§4 平面向量基本定理及坐标表示 课件(共102张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共102张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§4 平面向量基本定理及坐标表示
必备知识解读
知识点1 平面向量基本定理
平面向 量基本 定理 如果,是同一平面内两个不共线的向量，（此条件不能忽略，若，
共线，则不能用，表示平面内与，不共线的向量.这也说明，
均不为零向量）
那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数, ，使
.
基 我们把不共线的向量, 叫作表示这一平面内所有向量的一组基，
（基不是唯一的，只要是平面内两个不共线的向量都可以作为基）记为
, .
正交基 若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表
示称为正交分解.
. .
. .
. .
标准正 交基 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
续表
知识剖析 （1）该定理的本质是向量与有序实数对 之间的一一对应.
（2）特别地，当与共线时，；当与共线时，;当 时，
.
（3）称作， 的线性表示.由平面向量基本定理可知，
,, 能表示平面内的全体向量.#1.1.2
学思用·典例详解
例1-1 [多选题](2024·浙江省9+1高中联盟期中)如果,是平面 内的两个不共线的
向量，那么下列说法中正确的是( )
AD
A.若，则,
B.对于平面 内的任一向量，使的实数对 有无穷多个
C.若向量与共线，则有且只有一个实数 ，使得
D.若存在实数 , 使得，则
【解析】对于A，因为,则,又, 不共
线，所以，，即, ，故A正确.
对于B，由平面向量基本定理可知，如果一个平面的基确定，那么平面内任意一个向
量可用该组基唯一表示，故B不正确.
对于C，当两个向量均为零向量，即时，这样的 有无数个，
故C不正确.
D显然正确.
知识点2 平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示
图2-4-1
在平面直角坐标系中，如图2-4-1，分别取与轴、 轴方向
相同的两个单位向量， 作为标准正交基，对于坐标平面内的
任意向量，以坐标原点为起点作（通常称 为位置
向量）.由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数， ，使
.
因此， .
我们把称为向量在标准正交基,下的坐标，向量可以表示为 .
深度理解 （1）由平面向量的坐标表示的定义可知，在全体有序实数对与坐标平面
内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中，点或向量都可以看
作有序实数对的直观形象.
（2）几个特殊向量的坐标：，， .
（3）若，，则 等价于它们对应的横、纵坐标分别
相等，即且 .
2 点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中,点的位置被它的位置向量所唯一确定,设点 的坐标为
,容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点
的坐标;反之,点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量 的坐标.
学思用·典例详解
例2-2 图2-4-3中向量 的坐标为______.
图2-4-3
【解析】由图2-4-3可知，, .
例2-3 如图2-4-4所示，若向量,是一组标准正交基，则向量 在平面直角坐
标系中的坐标为______.
图2-4-4
【解析】由图可知, ，所以
.
所以向量在平面直角坐标系中的坐标为 .
知识点3 平面向量运算的坐标表示
1 平面向量运算的坐标表示
设,,则, ,根据向量的运算律，
可得, .
设,则 .
即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差;
实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积.
2 任一向量的坐标
设点, ,则
（为坐标原点.）（ 为坐标原点.）
.
即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.（向量的坐标只与起点、
终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关）
特别提醒 若 ，则这两个向量的坐标必相等，但它们的具体位置，即始点、
终点不一定相同，因为向量可以平行移动.如，，， ，
．
. .
. .
. .
学思用·典例详解
例3-4 ［教材改编P105 T7］设,,,,求 ，
.
【解析】 由已知, ,得
, ,
又, ,
所以, .
由向量的坐标表示及已知条件可知，, ,所以
, .
例3-5 ［教材改编P105 T8］设，，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为， ，
所以 ．
知识点4 平面向量平行的坐标表示
在平面直角坐标系中，，，.向量， 共线
的充要条件是 .（可简记为“交叉相乘，差为0”）
当且仅当存在唯一实数 ，使得 .
