§3 从速度的倍数到向量的数乘 课件(共65张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共65张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§3 从速度的倍数到向量的数乘
必备知识解读
知识点1 数乘运算的定义
1 向量的数乘的定义
实数 与向量的乘积是一个向量，记作 ,满足以下条件：
向量 的符号 方向 模
与向量 的方向相同
与向量 的方向相反 向量为 ，方向任意 这种运算称为向量的数乘.
特别提醒（1）实数与向量不能进行加减运算，如， 均无意义.
（2）当或时，均有 .（结果是零向量，而非实数0） 反之，若
，则或 .
. .
2 向量的数乘的几何意义
由向量的数乘的定义可以看出, 的几何意义是：
当时,表示向量的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的 倍;
当时,表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的 倍.
3 非零向量的单位向量
在非零向量方向上的单位向量是.它表明一个非零 是非零向量 反方向
上的单位向量 向量除以它的模（乘它的模的倒数）的结果是一个与原向量同方向的
单位向量,这一过程称为向量的单位化.
. .
学思用·典例详解
例1-1 [多选题]已知, ,下列叙述正确的是( )
AC
A. B.与 的方向相同
C.是单位向量 D.若,则
【解析】已知, ,由向量数乘的定义知，选项A正确；
当时,与 的方向相反，故选项B错误;
因为 ,故选项C正确;
由得，，又,所以,解得或 ，故选项D
错误 .
例1-2 设为任一向量，是单位向量，且 ，则下列表示形式中正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】，与 的方向相同或相反.
当与的方向相同时， ；
当与的方向相反时， .
，则 .
知识点2 数乘运算的运算律
1 数乘运算的运算律
设 , 为实数，, 为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律：
（1） ；
（2）；我们常将简单地写成
（3） .
说明 特别地，我们有, .
. .
2 向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算（或线性组
合）．若一个向量由向量，的线性运算得到，如，则称向量 可以用
向量， 线性表示．
知识延伸 对于任意向量,，以及任意实数 ，， ，恒有
.
学思用·典例详解
例2-3 ［教材改编P94 T2］计算：
（1） ；
【解析】原式 .
（2） .
【解析】原式 .（结果是零向量，不是实数零）
知识点3 向量的数乘与向量共线的关系
1 共线（平行）向量基本定理
给定一个非零向量,则对于任意向量,的充要条件是存在唯一一个实数 ，
使 .
知识剖析（1）对任意两个向量，，若存在不全为0的实数对 ，使
，则与 共线.
（2）若向量，不共线，当时，一定有 .
2 直线的向量表示
如图2-3-1,已知,两点确定一条直线,直线上任意一点所对应的向量 与向
量共线,从而可以用表示,即存在唯一实数,使得.这说明由一个点
和一个非零向量可以唯一地确定过点与向量共线的直线 .
图2-3-1
通常可以用表示过点,的直线，其中称为直线 的方向向量.
学思用·典例详解
【想一想丨问题质疑】
共线向量基本定理中为什么要规定
提示 如果,则一定有与共线（零向量与任意向量共线），此时 有两种情
况：;.若，此时中的 有无数个；若 ，此时不存
在 使得成立.以上两种情况违背 “存在且唯一”的特点.
例3-4 若,与的方向相反，且，则_ ___ .
【解析】因为与的方向相反，所以，则,即 ，所
以，则 .
释疑惑 重难拓展
知识点4 三点共线定理
1 三点共线的判定定理
对于平面内任意三点，，，为不同于，， 的任意一点，设
,若实数 , 满足，则，， 三点共线.
教材深挖 POINT
该知识点是针对教材第96页【例6】的扩展.
说明 事实上，由，可得 ，代入 中可得
,即，也即.从而，， 三
点共线.
2 三点共线的性质定理
若平面内三点，，共线，为不同于，， 的任意一点，设
,则存在实数 , 使得 .
说明事实上，若，，三点共线，则一定存在实数，使得 .即
,从而，令, ，则
.
3 三点共线定理
综上，我们得到如下的三点共线定理: 已知平面内三点,,,为不同于,, 的
任意一点，,，三点共线的充要条件是：存在实数 , ，使得 ,
且 .
