§5 从力的做功到向量的数量积 课件(共105张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册
文档属性
| 名称 | §5 从力的做功到向量的数量积 课件(共105张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-09 17:21:10 | ||
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文档简介
(共105张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§5 从力的做功到向量的数量积
必备知识解读
知识点1 向量的数量积
1 向量数量积的物理背景
图2-5-1
如图2-5-1，一个物体在力????的作用下发生了一段位移???? ，
就说这个力对物体做了功.那么力???? 对物体做的功为
????=|????||????|cos??????，其中???? 是????与???? 的夹角.
?
知识剖析 （1）功???? 是一个数量，不仅与力、位移的大小有
关，且与它们之间夹角???? 的余弦值有关.
?
（2）当0?≤????<90? 时，????>0，即力????做正功；当????=90? 时，????=0 ，即
力????不做功；当90??
2 向量的数量积
图2-5-2
如图2-5-2，已知两个非零向量????和???? ，作
????????=????，????????=????，向量????与????的夹角∠???????????? 记为
?????，?????或???? （0?≤????≤180? （这个范围要记
牢！））.|????||????|cos????? 称为????与???? 的数量积
?
规定零向量与任一向量的数量积为0.
（或内积），记作 ?????????（结果是数量，而不是向量，它的符号由cos????? 决定），即
?????????=|????||????|cos?????，?????=|????||????|cos????? . （不能写成????×????或???????? .）
?
. .
. .
. .
知识剖析 数量积的符号与夹角的关系
已知两个非零向量????与???? ,则
①当?????,?????=0? 时，cos?????,?????=1，?????????=|????||????| ；
②当0?0，?????????>0 ；
③当?????,?????=90? ，cos?????,?????=0，?????????=0 ；
④当90? ⑤当?????,?????=180? 时，cos?????,?????=?1，?????????=?|????||????| .
?
3 投影
图2-5-3
如图2-5-3，已知两个非零向量????和????，作????????=????,????????=???? ,过
点????向直线????????作垂线，垂足为????′，得到向量????=????????′,???? 称为????在????
上的投影向量.
?
|????|cos?????,?????称为投影向量???? 的数量，也称为向量????在向量????
方向上的投影数量，可以表示为?????????|????| .
?
所以投影数量是数量积的特殊情况.
. .
4 向量数量积????????? 的几何意义
?
数量积?????????的几何意义：????的长度|????|与????在????方向上的投影数量|????|cos????? 的乘积
（如图2-5-4），或????的长度|????|与????在????方向上的投影数量|????|cos????? 的乘积.
?
图2-5-4
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P109 T3］在△????????????中，????????=????,????????=????，当?????????>0时，△????????????
为( )
?
C
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】在△????????????中，?????????????????=??????????????????=??????????<0,|????????||????????|cos?????????,?????????<0 ,
∴cos?????????,?????????<0 ,
∴?????????,?????????>90? .
故△???????????? 为钝角三角形.
?
【想一想丨追根究底】
本题是在△????????????中由?????????????????<0,得到????????,???????? 的夹角为钝角.那么在一般情况下，能否
由?????????<0得到向量????,????的夹角???? 为钝角？
事实上，因为?????????=|????||????|cos?????，故由?????????<0可得cos?????< 0，又
0?≤????≤180? ，故90?到向量????,????的夹角???? 为钝角.同样地，由?????????>0只能得到???? 为锐角或零角.
?
例1-2 ［教材改编P108 例1］
（1）已知向量????，????满足|????|=2，????与????的夹角为60? ，则????在???? 方向上的投影数量为
___．
?
1
【解析】已知向量????,????的夹角????=60? ,故????在???? 方向上的投影数量为
|????|cos?????=2cos?60?=2×12=1 .
?
（2）若|????|=4,?????????=6，则????在???? 方向上的投影数量为_ _.
?
????????
?
【解析】 设????与????的夹角为???? .
?
因为?????????=|????||????|cos?????=6，且|????|=4,所以4|????|cos?????=6 ，
所以????在????方向上的投影数量为|????|cos?????=32 .
?
根据向量????在????方向上的投影数量为?????????|????|，将已知条件代入可得????在???? 方向上的
投影数量为32 .
?
知识点2 数量积的运算性质
1 数量积的运算律
对于任意的向量????,????,????和实数????：
（1）交换律：?????????=????????? ；
（2）与数乘的结合律：????(?????????)=(????????)?????=?????(????????) ；
（3）关于加法的分配律：(????+????)?????=?????????+????????? .
?
2 数量积的性质
对于非零向量????,????和单位向量???? :
（1）?????????=?????????=|????|cos?????，????? ;
（2）?????????=0?????⊥???? ；
（3）?????????=|????|2（?????????也可以记作????2）,即|????|=????????? ；
（4）cos?????，?????=?????????|????||????| ;
（5）|?????????|≤|????||????|，当且仅当????//????时等号成立（当????与???? 同向时，
?????????=|????||????|；当????与????反向时，?????????=?|????||????| ）.
?
. .
辨析比较
向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别
向量的数量积
向量的数乘
实数的乘法
?????????=0?????,???? 至少有一个为0或
?????,?????=π2 .
????????=0(????∈????)?????=0
或????=0 .
????????=0?????，???? 至少
有一个为0.
?????????=??????????????=0或????=????或????? ,
??????????=π2 .
????????=????????(????∈????)?????=????或????=0 .
????????=?????????????=???? 或
????=0 .
(?????????)?????与?????(?????????) 不一定相等.
(????????)????=????(????????)(????∈????,????∈????) .
(????????)????=????(????????) .
向量的数量积
向量的数乘
实数的乘法
学思用·典例详解
例2-3 ［多选题］下列命题正确的是( )
AD
A.?????????=0
B.若????≠????，则对任一非零向量????都有?????????≠0
C.若?????????=0，则????与????中至少有一个为????
D.若????与????是两个单位向量，则????2=????2
?
【解析】A正确，因为????的长度为0，结合数量积的公式可知?????????=0 .
B，C错误，当非零向量????⊥????时，有?????????=0 .
D正确，因为|????|=|????|=1,所以????2=|????|2=1,????2=|????|2=1,故????2=????2 ．
?
例2-4 ［教材改编P109 T2（2）］设????，????是单位向量，若????⊥????，则(????+????)????? 的值
为( )
?
A
A.1 B.0 C.?1 D.?2
?
【解析】因为????⊥????，所以?????????=0，所以(????+????)?????=?????????+????2=0+1=1 ．
?
例2-5 已知平面向量????与????为单位向量，它们的夹角为π3，则|2????+????|= ( )
?
D
A.2 B.3 C.5 D.7
?
【解析】∵?????????=|????||????|cos＜????,????＞=cos?π3=12 ,
∴|2????+????|=|2????+????|2=4|????|2+4?????????+|????|2=4+2+1=7 .
?
知识点3 向量数量积的坐标表示
已知两个向量????=(????1,????1),????=(????2,????2),在直角坐标系中，设????,????分别是????轴和???? 轴
方向上的单位向量，则
?????????=(????1????+????1????)?(????2????+????2????)=????1????2?????????+????1????2?????????+????2????1?????????+????1????2????????? .
因为?????????=?????????=1,?????????=?????????=0,所以?????????=????1????2+????1????2 .（两个向量的数量积
等于它们对应坐标的乘积的和）
特别提醒 公式?????????=|????||????|cos＜????,????＞ ①与?????????=????1????2+????1????2 ②都是用来求两向
量的数量积的，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则利用公式①求解；若已知
两向量的坐标，则用公式②求解.
?
. .
学思用·典例详解
例3-6 (2025·江苏省泰州市期中)已知????=(1,?1)，????=(2,4)，则?????(????+????)= ( )
?
B
A.?1 B.0 C.1 D.2
?
【解析】?????(????+????)=(1,?1)?(3,3)=3?3=0 .
?
知识点4 向量的模和夹角的坐标表示
1 向量模的坐标表示
设????=(????,????)，则|????|2=????2=????2+????2，或|????|=????2+????2 .
?
2 两点间的距离公式
如果表示向量????的有向线段????????的起点和终点坐标分别为????(????1,????1)，????(????2,????2) ，那
么????=(????2?????1,????2?????1)，|????|=|????????|=(????2?????1)2+(????2?????1)2 ，这就是平面直角
坐标系中两点间的距离公式.
?
3 向量的夹角公式
设????=(????1,????1),????=(????2,????2),????与????的夹角为???? ，
则?????????=|????||????|cos?????=????1????2+????1????2 ,
cos?????=?????????|????||????|=????1????2+????1????2????12+????12?????22+????22(|????||????|≠0) .
知识延伸 （1）向量????=(????2,????2)在向量????=(????1,????1) 方向上的投影数量为
|????|cos??????=?????????|????|=????1????2+????1????2????12+????12 .
（2）因为与非零向量????=(????1,????1) 同向的单位向量的坐标表示为
????|????|=(????1????12+????12,????1????12+????12),所以向量????=(????2,????2)在向量????=(????1,????1) 上的投影向量的坐标表
示为?????????|????|?????|????|=????1????2+????1????2????12+????12(????1,????1)=(????12????2+????1????1????2????12+????12,????1????2????1+????12????2????12+????12) .
?
4 向量垂直的坐标表示
已知向量????=(????1,????1)，????=(????2,????2)，因为????⊥??????????????=0 ，所以
?????????=????1????2+????1????2=0，即????⊥?????????1????2+????1????2=0 .
?
. .
学思用·典例详解
例4-7 [教材改编P111 T2]已知向量????=(1,3),????=(3,1),则????与???? 夹角的大小为__.
?
????????
?
【解析】由题意得|????|=1+3=2,|????|=3+1=2 ,
?????????=1×3+3×1=23 .
设????与????的夹角为???? ，
则cos?????=232×2=32 .
∵????∈[0,π],∴????=π6 .
?
例4-8 向量????=(3,4)在向量????=(1,?1) 方向上的投影数量为_ ____.
?
?????????
?
【解析】向量????在向量????方向上的投影数量为?????????|????|=?12=?22 .
?
例4-9 判断下列各对向量是否垂直:
（1）????=(?3,2),????=(4,6) ;
?
【解析】∵?????????=(?3)×4+2×6=0,∴????与???? 垂直.
?
（2）????=(13,12),????=(2,?23) .
?
【解析】∵?????????=13×2+12×(?23)=13≠0,∴????与???? 不垂直.
?
关键能力构建
题型1 求向量的投影数量
例10 在等腰三角形????????????中，????????=????????=2，∠????????????=30? ，????为???????? 的中点.
?
（1）求????????在???????? 方向上的投影数量；
?
【解析】????????在????????方向上的投影数量为|????????|cos?150?=2×(?32)=?3 .
?
（2）求????????在???????? 方向上的投影数量.
?
【解析】????????在????????方向上的投影数量为|????????|cos?150?=3×(?32)=?32 .
?
【解析】如图2-5-5，连接????????.因为????????=????????，????为????????的中点，所以????????⊥???????? .
?
图2-5-5
又????????=2，∠????????????=30? ，
所以????????=????????=????????cos?30?=3 .
由图2-5-5可知????????与????????的夹角为∠????????????的补角，所以向量????????与????????的夹角为150? .
?
求一个向量在另一个向量方向上的投影数量时，要先根据题意确定该向量的模及两
向量夹角的大小，再根据公式求解.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·山东省日照市期末)△????????????的外接圆的圆心为????，半径为1，2????????=????????+????????
且|????????|=|????????|,则向量????????在向量???????? 方向上的投影数量为( )
?
A
A.12 B.32 C.?12 D.?32
?
图D 2-5-1
【解析】如图D 2-5-1,由于2????????=????????+???????? ,结合向量加法的几何
意义可知，????为????????边的中点，又????为△???????????? 外接圆的圆心，
∴????????⊥???????? .
∵|????????|=|????????|，△???????????? 的外接圆的半径为1，
?
∴|????????|=|????????|=1，∴|????????|=2，∠????=60? ,
∴ 向量????????在向量????????方向上的投影数量为|????????|cos?60?=12 .
?
题型2 求向量的数量积
1 向量数量积的简单计算
例11 ［教材改编P113练习T2］已知|????|=1,|????|=2,????与????的夹角为120? ,求:
?
（1）????????? ;
?
【解析】?????????=|????||????|cos?120?=1×2×(?12)=?1 .
?
（2）????2?????2 ;
?
【解析】????2?????2=|????|2?|????|2=1?4=?3 .
?
（3）(2?????????)?(????+3????) ;
?
【解析】(2?????????)?(????+3????)=2????2+5??????????3????2=2|????|2+5|????||????|cos?120??3|????|2=2?5?12=?15 .
?
（4）|????+????| .
?
【解析】|????+????|=(????+????)2=????2+2?????????+????2=1?2+4=3 .
?
求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或
两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公
式进行化简.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·湖南省长沙市雅礼教育集团期中)设向量????，????满足|????+????|=10，|?????????|=
6，则?????????= ( )
?
A
A.1 B.2 C.3 D.5
图D 2-5-2
【解析】因为|????+????|=10，所以|????+????|2=10 ，即
????2+2?????????+????2=10 ①.又|?????????|=6 ，所以
????2?2?????????+????2=6 ②.
由①?②得 4?????????=4，则?????????=1 .
?
2 向量数量积的简单坐标运算
例12（1）已知向量????=(1,????),????=(2,2),且????+????与????共线,那么????????? 的值为___.
?
4
【解析】依题意得????+????=(3,????+2),由????+????与????共线，得1×(????+2)?3????=0 ,解得
????=1,故?????????=2+2????=4 .
?
（2）已知????=(2,?1),????=(3,?2),则(3?????????)?(?????2????)= _____.
?
?????????
?
【解析】 ∵?????????=2×3+(?1)×(?2)=8,????2=22+(?1)2=5 ,
????2=32+(?2)2=13 ,
?
∴(3?????????)?(?????2????)=3????2?7?????????+2????2=3×5?7×8+2×13=?15 .
?
∵????=(2,?1),????=(3,?2) ,
?
∴3?????????=(6,?3)?(3,?2)=(3,?1) ,
?????2????=(2,?1)?(6,?4)=(?4,3) ，
∴(3?????????)?(?????2????)=3×(?4)+(?1)×3=?15 .
?
题型3 平面几何图形中的向量数量积问题
1 数量积的直接求解
图2-5-6
例13（1）如图2-5-6，在Rt△????????????中，∠????=90? ，????????=1 ，则
????????????????? 的值是( )
?
B
A.1 B.?1 C.2 D.?2
?
【解析】 ?????????????????=|????????||????????|?cos （180??∠????????????）=?|????????||????????|cos∠????????????=
?|????????||????????||????????||????????|=?|????????|2=?1 .（注意向量????????,???????? 的夹角不是∠????????????,不要弄错）
?
从投影数量的角度，|????????|=1，即???????? 为单位向量，
?????????????????=??????????????????=?|????????||????????|?cos?∠????????????，而|????????|cos?∠????????????=|????????| ，
?
所以?????????????????=?|????????|2=?1 .
?
以点????为坐标原点，分别以????????，????????所在直线为????轴，???? 轴建立平面直角坐标
系，设????(0,????),又????(1,0),则????????=(1,0),????????=(?1,????),所以?????????????????=?1 .
?
. .
（2）(2025·广东省佛山市德胜学校期中)如图 2-5-7，在直角梯形???????????????? 中，
????????//????????, ∠????????????=90?,????????=3,????????=2,????为????????的中点，若?????????????????=3 ，则
?????????????????= ____.
?
?????
?
图2-5-7
图2-5-8
【解析】以????为坐标原点，????????所在的直线为????轴，???????? 所在的直线为
???? 轴，建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系.
?
∵????????=3，????????=2 ，
∴????(0,0)，????(3,0)，????(0,2) .
设????(????,2),则????????=(3,0) ,
????????=(????,2) .
∵?????????????????=3,∴3????=3,解得????=1,∴????(1,2) .
∵????为????????的中点，∴????(2,22) ，
∴????????=(2,22)，????????=(?2,2) ，
∴?????????????????=2×(?2)+22×2=?4+1=?3 .
?
名师点评 对于几何图形中有明显直角（或易割补出直角）的图形，我们在求数量积
时，可建立平面直角坐标系快速解题.
2 求参数
例14 (2025·北京市第三中学学业测试)已知菱形????????????????的边长为2，∠????????????=120? ，
点????，????分别在边????????，????????上，????????=3????????，????????=????????????.若?????????????????=1,则???? 的值为___.
?
2
【解析】 由题意可得?????????????????=|????????|?|????????|cos?120?=2×2×(?12)=?2 .
?
在菱形????????????????中，易知????????=????????，????????=???????? ，
所以????????=????????+????????=????????+13????????，????????=????????+????????=????????+1???????????? ，
?????????????????=(????????+13????????)?(????????+1????????????)=4????+43?2(1+13????)=1，解得????=2 .
?
图2-5-9
如图2-5-9，以点????为坐标原点，????????所在直线为???? 轴，建
立平面直角坐标系.
?
因为菱形????????????????的边长为2，∠????????????=120? ，所以????(2,0) ,
????(1,3) .
由????????=3????????可得????(53，33) .
?
因为点????在????????上，所以可设????(????,3) .
则?????????????????=(53,33)?(????,3)=53????+1=1，所以????=0，因此????
为????????的中点，所以????=2 .
?
3 求最值
母题 致经典·母题探究
命题探源?
极化恒等式
平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型.如图2-5-10，设????????=????，????????=???? ，则
????????=????+????,????????=????????? .
?
图2-5-10
|????????|2=(????+????)2=????2+2?????????+????2 ,
|????????|2=(?????????)2=????2?2?????????+????2 .
两式相加可得|????????|2+|????????|2=2(????2+????2)=2(|????????|2+|????????|2) .（即平行四边形对角
线长的平方和等于两条邻边长平方和的两倍）
两式相减可得?????????=14[(????+????)2?(?????????)2] .我们称该恒等式为极化恒等式，它是沟
通向量数量积运算与线性运算的重要公式.
