§2 从位移的合成到向量的加减法 课件(共58张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共58张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§2 从位移的合成到向量的加减法
必备知识解读
知识点1 向量的加法
1 向量加法的定义
求两个向量和（向量的和仍然是一个向量）的运算，称为向量的加法．
. .
2 向量加法的几何意义
（1）平行四边形法则
已知两个不共线的向量,，如图2-2-1，在平面内任取一点 ，作有向线段
，，以有向线段和为邻边作，则有向线段 表示的向
量即为向量与的和，记作 .这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平
行四边形法则.（用平行四边形法则作 必须使两个向量起点相同）
. .
. .
说明 POINT
向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
图2-2-1
图2-2-2
（2）三角形法则
如图2-2-2，作有向线段，以有向线段 的终点为起点（注意两个向量
要首尾相接.），作有向线段,连接,得到有向线段，也可以表示向量 与
的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则.（作图过程可简述
为“加向量，首尾连；和向量，起点到终点”）
. .
. .
. .
辨析比较
向量加法的两个法则的区别和联系
法则 三角形法则 平行四边形法则
区别 （1）强调“首尾相连”；（2）适用 于所有的非零向量求和 （1）强调“共起点”；（2）仅适用于不
共线的两个向量求和
联系 当两个向量不共线时，两个法则的实质一样，三角形法则作出的图形是平行 四边形法则作出的图形的一半 （3）多边形法则
向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则.求个向量 ，
， ，的和可按照以下步骤进行：任取一点，依次作有向线段,
, ,,（注意多边形法则强调的也是“首尾相连”）即为这 个向
量之和.
特别地，当与重合时， .
3 共线向量的和
图2-2-3
若, 共线,图2-2-3表示了两个共线向量求和
的情形.
也就是说,若两个共线向量方向相同,则它们的
和向量方向与原方向一致,大小为两个向量大小之
和（如图 2-2-3（1））;若两个共线向量方向相反
且大小不相等,则它们的和向量方向与模较长的向量的方向一致,大小是两个向量大小
差的绝对值（如图2-2-3（2））.
特别提醒 （1）互为相反向量的两个向量的和为零向量,即 .
（2）零向量与任一非零向量的和为，即 .
4 向量加法的运算律
（1）结合律: .
（2）交换律： .
知识剖析 1.向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立.
2.因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照
任意的次序与任意的组合进行.如
.
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P87例3］如图2-2-8,已知向量,,不共线,求作向量 .
图2-2-8
【解析】 如图2-2-9（1）,在平面内作,,则 ；再作
,则 ．
图2-2-9
如图2-2-9（2）,在平面内作,,以与 为邻边作平行四边形
,则；再作,以与为邻边作平行四边形 ,则
.
图2-2-10
例1-2 (2025·湖南省娄底市期末)如图2-2-10所示的方格纸中有定点
，，，，，，，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】以，为邻边作平行四边形，可知 为所作平行四边
形的对角线，故由平行四边形法则可知对应的向量 即为所求向量.
例1-3 你能证明当向量,共线时 仍然成立吗？
【解析】（1）若向量, 中至少有一个为零向量，则交换律显然成立.
（2）若向量, 均为非零向量,
①当, 同向时,
向量与同向,且 ；
向量与同向,且 ,
故 .
②当,反向时，不妨设，则向量与同向,且 ；
向量与同向,且 ,
故 .
综上可得，若向量,共线，则 仍然成立.
图2-2-11
例1-4 (2025·山东省春季高考研究联合体联考)如图2-2-11，
在矩形中， ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 （三角形法则） 在矩形 中，
（平行四边形法则） .
，则 .
知识点2 向量的减法
1 向量减法的定义
类比实数的减法，我们将向量的减法定义为：向量减向量等于向量 加上向
量的相反向量,即 .（向量的减法实质上也是向量的加法）
. .
2 向量减法的几何意义
给定如图2-2-4所示的向量与，作有向线段， ，如图2-2-5所示，
故，则 ，
图2-2-4
图2-2-5
即如果把向量与的起点放在点,那么从向量的终点指向被减向量 的终点
,得到的向量就是 .（可简记为“共起点，连终点，指向被减”）
. .
. .