用坐标表示，可写为 ,
即消去 ,得 .
即若,, ，
则 .
若且，则上式可变形为 .
. .
学思用·典例详解
例4-6 判断下列向量是否平行：
（1）, ;
【解析】 ，
与 不平行.
，与 不平行.
（2）, .
【解析】 ， .
， .
释疑惑 重难拓展
知识点5 线段的定比分点
1 定义
如图2-4-2,设，是直线上两点，点是上不同于， 的任意一点，则存在
一个实数 ，使， 叫作点分有向线段所成的比，点 叫
作有向线段以 为定比的定比分点.
图2-4-2
2 坐标表示
如图2-4-2，若为坐标原点，，，， ，则
，
即点的坐标为 .
教材深挖 POINT
该知识点是针对教材第103页【例4】的深挖.
. .
. .
特别提醒
在使用定比分点坐标公式时，应明确，， 的意义，即分别为分点、
起点、终点的坐标.在计算中，往往是自行确定起点、分点、终点，但这些点必须与
定比分点公式中起点、分点、终点相对应.
3 定比分点的两个特殊位置
利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式.
（1）中点坐标公式：若点，点，线段的中点 的坐标为
，则， .
（2）重心坐标公式：中，，，，则 的
重心坐标为， .
学思用·典例详解
例5-7 已知，，点在直线上，且，则点 的坐标
为_ _______________.
或
【解析】设点的坐标为， .
由已知，且点在直线上，得 .
当 时，有
则 .
当时，有
则 .
故点的坐标为或 .
【想一想丨归纳总结】
设，则点位置与的取值范围之间的对应关系如下为 的
中点
点位置 的范围
的延长线上 外分点
与 重合
， 之间 内分点
与 重合 ， 之间 与 重合 不存在
的延长线上 外分点
关键能力构建
题型1 基的判断及应用
1 基的判断
例8 [多选题]已知向量,,,与 不共线，则
下面能构成基的一组向量是( )
ABD
A.与 B.与 C.与 D.与
【解析】设,即,则无解，故与 不共线，能
构成基；
同理可得，与,与 均不共线，均能构成基.
,
与 共线，不能构成基.
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量， 能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，
而判断向量是否共线就要看是否存在，使 成立.另外，作为基的向量必
为非零向量.
2 用基表示向量
例9 [教材改编P100 例2] 如图2-4-5所示，在中,是的中点，且 ,
与相交于点，设，，试用基,表示向量 .
图2-4-5
【解析】 由题知,由,,三点共线，可设，则 .
由是中点，得.由,,三点共线，可设 ，则
.
由平面向量基本定理中的唯一性得
解得
所以 .
易得， ，
由，，三点共线可知，存在实数使得 （三点共线的
性质定理） .
由，，三点共线可知，存在实数使得
.
所以 ，
由于, 为基，
. .
. .
所以解得
所以 .
用不共线向量作为基表示其他向量的方法
基本方法一般有两种：第一种是利用向量的线性运算及向量的运算法则对所求向量不
断转化，直到用基表示为止;第二种是列向量方程组，利用基表示向量的唯一性求解.
题型2 利用平面向量基本定理求参数
1 求参数的值
图2-4-6
例10 (2025·福建省南安一中测试)如图2-4-6，是 的
重心，是边上一点，且， ，
则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】延长,与交于点 ，如图2-4-7所示.
图2-4-7
又是的重心,则为的中点，则 ,
又是上一点，且，则是的中点，则有 ,
则 ,
又，则,,故 .
母题 致经典·母题探究
母题探源 三点共线定理的妙用
在运用平面向量基本定理和三点共线定理处理平面几何的向量问题时，平面向量基
本定理是基础，找准基，运算不会乱;三点共线定理是利器，能让题目思路清晰，过
程简洁,熟练掌握三点共线定理能够帮助我们在客观题中快速解题.
