§1 从位移、速度、力到向量 课件(共60张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共60张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
必备知识解读
知识点1 向量及其表示
1 向量的背景——位移、速度、力
在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量．
位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、
质量等只有大小的量不同.
2 向量的概念及表示方法
向量 既有大小又有方向（向量的二要素.）的量统称为向量（向量不能比较大
小.）.
那些只有大小没有方向的量称为数量（数量可以比较大小）（如年龄、长
度、质量等）.
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有向 线段
续表
图2-1-1
向量 的表 示 几何表示 字母表示
续表
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辨析比较
有向线段和向量的区别与联系#1.1.1
向量 有向线段
区 别 （1）向量有大小和方向两个要素； （2）向量是可以自由平移的. （1）有向线段有起点、方向、长度三个
要素；（2）有向线段是固定的线段.
联 系 有向线段是向量的几何表示（注意这并不是说向量就是有向线段），一条有向 线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段. . .
. .
3 向量的模
（或）表示向量（或 ）的大小，即长度（又称作向量的模
）.（向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小）
. .
4 两个特殊向量
名称 零向量 单位向量
概念 模等于1个单位长度的向
量称为单位向量.
注意 单位向量有无数个，它们
大小相等，但方向不一定
相同.
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P79例1］一辆汽车从地出发向西行驶了10千米到达 地，然后改
变方向，向北偏西 方向行驶了20千米到达 地，最后改变方向，向东行驶了10千
米到达地．以为比例尺，作出向量，，， .
【解析】各向量如图2-1-3所示．
图2-1-3
例1-2 [多选题]下列说法中正确的是( )
CD
A.零向量是没有方向的向量 B.同向的两个向量可以比较大小
C.单位向量的模都相等 D.向量的模与有向线段的起点无关
【解析】零向量的方向是任意的,并不是没有方向，故A错误；
不管是同向的向量还是不同向的向量,都不能比较大小，故B错误；
虽然任意两个单位向量的方向不一定相同，但模都为1，故C正确；
向量的模可以用有向线段的长度表示，与有向线段的起点无关，故D正确.
图2-1-4
例1-3 如图2-1-4，菱形的一个内角是 ，边长为2，是对角线
与 的交点.
（1）模为2的向量最多有几个（不再增加线段）？
【解析】模为2的向量是四条边和对角线 所对应的向量，共10个.
（向量是有方向的，所以一条线段可表示两个方向相反的向量）
（2）写出模为1的向量（不再增加线段）.
【解析】模为1的向量有,,, .
（3）求 .
【解析】 .
知识点2 向量的基本关系
1 相等向量
在数学中，相等向量是指它们的长度相等且方向相同.向量与 相等，记作
.（相等向量满足两个条件：模相等，方向同）
. .
2 共线（平行）向量
若两个非零向量， 的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向
量，也称这两个向量共线或平行，记作 .
规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量，都有 .
知识剖析 （1）两个向量共线（平行），是指表示这两个向量的有向线段所在的直
线重合（由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平行移动的，也就是说任一组
共线向量都可以平移到一条直线上）或平行.
（2）共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
（3）向量相等具有传递性，即,,则 .而向量的平行不具有传递
性，若,,未必有.因为零向量平行于任意向量，那么当时，, 可
以是任意向量，所以与不一定平行.但若，则必有, .
. .
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. .
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3 相反向量
若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量（相反向量是共线
向量）.
若其中一个向量为，则它的相反向量记作 .并且规定，零向量的相反向量仍
是零向量.
知识剖析 ；（2）如果，互为相反向量，那么, ；
（3）向量与互为相反向量，即 .
. .
4 向量的夹角
图2-1-2
已知两个非零向量和 （向量的夹角是
对非零向量而言的.），如图2-1-2，在平面内
选一点，作，（同一起点.） ，
则称为向量与 的
夹角.
当 时，与 同向；
当 时，与 反向；
当 时，与垂直，记作 .
规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量，都有 .
. .
. .