图2-2-6
特别提醒 以向量， 为邻边作平行四边形
，则两条对角线相应的向量， ，
如图2-2-6，这一结论的应用非常广泛.
. .
学思用·典例详解
例2-5 ［教材改编P90 T6（3）］化简： ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
图2-2-12
例2-6 ［多选题］(2025·福建省莆田市期中)如图2-2-12，在平
行四边形中,为上任一点, 则 等于
( )
AB
A. B. C. D.
【解析】 .
释疑惑 重难拓展
知识点3 向量形式的绝对值三角不等式
图2-2-7
（1）当向量， 不共线时，作
，，则 ,如图2-2-7
（1），
根据三角形的三边关系，有
．
（2）当与同向共线或， 中至少有一个为零向量时，作法同上，如图2-2-7
（2），此时 ；
当与反向共线或，中至少有一个为零向量时，不妨设 ，作法同上，
如图2-2-7（3），此时 .
故对于任意向量，，总有 ①．
由于 ，
所以 ，
即 ②．
将①②两式结合起来，即 ，我们称之为向量形式
的绝对值三角不等式.
教材深挖 POINT
该知识点是针对教材第85页【思考交流】的拓展.
. .
学思用·典例详解
例3-7 对于不等式 ，给出下列四个结论：
①不等式左端的不等号“ ”只能在时取“ ”；
②不等式左端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”；
③不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且同向共线时取“ ”；
④不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”．
其中正确的结论有( )
A
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
【解析】当时, 也成立，故①不正确；
当,时， 也成立，故②不正确；
当,至少有一个为 时， 也成立，故③不正确；
当与反向共线时， 也成立，故④不正确.
所以正确的结论有0个.
关键能力构建
题型1 向量的加、减法运算
例8 化简下列各式：
（1） ；
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
.
.
（3） .
【解析】
.
.
在平面内任取一点，则 .
向量加、减法运算的基本方法
（1）充分利用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相连”.
（2）利用相反向量，把向量的减法运算转化为向量的加法运算.
（3）转化为同一起点的向量表示后，再进行加减运算.
【学会了吗丨变式题】
1.［多选题］(2025·河南省创新发展联盟段考)下列四式中能化简为 的是( )
ABC
A. B.
C. D.
【解析】（或 ），故
A符合；
，故B符合；
，故C符合；
，故D不符合．故选 ．
题型2 三角形（平行四边形）法则下的向量表示
图2-2-13
例9 如图2-2-13所示，已知，， ，
，，，试用，，，，，表示 ，
，，，， .
【解析】（注意和 的位置不要写反）
， ，
，
，
， .
. .
用几个已知向量表示其他向量的一般步骤
题型3 向量加、减法几何意义的综合应用
例10 若向量,满足，,则 ____.
图2-2-14
【解析】如图2-2-14,在平面内任取一点,作,,以 ,
为邻边作平行四边形,则, .
因为,所以四边形 为矩形，
所以 是直角三角形.
在中，, ，
所以 .
在平行四边形 中，由平行四边形的性质对角线的平方和等于四边的平
方和，得 ，即
，解得，即 .
名师点评 下列平行四边形中有关向量的结论,在解题中可以直接使用:①对角线长的
平方和等于四边长的平方和,即 ;②若
,则以, 为邻边的平行四边形为矩形.
【学会了吗丨变式题】
2.设,为单位向量,且,则 ____.
【解析】如图D 2-2-1所示，设,,利用平行四边形法则得 ,
,为正三角形, .
图D 2-2-1
题型4 向量形式的绝对值三角不等式的应用
例11 ［多选题］下列说法正确的是( )
AD
A.若，同向，则有
B.若，不共线，则有
C. 恒成立
D.对任意两个向量，，总有
【解析】由向量形式的绝对值三角不等式可知，当， 同向时，有
；当，不共线时，有；当， 是任意向量时，
有 ，故A，D正确，B错误.
当时， ，故C错误.
例12 ［教材改编P91 T5（1）］若，，则 的取值范围是
( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为 ，故
当,共线且同向时， ；
当,共线且反向时， ；
当,不共线时，由,可得 .
综上可得 .
题型5 向量在实际中的应用
例13 [教材改编P90 T1]某人第1次的位移为向量：“向北走 ”，第2次的位移为
向量：“向东走”，则 表示的意义是_________________.