在三角形????????????中则可以用中线来描述,即?????????????????=????????2?14????????2 .
教材深挖 POINT
极化恒等式可看作是教材第112页【例6】的深挖.
?
. .
例15 (全国Ⅱ卷)已知△????????????是边长为2的等边三角形,????为平面???????????? 内一点,则
?????????(????????+????????) 的最小值为( )
?
B
A.?2 B.?32 C.?43 D.?1
?
图2-5-11
【解析】 如图2-5-11,????????+????????=2????????(????为????????的中点) ,则
?????????(????????+????????)=2?????????????????,要使?????????????????最小,则????????,???????? 的方向相反,
即点????在线段????????上,则(2?????????????????)min=?2|????????|?|????????| ,即求
|????????|?|????????|的最大值,又|????????|+|????????|=|????????|=2×32=3 ,所以
?
故(2?????????????????)min=?2×34=?32 .
?
|????????|?|????????|≤(|????????|+|????????|2)2=(32)2=34,当且仅当|????????|=|????????|,即???? 是线
段???????? 的中点时，取等号.
?
图2-5-12
如图2-5-12，以边????????的中点???? 为坐标原点，以等边三
角形????????????的底边????????所在直线为????轴，以????????的垂直平分线为????
轴建立平面直角坐标系，则????(0,3),????(?1,0),????(1,0) ，设
????(????,????)，则????????=(?????,3?????),????????=(?1?????,?????) ,
?
????????=(1?????,?????),所以?????????(????????+????????)?=(?????,3?????)?(?2????,?2????)=2????2+2(?????32)2?32，故当????=0，????=32 时，
?
?????????(????????+????????)取得最小值?32 .
?
图2-5-13
如图2-5-13,取????????的中点????，则????????+????????=2???????? ,则
?????????(????????+????????)=2?????????????????,在△????????????中，取????????的中点???? ，则
2?????????????????=2|????????|2?12|????????|2=2|????????|2?32,因此当且仅当点????，???? 重
合时，|????????|取得最小值，即2?????????????????取得最小值?32 .
?
名师点评 极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量对应线段为
邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的四分之一.
子题
(2025·天津市南开大学附属中学开学考试)在边长为1的等边三角形????????????中,???? 为线段
????????上的动点,????????⊥????????且交????????于点????,????????//????????且交????????于点????,则|2????????+????????| 的值为___;
(????????+????????)????????? 的最小值为___.
?
1
????????????????
?
图2-5-14
【解析】（1）如图2-5-14,过????作????????⊥????????,交????????于点???? ,易证得
△????????????≌△????????????,四边形????????????????是矩形,所以????????=????????,????????=???????? ,
则2????????+????????=????????+????????+????????=????????,所以|2????????+????????|=|????????|=1 .
?
（2）连接????????,如图2-5-14，由题意知,????????+????????=???????? ,则
(????????+????????)?????????=????????????????? .
?
（利用向量的基） 设|????????|=2????(0?
|????????|=1?2????,所以????????=????????+????????=????????+(1?????)????????,????????=????????+????????,所以?????????????????=[????????+(1?????)????????]?(????????+????????)=????????2+(2?????)?????????????????+(1?????)????????2=4????2+(2?????)×1×2????×(?12)+(1?????)×12=5????2?3????+1=5(?????310)2+1120,所以当????=310 时,
?
?????????????????取得最小值1120,即(????????+????????)?????????的最小值为1120 .
?
（坐标法） 以????为坐标原点,????????所在直线为???? 轴建立平面直角坐标系,如图2-
5-14，设????????=2????(0????????=(1?5????2,3(1?????)2) ,
?
????????=(12?2????,32),所以?????????????????=5????2?3????+1=5(?????310)2+1120,所以当????=310 时,
?????????????????取得最小值1120,即(????????+????????)?????????的最小值为1120 .
?
（极化恒等式） 取????????的中点????，连接???????? ，如图2-5-14，
(????????+????????)?????????=?????????????????=14(4????????2?????????2)=????????2?14????????2 .设
|????????|=2????(0????????2=????????2+????????2=(1?32????)2+3????2 ，
????????2?14????????2=(1?32????)2+3????2?14????2=5????2?3????+1=5(?????310)2+1120,所以当????=310
时,????????2?14????????2取得最小值1120,即(????????+????????)?????????的最小值为1120 .
?
教材深挖
奥妙的向量思想
已知向量????=(????1,????1),????=(????2,????2),由|?????????|≤|????||????|，得|?????????|=|????1????2+????1????2|≤
????12+????12?????22+????22，即(????1????2+????1????2)2≤(????12+????12)? (????22+????22) .（此处可看作是对
教材113页B组第4题的挖掘）
根据上述结论我们可以借助向量方法解决下面的最值问题：
?
例16（1）已知实数????,????满足????+?????4=0,求????2+????2 的最小值.
?
【解析】令向量????=(????,????),????=(1,1) .
∵|?????????|≤|????||????| ,
∴|????+????|≤????2+????2?2 ,
即2(????2+????2)≥(????+????)2=16，∴????2+????2≥8,故????2+????2 的最小值是8.
?
（2）已知实数????,????满足(????+2)2+????2=1,求2????????? 的最大值.
?
【解析】令向量????=(????+2,????),????=(2,?1),2?????????=???? .
由|?????????|≤|????||????| ,
得|2(????+2)?????|≤(????+2)2+????2?5=5 ,
即|????+4|≤5，解得?4?5≤????≤5?4 .
故2?????????的最大值是5?4 .
当然我们也可以利用其他方法来求解，此处之所以利用了向量坐标法求解，是因为
重在向量工具性的体现.
?
例17 新情境 费马点 (2025·上海市川沙中学期中)17世纪法国数学家费马曾提出这样
一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证
明：在△????????????中，若三个内角均小于120? ，当点???? 满足
∠????????????=∠????????????=∠????????????=120? 时，则点????到三角形三个顶点的距离之和最小，点????
被人们称为费马点．根据以上性质，已知????为平面内任意一个向量，????和???? 是平面内
两个互相垂直的向量，|????|=2，|????|=1，则|?????????|+|????+????|+|?????????| 的最小值是
( )
?
B
A.2?3 B.2+3 C.3?1 D.3+1
?
【解析】设????=(????,????),????=(1,0),????=(0,2) ,
则|?????????|+|????+????|+|?????????|=(?????1)2+????2+(????+1)2+????2+????2+(?????2)2 ,
?
图2-5-15
即为点????(????,????)到????(1,0)，????(?1,0)和点????(0,2) 三个点的距离之和，
则△???????????? 为等腰三角形，如图2-5-15，
由费马点的性质可得:要保证∠????????????=120? ,则∠????????????=60? ,
因为????????=1,则????????=33,所以点????的坐标为(0,33)时，点???? 到三个
点的距离之和最小，为233+233+(2?33)=2+3 .
?
4 求取值范围
例18 (2025·辽宁省沈阳市回民中学监测)如图2-5-16，扇形????????????的弧的中点为???? ，动
点????，????分别在线段????????，????????上，且????????=????????.若????????=1，∠????????????=120? ,则?????????????????
的取值范围是_____.
?
[????????,????????]
?
图2-5-16
【解析】 ∵????????=1,∠????????????=120? ，
?
∴?????????????????=?12 .
设????????=????????????(0≤????≤1),则????????=(1?????)???????? .
????????=????????+????????=?(????????+????????)+????????????=(?????1)????????????????? ,
????????=????????+????????=?(????????+????????)+(1?????)????????=?????????????????????? ,
?
则?????????????????=[(?????1)?????????????????]?(??????????????????????)=(1?????)????????2+????????????2?(????2??????1)?????????????????=12(????2?????+1)=12(?????12)2+38 .
?
∵0≤????≤1，∴?????????????????的取值范围是[38,12] .
?
图2-5-17
以????为坐标原点，????????所在的直线为???? 轴，建立如图2-5-
17所示的平面直角坐标系.
?
∵????????=1，∠????????????=120? ,????为?????????的中点，∴????(12,32) .
设????(1?????,0)(0≤????≤1),则????????=???? ,
即????(?12????,32????) ,
∴????????=(12?????,?32),????????=(?12?????12,32?????32) .
?
故?????????????????=(12?????)(?12?????12)?32(32?????32)=12????2?12????+12=12(?????12)2+38 .
当????=12时，?????????????????取得最小值38 ；
当????=0或1时，?????????????????取得最大值12 .
故?????????????????的取值范围为[38，12] .
?
名师点评 与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数
与三角函数,即寻找变量，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质
求出最值.
平面几何图形中的向量数量积的计算方法
对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目，要注意把握图形的特征，常见的
求解方法有两种：
一是先利用平面向量基本定理，将相关向量用同一组基表示，再利用向量数量积的
运算律将原式展开,最后依据已知条件计算；
二是先建立合适的平面直角坐标系，将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐
标运算.
题型4 向量垂直的应用
例19（1）已知????⊥????,|????|=2,|????|=3,且3????+2????与?????????????垂直，则实数???? 的值为
( )
?
B
A.?32 B.32 C.±32 D.1
?
【解析】∵3????+2????与????????????? 垂直，
∴(3????+2????)?(?????????????)=0 ，
即3????|????|2+(2?????3)??????????2|????|2=0 .
∵????⊥????，|????|=2，|????|=3 ，
∴?????????=0,|????|2=4,|????|2=9 ，
∴12?????18=0，即????=32 .
?
（2）(2025·江苏省常州市期中)已知向量????=(1,1)，????=(2,?3)，若?????????2????与???? 垂直，
则实数???? 等于____.
?
?????
?
【解析】 ?????????2????=(????,????)?2(2,?3)=(?????4,????+6) ,
?
∵(?????????2????)⊥????，∴(?????????2????)?????=0，则(?????4)+(????+6)=0,∴????=?1 .
?
∵(?????????2????)⊥????，∴(?????????2????)?????=0 ，
?
即????????2=2????????? ，
∴????(1+1)=2(1,1)?(2,?3) ，
即2????=?2,∴????=?1 .
?
例20 (2025·广东省广州市期末)设点????为△????????????的外心，平面上的点???? 使
????????=????????+????????+????????，则点????是△???????????? 的( )
?
B
A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心
【解析】
??????????????????=(?????????????????)?(?????????????????)=(????????+????????)?(?????????????????)=|????????|2?|????????|2=0 ，
?
∴????????⊥???????? .
同理可得????????⊥????????，????????⊥????????，从而点????是△???????????? 的垂心.
?
∵????????=????????+????????+???????? ,
?
∴?????????????????=????????+????????,即????????=????????+???????? .
又点????为△???????????? 的外心，
∴(????????+????????)⊥????????，∴????????⊥????????，即????????⊥???????? ,
同理可得，????????⊥????????,????????⊥????????,∴ 点????是△???????????? 的垂心.
?
名师提醒 方法1、方法2在解题过程中都是基于点????是△???????????? 的外心，但方法1偏向于
“数”，利用了????????=????????，方法2偏向于“形”，利用了关于????????，???????? 的平行四边形，同
学们可以细细品味一下.
?
对于非零向量????,????,????⊥??????????????=0 是向量中非常重要的性质，其作用主要有：（1）
证明两向量垂直；（2）利用?????????=0 列方程求未知数的值；（3）解决平面几何图
形中的垂直问题.
?
题型5 向量的模的计算
1 模的计算
例21 (2025·四川省成都市期中)若平面向量????,????满足|????|=1,|????|=2 ,且
|????+????|=|?????????|，则|2????+????| 等于( )
?
B
A.2 B.22 C.2 D.8
?
【解析】∵|????|=1,|????|=2,且|????+????|=|?????????|,∴????⊥????,∴?????????=0 ,故
|2????+????|=4????2+4?????????+????2=4+4=22 .
?
例22 已知|????|=213,????=(2,?3),若????⊥????，则|????+????|= _____.
?
????????
?
【解析】设????=(????,????) ,
则由|????|=213,得????2+????2=52 ①.
由????⊥????，得2?????3????=0 ②.
由①②，得&????=6,&????=4或&????=?6,&????=?4.
∴????=(6,4)或????=(?6,?4) .
∴????+????=(8,1)或????+????=(?4,?7) ,
∴|????+????|=65 .
?
求向量的模的基本思路
?????????=????2=|????|2或|????|=????????? 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这
种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据
平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
?
2 模的最值（取值范围）问题
例23 (2025·浙江省杭州市期末)已知向量????，????的夹角为2π3，且|????|=2|????|=4 ，则
|????+????????|(????∈????) 的最小值是( )
?
C
A.3 B.3 C.23 D.25
?
思路一
思路二
【解析】 （目标函数法） 因为向量????，????的夹角为2π3，且|????|=2|????|=4 ，则
?????????=|????||????|cos2π3=4×2×(?12)=?4 ，
?
可得(????+????????)2=????2+2?????????????+????2????2=4????2?8????+16=4(?????1)2+12≥12 ，当且
仅当????=1时，等号成立，所以|????+????????|(????∈????)的最小值是23 .
?
图2-5-18
（数形结合法） 如图2-5-18，
????????=????，????????=???? ，
∠????????????=2π3.|????+????????|=|?????(?????)????|表示???? 的终
点????与?????????的终点连线的长度（起点均为???? ），
因为????∈????，所以?????????的终点在线段???????? 所在直线
?
上，|????+????????|min就是点????到直线????????的距离，作????????⊥????????于点????，在Rt△???????????? 中，
|????????|=4，∠????????????=π3 ，
?
则????????=4?sinπ3=23，所以|????+????????|min=????????=23 .
?
例24 (2025·吉林省白城市期中)在长方形????????????????中，????????=2，????????=25，点???? 在边
????????上运动，点????在边????????上运动，且保持????????=2，则|????????+????????| 的最大值为( )
?
C
A.17 B.213 C.217 D.13
?
【解析】如图2-5-19，以????为原点，????????所在的直线为????轴，????????所在的直线为???? 轴，建
立平面直角坐标系，
∵????????=2,????????=25 ,
∴????????=????????2?????????2=20?4=4,则????(0,0),????(2,4),????(0,4) .
?
图2-5-19
设∠????????????=???? ,则0≤????≤π2（????,????重合时，这里表示为????=π2 ）,
则????????=2cos????? ,????????=2sin????? ,
∴????(2cos?????,0),????(0,2sin?????) ,
∴????????=(2,4?2sin?????),????????=(2?2cos?????,4) ,
∴????????+????????=(4?2cos?????,8?2sin?????) ,
∴|????????+????????|2
?
=(4?2cos?????)2+(8?2sin?????)2
=84?16(2sin?????+cos?????)
=84?165sin(????+????) ,
?
. .
其中tan?????=12<33=tan?π6,不妨令0∴0+????≤????+????≤π2+???? ，令????=????+???? ,则????∈[????,π2+????],????=sin?????在[????,π2+????] 上的
图象先增后减.
当????=0时，|????????+????????|2=68 ,
当????=π2时，|????????+????????|2=52 ,
∴ 当????=0时，|????????+????????|取得最大值，最大值为217 .
?
图2-5-20
名师点评 本题也可以直接求解.如图2-5-20，取????????的中点???? ，在
Rt△????????????中，????????=12????????=1，点????的轨迹是以点???? 为圆心，半径为1
的圆弧，|????????+????????|=|????????+????????|=2|????????| ，
当????为????????的中点时，|????????|max=42+12=17 ，所以
|????????+????????|max=217 .
?
【学会了吗丨变式题】
3.已知????为△????????????的重心（三条中线的交点），∠????????????=2π3，?????????????????=?2，则|????????|
的最小值为( )
?
C
A.13 B.43 C.23 D.34
?
【解析】取????????的中点为????，连接???????? ，如图D 2-5-2所示.
因为????为△???????????? 的重心，
所以?????????=23????????=13(????????+????????) ,
因为∠????????????=2π3,?????????????????=?2 ,
所以?????????????????=|????????||????????|cos2π3=?2 ,
所以|????????||????????|=4 ,
?
又|????????|=13|????????+????????|=13(????????+????????)2=13|????????|2+|????????|2+2?????????????????=13|????????|2+|????????|2?4≥132|????????||????????|?4=23 ,
?
当且仅当|????????|=|????????|=2 时取等号，
所以|????????|的最小值为23 .
?
图2-5-21
4.(2025·福建省福州文博中学期中)如图2-5-21，在四边形???????????????? 中，
????????⊥????????，????????⊥????????，∠????????????=π3，????????=????????=23．若点???? 为边
????????上的动点，则????????????????? 的最小值为( )
?
B
A.83 B.214 C.?114 D.?133
?
图D 2-5-3
【解析】如图D 2-5-3所示,以????为原点，以????????所在的直线为???? 轴，
以????????所在的直线为???? 轴,建立平面直角坐标系．
?
连接????????,过点????作????????⊥????轴，交????轴于点????，过点????作????????⊥???? 轴，
交????轴于点???? ．
∵????????⊥????????,????????⊥????????,????????=????????=23，∠????????????=π3,∴???????? 平分
∠????????????，即∠????????????=π6，∴????????=2 ,
?
∴????????=3，????????=?????????????????=23?3=3 ,
∴????(0,0),????(2,0),????(0,23),????(3,3) .
设????(0,????)(0≤????≤23),则????????=(?2,????),????????=(?3,?????3) ，
故?????????????????=6+????(?????3)=(?????32)2+214≥214 .
?
题型6 向量的夹角问题
1 求夹角或夹角的余弦值
例25 设向量????，????满足|????|=2，|????|=3，|2?????????|=37，则????与???? 的夹角为( )
?
D
A.π3 B.π6 C.π4 D.2π3
?
【解析】设????与????的夹角为???? ，
由题意得(2?????????)2=37 ，
∴4|????|2+|????|2?4?????????=37 ，
又|????|=2,|????|=3，∴?????????=?3 ，
∴|????||????|cos?????=?3,则cos?????=?12 ．
又????∈[0，π]（注意向量夹角的范围），∴????与????的夹角为2π3 .