例11 (2025·江苏省淮安市月考)如图2-4-8，在中，点是的中点，过点 的
直线分别交直线,于不同的两点,.若, ，则
的值为___.
2
图2-4-8
【解析】 连接,是的中点， .
由于,,则.令 ,则
.
又，不共线，
整理得 .
连接,是的中点, .
又,, .
,,三点共线, ,（由三点共线定理直接得出系数和为1）
. .
子题
在平行四边形中，点是边的中点，与相交于点 ，若
,则 的值是____.
【解析】 根据题意可知, ,故
, .
图2-4-9
如图2-4-9,, ,
,
,,三点共线， ,
.
【学会了吗丨变式题】
图2-4-10
1.(2025·山东省菏泽市期末)如图2-4-10，已知四边形 是平
行四边形，，若与交于点 ，且
，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由四边形是平行四边形，且 ，
可知，且 ，
所以，则 ．
2.(2025·四川省成都市统考)如图2-4-11，经过的重心的直线与， 分别
交于点，，设，，，，则 的值为___．
3
图2-4-11
【解析】 设， ，
由题意知 ，
，
，
由，，三点共线得，存在实数 ，使得 ，
即 ，
从而消去 ,得 .
由题意知 ,
因为，，三点共线，所以,即 .
2 求参数的最值
图2-4-12
例12 如图2-4-12所示，，是两个非零不共线向量， 为线段
的中点，为线段上靠近点的三等分点，点在直线 上，
且，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为，，三点共线，所以存在实数 , 使
,且.又 ,
所以 , ，
故.易知当 时，
取得最小值，最小值为 .
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·河南省开封市期末)在中，已知 ,,, 为线段
上的点，且，则 的最大值为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】设 ，则
.
又,
，当且仅当时，取“”，故 的最大
值是3.
3 求参数的取值范围
例13 在中，点满足，当点在线段 （不包含端点）上移动
时，，则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，
，
又点在线段 （不含端点）上移动，
设，， ，
又，
．
在 上单调递减，
的取值范围为 .
题型3 平面向量的正交分解及坐标表示
图2-4-13
例14 如图2-4-13所示，分别用单位正交基，表示向量,, ,
，并求出它们的坐标.
思路点拨 在平面直角坐标系中求向量的坐标，一般运用数形
结合的方法求解.已知, ，若向量可以表示成
的形式，则此向量的坐标就是 .
【解析】由图2-4-13可知 ，
.
同理可得 ，
，
.
例15 设点，，将向量按向量平移后得到的 的坐标
为( )
B
A. B. C. D.
【解析】，， .
由题意知与方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是 .
求平面向量坐标的一般方法
（1）数形结合法：根据正交分解，求向量在轴、 轴上的坐标分量.
（2）平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标.
（3）若已知,,则 .
【学会了吗丨变式题】
4.已知是坐标原点，点在第一象限，， ，则向量 的坐
标为_________.
【解析】设，则， ，即
， .
题型4 平面向量的坐标运算
1 向量坐标运算的直接应用
例16 已知,,，且有，则 ___．
5
【解析】,, ，
．
，解得
故 ．
2 利用向量的坐标运算求点或向量的坐标
例17 ［教材改编P106 T3］已知,,,且 ,
,求，及 的坐标.
【解析】 由,, ,可得
， ，
所以 ，
.
设，,则,所以 解得
,所以解得
所以, ，
.
设为坐标原点，则由,,可得 ,
,从而， ，
所以 ，
，
即, ,
故 .
3 利用向量的坐标运算表示向量
例18 如图2-4-14，已知是内一点， ， ，且
,,，设,,,试用,表示 .
图2-4-14
【解析】如图2-4-15，以为原点，为 轴的正方向建立平面直角坐标系.
图2-4-15
由三角函数的定义，得, ,
即，， .
又，所以,,, .
设 ，则
.
所以解得
所以 .
