数解析式的方法供大家参考学习.
例8 图1-2是函数 的部分图象，则这个函数
的解析式为_ ________________.
图1-2
【解析】 （最值法） 由图象知 , ,（只需知道一个即可确
定 值）
, , .
将代入，得 ,
， ,
，，又， .
.
. .
（五点对应法） 由图象知,由图象过点和 ,（以上两点可
看作是五点法中的“第三点”和“第五点”）根据五点法，得
解得 .
（零点法） 同方法1知, .
又 是该函数图象上的一点，
,
,,即, .
又，. .
. .
（平移法） 同方法1知,，由图象知函数图象经过点 ,则
该函数的图象可由的图象向左平移 个单位长度得到，
,即 .
（单调性法） 同方法1知, .
由图象知， 处于曲线的下降部分，
, .
由,得 ， ,
,.又, .
.
（平衡点法） 同方法1知, .
由图象知，是距原点最近的且处于曲线上升部分的平衡点的横坐标， ,
即 ,
.
名师点评 （1）最值法和零点法都可归结为代入法，代入法通常把图象上的已知点
的坐标代入求解, , 的值，此方法适用于 的范围已知的情况.
（2）方法6中求 的值的方法称为平衡点法，原理如下：
由 知，它的图象上距原点最近且处于曲线上升部
分的平衡点为，在图象上找到该点,则利用即可求得 .使用
此方法必须满足以下两点：①有距原点最近的平衡点；②该平衡点是处于曲线上升
部分的平衡点.若不具备上述两点，运用公式易出错.
一章一练·学思维知创新
例9 (2025·吉林省长春市期末)我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行
曲线”，“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”
相交，被截得的线段长度相等.已知函数 图象中的两条相
邻“平行曲线”与直线 相交于，两点，且，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知，函数的最小正周期，所以,解得 ，所
以 ,
所以 .
例10 新定义 正格点 (2025·河北省保定市期末)平面直角坐标系中，将函数
的图象上满足，的点称为的“正格点”．若 ，
，的图象与函数， 的图象存在“正格点”交点，则
___．
【解析】因为，，的图象与函数，
的图象存在“正格点”交点，
所以 有正整数解.
因为 值域内的正整数只有1和2，
当时，由，解得 ，
则为方程 的正整数解，
所以，即，又，所以，则 ，
；
当时，由，解得 不是正整数，故舍去.
综上， .
尖子生 强基自招
例11 (2025·全国高中数学联赛江西赛区预赛)函数,
是函数的一个零点，是函数图象的一条对称轴，，是 的一个单调区
间，则 的最大值为____.
33
【解析】题设条件等价于存在整数,, 使得
由③得,解得 ，
由①②得,所以当时， 有最大值，为33.
例12 (2024·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)设函数，若关于
的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数 的值为_______.
0或
【解析】 ，
，
所以 ，
所以的图象关于直线 对称.
由题知， ，
因为关于的方程在上有奇数个不同的实数解，所以, 的
图象在 上有奇数个不同的交点，
因为的图象关于直线对称，所以时，, 的图象
在 上有奇数个不同的交点，
因为区间是半开半闭区间，所以时，, 的图象在
上有奇数个不同的交点，
综上的值为0或 .