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学思用·典例详解
例2-4 [多选题]两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶了相同的路程，设两列火
车的位移分别为和 ，则下列说法中正确的是( )
ABD
A.与为共线向量 B.与 为模相等的向量
C.与为相等向量 D.与 为相反向量
【解析】两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶，即与 的方向相反，为共线
向量，故A正确，C错误；两列火车行驶了相同的路程，即与 的模相等，故B正确；
又与的方向相反，所以与 为相反向量，故D正确.
例2-5 ［教材改编P81 T3］如图2-1-5，，是线段 的三等分点，在以图中各点
为起点和终点的向量中，与 相等的向量共有___个.
2
图2-1-5
【解析】设线段的长度为3，那么，， 都是长度为1的向量，且它们在同
一直线上，所以，所以有2个与 相等的向量.
点评 （1）用有向线段表示两个相等向量时，如果它们有相同的起点，那么它们
的终点也相同.
（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不等的向量时，如果它们有相同的起点，
那么它们的终点一定不相同.
例2-6 ［教材改编P81例3］[多选题]锐角三角形 中，关于向量夹角的说法正确的
是( )
BD
A.与的夹角是锐角 B.与 的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角 D.与 的夹角是钝角
【解析】由两向量夹角的定义知，与的夹角的大小是 ，为钝角,故A
错误；与的夹角是，为锐角，故B正确；与的夹角与 的大小相等，
为锐角，故C错误；与的夹角的大小是 ，为钝角,故D正确.
释疑惑 重难拓展
知识点3 利用相等向量或平行向量解决平面几何问题
（1）若，则，，三点共线,且 .
（2）若，则或，，， 四点共线.
是 的必要不充分条件.
（3）若，则，， 三点共线（用此方法证明三点共线时，注意表示向量
的有向线段需有公共点）.
. .
学思用·典例详解
例3-7 若四边形中，且，则四边形 是( )
A
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.梯形
【解析】若，则,故四边形是平行四边形，
又 ，
所以四边形 是菱形.
关键能力构建
题型1 向量的表示
1 作出向量
例8 ［教材改编P82 T5］在如图2-1-6所示的坐标纸上（每个小方格的边长均为1）,
用直尺画出下列向量:#1
图2-1-6
（1）,使,点在点北偏东 方向;
【解析】由于点在点北偏东 方向,所以在坐标纸上点距点 的横向小方格数
与纵向小方格数相等.又,小方格边长为1,所以点距点 的横向小方格数与
纵向小方格数都为4,于是点位置可以确定,画出向量 ,如图2-1-7所示.
图2-1-7
（2）,使,点在点 正东方向.
【解析】由于点在点正东方向,且,所以在坐标纸上点距点 的横向小方
格数为4,纵向小方格数为0,于是点位置可以确定,画出向量 ，如图2-1-7所示.
图2-1-7
作向量的思路
用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定有向线
段的终点.必要时,需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例
关系作出向量.
2 位移与向量的关系
例9 飞机从地按北偏西 的方向飞行到达地，再从地按南偏东
的方向飞行到达 地，求该飞机飞行的路程和位移.
图2-1-8
【解析】如图2-1-8所示，表示飞机从地按北偏西 方向飞行
到地的位移，则 .
表示飞机从地按南偏东 方向飞行到 地的位移，则
.
所以该飞机飞行的路程为 .
表示飞机从地到地的位移，在中， ，且
,则为等边三角形，所以 ,
，则 .
因为 ,所以飞机的位移方向为北偏东 ，大小为 .
易错警示 路程是指物体运动轨迹的长度，只有大小，没有方向，是一个数量；而
位移只与物体移动的起点和终点有关，既有大小又有方向，是一个向量.因此不能将
位移与路程等同起来.
题型2 共线向量的应用
1 求向量
图2-1-9
例10 ［教材改编P82 A组T4］如图2-1-9所示， 的三边长均
不相等，,,分别是，， 的中点.
（1）写出与 共线的向量;
【解析】,分别是，的中点， ,
与共线的向量为,,,,,, （找一个向量的共线
向量时，切勿忽视与其方向相反的向量）.