?
. .
例26 (2025·山西省长治市期中)已知向量????=(3,1)，????=(1,3)，????=(????,?2) ，若
(?????????)//????，则向量????与向量???? 的夹角的余弦值是( )
?
A
A.55 B.15 C.?55 D.?15
?
【解析】∵????=(3,1),????=(1,3),????=(????,?2) ,
∴?????????=(3?????,3) ,
∵(?????????)//????,∴3(3?????)=1×3,解得????=2 ,
∴?????????=3×2+1×(?2)=4,|????|=10,|????|=22 ,
∴cos?????,?????=?????????|????||????|=410×22=55 .
?
求两个非零向量的夹角的方法
求两个非零向量的夹角???? 或其余弦值一般采用夹角公式cos?????=?????????|????||????| .根据题中条件分
别求出|????|，|????|和?????????.当已知????=(????1,????1)，????=(????2,????2)时，可直接利用公式cos????? ，
?????=????1????2+????1????2????12+????12????22+????22 求余弦值，进而可求夹角.
?
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·河南省南阳市期末)若非零向量????，????满足|????|=3|????|=|????+2????|，则????与???? 夹角
的余弦值为____.
?
?????????
?
【解析】由|????|=3|????|，得|????||????|=13.再由|????|=|????+2????| ，两边平方可得，
|????|2=|????+2????|2=|????|2+4|????|2+4?????????，整理得?????????=?|????|2．设????，????的夹角为???? ，
于是cos?????=?????????|????||????|=?|????|2|????||????|=?|????||????|=?13 .
?
6.已知三点????(2,?2)，????(5,1)，????(1,4)，则∠???????????? 的余弦值为_ ____.
?
????????????????????
?
【解析】∵????????=(5,1)?(2,?2)=(3,3) ，
????????=(1,4)?(2,?2)=(?1,6) ，
∴?????????????????=3×(?1)+3×6=15 .
又|????????|=32+32=32 ，
|????????|=(?1)2+62=37 ，
∴cos∠????????????=?????????????????|????????||????????|=1532×37=57474 .
?
2 已知夹角或其范围求参数
例27 (2025·江苏省如东高级中学测试)已知|????|=2,|????|=1,向量????与????的夹角为45? ,
若向量2????+????????与?????????3????的夹角为锐角，则???? 的取值范围为___________________.
?
(?∞,?????)∪(????,+∞)
?
思路点拨? 利用(2????+????????)?(?????????3????)>0解不等式，再去掉两向量同向共线时???? 的值.
?
【解析】设向量2????+????????与?????????3????的夹角为???? .
∵ 向量2????+????????与?????????3???? 的夹角为锐角,
∴(2????+????????)?(?????????3????)|2????+????????||?????????3????|>0 ,
即(2????+????????)?(?????????3????)>0 ,
2????????2+(????2?6)??????????3????????2>0 .
∵????2=|????|2=2,????2=|????|2=1 ,
?????????=|????||????|cos?45?=2×1×22=1 ,
∴4????+????2?6?3????>0,即????2+?????6>0 ,
解得????2 .
?
设2????+????????=????(?????????3????)=?????????????3????????,（当两向量????，????同向时，仍有?????????>0 ,但此
时?????，?????=0 ,不是锐角，注意排除）
则&2=????????,&????=?3????,∴????2=?6 ,
即不存在???? ，使向量2????+????????与?????????3???? 共线.
综上，向量2????+????????与?????????3????的夹角为锐角时，???? 的取值范围为????2 .
?
. .
利用夹角的范围求参数的取值范围一般利用以下结论：对于非零向量????，???? ，其夹角
为???? ，则有????∈[0,π2)??????????>0；????∈(π2，π]??????????<0 ，由此转化为不等式（组）
求解.
?
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·福建省三明第一中学月考)平面向量????=(1,2),????=(4,2),????=????????+????(????∈????) ，
且????与????的夹角等于????与????的夹角,则????= ___.
?
2
【解析】 由已知得????=(????+4,2????+2)，因为cos?????,?????=?????????|????||????|，cos????? ,
?????=?????????|????||????|，所以?????????|????||????|=?????????|????||????|，由已知得|????|=2|????|，所以2?????????=????????? ，即
2[(????+4)+2(2????+2)]=4(????+4)+2(2????+2)，解得????=2 .
?
易知????是以????????，???? 对应的线段为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因
为????与????的夹角等于????与????的夹角，所以该平行四边形为菱形，则|????|=????|????| ,由已知得
|????|=2|????|，故????=2 .
?
题型7 向量坐标运算与三角函数的交汇
例28 (2025·河北省邯郸市武安一中期中)已知对任意平面向量????????=(????,????)，把???????? 绕
其起点沿逆时针方向旋转???? 角得到向量????????=(????cos??????????sin?????,????sin?????+????cos?????) ，即
点????绕点????沿逆时针方向旋转???? 角得到点????.已知平面内点????(0,1)，点????(2,1?22) ，
把点????绕点????沿顺时针方向旋转π4后得到点????，则点???? 的坐标为( )
?
C
A.(?3,?1) B.(?3,0) C.(?1,?2) D.(?1,?3)
?
【解析】因为????(0,1)，????(2,1?22) ，
所以????????=(2,?22) .
将向量????????顺时针方向旋转π4，即逆时针旋转?π4 ，得到
????????=(2cos(?π4)?(?22)sin(?π4),2sin(?π4)+(?22)cos(?π4))=(?1,?3) .
记坐标原点为????，则????????=????????+????????=(0,1)+(?1,?3)=(?1,?2) ，
所以????点坐标为(?1,?2) .
?
例29 (2025·江苏省镇江中学期末)已知向量????=(cos?????,sin?????),????∈(0,π) ，
????=(cos?2????,cos?????),????∈(π2,π) .
?
（1）若sin(????+π4)=?210，求|????| ；
?
【解析】由题意，|????|=cos?2????+cos2????=cos?2????+cos?2????+12=3cos?2????+12 ，
因为sin(????+π4)=22sin?????+22cos?????=?210 ，
所以sin?????+cos?????=?15 ，
两边平方可得(sin?????+cos?????)2=1+sin?2????=125 ，
即sin?2????=?2425（要求cos?2???? 的值，需确定2???? 是第几象限角）.
又sin(????+π4)=?210<0,????∈(π2,π)，所以????+π4>π ，
即3π4所以|????|=3cos?2????+12=3×725+12=235 .
?
. .
（2）若向量????=(4,3)与向量????共线且|????|=1，求sin(2????+????) 的值.
?
【解析】由题意，向量????=(4,3)与向量???? 共线，
则4sin?????=3cos????? ,sin?????=34cos????? ，
因为????∈(0,π)，且sin2????+cos2????=1 ，
所以sin?????=35,cos?????=45 ，
则sin?2????=2sin?????cos?????=2425,cos?2????=cos2?????sin2????=725 .
由|????|=cos?2????+cos2????=3cos2?????1=1 ，
可得cos2????=23，又????∈(π2,π) ，
所以cos?????=?63,sin?????=33 .
故sin(2????+????)=sin?2????cos?????+cos?2????sin?????=2425×(?63)+725×33=73?24675 .
?
解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路
先运用平面向量的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面向量模
与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等）将问题转化为与三角函数
有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可.
【学会了吗丨变式题】
8.(2025·陕西省咸阳市期末)已知平面向量????=(1,2)，????=(?????1,????) ，
????=(sin(????+π3),12sin?????) .
?
（1）若????⊥????，求实数???? 的值；
?
【答案】????=(????,????)，????=(?????????,????)，由????⊥???? ，得
?????????=?????????+????????=?????????????=????，解得????=???????? .
?
（2）当????∈[0,π2]时，求????(????)=????????? 的最大值和最小值.
?
【答案】????=(????,????)，????=(????????????(????+????????),?????????????????????????) ，
?
则????(????)=?????????=????????????(????+????????)+?????????????????=?????????????????????????+?????????????????????????+?????????????????=?????????????????????????+?????????????????????????=????????????????(????+????????) ，
?
因为????≤????≤????????，所以????????≤????+????????≤???????????? ，
故????(????)????????????=?????????????????????????=????????，????(????)????????????=????????????????????????=???? .
?
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
（1）对向量数量积的考查，高考几乎每年都有，重在对基础知识的考查，一般利用
公式进行代数计算即可轻松解题，有时也可画出图形，借助三角形法则或平行四边
形法则解题.（2）运算是向量的“灵魂”，而向量的坐标运算实现了数与形的沟通，为
向量解决几何问题插上了“翅膀”.在高考中，由于基础性考查的需要，向量的坐标运
算往往作为基础题出现，而当向量作为工具形态解决几何问题的时候，则体现的是
综合性的要求.高考中常以选择题、填空题的形式出现，试题难度为中等及中等偏下.
核心素养：数学运算（坐标运算、求参数、求模及夹角等），直观想象（画图建系）.
考向1 向量的数量积运算
例30（1）(2024·北京)设????,????是向量，则“(????+????)?(?????????)=0”是“????=?????或????=???? ”的
( )
?
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由(????+????)?(?????????)=0，得????2?????2=0，即|????|2?|????|2=0，所以|????|=|????| ，
当????=(1,1)，????=(?1,1)时，|????|=|????|，但????≠????且????≠????? ，故充分性不成立；当
????=?????或????=????时，(????+????)?(?????????)=0 ，故必要性成立.所以“
(????+????)?(?????????)=0”是“????=?????或????=???? ”的必要不充分条件.
?
（2）(2022·全国乙卷)已知向量????，????满足|????|=1,|????|=3，|?????2????|=3,则?????????=
( )
?
C
A.?2 B.?1 C.1 D.2
?
【解析】由|?????2????|=3，可得|?????2????|2=????2?4?????????+4????2=9，又|????|=1 ,
|????|=3，所以?????????=1 .
?
例31 (2025·天津)△????????????中，????为????????中点，????????=13????????,????????=????,????????=????,则????????= ______
___（用????,????表示）;若|????????|=5，????????⊥????????,则?????????????????= _____.
?
????????????+????????????
?
?????????
?
【解析】????????=????????+????????=????????+13????????=????????+13(?????????????????)=23????????+16????????=16????+23????.????????=????????+12????????=12????????? .
?
∵|????????|=5,∴25=(16????+23????)2，即900=????2+16????2+8????????? ①，
?
又????????=?????????????????=?????????,????????⊥???????? ,
∴?????????????????=0，即(16????+23????)?(?????????)=0，得4????2?????2?3?????????=0 ②，
由①②得2?700=80????2?5????2,∴16????2?????2=540 ,
∴?????????????????=(16????+23????)?(12?????????)=112(????2?8????2+2?????????)=112[????2?8????2+
23(4????2?????2（由②可得）)]=136(????2?16????2)=136×(?540)=?15 .
?
. .
. .
????????=?????????????????=????????? ,从而
????????=16????+23????=16(????+4????)=16[6(?????????)?5(?????2????)]=?????????53???????? ,则
????????=35(?????????????????),故?????????????????=35?????????(?????????????????)=?35|????????|2=?15 .（【关键】因为
????????⊥????????，所以将????????和???????? 作为基向量）
?
图2-5-22
如图2-5-22，延长????????交????????于点????，则????????⊥????????，以????????，????????
所在直线分别为????，????轴建立平面直角坐标系，设????(0,?),????(????,0) ,
????(????,0)，则????(0,?+5)，????(????2,?+52)，∴????????=(????2?????,?+52) ，
????????=(?????,?)，∵????????=3????????，∴????2?????=?3????,?+52=3? ，即
????=?4????,?=1，∴????????=(?3????,3) ，又
????????=(0,1)?(0,6)=(0,?5)，∴?????????????????=?15 .
?
例32 (2023·全国乙卷)正方形????????????????的边长是2，????是????????的中点，则?????????????????= ( )
?
B
A.5 B.3 C.25 D.5
?
【解析】 由题意知，????????=????????+????????=12????????+???????? ，
????????=????????+????????=?12????????+???????? ，所以
?????????????????=(12????????+????????)?(?12????????+????????)=|????????|2?14|????????|2 ，由题意知
|????????|=|????????|=2，所以?????????????????=4?1=3 .
?
以点????为坐标原点，????????,????????的方向分别为????,???? 轴的正方向建立平面直角坐标系，
则????(1,0)，????(2,2)，????(0,2)，则????????=(1,2)，????????=(?1,2)，?????????????????=?1+4=3 .
?
考向2 向量的模
例33（1）(2024· 新课标Ⅱ卷)已知向量????，????满足|????|=1，|????+2????|=2 ，且
(?????2????)⊥????，则|????|= ( )
?
B
A.12 B.22 C.32 D.1
?
【解析】由(?????2????)⊥????，得(?????2????)?????=????2?2?????????=0，所以????2=2????????? .
将|????+2????|=2的两边同时平方，得????2+4?????????+4????2=4 ，即
1+2????2+4????2=1+6|????|2=4，解得|????|2=12，所以|????|=22 .（【方法技巧】已知向
量的和（差）的模，往往将两边同时平方，由此将向量的模的问题转化为向量的数
量积问题，从而与条件中的已知向量建立联系）
?
（2）(2022·全国乙卷)已知向量????=(2,1)，????=(?2,4),则|?????????|= ( )
?
D
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 由题意知?????????=(2,1)?(?2,4)=(4,?3) ，所以
|?????????|=42+(?3)2=5 .
?
由题意知|????|=5，|????|=25，?????????=2×(?2)+1×4=0 ，
?
所以|?????????|2=|????|2+|????|2?2?????????=25 ，
所以|?????????|=5 .
?
（3）(2025· 全国二卷)已知平面向量????=(????,1),????=(?????1,2????),若????⊥(?????????) ，则
|????|= ____.
?
????
?
【解析】?????????=(1,1?2????)，由????⊥(?????????) ，得
?????(?????????)=????+1?2????=1?????=0，所以????=1，所以|????|=2 .
?
（4）(2023· 新课标Ⅱ卷)已知向量????，????满足|?????????|=3,|????+????|=|2?????????|,则|????|=
____.
?
????
?
【解析】由|?????????|=3，得????2?2?????????+????2=3 ，
即2?????????=????2+????2?3 ①.
由|????+????|=|2?????????|，得????2+2?????????+????2=4????2?4?????????+????2 ，
整理得，3????2?6?????????=0 ，
结合①，得3????2?3(????2+????2?3)=0 ，
整理得，????2=3，所以|????|=3 .
?
考向3 向量的夹角
例34（1）(2023·全国甲卷)已知向量????=(3,1)，????=(2,2)，则cos?????+????，??????????=
( )
?
B
A.117 B.1717 C.55 D.255
?
【解析】由题意知，????+????=(5,3)，?????????=(1,?1)，所以cos?????+???? ，
??????????=(????+????)?(?????????)|????+????||?????????|=5×1+3×(?1)34×2=2217=1717 .
?
（2）(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量????=(3,4),????=(1,0),????=????+????????,若?????,?????=?????,????? ,
则????= ( )
?
C
A.?6 B.?5 C.5 D.6
?
【解析】由题意，得????=????+????????=(3+????,4) ，所以
?????????=3×(3+????)+4×4=25+3????，?????????=1×(3+????)+0×4=3+???? ．
因为?????,?????=?????,?????，所以cos?????,?????=cos?????,????? ，
即?????????|????||????|=?????????|????||????| ，
即25+3????5=3+????，解得????=5 ．
?
考向4 向量的垂直
例35（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知向量????=(0,1),????=(2,????),若????⊥(?????4????)，则????=
( )
?
D
A.?2 B.?1 C.1 D.2
?
【解析】 因为????=(0,1),????=(2,????),所以?????4????=(2,?????4)，又????⊥(?????4????) ，
所以?????(?????4????)=2×2+????(?????4)=(?????2)2=0，解得????=2 .
?
?????(?????4????)=????2?4?????????=4+????2?4(0×2+1×????)=(?????2)2=0 ，解
得????=2 .
?
（2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知向量????=(1,1)，????=(1,?1).若(????+????????)⊥(????+????????) ，则
( )
?
D
A.????+????=1 B.????+????=?1 C.????????=1 D.????????=?1
?
【解析】因为????=(1,1),????=(1,?1)，所以????+????????=(1+????,1?????) ，
????+????????=(1+????,1?????)，因为(????+????????)⊥(????+????????)，所以(????+????????)?(????+????????)=0 ，
所以(1+????)?(1+????)+(1?????)?(1?????)=0，整理得????????=?1 .
?
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·四川省绵阳中学测试)若向量????，????满足|????|=|????|=2 ，
|????+????|=23 ，则( )
?
BC
A.?????????=?2 B.????与????的夹角为π3
C.|?????????|<|????+????| D.?????????在????上的投影的数量为12
?
【解析】∵|????|=|????|=2，|????+????|=23 ，
∴|????+????|2=????2+2?????????+????2=4+2?????????+4=12，所以?????????=2 ，A错误；
设????，????的夹角为???? ，则cos?????=?????????|????||????|=22×2=12，由于????∈[0,π]，∴????与????的夹角为π3 ，
故B正确；
|?????????|=(?????????)2=????2?2?????????+????2=4?2?????????+4=2<|????+????|=23 ，
故C正确；
?????????在????上的投影的数量为(?????????)?????|????|=??????????????22=?1，故D错误．故选BC ．
?
2.新定义 向量叉积[多选题](2025·河南省濮阳外国语学校期中)已知向量????，???? 的数量
积（又称向量的点积或内积）：?????????=|????||????|cos＜????，????＞，其中＜????，????＞ 表示向量
????，????的夹角.定义向量????，???? 的向量积（又称向量的叉积或外积）
：|????×????|=|????||????|?sin＜????，????＞，其中＜????，????＞表示向量????，???? 的夹角.则下列说法
正确的是( )
?
ABC
A.若????，????为非零向量，且|????×????|=0，则????//????
B.若????，????为非零向量，且|????×????|=?????????，则＜????，????＞=π4
C.若|????×????|=3?????????=3，则|????+2????|的最小值为23
D.已知点????(3,0)，????(1,1)为坐标原点，则|????????×????????|=23
?