注意是存在 , ，且,并非一定有.如,为线段 的三等分点时
，, , 不唯一，当在直线 外时，
则一定有
. .
. .
学思用·典例详解
例4-5 已知,,三点共线,为直线外任意一点,若,则 的值
为___.
1
【解析】 由于,,三点共线,所以向量, 共线,由向量共线定理可知,存在
实数 使 ,
即 ,
所以 ,
故, ,即 .
由三点共线的性质定理可知， .
【想一想丨知识延伸】
一个重要结论——中点向量公式
如图2-3-2所示，为线段中点的充要条件是 .
图2-3-2
提示 充分性：由,可知 .
因此,从而有,即为线段 的中点.
必要性：由为线段的中点,可知，因此 ,
从而有,即 .
关键能力构建
题型1 基于运算律的向量的线性运算
例6 ［教材改编P94 T2］化简下列各式:
（1） ；
【解析】原式 .
（2） ;
【解析】原式 .
（3） .
【解析】原式 .
名师点评 向量的线性运算可以按照多项式的运算来进行，将向量符号,, 等看作
一般字母符号，向量数乘的和、差运算相当于合并同类项.
题型2 共线向量基本定理的应用
1 判断向量是否共线或证明三点共线
例7 ［教材改编P97练习T1］已知，是不共线的非零向量，则下列各式中， 与
不共线的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
思路点拨 判断两个向量是否共线，关键是看能否找到一个实数 ，使得
.
【解析】A中，，则与共线；B中，，则与 共线；C中，
，则与共线；D中，假设与共线,则， 为实数，则
，整理得 ，
对于两个不共线的向量，，若,则
这样的 不存在，因此与 不共线.
. .
例8 ［教材改编P98 A组T5（1）］已知非零向量和 不共线，如果
，，，求证：，， 三点共线.
【解析】可以通过证明,共线来证明,, 三点共线.
，与 共线.
又与有公共点，，， 三点共线.
判断两向量是否共线的方法
是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得，则向量与非零向量 共线.解
题过程中，有时需要把用已知的不共线的向量例如, 表示出来，化成关
于,的方程,由于,不共线，则解方程组求 ，
若 存在，则与共线，若 不存在，则与 不共线.
证明三点共线问题的思路
思路一：用三点共线的判定定理；
思路二：先判断三点构成的两个向量共线，再由两个向量共线且有公共点，
（这个条件不能少）得出三点共线.
. .
2 求参数的值
例9 ［教材改编P98 T3（2）］(2025·河北省邢台市期中)设与 是不共线的向量，
若与共线且方向相反，则 的值是____.
【解析】若与 共线，
则存在实数,使得 ,
与 是不共线的向量，
，
又与方向相反， .
已知向量共线确定参数取值的一般方法
已知向量共线确定参数的值，一般先利用共线向量基本定理得出 ，再利用对
应系数相等这一条件列出方程（组）（若，是由两个不共线的向量， 线性表
示，则根据, 的系数均为0列方程（组）），解出参数.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·湖北省襄阳市期中)已知,是不共线的向量， ,
，若，，三点共线，则实数 的值为_______.
或2
【解析】,是不共线的向量，,,又,, 三点共
线，则设, ,
，
,解得或 .
题型3 在几何图形中用已知向量表示未知向量
图2-3-3
例10 [教材改编P98 B组 T5](2025·广东省佛山市华附南
海实验高中期中)如图2-3-3，在中， ,
,是的中点，是的中点，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 （利用中点向量公式） ,
（利用向量的加减法法则） .
,是的中点，是 的中点,
.
用已知向量表示相关向量的基本思路
用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数
乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似
三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
【学会了吗丨变式题】
图2-3-4
2.如图2-3-4，四边形是以向量, 对应的线
段为邻边的平行四边形，对角线交于点，且 ，
，试用向量,表示，， .
【答案】 ,
,
.
,
.
.
题型4 利用向量的线性运算解决三角形中的问题
1 判断三角形形状
例11 (2025·山西省运城市期末)若是 所在平面内的一点，且满足
，则 的形状为( )
D
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
【解析】 ，
,
，（由该式可得以， 为邻边的平行四边形为矩形）
为直角三角形．
（因为不一定等于,所以 不一定为等腰直角三角形）
. .