1.进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段
两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求一个点的坐标时，可以转化为求以该点为终
点、以坐标原点为起点的向量的坐标.
2.利用向量的坐标运算求向量的基的表示，一般先求出一组基和被表示向量的坐标，
再用待定系数法求出相应系数.
注意：相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程（组），这是
解题依据.
4 利用向量的坐标运算求参数
例19 (2025·甘肃省兰州西北中学月考)已知点，， ，且
，试问：
（1）为何值时，点在轴上？点在轴上？点 在第二象限？
【解析】若点在轴上，则 ，
解得 ；
若点在轴上，则，解得 ；
若点在第二象限，则
解得 .
（2）四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的 值；若不能，请说明理由.
【解析】不能.理由如下.
由题意知 .
若四边形是平行四边形，则 ，
所以 方程组显然无解，
故四边形 不能为平行四边形.
【解析】由题意知，， ，
，故点的坐标为 .
利用向量的坐标运算求参数的思路
已知含参数的向量等式,依据某点的位置探求参数的问题,其本质是向量坐标运算的运
用,用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用该点的位置确定其横、纵坐标应满
足的条件,建立关于参数的方程（组）或不等式（组），并进行求解.
题型5 向量平行的坐标表示的应用
1 向量平行（共线）的判断
例20（1）［教材改编P106 T4］已知为坐标原点，， ，
，求证：，， 三点共线.
【解析】因为,,所以,即
与共线，从而易知，， 三点共线.
（2）［教材改编P105练习T5］已知，，三点的坐标分别为， ，
，，，求证： .
【解析】由题意得，，，所以
，， .
设，的坐标分别为， ，
则， ，
，
所以，， ，
所以 .
因为，所以 .
判断两个向量共线的方法
一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐
标表示来判断.即先求出， ，若
，则 .
2 由向量共线求参数的值
例21（1）(全国乙卷)已知向量,,若,则 _ _.
【解析】 因为，所以可设，则，得 解得
因为，所以，解得 .
（2）［教材改编P106 T1］(2025·江西省南昌市期中)已知向量 ，
，若，则 ( )
C
A.0 B. C. D.
【解析】由题意知， ，
.
，
，即，解得 .
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，
二是将相关向量用已知两个向量的含参关系式表示.解题时应根据题目特点选择向量
共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解.
3 利用向量共线求点的坐标
例22 如图2-4-16所示，已知中，，，， ，
，与相交于点，求点 的坐标．
图2-4-16
【解析】因为点，， ，
所以， .
又，所以点的坐标为 .
又,所以点的坐标为 .
设点的坐标为，则 .
由题意知,,三点共线，所以 ，
又，所以 ，
即 .
由题意知,,三点共线，所以 ，
又， ，
所以，即 .
由解得所以点的坐标为 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.在中，,,点满足,若以{,}为基，则 可分解为
( )
A
A. B. C. D.
【解析】,, ,
.
2.(2025·安徽省芜湖市期中)已知点,，向量,则向量
( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意得,又， .
3.(2025·山东省青岛十九中月考)在中，已知是边上一点，若 ，
,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 在中，已知是边上一点， ，
, ,
,故选A.
由题意知，，，三点共线，所以,所以 .
4.(2025·山西省朔州市期中)已知,,且，则锐角
等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】由得,即 ,即.又 为锐
角，, .
5.[多选题](2025·重庆市南坪中学校月考),是平面内两个不共线的向量，则以下 ,
可以作为该平面内一组基的是( )
ACD
A., B.,
C., D.,
【解析】对A,C,D,不能用表示，故, 不共线，所以可以作为平面内的一组基.
对于B,,所以, 共线，故不可以作为平面内的一组基.
6.［多选题］(2025·湖北省孝感高级中学期末)在平行四边形中， ，
，与交于点，设， ，则( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】如图D 2-4-1所示，连接,交于点 .
图D 2-4-1
在平行四边形中，，所以 ，
则 ，A正确，B错误.