【解析】对于A，因为????，????为非零向量，且|????×????|=|????||????|sin＜????，????＞=0 ，所以
＜????，????＞=0或π ，所以????//???? ，故A正确；
对于B，若????，????为非零向量，且|????×????|=?????????，即|????||????|sin＜???? ，
????＞=|????||????|cos＜????，????＞，则sin＜????，????＞=cos＜????，????＞,则＜????，????＞=π4 ，故B正
确；
对于C，由|????×????|=3?????????，得|????||????|sin＜????，????＞=3|????||????|cos＜????，????＞ ，则
tan＜????，????＞=3，则＜????，????＞=π3，又?????????=|????||????|?cos＜????，????＞=1 ，所以
|????||????|=2，则|????+2????|=|????|2+|2????|2+4?????????≥4+2|????||2????|=4+8=23 ，
当且仅当|????|=|2????|=2 时，等号成立，故C正确；
?
对于D，|????????×????????|=|????????||????????|sin＜????????，????????＞=|????????||????????|?1?cos2＜???????? ,
????????＞=|????????||????????|1?(?????????????????|????????||????????|)2=(|????????||????????|)2?(?????????????????)2=6?3=3 ，故
D错误.
故选ABC .
?
3.[多选题](2025·福建省泉州市期末)在边长为4的正方形????????????????中，???? 在正方形（含边）
内，满足????????=????????????+???????????? ，则下列结论正确的是( )
?
AD
A.若点????在????????上时，则????+????=1
B.????+????的取值范围为[1,4]
C.若点????在????????上时，则????????+????????=2????????????+2????????????
D.当????在线段????????上时，????2+????23的最小值为16
?
图D 2-5-4
【解析】如图D 2-5-4，以????为坐标原点，????????所在直线为????轴，????????
所在直线为????轴，建立平面直角坐标系，则????(0,0)，????(4,0) ，
????(4,4)，????(0,4) .
?
设????(????,????)，????,????∈[0,4]，∵????????=????????????+???????????? ，
∴(????,????)=????(4,0)+????(0,4)，∴&????=4????,&????=4????.
?
对于A，由题意可得线段????????的方程为????′+????′=4，????′∈[0,4]，∵ 点????在???????? 上，
∴????+????=4 ，
∵&????=4????,&????=4????,∴????+????=4(????+????)=4，∴????+????=1 ，故A正确.
对于B，∵&????=4????,&????=4????,∴????+????=4(????+????)，∴????+????=????+????4 ，
?
∵????,????∈[0,4]，∴????+????∈[0,8]，∴????+????∈[0,2] ，故B错误.
对于C，∵????????=(????,????)，????????=(4,4)，∴????????+????????=(????+4,????+4) ，
∵2????????????+2????????????=2????(4,0)+2????(0,4)=(8????,8????) ，
∵&????=4????,&????=4????,∴2????????????→+2????????????→=(2????,2????) ，
假设????????+????????=2????????????+2????????????，则&????+4=2????,&????+4=2????,∴&????=4,&????=4.
∵????+????=4 ，
∴&????=4,&????=4不成立，∴????????+????????=2????????????+2???????????? 不成立，故C错误.
?
对于D，????2+????23=(????+????)2?2????????3=1?2????????3≥1?2×(????+????2)23=16 ，当且仅当
????=????=12时取等号，∴ 当????在线段????????上时，????2+????23的最小值为16 ，
故D正确．故选AD ．
?
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·吉林省普通高中友好学校联合体期末)已知????(0,0)，????(2,0)，????(3,1) ,则
(?????????????????)?????????= ( )
?
A
A.4 B.2 C.?2 D.?4
?
【解析】由已知得????????=(2,0),????????=(3,1),?????????????????=(1,1) ,
则(?????????????????)?????????=(1,1)?(3,1)=3+1=4 .
?
2.已知|????|=2,|????|=3,????,????的夹角为60? ,则|2?????????|= ( )
?
B
A.21 B.13 C.1 D.0
?
【解析】|2?????????|=4????2+????2?4?????????=16+9?4×2×3cos?60?=13 .
?
3.(2025·四川省成都市模拟)设????=(1,2),????=(1,1),????=????+????????.若????⊥????,则实数???? 的值等
于( )
?
A
A.?32 B.?53 C.53 D.32
?
【解析】因为????=(1+????,2+????)，?????????=0，所以1+????+2+????=0 ，
解得????=?32 ．
?
4.(2025·广东省汕头市期末)在△????????????中，已知????????=2，????????=3，∠????????????=60? ，
????????，????????分别是????????，????????边上的中线，则?????????????????= ( )
?
D
A.52 B.?52 C.12 D.?12
?
【解析】依题意?????????????????=2×3×cos?60?=3 ,
因为????????,????????分别是????????,????????边上的中线，则????????=12(????????+????????) ,
????????=12(????????+????????)=12(?????????+?????????????????)=12(?2????????+????????) ,
?
则?????????????????=12(????????+????????)?12(?2????????+????????)=14(?2????????2??????????????????+????????2)=14(?2×4?3+9)=?12 .
?
5.[多选题](2025·四川省宜宾市期末)已知向量????=(2,1)，????=(?3,1) ，则( )
?
BC
A.(????+????)⊥????
B.向量????在向量????方向上的投影数量为?102
C.????与?????????的夹角的余弦值为255
D.若????=(55,?255)，则????//????
?
【解析】因为????=(2,1)，????=(?3,1) ，
所以(????+????)?????=(?1,2)?(?3,1)=3+2=5≠0 ，故A错误；
向量????在向量????方向上的投影数量为?????????|????|=?6+110=?102 ，故B正确；
cos?????，??????????=?????(?????????)|????|?|?????????|=255 ，故C正确；
若????=(55,?255)，则2×(?255)=?455≠1×55，故????，???? 不平行，故D错误.故选
BC ．
?
6.[多选题](2025·山东省济宁市月考)设向量????，????满足|????|=|????|=1，且|?????2????|=5 ，
则以下结论正确的是( )
?
AC
A.????⊥???? B.|????+????|=2 C.|?????????|=2 D.?????,?????=60?
?
【解析】因为|????|=|????|=1，且|?????2????|=5，所以????2?4?????????+4????2=5 ，所以
?????????=0，故????⊥???? ，选项A正确；
因为(????+????)2=????2+2?????????+????2=2，所以|????+????|=2 ，B错误；
因为(?????????)2=????2?2?????????+????2=2，所以|?????????|=2 ，C正确；
因为????⊥????，所以?????,?????=90? ，D错误.
?
7.设向量????=(????,1)，????=(1,2)，且|????+????|2=|????|2+|????|2，则????= ____.
?
?????
?
【解析】由|????+????|2=?|????|2+|????|2，得????⊥????，则????+2=0 ，
所以????=?2 .
?
8.已知????,????,????是同一平面内的三个向量，其中????=(1,2) .
?
（1）若|????|=25，且????//????，求???? 的坐标；
?
【答案】设????=(????,????),∵|????|=???????? ,
∴????????+????????=????????,即????????+????????=???????? .
由????//????和|????|=????????，可得&?????????????=????,&????????+????????=????????,
解得&????=????,&????=????或&????=?????,&????=?????.
故????=(????,????)或????=(?????,?????) .
?
（2）若|????|=52,且????+2????与2?????????垂直，求????与????的夹角???? .
?
【答案】∵(????+????????)⊥(?????????????),∴(????+????????)?(?????????????)=???? ，即
????????????+??????????????????????????=????，∴????×????+??????????????????×????????=????,整理得?????????=????????? ，
∴?????????????????=?????????|????||????|=?????.又????∈[????,????],∴????=???? .
?
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.新情境 赵爽弦图 (2025·河南省信阳高级中学月考)图2-5-1是我国古代数学家赵爽
创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个
大的正方形．某同学深受启发，设计出如图2-5-2所示的图形，它是由三个全等的钝
角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若????????=4，????????=2 ，那么
?????????????????= ( )
?
D
A.6 B.3 C.?3 D.?6
?
【解析】由题意可知，∠????????????=∠????????????=∠????????????=60? ，
∴∠????????????=∠????????????=∠????????????=120? ，
又????????=4，????????=2，∴????????=????????=????????=4 ，
????????=????????=????????=????????=????????=????????=2 ，
?
?????????????????=(????????+????????)?(????????+????????)=?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????=|????????|?|????????|?cos?120?+|????????|?|????????|?cos?180?+|????????|?|????????|?cos?60?+|????????|?|????????|?cos?120?=2×2×(?12)+2×2×(?1)+2×2×12+2×2×(?12)=?2?4+2?2=?6 ．
?
10.新定义 斜坐标系 (2025·江西省宜丰中学月考)如图2-5-3，设????∈(0,π)，且????≠π2 ，
当∠????????????=???? 时，定义平面坐标系????????????为???? 的斜坐标系.在???? 的斜坐标系中，任意一
点????的斜坐标这样定义：设????1，????2是分别与????轴，???? 轴正方向相同的单位向量，若
????????=????????1+????????2，则????(????,????) .则下列结论中正确的是( )
?
C
图2-5-3
A.设非零向量????，????,????=(????,????)，????=(????,????)，若????⊥???? ，则
????????+????????=0
B.设非零向量????=(????,????)，则|????|=????2+????2
C.设非零向量????,????,????=(????,????)，????=(????,????)，若????//???? ，则
?????????????????=0
D.设????=(1,2)，????=(2,1)，若????与????的夹角为π3，则????=π3
?
【解析】对于A，因为????=(????,????)，????=(????,????)，所以????=????????1+????????2，????=????????1+????????2 ，
又????⊥????，所以?????????=0 ，即
?
(????????1+????????2)?(????????1+????????2)=????????????12+(????????+????????)????1?????2+????????????22=????????+????????+(????????+????????)cos?????=0，所以cos?????=?????????+????????????????+????????，因为????≠π2，所以????????+????????≠0 ，故A错误；
?
对于B，因为????=(????,????)，所以????=????????1+????????2 ，所以
|????|=|????????1+????????2|=????2+????2+2????????cos?????，又????∈(0,π)，且????≠π2 ，所以
|????|≠????2+????2 ，故B错误；
对于C，因为????=(????,????)，????=(????,????)，所以????=????????1+????????2，????=????????1+????????2，又????//???? ，
则????=????????，即????????1+????????2=????(????????1+????????2)，即&????=????????,&????=????????,
?
所以?????????????????=0 ，故C正确；
对于D，因为????=(1,2)，????=(2,1)，所以????=????1+2????2，????=2????1+????2，又????与???? 的夹
角为π3，所以cosπ3=?????????|????||????|=(????1+2????2)?(2????1+????2)|????1+2????2||2????1+????2|=2????12+5????1?????2+2????22(????1+2????2)2(2????1+????2)2=4+5cos?????5+4cos????? ，解得
cos?????=?12，又????∈(0,π)且????≠π2,所以????=2π3 ，故D错误.
?
11.新情境 折扇 [多选题](2025·福建省石狮市永宁中学期初)折扇又名“撒扇”“纸扇”，
是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图2-5-4
（1）．其平面图如图2-5-4（2）的扇形????????????，其中∠????????????=2π3，????????=3????????=3 ，点
????在????????? 上．则下列结论正确的是( )
?
BCD
图2-5-4
A.?????????????????=?2
B.若????????=????????????+????????????,则????=1
C.若∠????????????=π6,则????????=33????????+233????????
D.?????????????????的最小值为?132
?
图D 2-5-1
【解析】如图D 2-5-1，以直线????????为????轴，以过????且垂直????????的直线为????
轴建立平面直角坐标系，则????(0,0),????(1,0),????(3,0) ,根据题意及三角函
数的定义可得????(3cos?2π3,3sin?2π3),????(cos?2π3,sin?2π3),即????(?32,332) ,
????(?12,32) .
?
设∠????????????=????∈[0,2π3],则????(cos?????,sin?????) .
对于A,?????????????????=(?32,332)?(32,?32)=?92 ,
∴A 错误.
对于B,∵????????=????????????+???????????? ,
∴(cos?????,sin?????)=????(?12,32)+????(1,0) ,
?
∴cos?????=12???? ,sin?????=32???? ,
∴cos2????+sin2????=14????2+34????2=????2=1 ,
又由图可知????>0,∴????=1,∴B 正确.
对于C,∵∠????????????=π6,∴????(32,12) .
设????????=????????????+????????????,则(32,12)=????(?12,32)+????(1,0) ,
∴&32=?12????+????,&12=32????,解得&????=33,&????=233,
∴????????=33????????+233????????,∴C 正确.
?
对于D,?????????????????
=(?32?cos?????,332?sin?????)?(3?cos?????,?sin?????)
=(cos?????+32)(cos??????3)+sin?????(sin??????332)
=cos2?????32cos??????92+sin2?????332sin?????
=?72?3sin?(????+π6) ,
又????∈[0,2π3],∴????+π6∈[π6,5π6] ,
∴sin?(????+π6)的最大值为sin?π2=1 .
∴?????????????????的最小值为?72?3×1=?132,∴D 正确.
故选BCD .
?
12.(2025·山东省济宁市期中)如图2-5-5放置的边长为1的正方形????????????????中，????,???? 分别在
????轴、????轴的非负半轴上滑动，则????????????????? 的最大值是___.
?
2
图2-5-5
【解析】如图D 2-5-2所示，取????????的中点????，????????的中点???? ，则
?????????????????=14[(????????+????????)2?(?????????????????)2]=????????2?14????????2=????????2?14 .
?
图D 2-5-2
连接????????,????????，????????,则有????????≤????????+????????=12????????+????????=32,当????，????,???? 三点共线时等号
成立，因此????????的最大值为32，故?????????????????的最大值为(32)2?14=2 .
?
13.新考法 结构不良 (2025·河北省石家庄一中期中)已知平面直角坐标系中，向量
????=(1,?2)，????=(?3,4) ．
?
（1）若????//(3????+????)，且|????|=2，求向量???? 的坐标；
?
【答案】设????=(????,????)，由题意得????????+????=(????,?????) .
∵????//(????????+????)，∴??????????=?????????，解得????=???? ，
∵|????|=????，∴????????+????????=|????|=????，解得????=±???? ，
∴ 向量????的坐标为(????,????)或(????,?????) ．
?
（2）若????与????+????????的夹角为锐角，求实数???? 的取值范围．
?
【答案】????+????????=(?????????????,?????+????????) ，
当????与????+????????共线时，????×(?????+????????)=(?????????????)×(?????) ，
解得????=???? .
当????与????+????????的夹角为锐角时，?????(????+????????)=????×(?????????????)+(?????)×(?????+????????)>????
且????≠????，解得????∴????与????+????????的夹角为锐角时，实数???? 的取值范围为(?∞,????)∪(????,????????????) （易错点：不
要忽略共线的情况）.
?
. .
14.在平面直角坐标系中，????为坐标原点，????，????，????三点满足????????=13????????+23???????? .
?
（1）求证：????，????，????三点共线，并求|????????||????????| 的值；
?
【答案】∵????????=????????????????+????????????????,∴?????????????????=????????(?????????????????) ,
∴????????=????????????????,又????????，????????有公共点???? ，
∴????，????，????三点共线,|????????||????????|=???????? .
?
（2）已知????(1,sin?????),????(1+sin?????,sin?????),????∈(0,π) ，且函数
????(????)=?????????????????+(2?????23)|????????|的最小值为12，求实数???? 的值.
?
【答案】∵????(????,?????????????????),????(????+?????????????????,?????????????????) ,
∴????????=????????????????+????????????????=(????+?????????????????????????,?????????????????) ,
∴?????????????????=????+?????????????????????????+???????????????????? .
又????????=(?????????????????,????),∴|????????|=????????????????? ,
∴????(????)=?????????????????+(?????????????????)|????????|=????????????????????+?????????????????????????+????,????∈(????,????) .
设?????????????????=????,∵????∈(????,????),∴????∈(????,????] ,
∴????=????????+????????????+????=(????+????)????+????????????? .
?
①当?????≤????,即????≥????时，????=????????+????????????+???? 无最小值，不合题意；
②当????∴????=????????? ;
③当?????>????，即????????=?????????>????? ,不合题意.
综上可知，????=????????? .
?
C 培优练丨能力提升
15.如图2-5-6，在△????????????和△????????????中，????是????????的中点，????????=????????=2，????????=????????=3 ，
若点????为????????上的动点，则?????????????????的最小值为___，若?????????????????+?????????????????=7 ，则
?????????????????= ___.
?
????????????
?
2
图2-5-6
【解析】连接
????????.?????????????????=?????????????????=(????????+????????)?(????????+????????)=(????????+????????)?(?????????????????)=|????????|2?|????????|2=|????????|2?1 ，
?
设点????到????????的距离为?，所以12???3=12?2?32?(22)2，解得?=423，所以|????????| 的
最小值为423 ，
故?????????????????=|????????|2?1≥(423)2?1=239 ．
故?????????????????的最小值为239 ．
因为????????2=9=(?????????????????)2=????????2+????????2?2?????????????????=9+4?2????????????????? ，所以
?????????????????=2 .
?
又?????????????????+?????????????????=7 ，
?????????????????+?????????????????
=?????????(????????+????????)+?????????(????????+????????)
=????????2+?????????????????+?????????????????+?????????????????
=4+?????????(?????????)+2+?????????????????
=6+?????????(?????????????????)
=6+12????????????????? ，
所以?????????????????=2 ．
第二章 平面向量及其应用
§5 从力的做功到向量的数量积
必备知识解读
知识点1 向量的数量积
1 向量数量积的物理背景
图2-5-1
如图2-5-1，一个物体在力????的作用下发生了一段位移???? ，
就说这个力对物体做了功.那么力???? 对物体做的功为
????=|????||????|cos??????，其中???? 是????与???? 的夹角.
?
知识剖析 （1）功???? 是一个数量，不仅与力、位移的大小有
关，且与它们之间夹角???? 的余弦值有关.