. .
2 求三角形的面积之比
例12 已知在所在的平面内有一点，满足，则 与
的面积之比是_____．
【解析】因为，所以，所以 ，
又与有公共点，所以，，三点共线，即点在边上，且 ，
所以和 的面积之比为2:3.
3 三角形的“四心”问题
温故知新
三角形的“四心”
（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三
角形三边的距离相等．
（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到
三角形三个顶点的距离相等．若是内一点，满足 ，则
点为 的外心．
（3）三角形的垂心：三角形三条高线的交点．
（4）三角形的重心：三角形三条中线的交点．重心将中线长度分成2.若 是
内一点，且满足，则是 的重心．反之亦成立.
图2-3-5
例13 如图2-3-5，已知点是所在平面内一点，点为边 的中
点，且.求证:是 的重心.
【解析】 因为点为边的中点，所以 .又
,所以,即, ，所
以 .
所以向量与共线，且方向相同，长度是向量长度的倍，所以是 的
重心.
图2-3-6
如图2-3-6,作，,连接,则与相交于 ，
且 .
由,可得,所以 ,
又与有公共点 ,
所以,,在同一条直线上，是边上的中线，同理, 的延长
线也为的中线，所以为 的重心.
例14 (2025·上海市华东师范大学第二附属中学调研)是平面上一定点，，， 是
平面上不共线的三个点，动点满足，，则点
的轨迹（符合一定条件的点的全体组成的集合）一定通过 的( )
B
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
. .
【解析】，（）.表示与非零向量 同向的单位
向量
令,则是以为起点，向量与 对应线段为邻边的菱形的对角
线对应的向量，即在 的平分线上．
，， 共线．
故点的轨迹一定通过 的内心．
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
3.若将上述例题题设中的条件“, ”改为“
,”，则点的轨迹一定通过 的( )
B
A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心
【解析】由,，得，则 与
的边 上的中线对应向量共线，
又由，知点的轨迹通过 的重心.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考以向量的数乘为载体，从代数和几何两个方面考查向量的线性运算，既有单独
命题，又作为一种运算工具融入整个向量的运算体系中，和其他知识点综合在一起
命题，以选择题和填空题为主，难度较小.
核心素养：数学运算（向量的线性运算等），直观想象（画出草图，以形助数等）.
考向1 向量的线性运算
例15 (2022·新高考全国Ⅰ卷)在中，点在边上，.记 ,
,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ,所以
．
考向2 中点向量公式的应用
例16 (2025·北京)已知平面直角坐标系中，, ，设
，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
给什么 得什么 ,，且,是动点，注意到点
是一个定点.
求什么 想什么 ，其中为 的中点
.
差什么 找什么 【确定点的轨迹】是以 为斜边的直角三角形，且
点的轨迹是以点 为圆心，1为半径的圆.
【数形结合思想】 的取值范围.
【解析】因为,,所以,所以 ,
图2-3-7
如图2-3-7，设为线段的中点，连接 ，则
,所以点的轨迹是以点 为圆心，1为半径
的圆.
连接， ，则
.
因为点,，所以 ,又
,所以 ,所以
，故选D.
提分探 源 上述解法将转化为，若没有联想到点 的轨迹是
个圆，则依旧不知所措，能否另辟蹊径呢？我们知道
，那么是否能将 转化为模已知的
向量之和（差）呢？由此，我们即可得到以下解法.
解析 因为,,所以 ，则
，
设为线段的中点，连接，，则 ,
,由可知， ,
则，
即，所以 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·广东省广州二中期中)如图2-3-8，在中，点是 上的一
点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点, ，且
, ，则下列结论正确的是( )
BCD
图2-3-8
A.
B.若是的中点，则
C.若是的中点，则
D.若,，则
【解析】 ，A错误；
若是的中点，则 ，
,, 三点共线，
，得 ，B，C正确；
当,时，设且 ，则
，
,,三点共线，，解得 ，D正确.
故选 .