. .
. .
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（2）写出与 长度相等的向量；
【解析】,,分别是,, 的中点，
, ,
.
,, 均不相等，
与长度相等的向量为,,,, （切勿忽视与其长度相等但方向相反的
向量）.
（3）写出与 相等的向量.
【解析】与相等的向量为， （相等向量必须满足两个条件：方向相同，长
度相等）.
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在图形中寻找共线向量、相等向量、相反向量的方法
1.在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直
线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向
量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量．
2.相等向量、相反向量一定是共线向量，因此在找相等向量、相反向量时，均可以
从共线向量中筛选，长度相等且方向相同的共线向量为相等向量，长度相等且方向
相反的共线向量为相反向量．
注意:判断两向量是否共线的关键是看向量的起点和终点是否都在同一条直线上或观
察其所在的直线是否平行；判断两向量是否为相等（相反）向量不仅要看向量所在
的直线是否平行或重合，而且要看其模是否相等、方向是否相同（相反）．
2 在平面几何中的应用
例11 如图2-1-10，已知在四边形中，,分别是，的中点，且 .
求证： #1
图2-1-10
【解析】由可知且 ，
从而四边形 为平行四边形，
则且 .
又,分别是， 的中点，
于是, ，
所以且 ，
所以四边形 是平行四边形.
所以.
名师点评 若，且,,,四点不共线，则四边形 为平行四边形;若四
边形为平行四边形,则.因此“”是“四边形 为平行四边形”
的必要不充分条件.
例12 已知在四边形中，，且， ，判断四边形
的形状.
图2-1-11
思路点拨 如图2-1-11,和是相等向量，说明 ,
则可以判定四边形 是平行四边形，再根据给出的正切值可以求
出 ，进而判断出四边形 是菱形．
【解析】 在四边形中， ，
, 四边形 是平行四边形．
,, .
又， 是等边三角形，
，故四边形 是菱形．
利用向量可以证明线段相等、判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、
证明多点共线等．证明直线与直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点．
题型3 向量模的问题
例13 如图2-1-12，已知，，分别是等边各边的中点，且 的边长为2，
连接，, .
图2-1-12
（1）在图中已标出的向量中，写出模为2的向量；
【解析】由图中向量及，可知模为2的向量有，， .
（2）试求，， .
【解析】，分别为， 的中点，
， .
由勾股定理，得 .
同理，得 .
， .
思路点拨 求出所求向量对应的有向线段的长度即可.
求平面图形中所给向量的模的方法
利用三角形（等边三角形等）、四边形（梯形、平行四边形、菱形、矩形等）等平
面图形的性质，通过证明三角形全等或相似，结合三角形中位线的性质、勾股定理
等相关知识求出所给向量对应的有向线段的长度.
题型4 向量的夹角的应用
例14 图2-1-13是由两个边长为1的正方形拼接而成的长方形，则在以,,,,, 为
起点和终点的向量中，与向量的夹角为 的单位向量有___个.
7
图2-1-13
【解析】与向量有相同起点且夹角为 的单位向量有,.与向量 共线且
同向的单位向量有，，，与向量共线且同向的单位向量有， ,这几
个向量与的夹角也为 .所以与向量的夹角为 的单位向量有7个.
名师点评 若，，与的夹角为 ，则与的夹角为 或 .
在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，当表示两个向量的有向线段的起
点或终点重合时，所形成的角才是向量的夹角；当表示两个向量的有向线段的起点
与终点重合时，所形成的角是向量的夹角的补角.
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·湖北省部分高中期中)下列命题中正确的是( )
D
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.模相等的两个平行向量是相等向量
C.若和都是单位向量，则
D.零向量与其他向量都共线
【解析】只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就是相等向量，故A不正
确；模相等的两个平行向量的方向不一定相同，所以它们不一定是相等向量，故B不
正确；两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故C不正确；零向量与任一向量
共线，故D正确.