?
（2）当0?≤????<90? 时，????>0，即力????做正功；当????=90? 时，????=0 ，即
力????不做功；当90??
2 向量的数量积
图2-5-2
如图2-5-2，已知两个非零向量????和???? ，作
????????=????，????????=????，向量????与????的夹角∠???????????? 记为
?????，?????或???? （0?≤????≤180? （这个范围要记
牢！））.|????||????|cos????? 称为????与???? 的数量积
?
规定零向量与任一向量的数量积为0.
（或内积），记作 ?????????（结果是数量，而不是向量，它的符号由cos????? 决定），即
?????????=|????||????|cos?????，?????=|????||????|cos????? . （不能写成????×????或???????? .）
?
. .
. .
. .
知识剖析 数量积的符号与夹角的关系
已知两个非零向量????与???? ,则
①当?????,?????=0? 时，cos?????,?????=1，?????????=|????||????| ；
②当0?0，?????????>0 ；
③当?????,?????=90? ，cos?????,?????=0，?????????=0 ；
④当90? ⑤当?????,?????=180? 时，cos?????,?????=?1，?????????=?|????||????| .
?
3 投影
图2-5-3
如图2-5-3，已知两个非零向量????和????，作????????=????,????????=???? ,过
点????向直线????????作垂线，垂足为????′，得到向量????=????????′,???? 称为????在????
上的投影向量.
?
|????|cos?????,?????称为投影向量???? 的数量，也称为向量????在向量????
方向上的投影数量，可以表示为?????????|????| .
?
所以投影数量是数量积的特殊情况.
. .
4 向量数量积????????? 的几何意义
?
数量积?????????的几何意义：????的长度|????|与????在????方向上的投影数量|????|cos????? 的乘积
（如图2-5-4），或????的长度|????|与????在????方向上的投影数量|????|cos????? 的乘积.
?
图2-5-4
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P109 T3］在△????????????中，????????=????,????????=????，当?????????>0时，△????????????
为( )
?
C
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】在△????????????中，?????????????????=??????????????????=??????????<0,|????????||????????|cos?????????,?????????<0 ,
∴cos?????????,?????????<0 ,
∴?????????,?????????>90? .
故△???????????? 为钝角三角形.
?
【想一想丨追根究底】
本题是在△????????????中由?????????????????<0,得到????????,???????? 的夹角为钝角.那么在一般情况下，能否
由?????????<0得到向量????,????的夹角???? 为钝角？
事实上，因为?????????=|????||????|cos?????，故由?????????<0可得cos?????< 0，又
0?≤????≤180? ，故90?到向量????,????的夹角???? 为钝角.同样地，由?????????>0只能得到???? 为锐角或零角.
?
例1-2 ［教材改编P108 例1］
（1）已知向量????，????满足|????|=2，????与????的夹角为60? ，则????在???? 方向上的投影数量为
___．
?
1
【解析】已知向量????,????的夹角????=60? ,故????在???? 方向上的投影数量为
|????|cos?????=2cos?60?=2×12=1 .
?
（2）若|????|=4,?????????=6，则????在???? 方向上的投影数量为_ _.
?
????????
?
【解析】 设????与????的夹角为???? .
?
因为?????????=|????||????|cos?????=6，且|????|=4,所以4|????|cos?????=6 ，
所以????在????方向上的投影数量为|????|cos?????=32 .
?
根据向量????在????方向上的投影数量为?????????|????|，将已知条件代入可得????在???? 方向上的
投影数量为32 .
?
知识点2 数量积的运算性质
1 数量积的运算律
对于任意的向量????,????,????和实数????：
（1）交换律：?????????=????????? ；
（2）与数乘的结合律：????(?????????)=(????????)?????=?????(????????) ；
（3）关于加法的分配律：(????+????)?????=?????????+????????? .
?
2 数量积的性质
对于非零向量????,????和单位向量???? :
（1）?????????=?????????=|????|cos?????，????? ;
（2）?????????=0?????⊥???? ；
（3）?????????=|????|2（?????????也可以记作????2）,即|????|=????????? ；
（4）cos?????，?????=?????????|????||????| ;
（5）|?????????|≤|????||????|，当且仅当????//????时等号成立（当????与???? 同向时，
?????????=|????||????|；当????与????反向时，?????????=?|????||????| ）.
?
. .
辨析比较
向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别
向量的数量积
向量的数乘
实数的乘法
?????????=0?????,???? 至少有一个为0或
?????,?????=π2 .
????????=0(????∈????)?????=0
或????=0 .
????????=0?????，???? 至少
有一个为0.
?????????=??????????????=0或????=????或????? ,
??????????=π2 .
????????=????????(????∈????)?????=????或????=0 .
????????=?????????????=???? 或
????=0 .
(?????????)?????与?????(?????????) 不一定相等.
(????????)????=????(????????)(????∈????,????∈????) .
(????????)????=????(????????) .
向量的数量积
向量的数乘
实数的乘法
学思用·典例详解
例2-3 ［多选题］下列命题正确的是( )
AD
A.?????????=0
B.若????≠????，则对任一非零向量????都有?????????≠0
C.若?????????=0，则????与????中至少有一个为????
D.若????与????是两个单位向量，则????2=????2
?
【解析】A正确，因为????的长度为0，结合数量积的公式可知?????????=0 .
B，C错误，当非零向量????⊥????时，有?????????=0 .
D正确，因为|????|=|????|=1,所以????2=|????|2=1,????2=|????|2=1,故????2=????2 ．
?
例2-4 ［教材改编P109 T2（2）］设????，????是单位向量，若????⊥????，则(????+????)????? 的值
为( )
?
A
A.1 B.0 C.?1 D.?2
?
【解析】因为????⊥????，所以?????????=0，所以(????+????)?????=?????????+????2=0+1=1 ．
?
例2-5 已知平面向量????与????为单位向量，它们的夹角为π3，则|2????+????|= ( )
?
D
A.2 B.3 C.5 D.7
?
【解析】∵?????????=|????||????|cos＜????,????＞=cos?π3=12 ,
∴|2????+????|=|2????+????|2=4|????|2+4?????????+|????|2=4+2+1=7 .
?
知识点3 向量数量积的坐标表示
已知两个向量????=(????1,????1),????=(????2,????2),在直角坐标系中，设????,????分别是????轴和???? 轴
方向上的单位向量，则
?????????=(????1????+????1????)?(????2????+????2????)=????1????2?????????+????1????2?????????+????2????1?????????+????1????2????????? .
因为?????????=?????????=1,?????????=?????????=0,所以?????????=????1????2+????1????2 .（两个向量的数量积
等于它们对应坐标的乘积的和）
特别提醒 公式?????????=|????||????|cos＜????,????＞ ①与?????????=????1????2+????1????2 ②都是用来求两向
量的数量积的，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则利用公式①求解；若已知
两向量的坐标，则用公式②求解.
?
. .
学思用·典例详解
例3-6 (2025·江苏省泰州市期中)已知????=(1,?1)，????=(2,4)，则?????(????+????)= ( )
?
B
A.?1 B.0 C.1 D.2
?
【解析】?????(????+????)=(1,?1)?(3,3)=3?3=0 .
?
知识点4 向量的模和夹角的坐标表示
1 向量模的坐标表示
设????=(????,????)，则|????|2=????2=????2+????2，或|????|=????2+????2 .
?
2 两点间的距离公式
如果表示向量????的有向线段????????的起点和终点坐标分别为????(????1,????1)，????(????2,????2) ，那
么????=(????2?????1,????2?????1)，|????|=|????????|=(????2?????1)2+(????2?????1)2 ，这就是平面直角
坐标系中两点间的距离公式.
?
3 向量的夹角公式
设????=(????1,????1),????=(????2,????2),????与????的夹角为???? ，
则?????????=|????||????|cos?????=????1????2+????1????2 ,
cos?????=?????????|????||????|=????1????2+????1????2????12+????12?????22+????22(|????||????|≠0) .
知识延伸 （1）向量????=(????2,????2)在向量????=(????1,????1) 方向上的投影数量为
|????|cos??????=?????????|????|=????1????2+????1????2????12+????12 .
（2）因为与非零向量????=(????1,????1) 同向的单位向量的坐标表示为
????|????|=(????1????12+????12,????1????12+????12),所以向量????=(????2,????2)在向量????=(????1,????1) 上的投影向量的坐标表
示为?????????|????|?????|????|=????1????2+????1????2????12+????12(????1,????1)=(????12????2+????1????1????2????12+????12,????1????2????1+????12????2????12+????12) .
?
4 向量垂直的坐标表示
已知向量????=(????1,????1)，????=(????2,????2)，因为????⊥??????????????=0 ，所以
?????????=????1????2+????1????2=0，即????⊥?????????1????2+????1????2=0 .
?
. .
学思用·典例详解
例4-7 [教材改编P111 T2]已知向量????=(1,3),????=(3,1),则????与???? 夹角的大小为__.
?
????????
?
【解析】由题意得|????|=1+3=2,|????|=3+1=2 ,
?????????=1×3+3×1=23 .
设????与????的夹角为???? ，
则cos?????=232×2=32 .
∵????∈[0,π],∴????=π6 .
?
例4-8 向量????=(3,4)在向量????=(1,?1) 方向上的投影数量为_ ____.
?
?????????
?
【解析】向量????在向量????方向上的投影数量为?????????|????|=?12=?22 .
?
例4-9 判断下列各对向量是否垂直:
（1）????=(?3,2),????=(4,6) ;
?
【解析】∵?????????=(?3)×4+2×6=0,∴????与???? 垂直.
?
（2）????=(13,12),????=(2,?23) .
?
【解析】∵?????????=13×2+12×(?23)=13≠0,∴????与???? 不垂直.
?
关键能力构建
题型1 求向量的投影数量
例10 在等腰三角形????????????中，????????=????????=2，∠????????????=30? ，????为???????? 的中点.
?
（1）求????????在???????? 方向上的投影数量；
?
【解析】????????在????????方向上的投影数量为|????????|cos?150?=2×(?32)=?3 .
?
（2）求????????在???????? 方向上的投影数量.
?
【解析】????????在????????方向上的投影数量为|????????|cos?150?=3×(?32)=?32 .
?
【解析】如图2-5-5，连接????????.因为????????=????????，????为????????的中点，所以????????⊥???????? .
?
图2-5-5
又????????=2，∠????????????=30? ，
所以????????=????????=????????cos?30?=3 .
由图2-5-5可知????????与????????的夹角为∠????????????的补角，所以向量????????与????????的夹角为150? .
?
求一个向量在另一个向量方向上的投影数量时，要先根据题意确定该向量的模及两
向量夹角的大小，再根据公式求解.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·山东省日照市期末)△????????????的外接圆的圆心为????，半径为1，2????????=????????+????????
且|????????|=|????????|,则向量????????在向量???????? 方向上的投影数量为( )
?
A
A.12 B.32 C.?12 D.?32
?
图D 2-5-1
【解析】如图D 2-5-1,由于2????????=????????+???????? ,结合向量加法的几何
意义可知，????为????????边的中点，又????为△???????????? 外接圆的圆心，
∴????????⊥???????? .
∵|????????|=|????????|，△???????????? 的外接圆的半径为1，
?
∴|????????|=|????????|=1，∴|????????|=2，∠????=60? ,
∴ 向量????????在向量????????方向上的投影数量为|????????|cos?60?=12 .
?
题型2 求向量的数量积
1 向量数量积的简单计算
例11 ［教材改编P113练习T2］已知|????|=1,|????|=2,????与????的夹角为120? ,求:
?
（1）????????? ;
?
【解析】?????????=|????||????|cos?120?=1×2×(?12)=?1 .
?
（2）????2?????2 ;
?
【解析】????2?????2=|????|2?|????|2=1?4=?3 .
?
（3）(2?????????)?(????+3????) ;
?
【解析】(2?????????)?(????+3????)=2????2+5??????????3????2=2|????|2+5|????||????|cos?120??3|????|2=2?5?12=?15 .
?
（4）|????+????| .
?
【解析】|????+????|=(????+????)2=????2+2?????????+????2=1?2+4=3 .
?
求向量的数量积的两个关键点
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或
两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公
式进行化简.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·湖南省长沙市雅礼教育集团期中)设向量????，????满足|????+????|=10，|?????????|=
6，则?????????= ( )
?
A
A.1 B.2 C.3 D.5
图D 2-5-2
【解析】因为|????+????|=10，所以|????+????|2=10 ，即
????2+2?????????+????2=10 ①.又|?????????|=6 ，所以
????2?2?????????+????2=6 ②.
由①?②得 4?????????=4，则?????????=1 .
?
2 向量数量积的简单坐标运算
例12（1）已知向量????=(1,????),????=(2,2),且????+????与????共线,那么????????? 的值为___.
?
4
【解析】依题意得????+????=(3,????+2),由????+????与????共线，得1×(????+2)?3????=0 ,解得
????=1,故?????????=2+2????=4 .
?
（2）已知????=(2,?1),????=(3,?2),则(3?????????)?(?????2????)= _____.
?
?????????
?
【解析】 ∵?????????=2×3+(?1)×(?2)=8,????2=22+(?1)2=5 ,
????2=32+(?2)2=13 ,
?
∴(3?????????)?(?????2????)=3????2?7?????????+2????2=3×5?7×8+2×13=?15 .
?
∵????=(2,?1),????=(3,?2) ,
?
∴3?????????=(6,?3)?(3,?2)=(3,?1) ,
?????2????=(2,?1)?(6,?4)=(?4,3) ，
∴(3?????????)?(?????2????)=3×(?4)+(?1)×3=?15 .
?
题型3 平面几何图形中的向量数量积问题
1 数量积的直接求解
图2-5-6
例13（1）如图2-5-6，在Rt△????????????中，∠????=90? ，????????=1 ，则
????????????????? 的值是( )
?
B
A.1 B.?1 C.2 D.?2
?
【解析】 ?????????????????=|????????||????????|?cos （180??∠????????????）=?|????????||????????|cos∠????????????=
?|????????||????????||????????||????????|=?|????????|2=?1 .（注意向量????????,???????? 的夹角不是∠????????????,不要弄错）
?
从投影数量的角度，|????????|=1，即???????? 为单位向量，
?????????????????=??????????????????=?|????????||????????|?cos?∠????????????，而|????????|cos?∠????????????=|????????| ，
?
所以?????????????????=?|????????|2=?1 .
?
以点????为坐标原点，分别以????????，????????所在直线为????轴，???? 轴建立平面直角坐标
系，设????(0,????),又????(1,0),则????????=(1,0),????????=(?1,????),所以?????????????????=?1 .
?
. .
（2）(2025·广东省佛山市德胜学校期中)如图 2-5-7，在直角梯形???????????????? 中，
????????//????????, ∠????????????=90?,????????=3,????????=2,????为????????的中点，若?????????????????=3 ，则
?????????????????= ____.
?
?????
?
图2-5-7
图2-5-8
【解析】以????为坐标原点，????????所在的直线为????轴，???????? 所在的直线为
???? 轴，建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系.
?
∵????????=3，????????=2 ，
∴????(0,0)，????(3,0)，????(0,2) .
设????(????,2),则????????=(3,0) ,
????????=(????,2) .
∵?????????????????=3,∴3????=3,解得????=1,∴????(1,2) .
∵????为????????的中点，∴????(2,22) ，
∴????????=(2,22)，????????=(?2,2) ，
∴?????????????????=2×(?2)+22×2=?4+1=?3 .
?
名师点评 对于几何图形中有明显直角（或易割补出直角）的图形，我们在求数量积
时，可建立平面直角坐标系快速解题.
2 求参数
例14 (2025·北京市第三中学学业测试)已知菱形????????????????的边长为2，∠????????????=120? ，
点????，????分别在边????????，????????上，????????=3????????，????????=????????????.若?????????????????=1,则???? 的值为___.
?
2
【解析】 由题意可得?????????????????=|????????|?|????????|cos?120?=2×2×(?12)=?2 .
?
在菱形????????????????中，易知????????=????????，????????=???????? ，
所以????????=????????+????????=????????+13????????，????????=????????+????????=????????+1???????????? ，
?????????????????=(????????+13????????)?(????????+1????????????)=4????+43?2(1+13????)=1，解得????=2 .
?
图2-5-9
如图2-5-9，以点????为坐标原点，????????所在直线为???? 轴，建
立平面直角坐标系.
?
因为菱形????????????????的边长为2，∠????????????=120? ，所以????(2,0) ,
????(1,3) .
由????????=3????????可得????(53，33) .
?
因为点????在????????上，所以可设????(????,3) .
则?????????????????=(53,33)?(????,3)=53????+1=1，所以????=0，因此????
为????????的中点，所以????=2 .
?
3 求最值
母题 致经典·母题探究
命题探源?
极化恒等式
平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型.如图2-5-10，设????????=????，????????=???? ，则
????????=????+????,????????=????????? .
?
图2-5-10
|????????|2=(????+????)2=????2+2?????????+????2 ,
|????????|2=(?????????)2=????2?2?????????+????2 .
两式相加可得|????????|2+|????????|2=2(????2+????2)=2(|????????|2+|????????|2) .（即平行四边形对角
线长的平方和等于两条邻边长平方和的两倍）
两式相减可得?????????=14[(????+????)2?(?????????)2] .我们称该恒等式为极化恒等式，它是沟
通向量数量积运算与线性运算的重要公式.
在三角形????????????中则可以用中线来描述,即?????????????????=????????2?14????????2 .
教材深挖 POINT
极化恒等式可看作是教材第112页【例6】的深挖.
?
. .
例15 (全国Ⅱ卷)已知△????????????是边长为2的等边三角形,????为平面???????????? 内一点,则
?????????(????????+????????) 的最小值为( )
?
B
A.?2 B.?32 C.?43 D.?1
?