2.[多选题](2025·福建省安溪俊民中学质检)设点是 所在平面内一点，则下列
说法中正确的是( )
ACD
A.若，则点是边 的中点
B.若，则点在边 的延长线上
C.若，则点是 的重心
D.若，且，则的面积是面积的
【解析】若，则点是边 的中点，故A正确；
若，则有，即，则点在边 的延长
线上，故B错误；
若，即，则点是 的重心，故C正确；
若，且，则可得，设 ，
易得为的中点，则的面积是面积的，故D正确．故选 ．
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·河南省郑州市期中)设,分别为两边,的中点，则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为,分别为两边， 的中点，所以
.
图2-3-1
2.如图2-3-1，四边形 是平行四边形，则向量
( )
D
A. B. C. D.
【解析】四边形 是平行四边形，
.
3.(2025·山东省烟台市期中)在中，为的中点，为线段 上一点，若
，则实数 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 2-3-1，为的中点，,且 为
线段上一点，,解得 .
图D 2-3-1
图2-3-2
4.(2025·天津市第二十中学调研)在梯形 中，如图2-3-2所
示，，，设，，则
( )
D
A. B. C. D.
【解析】取的中点，连接，由可知 ，
四边形 为平行四边形，
则 ．
5.［多选题］下列运算正确的是( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】 ，故A正确．
，故B正确．
（【注意】这里是向量），故C错误．
，故D正确．故选 ．
. .
6.［多选题］(2025·江苏省苏州市期中)已知实数,和向量， ，则下列说法中正确
的是( )
AB
A. B.
C.若，则 D.若，则
【解析】根据向量数乘运算的运算律可知A，B正确；
对于C，当时，，但向量， 不一定相等，故C错误；
对于D，因为，所以.当时也成立，故D错误．故选 ．
7.已知向量，是两个不共线的向量，且向量与 共线，则实数
的值为_______.
或3
【解析】因为向量与共线,设 为实数，则有
,又向量,是两个不共线的向量，所以
解得或 .
8.(2025·福建省宁德市期中)已知中，点是线段的中点，点是线段 的
一个靠近的三等分点，设， ．
（1）用向量与表示向量， ；
【答案】，， ,
.
（2）若，判断,, 是否共线，并说明理由．
【答案】, 不存在实数 ，满足
，,, 三点不共线．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.(2025·河北省石家庄市期末)已知的面积为3，点是 内一点且
，则 的面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】取的中点，连接 ,
, ,
,即 ,
, .
10.(2025·湖南省长沙市望城区期末)中，点在边上，平分 .若
，，，，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图D 2-3-2, ,
图D 2-3-2
（角平分线定理）.
.
.
11.新情境 欧拉线定理 [多选题](2025·山东省潍坊第一中学开学考试)瑞士数学家欧
拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂
心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半.”这
就是著名的欧拉线定理.设中，点，，分别是 的外心、垂心、重心.
下列选项中结论正确的是( )
AD
A. B.
C.设边中点为,则有 D.
【解析】如图 所示，易知选项A正确,B错误.
为中点，为 的重心，
,又, ,
,
,故选项C错误.
点为的重心， ,故选项D正确.
图D 2-3-3
12.(2025·广东省梅州市期中)设是 的重心，且
，则 __.
【解析】是的重心， ,
.
,
,
整理为 .
与不共线, ，
, ．
13.过的重心任作一条直线分别交，于点，，若 ,
,且，则 的值为___．
3
图D 2-3-4
【解析】如图D 2-3-4，连接并延长，交于点，则为
的中点，设, ,则
.
由于,，则 ，
.
与共线， 存在实数 ，使 ,
即 ,
消去 ，得，即 .
，， 三点共线，
存在实数 ，使 ，
即 ，
.
C 培优练丨能力提升
14.已知是的边的中点，点在上，且满足 ，则
与 的面积之比为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为是中点，所以 .
设，分别是，中的边 上的高.
在中，可得 ①，
在中， ②，
又 ③，
将①②代入③整理可得 ④，
因为是的边的中点，所以 ⑤，
将⑤代入④可得，则 ，
所以与的面积之比为 .