向东北走
图2-2-15
【解析】如图2-2-15，适当选取比例尺，作， ，
则 .
因为 是等腰直角三角形，
所以 .
又 ，所以表示向东北走 .
例14 (2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测
出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船
行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、
方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员
在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2-2-16所示（线段长度代
表速度大小,单位: ）,则该时刻的真风为( )
级数 名称
2 轻风
3 微风
4 和风
5 劲风
A
图2-2-16
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
图2-2-17
【解析】真风风速对应的向量 视风风速对应的向量-船行风
风速对应的向量视风风速对应的向量 船速对应的向量
，如图2-2-17所示， .
名师点评
本题体现了高考以现实生活为背景命题的特点，本题设置了帆船比赛的情境，引入
了视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概念，考查向量的相关知识，考
查学生应用数学知识和方法解决问题的能力.
例15 [教材改编P88 T5]如图2-2-18，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子
上． ， ，求和 处所受拉力的大小．（忽略绳子重量）
图2-2-18
【解析】根据力的分解，画出图形，如图2-2-19所示.
图2-2-19
设，分别表示，所受的拉力，的重力用表示，则 ，
易得 ， ．
所以 ，
，
所以处所受的拉力的大小为，处所受的拉力的大小为 ．
用向量解决实际应用题的步骤
（1）表示：用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量.
（2）运算：利用三角形法则或平行四边形法则求向量的和或差，再利用相关知识解
决问题.
（3）作答：根据题意作答.
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.在平行四边形中， ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 .
2.化简 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】
.故选D.
图2-2-1
3.新情境 八卦模型 (2025·四川省遂宁中学校月考)八卦
是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、
社会现象．如图2-2-1（1）所示的是八卦模型图，其平
面图形记为图2-2-1（2）中的正八边形 ，其
中为正八边形的中心，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意可得，， ．故选B．
4.［多选题］(2025·江苏省无锡市月考)下列各式中能化简为 的有( )
BCD
A. B.
C. D.
【解析】 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．故选 ．
图2-2-2
5.[多选题](2025·陕西省咸阳市月考)如图2-2-2，，， 分别是
的边，， 的中点，则( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】, ,
，故A正确;
,故B错误；
,故C正确；
,故D正确.
6.如图2-2-3,在四边形中,设,,,则 ____.
图2-2-3
【解析】 .
7.已知,,的取值范围是，则实数, 的值分别为
_______.
10，5
【解析】 ,
解得
图2-2-4
8.如图2-2-4，已知，，分别为的边，， 的中
点.求证： .
【答案】连接,由题意知， ，
.
由,,分别为的边,,的中点可知, ，
.
.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：20分钟
9.(2025·山西省运城市期末)一艘船以的速度沿着与水流方向成 夹角的方
向航行，已知河水流速为，则经过 ，该船的实际航程为( )
B
A. B. C. D.
图D 2-2-1
【解析】如图D 2-2-1所示，表示水流速度， 表示船在
静水中的速度，则 表示船的实际速度,
又,, ,则 ,
, ,
实际速度为,则实际航程为 .
10.[多选题]已知，，为三个不共线的点，为 所在平面内一点，若
,则下列结论中正确的是( )
BD
A.点在内部 B.点在 外部
C.点在直线上 D.点在直线 上
图D 2-2-2
【解析】， .如图D 2-2-2
所示，以，为邻边作平行四边形，则 ,延长
到点，使得，连接，则四边形 为平行四边
形，
，故点在 边所在的直线上,故D正确，
C不正确；显然点在 外部，故B正确，A不正确.
11.已知为等腰直角三角形，且 ，给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中结论正确的序号为__________.
①②③④
【解析】以，为邻边作平行四边形，由题意知其为正方形，连接
（图略）.
,, ,
正确；
,, ,
正确；
,,, 正确;
,
,
正确.
12.若非零向量和满足，则的取值范围是______， 的取
值范围是______.
【解析】因为，且 是非零向
量，所以的取值范围是 .
因为 ，所以
， .
又，且是非零向量，所以的取值范围是 .（【易错点】
若,则，此时,是以， 为边长的矩形的
对角线长，又矩形的对角线长不可能等于其边长，这与 相矛盾，故
）