图2-5-11
【解析】 如图2-5-11,????????+????????=2????????(????为????????的中点) ,则
?????????(????????+????????)=2?????????????????,要使?????????????????最小,则????????,???????? 的方向相反,
即点????在线段????????上,则(2?????????????????)min=?2|????????|?|????????| ,即求
|????????|?|????????|的最大值,又|????????|+|????????|=|????????|=2×32=3 ,所以
?
故(2?????????????????)min=?2×34=?32 .
?
|????????|?|????????|≤(|????????|+|????????|2)2=(32)2=34,当且仅当|????????|=|????????|,即???? 是线
段???????? 的中点时，取等号.
?
图2-5-12
如图2-5-12，以边????????的中点???? 为坐标原点，以等边三
角形????????????的底边????????所在直线为????轴，以????????的垂直平分线为????
轴建立平面直角坐标系，则????(0,3),????(?1,0),????(1,0) ，设
????(????,????)，则????????=(?????,3?????),????????=(?1?????,?????) ,
?
????????=(1?????,?????),所以?????????(????????+????????)?=(?????,3?????)?(?2????,?2????)=2????2+2(?????32)2?32，故当????=0，????=32 时，
?
?????????(????????+????????)取得最小值?32 .
?
图2-5-13
如图2-5-13,取????????的中点????，则????????+????????=2???????? ,则
?????????(????????+????????)=2?????????????????,在△????????????中，取????????的中点???? ，则
2?????????????????=2|????????|2?12|????????|2=2|????????|2?32,因此当且仅当点????，???? 重
合时，|????????|取得最小值，即2?????????????????取得最小值?32 .
?
名师点评 极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量对应线段为
邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的四分之一.
子题
(2025·天津市南开大学附属中学开学考试)在边长为1的等边三角形????????????中,???? 为线段
????????上的动点,????????⊥????????且交????????于点????,????????//????????且交????????于点????,则|2????????+????????| 的值为___;
(????????+????????)????????? 的最小值为___.
?
1
????????????????
?
图2-5-14
【解析】（1）如图2-5-14,过????作????????⊥????????,交????????于点???? ,易证得
△????????????≌△????????????,四边形????????????????是矩形,所以????????=????????,????????=???????? ,
则2????????+????????=????????+????????+????????=????????,所以|2????????+????????|=|????????|=1 .
?
（2）连接????????,如图2-5-14，由题意知,????????+????????=???????? ,则
(????????+????????)?????????=????????????????? .
?
（利用向量的基） 设|????????|=2????(0?
|????????|=1?2????,所以????????=????????+????????=????????+(1?????)????????,????????=????????+????????,所以?????????????????=[????????+(1?????)????????]?(????????+????????)=????????2+(2?????)?????????????????+(1?????)????????2=4????2+(2?????)×1×2????×(?12)+(1?????)×12=5????2?3????+1=5(?????310)2+1120,所以当????=310 时,
?
?????????????????取得最小值1120,即(????????+????????)?????????的最小值为1120 .
?
（坐标法） 以????为坐标原点,????????所在直线为???? 轴建立平面直角坐标系,如图2-
5-14，设????????=2????(0????????=(1?5????2,3(1?????)2) ,
?
????????=(12?2????,32),所以?????????????????=5????2?3????+1=5(?????310)2+1120,所以当????=310 时,
?????????????????取得最小值1120,即(????????+????????)?????????的最小值为1120 .
?
（极化恒等式） 取????????的中点????，连接???????? ，如图2-5-14，
(????????+????????)?????????=?????????????????=14(4????????2?????????2)=????????2?14????????2 .设
|????????|=2????(0????????2=????????2+????????2=(1?32????)2+3????2 ，
????????2?14????????2=(1?32????)2+3????2?14????2=5????2?3????+1=5(?????310)2+1120,所以当????=310
时,????????2?14????????2取得最小值1120,即(????????+????????)?????????的最小值为1120 .
?
教材深挖
奥妙的向量思想
已知向量????=(????1,????1),????=(????2,????2),由|?????????|≤|????||????|，得|?????????|=|????1????2+????1????2|≤
????12+????12?????22+????22，即(????1????2+????1????2)2≤(????12+????12)? (????22+????22) .（此处可看作是对
教材113页B组第4题的挖掘）
根据上述结论我们可以借助向量方法解决下面的最值问题：
?
例16（1）已知实数????,????满足????+?????4=0,求????2+????2 的最小值.
?
【解析】令向量????=(????,????),????=(1,1) .
∵|?????????|≤|????||????| ,
∴|????+????|≤????2+????2?2 ,
即2(????2+????2)≥(????+????)2=16，∴????2+????2≥8,故????2+????2 的最小值是8.
?
（2）已知实数????,????满足(????+2)2+????2=1,求2????????? 的最大值.
?
【解析】令向量????=(????+2,????),????=(2,?1),2?????????=???? .
由|?????????|≤|????||????| ,
得|2(????+2)?????|≤(????+2)2+????2?5=5 ,
即|????+4|≤5，解得?4?5≤????≤5?4 .
故2?????????的最大值是5?4 .
当然我们也可以利用其他方法来求解，此处之所以利用了向量坐标法求解，是因为
重在向量工具性的体现.
?
例17 新情境 费马点 (2025·上海市川沙中学期中)17世纪法国数学家费马曾提出这样
一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证
明：在△????????????中，若三个内角均小于120? ，当点???? 满足
∠????????????=∠????????????=∠????????????=120? 时，则点????到三角形三个顶点的距离之和最小，点????
被人们称为费马点．根据以上性质，已知????为平面内任意一个向量，????和???? 是平面内
两个互相垂直的向量，|????|=2，|????|=1，则|?????????|+|????+????|+|?????????| 的最小值是
( )
?
B
A.2?3 B.2+3 C.3?1 D.3+1
?
【解析】设????=(????,????),????=(1,0),????=(0,2) ,
则|?????????|+|????+????|+|?????????|=(?????1)2+????2+(????+1)2+????2+????2+(?????2)2 ,
?
图2-5-15
即为点????(????,????)到????(1,0)，????(?1,0)和点????(0,2) 三个点的距离之和，
则△???????????? 为等腰三角形，如图2-5-15，
由费马点的性质可得:要保证∠????????????=120? ,则∠????????????=60? ,
因为????????=1,则????????=33,所以点????的坐标为(0,33)时，点???? 到三个
点的距离之和最小，为233+233+(2?33)=2+3 .
?
4 求取值范围
例18 (2025·辽宁省沈阳市回民中学监测)如图2-5-16，扇形????????????的弧的中点为???? ，动
点????，????分别在线段????????，????????上，且????????=????????.若????????=1，∠????????????=120? ,则?????????????????
的取值范围是_____.
?
[????????,????????]
?
图2-5-16
【解析】 ∵????????=1,∠????????????=120? ，
?
∴?????????????????=?12 .
设????????=????????????(0≤????≤1),则????????=(1?????)???????? .
????????=????????+????????=?(????????+????????)+????????????=(?????1)????????????????? ,
????????=????????+????????=?(????????+????????)+(1?????)????????=?????????????????????? ,
?
则?????????????????=[(?????1)?????????????????]?(??????????????????????)=(1?????)????????2+????????????2?(????2??????1)?????????????????=12(????2?????+1)=12(?????12)2+38 .
?
∵0≤????≤1，∴?????????????????的取值范围是[38,12] .
?
图2-5-17
以????为坐标原点，????????所在的直线为???? 轴，建立如图2-5-
17所示的平面直角坐标系.
?
∵????????=1，∠????????????=120? ,????为?????????的中点，∴????(12,32) .
设????(1?????,0)(0≤????≤1),则????????=???? ,
即????(?12????,32????) ,
∴????????=(12?????,?32),????????=(?12?????12,32?????32) .
?
故?????????????????=(12?????)(?12?????12)?32(32?????32)=12????2?12????+12=12(?????12)2+38 .
当????=12时，?????????????????取得最小值38 ；
当????=0或1时，?????????????????取得最大值12 .
故?????????????????的取值范围为[38，12] .
?
名师点评 与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数
与三角函数,即寻找变量，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质
求出最值.
平面几何图形中的向量数量积的计算方法
对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目，要注意把握图形的特征，常见的
求解方法有两种：
一是先利用平面向量基本定理，将相关向量用同一组基表示，再利用向量数量积的
运算律将原式展开,最后依据已知条件计算；
二是先建立合适的平面直角坐标系，将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐
标运算.
题型4 向量垂直的应用
例19（1）已知????⊥????,|????|=2,|????|=3,且3????+2????与?????????????垂直，则实数???? 的值为
( )
?
B
A.?32 B.32 C.±32 D.1
?
【解析】∵3????+2????与????????????? 垂直，
∴(3????+2????)?(?????????????)=0 ，
即3????|????|2+(2?????3)??????????2|????|2=0 .
∵????⊥????，|????|=2，|????|=3 ，
∴?????????=0,|????|2=4,|????|2=9 ，
∴12?????18=0，即????=32 .
?
（2）(2025·江苏省常州市期中)已知向量????=(1,1)，????=(2,?3)，若?????????2????与???? 垂直，
则实数???? 等于____.
?
?????
?
【解析】 ?????????2????=(????,????)?2(2,?3)=(?????4,????+6) ,
?
∵(?????????2????)⊥????，∴(?????????2????)?????=0，则(?????4)+(????+6)=0,∴????=?1 .
?
∵(?????????2????)⊥????，∴(?????????2????)?????=0 ，
?
即????????2=2????????? ，
∴????(1+1)=2(1,1)?(2,?3) ，
即2????=?2,∴????=?1 .
?
例20 (2025·广东省广州市期末)设点????为△????????????的外心，平面上的点???? 使
????????=????????+????????+????????，则点????是△???????????? 的( )
?
B
A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心
【解析】
??????????????????=(?????????????????)?(?????????????????)=(????????+????????)?(?????????????????)=|????????|2?|????????|2=0 ，
?
∴????????⊥???????? .
同理可得????????⊥????????，????????⊥????????，从而点????是△???????????? 的垂心.
?
∵????????=????????+????????+???????? ,
?
∴?????????????????=????????+????????,即????????=????????+???????? .
又点????为△???????????? 的外心，
∴(????????+????????)⊥????????，∴????????⊥????????，即????????⊥???????? ,
同理可得，????????⊥????????,????????⊥????????,∴ 点????是△???????????? 的垂心.
?
名师提醒 方法1、方法2在解题过程中都是基于点????是△???????????? 的外心，但方法1偏向于
“数”，利用了????????=????????，方法2偏向于“形”，利用了关于????????，???????? 的平行四边形，同
学们可以细细品味一下.
?
对于非零向量????,????,????⊥??????????????=0 是向量中非常重要的性质，其作用主要有：（1）
证明两向量垂直；（2）利用?????????=0 列方程求未知数的值；（3）解决平面几何图
形中的垂直问题.
?
题型5 向量的模的计算
1 模的计算
例21 (2025·四川省成都市期中)若平面向量????,????满足|????|=1,|????|=2 ,且
|????+????|=|?????????|，则|2????+????| 等于( )
?
B
A.2 B.22 C.2 D.8
?
【解析】∵|????|=1,|????|=2,且|????+????|=|?????????|,∴????⊥????,∴?????????=0 ,故
|2????+????|=4????2+4?????????+????2=4+4=22 .
?
例22 已知|????|=213,????=(2,?3),若????⊥????，则|????+????|= _____.
?
????????
?
【解析】设????=(????,????) ,
则由|????|=213,得????2+????2=52 ①.
由????⊥????，得2?????3????=0 ②.
由①②，得&????=6,&????=4或&????=?6,&????=?4.
∴????=(6,4)或????=(?6,?4) .
∴????+????=(8,1)或????+????=(?4,?7) ,
∴|????+????|=65 .
?
求向量的模的基本思路
?????????=????2=|????|2或|????|=????????? 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这
种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据
平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
?
2 模的最值（取值范围）问题
例23 (2025·浙江省杭州市期末)已知向量????，????的夹角为2π3，且|????|=2|????|=4 ，则
|????+????????|(????∈????) 的最小值是( )
?
C
A.3 B.3 C.23 D.25
?
思路一
思路二
【解析】 （目标函数法） 因为向量????，????的夹角为2π3，且|????|=2|????|=4 ，则
?????????=|????||????|cos2π3=4×2×(?12)=?4 ，
?
可得(????+????????)2=????2+2?????????????+????2????2=4????2?8????+16=4(?????1)2+12≥12 ，当且
仅当????=1时，等号成立，所以|????+????????|(????∈????)的最小值是23 .
?
图2-5-18
（数形结合法） 如图2-5-18，
????????=????，????????=???? ，
∠????????????=2π3.|????+????????|=|?????(?????)????|表示???? 的终
点????与?????????的终点连线的长度（起点均为???? ），
因为????∈????，所以?????????的终点在线段???????? 所在直线
?
上，|????+????????|min就是点????到直线????????的距离，作????????⊥????????于点????，在Rt△???????????? 中，
|????????|=4，∠????????????=π3 ，
?
则????????=4?sinπ3=23，所以|????+????????|min=????????=23 .
?
例24 (2025·吉林省白城市期中)在长方形????????????????中，????????=2，????????=25，点???? 在边
????????上运动，点????在边????????上运动，且保持????????=2，则|????????+????????| 的最大值为( )
?
C
A.17 B.213 C.217 D.13
?
【解析】如图2-5-19，以????为原点，????????所在的直线为????轴，????????所在的直线为???? 轴，建
立平面直角坐标系，
∵????????=2,????????=25 ,
∴????????=????????2?????????2=20?4=4,则????(0,0),????(2,4),????(0,4) .
?
图2-5-19
设∠????????????=???? ,则0≤????≤π2（????,????重合时，这里表示为????=π2 ）,
则????????=2cos????? ,????????=2sin????? ,
∴????(2cos?????,0),????(0,2sin?????) ,
∴????????=(2,4?2sin?????),????????=(2?2cos?????,4) ,
∴????????+????????=(4?2cos?????,8?2sin?????) ,
∴|????????+????????|2
?
=(4?2cos?????)2+(8?2sin?????)2
=84?16(2sin?????+cos?????)
=84?165sin(????+????) ,
?
. .
其中tan?????=12<33=tan?π6,不妨令0∴0+????≤????+????≤π2+???? ，令????=????+???? ,则????∈[????,π2+????],????=sin?????在[????,π2+????] 上的
图象先增后减.
当????=0时，|????????+????????|2=68 ,
当????=π2时，|????????+????????|2=52 ,
∴ 当????=0时，|????????+????????|取得最大值，最大值为217 .
?
图2-5-20
名师点评 本题也可以直接求解.如图2-5-20，取????????的中点???? ，在
Rt△????????????中，????????=12????????=1，点????的轨迹是以点???? 为圆心，半径为1
的圆弧，|????????+????????|=|????????+????????|=2|????????| ，
当????为????????的中点时，|????????|max=42+12=17 ，所以
|????????+????????|max=217 .
?
【学会了吗丨变式题】
3.已知????为△????????????的重心（三条中线的交点），∠????????????=2π3，?????????????????=?2，则|????????|
的最小值为( )
?
C
A.13 B.43 C.23 D.34
?
【解析】取????????的中点为????，连接???????? ，如图D 2-5-2所示.
因为????为△???????????? 的重心，
所以?????????=23????????=13(????????+????????) ,
因为∠????????????=2π3,?????????????????=?2 ,
所以?????????????????=|????????||????????|cos2π3=?2 ,
所以|????????||????????|=4 ,
?
又|????????|=13|????????+????????|=13(????????+????????)2=13|????????|2+|????????|2+2?????????????????=13|????????|2+|????????|2?4≥132|????????||????????|?4=23 ,
?
当且仅当|????????|=|????????|=2 时取等号，
所以|????????|的最小值为23 .
?
图2-5-21
4.(2025·福建省福州文博中学期中)如图2-5-21，在四边形???????????????? 中，
????????⊥????????，????????⊥????????，∠????????????=π3，????????=????????=23．若点???? 为边
????????上的动点，则????????????????? 的最小值为( )
?
B
A.83 B.214 C.?114 D.?133
?
图D 2-5-3
【解析】如图D 2-5-3所示,以????为原点，以????????所在的直线为???? 轴，
以????????所在的直线为???? 轴,建立平面直角坐标系．
?
连接????????,过点????作????????⊥????轴，交????轴于点????，过点????作????????⊥???? 轴，
交????轴于点???? ．
∵????????⊥????????,????????⊥????????,????????=????????=23，∠????????????=π3,∴???????? 平分
∠????????????，即∠????????????=π6，∴????????=2 ,
?
∴????????=3，????????=?????????????????=23?3=3 ,
∴????(0,0),????(2,0),????(0,23),????(3,3) .
设????(0,????)(0≤????≤23),则????????=(?2,????),????????=(?3,?????3) ，
故?????????????????=6+????(?????3)=(?????32)2+214≥214 .
?
题型6 向量的夹角问题
1 求夹角或夹角的余弦值
例25 设向量????，????满足|????|=2，|????|=3，|2?????????|=37，则????与???? 的夹角为( )
?
D
A.π3 B.π6 C.π4 D.2π3
?
【解析】设????与????的夹角为???? ，
由题意得(2?????????)2=37 ，
∴4|????|2+|????|2?4?????????=37 ，
又|????|=2,|????|=3，∴?????????=?3 ，
∴|????||????|cos?????=?3,则cos?????=?12 ．
又????∈[0，π]（注意向量夹角的范围），∴????与????的夹角为2π3 .
?
. .
例26 (2025·山西省长治市期中)已知向量????=(3,1)，????=(1,3)，????=(????,?2) ，若
(?????????)//????，则向量????与向量???? 的夹角的余弦值是( )
?
A
A.55 B.15 C.?55 D.?15
?
【解析】∵????=(3,1),????=(1,3),????=(????,?2) ,
∴?????????=(3?????,3) ,
∵(?????????)//????,∴3(3?????)=1×3,解得????=2 ,
∴?????????=3×2+1×(?2)=4,|????|=10,|????|=22 ,
∴cos?????,?????=?????????|????||????|=410×22=55 .
?