由题可知，在平行四边形中，与相似，所以 ，
则，即， ，
因为，，三点共线，，， 三点共线，
设 ，
则，解得 ，
所以，C正确，D错误．故选 ．
图2-4-1
7.(2025·河南省信阳市期末)向量,, 在正方形网格中的位置如
图 2-4-1所示.若,则 ___.
4
【解析】 设, 分别为水平向右方向和竖直向上方向上的
单位向量，则，， ，所以
，根据平面向量基本定理得
,，所以 .
设小正方形的边长为1，
图D 2-4-2
如图D 2-4-2，建立平面直角坐标系，则, ,
,
由可得 ，
故解得所以 .
8.已知，，，，在基， 下，分解向量
.
【答案】，，， ，
，，，， ，
.
根据平面向量基本定理知，存在，，使得 ，
，
解得
.
B 综合练丨高考模拟
9.在中，已知点在线段的延长线上，且，点在线段 上
（与点，不重合）．若，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
图D 2-4-3
【解析】画出图形，如图D 2-4-3所示，依题意
,即
,
,点在线段上（与点， 不重合），
.
10.(2025·湖南省长沙市望城一中期中)平面直角坐标系中，已知， ，
点在第二象限内，，且，若,则 ， 的值分别
是( )
D
A.，1 B.1， C.， D. ，1
【解析】设, 点在第二象限，且， ，
, ,
, .
又, ,
即,, .
图2-4-2
11.[多选题](2025·四川省绵阳中学月考)如图2-4-2，在
中，是靠近的三等分点，是的中点，与 交于
点，且有， ,，过作直线
分别交线段,于点,，设 ，
，则( )
ACD
A. B.
C. D. 的最小值为2
【解析】对于A，B，因为 ，
依题意将，代入，得
因为,,三点共线，且,, 三点共线，
所以得 故A正确，B错误；
由可得 ，
故 ，故C正确；
对于D，，， ，
则，因为，， 三点共线，
所以，即 ，
由 ，
当且仅当即 时取得等号,故D正确．
故选 ．
12.已知向量，，，为坐标原点，若点 在函数
的图象上，实数 的值是___．
2
【解析】由题意知，即 ，
，解得 ．
图2-4-3
13.新考法 数学文化 (2025·陕西省渭南中学期末)根据毕达哥拉
斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作
出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之
和．现在对直角三角形 按上述操作作图后，得如下图2-4-3
所示的图形，若，则 ____．
图D 2-4-4
【解析】如图D 2-4-4，以为原点，分别以，方向为，
轴正方向建立平面直角坐标系.
设正方形的边长为，则正方形的边长为 ，正方
形的边长为.可知，， ，
，
记的坐标为,则 ，
，即 ，
又 ，
，即
即，化简得 .
14.(2025·甘肃省庆阳市期中)如图2-4-4所示，在中，,,
与相交于点.设， .
图2-4-4
（1）试用向量,表示 ；
【答案】不妨设，一方面,由于,,三点共线，则存在
使得，于是，又 ，所以
，
则即 ①.
另一方面,由于,,三点共线，则存在使得 ，于是
，又，所以 ，则
即 ②.
由①②可得,,所以 .
（2）在线段上取点，在线段上取点，使过点，设 ,
,求证 .
【答案】因为,,三点共线，所以存在实数使得 ，于是
，又,,所以 ，于是
，从而消去 即得 .
C 培优练丨能力提升
15.(2025·四川省成都市期中)如图2-4-5,在中,是的中点,在边 上,
,与交于点.若,则 的值是____.
图2-4-5
【解析】 （利用基求解） 过点作,交于点 （图略）,由
,为中点,知,则 ,
,
,即,故 .
（利用平面向量基本定理求解） 由,,三点共线，可设 ,则
,由，，三点共线可设，则 ，
则 ，由平面向量基本定理可得
解得则， ，则
，
化简得，则 .