2.(2025·浙江省平湖市测试)下列命题中，正确的是( )
D
A.单位向量都共线 B.长度相等的向量都相等
C.共线的单位向量必相等 D.只有零向量的模等于0
【解析】两单位向量的方向不相同或不相反便不共线， 错误；
长度相等而方向不同的向量不相等， 错误；
方向相反的单位向量不相等， 错误；
只有零向量的模为0， 正确.
3.(2025·广东省深圳市段考)设是正六边形的中心，则下列选项中与 相等
的向量为( )
D
A. B. C. D.
【解析】四个选项中只有向量与 的长度相等且方向相同.
4.[多选题](2025·甘肃省张掖市期中)下列能使 成立的充分条件是( )
ACD
A. B. C.与方向相反 D.或
【解析】对于A，由，可得 ，所以A正确；
对于B，由知，, 两向量的模相等，但方向不能确定，所以B错误；
对于C，由与方向相反，知向量与共线，所以 ，所以C正确；
对于D，由或，得到或，即向量与至少有一个为 ，根
据与任意向量共线，可得 ，所以D正确.
故选 .
图2-1-1
5.[多选题]如图 2-1-1，在正方形 中，下列命题中正确的是
( )
CD
A. B.
C. D.与的夹角为
【解析】正方形中，向量, 的方向不同，不是相等向量，A错误；
向量， 长度相等，方向相反，是相反向量，不是相等向量，B错误；
向量与的模均为正方形边长的倍，所以 ，C正确；
因为 ,所以与的夹角为 ,D正确.
6.如图2-1-2所示，已知小正方形的边长为1，则向量的长度是______，与 的
夹角为_____.
图2-1-2
【解析】，， ,则
,所以 ，即与的夹角为 .
7.一辆消防车从地去地执行任务，先从地向北偏东 方向行驶2千米到 地，
然后从地沿北偏东 方向行驶4千米到达地，又从地向南偏西 方向行驶2
千米才到 地.
（1）画出，，， ；
【答案】如图D 2-1-1.
图D 2-1-1
（2）求地相对于 地的位置向量.
【答案】如图D 2-1-1所示，向量（方向为北偏东 ，长度为4千米）即 地相
对于 地的位置向量.
图D 2-1-1
B 综合练丨高考模拟
建议时间：15分钟
8.(2025·安徽省宿州市期中)已知,,,是平面内不共线的四点，则“ ”是“四
边形 为平行四边形”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为,,, 是平面内不共线的四点，
若，则有且，故四边形 为平行四边形；
若四边形为平行四边形，则有 .
故“”是“四边形 为平行四边形”的充要条件.故选C.
9.[多选题]已知与共线的向量，与长度相等的向量，与 长度相
等、方向相反的向量，其中 为非零向量，则下列命题中正确的是( )
ACD
A. B.｝ C. D. ｝
【解析】由题意得},与共线且长度相等，故且 ，又因为
，，所以 },所以A，C，D正确.
10.如图2-1-3，是正三角形的中心，四边形和 均为平行四边形，则
与向量共线的向量为________;与向量的夹角为 的向量为___________.
（填图中所画出的向量）
,
,,
图2-1-3
【解析】是正三角形的中心，, 结合共线向量及向量夹角
的定义可知：与共线的向量为，；与的夹角为 的向量为， ，
.
图2-1-4
11.如图2-1-4，在中，，分别是边，的中点，， 分
别是，上的点，且， ，求证：向量
与 共线.
【答案】，分别是边， 的中点，
是的中位线，从而 .
， ，
又，， .
，故向量与 共线.
C 培优练丨能力提升
图2-1-5
12.如图2-1-5所示，在中，是两对角线， 的交点，
设点集，，，，，向量集合, ，且
，不重合，则集合 中元素的个数为____．
12
【解析】由题可知，集合中的元素实质上是 中任意两点连成的有向线段，共有20
个，即，，，，，,，, ,,,,,,,,, ,
, .
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即, , ,
,,,, ．
又集合中元素具有互异性，故集合 中的元素共有12个．