求两个非零向量的夹角的方法
求两个非零向量的夹角???? 或其余弦值一般采用夹角公式cos?????=?????????|????||????| .根据题中条件分
别求出|????|，|????|和?????????.当已知????=(????1,????1)，????=(????2,????2)时，可直接利用公式cos????? ，
?????=????1????2+????1????2????12+????12????22+????22 求余弦值，进而可求夹角.
?
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·河南省南阳市期末)若非零向量????，????满足|????|=3|????|=|????+2????|，则????与???? 夹角
的余弦值为____.
?
?????????
?
【解析】由|????|=3|????|，得|????||????|=13.再由|????|=|????+2????| ，两边平方可得，
|????|2=|????+2????|2=|????|2+4|????|2+4?????????，整理得?????????=?|????|2．设????，????的夹角为???? ，
于是cos?????=?????????|????||????|=?|????|2|????||????|=?|????||????|=?13 .
?
6.已知三点????(2,?2)，????(5,1)，????(1,4)，则∠???????????? 的余弦值为_ ____.
?
????????????????????
?
【解析】∵????????=(5,1)?(2,?2)=(3,3) ，
????????=(1,4)?(2,?2)=(?1,6) ，
∴?????????????????=3×(?1)+3×6=15 .
又|????????|=32+32=32 ，
|????????|=(?1)2+62=37 ，
∴cos∠????????????=?????????????????|????????||????????|=1532×37=57474 .
?
2 已知夹角或其范围求参数
例27 (2025·江苏省如东高级中学测试)已知|????|=2,|????|=1,向量????与????的夹角为45? ,
若向量2????+????????与?????????3????的夹角为锐角，则???? 的取值范围为___________________.
?
(?∞,?????)∪(????,+∞)
?
思路点拨? 利用(2????+????????)?(?????????3????)>0解不等式，再去掉两向量同向共线时???? 的值.
?
【解析】设向量2????+????????与?????????3????的夹角为???? .
∵ 向量2????+????????与?????????3???? 的夹角为锐角,
∴(2????+????????)?(?????????3????)|2????+????????||?????????3????|>0 ,
即(2????+????????)?(?????????3????)>0 ,
2????????2+(????2?6)??????????3????????2>0 .
∵????2=|????|2=2,????2=|????|2=1 ,
?????????=|????||????|cos?45?=2×1×22=1 ,
∴4????+????2?6?3????>0,即????2+?????6>0 ,
解得????2 .
?
设2????+????????=????(?????????3????)=?????????????3????????,（当两向量????，????同向时，仍有?????????>0 ,但此
时?????，?????=0 ,不是锐角，注意排除）
则&2=????????,&????=?3????,∴????2=?6 ,
即不存在???? ，使向量2????+????????与?????????3???? 共线.
综上，向量2????+????????与?????????3????的夹角为锐角时，???? 的取值范围为????2 .
?
. .
利用夹角的范围求参数的取值范围一般利用以下结论：对于非零向量????，???? ，其夹角
为???? ，则有????∈[0,π2)??????????>0；????∈(π2，π]??????????<0 ，由此转化为不等式（组）
求解.
?
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·福建省三明第一中学月考)平面向量????=(1,2),????=(4,2),????=????????+????(????∈????) ，
且????与????的夹角等于????与????的夹角,则????= ___.
?
2
【解析】 由已知得????=(????+4,2????+2)，因为cos?????,?????=?????????|????||????|，cos????? ,
?????=?????????|????||????|，所以?????????|????||????|=?????????|????||????|，由已知得|????|=2|????|，所以2?????????=????????? ，即
2[(????+4)+2(2????+2)]=4(????+4)+2(2????+2)，解得????=2 .
?
易知????是以????????，???? 对应的线段为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因
为????与????的夹角等于????与????的夹角，所以该平行四边形为菱形，则|????|=????|????| ,由已知得
|????|=2|????|，故????=2 .
?
题型7 向量坐标运算与三角函数的交汇
例28 (2025·河北省邯郸市武安一中期中)已知对任意平面向量????????=(????,????)，把???????? 绕
其起点沿逆时针方向旋转???? 角得到向量????????=(????cos??????????sin?????,????sin?????+????cos?????) ，即
点????绕点????沿逆时针方向旋转???? 角得到点????.已知平面内点????(0,1)，点????(2,1?22) ，
把点????绕点????沿顺时针方向旋转π4后得到点????，则点???? 的坐标为( )
?
C
A.(?3,?1) B.(?3,0) C.(?1,?2) D.(?1,?3)
?
【解析】因为????(0,1)，????(2,1?22) ，
所以????????=(2,?22) .
将向量????????顺时针方向旋转π4，即逆时针旋转?π4 ，得到
????????=(2cos(?π4)?(?22)sin(?π4),2sin(?π4)+(?22)cos(?π4))=(?1,?3) .
记坐标原点为????，则????????=????????+????????=(0,1)+(?1,?3)=(?1,?2) ，
所以????点坐标为(?1,?2) .
?
例29 (2025·江苏省镇江中学期末)已知向量????=(cos?????,sin?????),????∈(0,π) ，
????=(cos?2????,cos?????),????∈(π2,π) .
?
（1）若sin(????+π4)=?210，求|????| ；
?
【解析】由题意，|????|=cos?2????+cos2????=cos?2????+cos?2????+12=3cos?2????+12 ，
因为sin(????+π4)=22sin?????+22cos?????=?210 ，
所以sin?????+cos?????=?15 ，
两边平方可得(sin?????+cos?????)2=1+sin?2????=125 ，
即sin?2????=?2425（要求cos?2???? 的值，需确定2???? 是第几象限角）.
又sin(????+π4)=?210<0,????∈(π2,π)，所以????+π4>π ，
即3π4所以|????|=3cos?2????+12=3×725+12=235 .
?
. .
（2）若向量????=(4,3)与向量????共线且|????|=1，求sin(2????+????) 的值.
?
【解析】由题意，向量????=(4,3)与向量???? 共线，
则4sin?????=3cos????? ,sin?????=34cos????? ，
因为????∈(0,π)，且sin2????+cos2????=1 ，
所以sin?????=35,cos?????=45 ，
则sin?2????=2sin?????cos?????=2425,cos?2????=cos2?????sin2????=725 .
由|????|=cos?2????+cos2????=3cos2?????1=1 ，
可得cos2????=23，又????∈(π2,π) ，
所以cos?????=?63,sin?????=33 .
故sin(2????+????)=sin?2????cos?????+cos?2????sin?????=2425×(?63)+725×33=73?24675 .
?
解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路
先运用平面向量的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面向量模
与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等）将问题转化为与三角函数
有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可.
【学会了吗丨变式题】
8.(2025·陕西省咸阳市期末)已知平面向量????=(1,2)，????=(?????1,????) ，
????=(sin(????+π3),12sin?????) .
?
（1）若????⊥????，求实数???? 的值；
?
【答案】????=(????,????)，????=(?????????,????)，由????⊥???? ，得
?????????=?????????+????????=?????????????=????，解得????=???????? .
?
（2）当????∈[0,π2]时，求????(????)=????????? 的最大值和最小值.
?
【答案】????=(????,????)，????=(????????????(????+????????),?????????????????????????) ，
?
则????(????)=?????????=????????????(????+????????)+?????????????????=?????????????????????????+?????????????????????????+?????????????????=?????????????????????????+?????????????????????????=????????????????(????+????????) ，
?
因为????≤????≤????????，所以????????≤????+????????≤???????????? ，
故????(????)????????????=?????????????????????????=????????，????(????)????????????=????????????????????????=???? .
?
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
（1）对向量数量积的考查，高考几乎每年都有，重在对基础知识的考查，一般利用
公式进行代数计算即可轻松解题，有时也可画出图形，借助三角形法则或平行四边
形法则解题.（2）运算是向量的“灵魂”，而向量的坐标运算实现了数与形的沟通，为
向量解决几何问题插上了“翅膀”.在高考中，由于基础性考查的需要，向量的坐标运
算往往作为基础题出现，而当向量作为工具形态解决几何问题的时候，则体现的是
综合性的要求.高考中常以选择题、填空题的形式出现，试题难度为中等及中等偏下.
核心素养：数学运算（坐标运算、求参数、求模及夹角等），直观想象（画图建系）.
考向1 向量的数量积运算
例30（1）(2024·北京)设????,????是向量，则“(????+????)?(?????????)=0”是“????=?????或????=???? ”的
( )
?
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由(????+????)?(?????????)=0，得????2?????2=0，即|????|2?|????|2=0，所以|????|=|????| ，
当????=(1,1)，????=(?1,1)时，|????|=|????|，但????≠????且????≠????? ，故充分性不成立；当
????=?????或????=????时，(????+????)?(?????????)=0 ，故必要性成立.所以“
(????+????)?(?????????)=0”是“????=?????或????=???? ”的必要不充分条件.
?
（2）(2022·全国乙卷)已知向量????，????满足|????|=1,|????|=3，|?????2????|=3,则?????????=
( )
?
C
A.?2 B.?1 C.1 D.2
?
【解析】由|?????2????|=3，可得|?????2????|2=????2?4?????????+4????2=9，又|????|=1 ,
|????|=3，所以?????????=1 .
?
例31 (2025·天津)△????????????中，????为????????中点，????????=13????????,????????=????,????????=????,则????????= ______
___（用????,????表示）;若|????????|=5，????????⊥????????,则?????????????????= _____.
?
????????????+????????????
?
?????????
?
【解析】????????=????????+????????=????????+13????????=????????+13(?????????????????)=23????????+16????????=16????+23????.????????=????????+12????????=12????????? .
?
∵|????????|=5,∴25=(16????+23????)2，即900=????2+16????2+8????????? ①，
?
又????????=?????????????????=?????????,????????⊥???????? ,
∴?????????????????=0，即(16????+23????)?(?????????)=0，得4????2?????2?3?????????=0 ②，
由①②得2?700=80????2?5????2,∴16????2?????2=540 ,
∴?????????????????=(16????+23????)?(12?????????)=112(????2?8????2+2?????????)=112[????2?8????2+
23(4????2?????2（由②可得）)]=136(????2?16????2)=136×(?540)=?15 .
?
. .
. .
????????=?????????????????=????????? ,从而
????????=16????+23????=16(????+4????)=16[6(?????????)?5(?????2????)]=?????????53???????? ,则
????????=35(?????????????????),故?????????????????=35?????????(?????????????????)=?35|????????|2=?15 .（【关键】因为
????????⊥????????，所以将????????和???????? 作为基向量）
?
图2-5-22
如图2-5-22，延长????????交????????于点????，则????????⊥????????，以????????，????????
所在直线分别为????，????轴建立平面直角坐标系，设????(0,?),????(????,0) ,
????(????,0)，则????(0,?+5)，????(????2,?+52)，∴????????=(????2?????,?+52) ，
????????=(?????,?)，∵????????=3????????，∴????2?????=?3????,?+52=3? ，即
????=?4????,?=1，∴????????=(?3????,3) ，又
????????=(0,1)?(0,6)=(0,?5)，∴?????????????????=?15 .
?
例32 (2023·全国乙卷)正方形????????????????的边长是2，????是????????的中点，则?????????????????= ( )
?
B
A.5 B.3 C.25 D.5
?
【解析】 由题意知，????????=????????+????????=12????????+???????? ，
????????=????????+????????=?12????????+???????? ，所以
?????????????????=(12????????+????????)?(?12????????+????????)=|????????|2?14|????????|2 ，由题意知
|????????|=|????????|=2，所以?????????????????=4?1=3 .
?
以点????为坐标原点，????????,????????的方向分别为????,???? 轴的正方向建立平面直角坐标系，
则????(1,0)，????(2,2)，????(0,2)，则????????=(1,2)，????????=(?1,2)，?????????????????=?1+4=3 .
?
考向2 向量的模
例33（1）(2024· 新课标Ⅱ卷)已知向量????，????满足|????|=1，|????+2????|=2 ，且
(?????2????)⊥????，则|????|= ( )
?
B
A.12 B.22 C.32 D.1
?
【解析】由(?????2????)⊥????，得(?????2????)?????=????2?2?????????=0，所以????2=2????????? .
将|????+2????|=2的两边同时平方，得????2+4?????????+4????2=4 ，即
1+2????2+4????2=1+6|????|2=4，解得|????|2=12，所以|????|=22 .（【方法技巧】已知向
量的和（差）的模，往往将两边同时平方，由此将向量的模的问题转化为向量的数
量积问题，从而与条件中的已知向量建立联系）
?
（2）(2022·全国乙卷)已知向量????=(2,1)，????=(?2,4),则|?????????|= ( )
?
D
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 由题意知?????????=(2,1)?(?2,4)=(4,?3) ，所以
|?????????|=42+(?3)2=5 .
?
由题意知|????|=5，|????|=25，?????????=2×(?2)+1×4=0 ，
?
所以|?????????|2=|????|2+|????|2?2?????????=25 ，
所以|?????????|=5 .
?
（3）(2025· 全国二卷)已知平面向量????=(????,1),????=(?????1,2????),若????⊥(?????????) ，则
|????|= ____.
?
????
?
【解析】?????????=(1,1?2????)，由????⊥(?????????) ，得
?????(?????????)=????+1?2????=1?????=0，所以????=1，所以|????|=2 .
?
（4）(2023· 新课标Ⅱ卷)已知向量????，????满足|?????????|=3,|????+????|=|2?????????|,则|????|=
____.
?
????
?
【解析】由|?????????|=3，得????2?2?????????+????2=3 ，
即2?????????=????2+????2?3 ①.
由|????+????|=|2?????????|，得????2+2?????????+????2=4????2?4?????????+????2 ，
整理得，3????2?6?????????=0 ，
结合①，得3????2?3(????2+????2?3)=0 ，
整理得，????2=3，所以|????|=3 .
?
考向3 向量的夹角
例34（1）(2023·全国甲卷)已知向量????=(3,1)，????=(2,2)，则cos?????+????，??????????=
( )
?
B
A.117 B.1717 C.55 D.255
?
【解析】由题意知，????+????=(5,3)，?????????=(1,?1)，所以cos?????+???? ，
??????????=(????+????)?(?????????)|????+????||?????????|=5×1+3×(?1)34×2=2217=1717 .
?
（2）(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量????=(3,4),????=(1,0),????=????+????????,若?????,?????=?????,????? ,
则????= ( )
?
C
A.?6 B.?5 C.5 D.6
?
【解析】由题意，得????=????+????????=(3+????,4) ，所以
?????????=3×(3+????)+4×4=25+3????，?????????=1×(3+????)+0×4=3+???? ．
因为?????,?????=?????,?????，所以cos?????,?????=cos?????,????? ，
即?????????|????||????|=?????????|????||????| ，
即25+3????5=3+????，解得????=5 ．
?
考向4 向量的垂直
例35（1）(2024· 新课标Ⅰ卷)已知向量????=(0,1),????=(2,????),若????⊥(?????4????)，则????=
( )
?
D
A.?2 B.?1 C.1 D.2
?
【解析】 因为????=(0,1),????=(2,????),所以?????4????=(2,?????4)，又????⊥(?????4????) ，
所以?????(?????4????)=2×2+????(?????4)=(?????2)2=0，解得????=2 .
?
?????(?????4????)=????2?4?????????=4+????2?4(0×2+1×????)=(?????2)2=0 ，解
得????=2 .
?
（2）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知向量????=(1,1)，????=(1,?1).若(????+????????)⊥(????+????????) ，则
( )
?
D
A.????+????=1 B.????+????=?1 C.????????=1 D.????????=?1
?
【解析】因为????=(1,1),????=(1,?1)，所以????+????????=(1+????,1?????) ，
????+????????=(1+????,1?????)，因为(????+????????)⊥(????+????????)，所以(????+????????)?(????+????????)=0 ，
所以(1+????)?(1+????)+(1?????)?(1?????)=0，整理得????????=?1 .
?
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·四川省绵阳中学测试)若向量????，????满足|????|=|????|=2 ，
|????+????|=23 ，则( )
?
BC
A.?????????=?2 B.????与????的夹角为π3
C.|?????????|<|????+????| D.?????????在????上的投影的数量为12
?
【解析】∵|????|=|????|=2，|????+????|=23 ，
∴|????+????|2=????2+2?????????+????2=4+2?????????+4=12，所以?????????=2 ，A错误；
设????，????的夹角为???? ，则cos?????=?????????|????||????|=22×2=12，由于????∈[0,π]，∴????与????的夹角为π3 ，
故B正确；
|?????????|=(?????????)2=????2?2?????????+????2=4?2?????????+4=2<|????+????|=23 ，
故C正确；
?????????在????上的投影的数量为(?????????)?????|????|=??????????????22=?1，故D错误．故选BC ．
?
2.新定义 向量叉积[多选题](2025·河南省濮阳外国语学校期中)已知向量????，???? 的数量
积（又称向量的点积或内积）：?????????=|????||????|cos＜????，????＞，其中＜????，????＞ 表示向量
????，????的夹角.定义向量????，???? 的向量积（又称向量的叉积或外积）
：|????×????|=|????||????|?sin＜????，????＞，其中＜????，????＞表示向量????，???? 的夹角.则下列说法
正确的是( )
?
ABC
A.若????，????为非零向量，且|????×????|=0，则????//????
B.若????，????为非零向量，且|????×????|=?????????，则＜????，????＞=π4
C.若|????×????|=3?????????=3，则|????+2????|的最小值为23
D.已知点????(3,0)，????(1,1)为坐标原点，则|????????×????????|=23
?
【解析】对于A，因为????，????为非零向量，且|????×????|=|????||????|sin＜????，????＞=0 ，所以
＜????，????＞=0或π ，所以????//???? ，故A正确；
对于B，若????，????为非零向量，且|????×????|=?????????，即|????||????|sin＜???? ，
????＞=|????||????|cos＜????，????＞，则sin＜????，????＞=cos＜????，????＞,则＜????，????＞=π4 ，故B正
确；
对于C，由|????×????|=3?????????，得|????||????|sin＜????，????＞=3|????||????|cos＜????，????＞ ，则
tan＜????，????＞=3，则＜????，????＞=π3，又?????????=|????||????|?cos＜????，????＞=1 ，所以
|????||????|=2，则|????+2????|=|????|2+|2????|2+4?????????≥4+2|????||2????|=4+8=23 ，
当且仅当|????|=|2????|=2 时，等号成立，故C正确；
?
对于D，|????????×????????|=|????????||????????|sin＜????????，????????＞=|????????||????????|?1?cos2＜???????? ,
????????＞=|????????||????????|1?(?????????????????|????????||????????|)2=(|????????||????????|)2?(?????????????????)2=6?3=3 ，故
D错误.
故选ABC .
?
3.[多选题](2025·福建省泉州市期末)在边长为4的正方形????????????????中，???? 在正方形（含边）
内，满足????????=????????????+???????????? ，则下列结论正确的是( )
?
AD
A.若点????在????????上时，则????+????=1
B.????+????的取值范围为[1,4]
C.若点????在????????上时，则????????+????????=2????????????+2????????????
D.当????在线段????????上时，????2+????23的最小值为16
?
图D 2-5-4
【解析】如图D 2-5-4，以????为坐标原点，????????所在直线为????轴，????????
所在直线为????轴，建立平面直角坐标系，则????(0,0)，????(4,0) ，
????(4,4)，????(0,4) .
?
设????(????,????)，????,????∈[0,4]，∵????????=????????????+???????????? ，
∴(????,????)=????(4,0)+????(0,4)，∴&????=4????,&????=4????.
?
对于A，由题意可得线段????????的方程为????′+????′=4，????′∈[0,4]，∵ 点????在???????? 上，
∴????+????=4 ，
∵&????=4????,&????=4????,∴????+????=4(????+????)=4，∴????+????=1 ，故A正确.
对于B，∵&????=4????,&????=4????,∴????+????=4(????+????)，∴????+????=????+????4 ，
?
∵????,????∈[0,4]，∴????+????∈[0,8]，∴????+????∈[0,2] ，故B错误.
对于C，∵????????=(????,????)，????????=(4,4)，∴????????+????????=(????+4,????+4) ，
∵2????????????+2????????????=2????(4,0)+2????(0,4)=(8????,8????) ，
∵&????=4????,&????=4????,∴2????????????→+2????????????→=(2????,2????) ，
假设????????+????????=2????????????+2????????????，则&????+4=2????,&????+4=2????,∴&????=4,&????=4.
∵????+????=4 ，
∴&????=4,&????=4不成立，∴????????+????????=2????????????+2???????????? 不成立，故C错误.
?
对于D，????2+????23=(????+????)2?2????????3=1?2????????3≥1?2×(????+????2)23=16 ，当且仅当
????=????=12时取等号，∴ 当????在线段????????上时，????2+????23的最小值为16 ，
故D正确．故选AD ．
?
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·吉林省普通高中友好学校联合体期末)已知????(0,0)，????(2,0)，????(3,1) ,则
(?????????????????)?????????= ( )
?
A
A.4 B.2 C.?2 D.?4
?
【解析】由已知得????????=(2,0),????????=(3,1),?????????????????=(1,1) ,
则(?????????????????)?????????=(1,1)?(3,1)=3+1=4 .
?
2.已知|????|=2,|????|=3,????,????的夹角为60? ,则|2?????????|= ( )
?
B
A.21 B.13 C.1 D.0
?
【解析】|2?????????|=4????2+????2?4?????????=16+9?4×2×3cos?60?=13 .
?
3.(2025·四川省成都市模拟)设????=(1,2),????=(1,1),????=????+????????.若????⊥????,则实数???? 的值等
于( )
?
A
A.?32 B.?53 C.53 D.32
?
【解析】因为????=(1+????,2+????)，?????????=0，所以1+????+2+????=0 ，
解得????=?32 ．
?
4.(2025·广东省汕头市期末)在△????????????中，已知????????=2，????????=3，∠????????????=60? ，
????????，????????分别是????????，????????边上的中线，则?????????????????= ( )
?
D
A.52 B.?52 C.12 D.?12
?
【解析】依题意?????????????????=2×3×cos?60?=3 ,
因为????????,????????分别是????????,????????边上的中线，则????????=12(????????+????????) ,
????????=12(????????+????????)=12(?????????+?????????????????)=12(?2????????+????????) ,
?
则?????????????????=12(????????+????????)?12(?2????????+????????)=14(?2????????2??????????????????+????????2)=14(?2×4?3+9)=?12 .
?
5.[多选题](2025·四川省宜宾市期末)已知向量????=(2,1)，????=(?3,1) ，则( )
?
BC
A.(????+????)⊥????
B.向量????在向量????方向上的投影数量为?102
C.????与?????????的夹角的余弦值为255
D.若????=(55,?255)，则????//????
?
【解析】因为????=(2,1)，????=(?3,1) ，
所以(????+????)?????=(?1,2)?(?3,1)=3+2=5≠0 ，故A错误；
向量????在向量????方向上的投影数量为?????????|????|=?6+110=?102 ，故B正确；
cos?????，??????????=?????(?????????)|????|?|?????????|=255 ，故C正确；
若????=(55,?255)，则2×(?255)=?455≠1×55，故????，???? 不平行，故D错误.故选
BC ．
?
6.[多选题](2025·山东省济宁市月考)设向量????，????满足|????|=|????|=1，且|?????2????|=5 ，
则以下结论正确的是( )
?
AC
A.????⊥???? B.|????+????|=2 C.|?????????|=2 D.?????,?????=60?
?
【解析】因为|????|=|????|=1，且|?????2????|=5，所以????2?4?????????+4????2=5 ，所以
?????????=0，故????⊥???? ，选项A正确；
因为(????+????)2=????2+2?????????+????2=2，所以|????+????|=2 ，B错误；
因为(?????????)2=????2?2?????????+????2=2，所以|?????????|=2 ，C正确；
因为????⊥????，所以?????,?????=90? ，D错误.
?
7.设向量????=(????,1)，????=(1,2)，且|????+????|2=|????|2+|????|2，则????= ____.
?
?????
?
【解析】由|????+????|2=?|????|2+|????|2，得????⊥????，则????+2=0 ，
所以????=?2 .
?
8.已知????,????,????是同一平面内的三个向量，其中????=(1,2) .
?
（1）若|????|=25，且????//????，求???? 的坐标；
?
【答案】设????=(????,????),∵|????|=???????? ,
∴????????+????????=????????,即????????+????????=???????? .
由????//????和|????|=????????，可得&?????????????=????,&????????+????????=????????,
解得&????=????,&????=????或&????=?????,&????=?????.
故????=(????,????)或????=(?????,?????) .
?
（2）若|????|=52,且????+2????与2?????????垂直，求????与????的夹角???? .
?
【答案】∵(????+????????)⊥(?????????????),∴(????+????????)?(?????????????)=???? ，即
????????????+??????????????????????????=????，∴????×????+??????????????????×????????=????,整理得?????????=????????? ，
∴?????????????????=?????????|????||????|=?????.又????∈[????,????],∴????=???? .
?
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.新情境 赵爽弦图 (2025·河南省信阳高级中学月考)图2-5-1是我国古代数学家赵爽
创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个
大的正方形．某同学深受启发，设计出如图2-5-2所示的图形，它是由三个全等的钝
角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若????????=4，????????=2 ，那么
?????????????????= ( )
?
D
A.6 B.3 C.?3 D.?6
?
【解析】由题意可知，∠????????????=∠????????????=∠????????????=60? ，
∴∠????????????=∠????????????=∠????????????=120? ，
又????????=4，????????=2，∴????????=????????=????????=4 ，
????????=????????=????????=????????=????????=????????=2 ，
?
?????????????????=(????????+????????)?(????????+????????)=?????????????????+?????????????????+?????????????????+?????????????????=|????????|?|????????|?cos?120?+|????????|?|????????|?cos?180?+|????????|?|????????|?cos?60?+|????????|?|????????|?cos?120?=2×2×(?12)+2×2×(?1)+2×2×12+2×2×(?12)=?2?4+2?2=?6 ．
?
10.新定义 斜坐标系 (2025·江西省宜丰中学月考)如图2-5-3，设????∈(0,π)，且????≠π2 ，
当∠????????????=???? 时，定义平面坐标系????????????为???? 的斜坐标系.在???? 的斜坐标系中，任意一
点????的斜坐标这样定义：设????1，????2是分别与????轴，???? 轴正方向相同的单位向量，若
????????=????????1+????????2，则????(????,????) .则下列结论中正确的是( )
?
C
图2-5-3
A.设非零向量????，????,????=(????,????)，????=(????,????)，若????⊥???? ，则
????????+????????=0
B.设非零向量????=(????,????)，则|????|=????2+????2
C.设非零向量????,????,????=(????,????)，????=(????,????)，若????//???? ，则
?????????????????=0
D.设????=(1,2)，????=(2,1)，若????与????的夹角为π3，则????=π3
?
【解析】对于A，因为????=(????,????)，????=(????,????)，所以????=????????1+????????2，????=????????1+????????2 ，
又????⊥????，所以?????????=0 ，即
?
(????????1+????????2)?(????????1+????????2)=????????????12+(????????+????????)????1?????2+????????????22=????????+????????+(????????+????????)cos?????=0，所以cos?????=?????????+????????????????+????????，因为????≠π2，所以????????+????????≠0 ，故A错误；
?
对于B，因为????=(????,????)，所以????=????????1+????????2 ，所以
|????|=|????????1+????????2|=????2+????2+2????????cos?????，又????∈(0,π)，且????≠π2 ，所以
|????|≠????2+????2 ，故B错误；
对于C，因为????=(????,????)，????=(????,????)，所以????=????????1+????????2，????=????????1+????????2，又????//???? ，
则????=????????，即????????1+????????2=????(????????1+????????2)，即&????=????????,&????=????????,
?
所以?????????????????=0 ，故C正确；
对于D，因为????=(1,2)，????=(2,1)，所以????=????1+2????2，????=2????1+????2，又????与???? 的夹
角为π3，所以cosπ3=?????????|????||????|=(????1+2????2)?(2????1+????2)|????1+2????2||2????1+????2|=2????12+5????1?????2+2????22(????1+2????2)2(2????1+????2)2=4+5cos?????5+4cos????? ，解得
cos?????=?12，又????∈(0,π)且????≠π2,所以????=2π3 ，故D错误.
?
11.新情境 折扇 [多选题](2025·福建省石狮市永宁中学期初)折扇又名“撒扇”“纸扇”，
是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图2-5-4
（1）．其平面图如图2-5-4（2）的扇形????????????，其中∠????????????=2π3，????????=3????????=3 ，点
????在????????? 上．则下列结论正确的是( )
?
BCD
图2-5-4
A.?????????????????=?2
B.若????????=????????????+????????????,则????=1
C.若∠????????????=π6,则????????=33????????+233????????
D.?????????????????的最小值为?132
?
图D 2-5-1
【解析】如图D 2-5-1，以直线????????为????轴，以过????且垂直????????的直线为????
轴建立平面直角坐标系，则????(0,0),????(1,0),????(3,0) ,根据题意及三角函
数的定义可得????(3cos?2π3,3sin?2π3),????(cos?2π3,sin?2π3),即????(?32,332) ,
????(?12,32) .
?
设∠????????????=????∈[0,2π3],则????(cos?????,sin?????) .
对于A,?????????????????=(?32,332)?(32,?32)=?92 ,
∴A 错误.
对于B,∵????????=????????????+???????????? ,
∴(cos?????,sin?????)=????(?12,32)+????(1,0) ,
?
∴cos?????=12???? ,sin?????=32???? ,
∴cos2????+sin2????=14????2+34????2=????2=1 ,
又由图可知????>0,∴????=1,∴B 正确.
对于C,∵∠????????????=π6,∴????(32,12) .
设????????=????????????+????????????,则(32,12)=????(?12,32)+????(1,0) ,
∴&32=?12????+????,&12=32????,解得&????=33,&????=233,
∴????????=33????????+233????????,∴C 正确.
?
对于D,?????????????????
=(?32?cos?????,332?sin?????)?(3?cos?????,?sin?????)
=(cos?????+32)(cos??????3)+sin?????(sin??????332)
=cos2?????32cos??????92+sin2?????332sin?????
=?72?3sin?(????+π6) ,
又????∈[0,2π3],∴????+π6∈[π6,5π6] ,
∴sin?(????+π6)的最大值为sin?π2=1 .
∴?????????????????的最小值为?72?3×1=?132,∴D 正确.
故选BCD .
?
12.(2025·山东省济宁市期中)如图2-5-5放置的边长为1的正方形????????????????中，????,???? 分别在
????轴、????轴的非负半轴上滑动，则????????????????? 的最大值是___.
?
2
图2-5-5
【解析】如图D 2-5-2所示，取????????的中点????，????????的中点???? ，则
?????????????????=14[(????????+????????)2?(?????????????????)2]=????????2?14????????2=????????2?14 .
?
图D 2-5-2
连接????????,????????，????????,则有????????≤????????+????????=12????????+????????=32,当????，????,???? 三点共线时等号
成立，因此????????的最大值为32，故?????????????????的最大值为(32)2?14=2 .
?
13.新考法 结构不良 (2025·河北省石家庄一中期中)已知平面直角坐标系中，向量
????=(1,?2)，????=(?3,4) ．
?
（1）若????//(3????+????)，且|????|=2，求向量???? 的坐标；
?
【答案】设????=(????,????)，由题意得????????+????=(????,?????) .
∵????//(????????+????)，∴??????????=?????????，解得????=???? ，
∵|????|=????，∴????????+????????=|????|=????，解得????=±???? ，
∴ 向量????的坐标为(????,????)或(????,?????) ．
?
（2）若????与????+????????的夹角为锐角，求实数???? 的取值范围．
?
【答案】????+????????=(?????????????,?????+????????) ，
当????与????+????????共线时，????×(?????+????????)=(?????????????)×(?????) ，
解得????=???? .
当????与????+????????的夹角为锐角时，?????(????+????????)=????×(?????????????)+(?????)×(?????+????????)>????
且????≠????，解得????∴????与????+????????的夹角为锐角时，实数???? 的取值范围为(?∞,????)∪(????,????????????) （易错点：不
要忽略共线的情况）.
?
. .
14.在平面直角坐标系中，????为坐标原点，????，????，????三点满足????????=13????????+23???????? .
?
（1）求证：????，????，????三点共线，并求|????????||????????| 的值；
?
【答案】∵????????=????????????????+????????????????,∴?????????????????=????????(?????????????????) ,
∴????????=????????????????,又????????，????????有公共点???? ，
∴????，????，????三点共线,|????????||????????|=???????? .
?
（2）已知????(1,sin?????),????(1+sin?????,sin?????),????∈(0,π) ，且函数
????(????)=?????????????????+(2?????23)|????????|的最小值为12，求实数???? 的值.
?
【答案】∵????(????,?????????????????),????(????+?????????????????,?????????????????) ,
∴????????=????????????????+????????????????=(????+?????????????????????????,?????????????????) ,
∴?????????????????=????+?????????????????????????+???????????????????? .
又????????=(?????????????????,????),∴|????????|=????????????????? ,
∴????(????)=?????????????????+(?????????????????)|????????|=????????????????????+?????????????????????????+????,????∈(????,????) .
设?????????????????=????,∵????∈(????,????),∴????∈(????,????] ,
∴????=????????+????????????+????=(????+????)????+????????????? .
?
①当?????≤????,即????≥????时，????=????????+????????????+???? 无最小值，不合题意；
②当????∴????=????????? ;
③当?????>????，即????????=?????????>????? ,不合题意.
综上可知，????=????????? .
?
C 培优练丨能力提升
15.如图2-5-6，在△????????????和△????????????中，????是????????的中点，????????=????????=2，????????=????????=3 ，
若点????为????????上的动点，则?????????????????的最小值为___，若?????????????????+?????????????????=7 ，则
?????????????????= ___.
?
????????????
?
2
图2-5-6
【解析】连接
????????.?????????????????=?????????????????=(????????+????????)?(????????+????????)=(????????+????????)?(?????????????????)=|????????|2?|????????|2=|????????|2?1 ，
?
设点????到????????的距离为?，所以12???3=12?2?32?(22)2，解得?=423，所以|????????| 的
最小值为423 ，
故?????????????????=|????????|2?1≥(423)2?1=239 ．
故?????????????????的最小值为239 ．
因为????????2=9=(?????????????????)2=????????2+????????2?2?????????????????=9+4?2????????????????? ，所以
?????????????????=2 .
?
又?????????????????+?????????????????=7 ，
?????????????????+?????????????????
=?????????(????????+????????)+?????????(????????+????????)
=????????2+?????????????????+?????????????????+?????????????????
=4+?????????(?????????)+2+?????????????????
=6+?????????(?????????????????)
=6+12????????????????? ，
所以?????????????????=2 ．
同课章节目录
- 第一章 三角函数
- 1 周期变化
- 2 任意角
- 3 弧度制
- 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
- 5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
- 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象
- 7 正切函数
- 8 三角函数的简单应用
- 第二章 平面向量及其应用
- 1 从位移、速度、力到向量
- 2 从位移的合成到向量的加减法
- 3 从速度的倍数到向量的数乘
- 4 平面向量基本定理及坐标表示
- 5 从力的做功到向量的数量积
- 6 平面向量的应用
- 第三章 数学建模活动（二）
- 1 建筑物高度的测量
- 2 测量和自选建模作业的汇报交流
- 第四章 三角恒等变换
- 1 同角三角函数的基本关系
- 2 两角和与差的三角函数公式
- 3 二倍角的三角函数公式
- 第五章 复数
- 1 复数的概念及其几何意义
- 2 复数的四则运算
- 3 复数的三角表示
- 第六章 立体几何初步
- 1 基本立体图形
- 2 直观图
- 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
- 4 平行关系
- 5 垂直关系
- 6 简单几何体的再认识