§6 平面向量的应用 课件(共157张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共157张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
必备知识解读
知识点1 余弦定理及余弦定理的变形
1 余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积
的两倍,即,, .
说明 POINT
若无特殊说明，我们一般默认在中，角，，的对边分别是，， .
特别提醒 1.余弦定理指出了任意三角形中三条边与其中一角的余弦值之间的一个关
系式,描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
2.在余弦定理中，每一个等式都包含了四个量，因此已知其中的三个量，利用
方程思想可求得第四个量,即“知三求一”.
2 余弦定理的变形
变形一 已知三角形的三条边求三个内角
,, .
特别提醒 该变形是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形的三边来确定三角形
内角的问题，且可以根据角的余弦值来判断三角形的内角是锐角、直角还是钝角.
变形二 已知两边及其中一边的对角求其他边
将余弦定理作如下变形，利用方程思想可以解决已知两边及其中一边的对角求
其他边：
， ,
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P116 T1］在中，角,,的对边分别为，，，若 ,
，,则 ___.
3
【解析】由余弦定理知
,所以 .
例1-2 (2025·广东省江门市段考)在中，若,,,则 的大
小为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知 ,
因为 ,所以 .
例1-3 ［教材改编P116例3（1）］(2025·河南省许昌市高级中学月考)在 中，
角，，的对边分别为，，，若，则角 的值为__.
【解析】由余弦定理知,又 ,故 .
知识点2 正弦定理
1 正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 .
特别提醒 利用正弦定理解三角形时,经常用到下列结论:
（1）三角形内角和定理 ；
, .
2 正弦定理的推广
设为外接圆的半径，则 .
3 正弦定理的常见变形
（1）, ；
（2） ，即三角形的边长之比等于其对角的正弦值之比；
（3）,, ;
（4） =…;
（5）（化边为角），, ;
（6）（化角为边）,, .
发散探讨 我们知道，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系，
你能用正弦定理进行推导吗？
在中，设角,的对边分别为，，由正弦函数在区间 上的单调性
可知：
（1）当，都为锐角时，若，则,由正弦定理 知
;
（2）当，一个为锐角，另一个为钝角时，若，由于 ，
即,所以,即 ,由正弦定理
知 .
（3）当，一个为直角，另一个为锐角时，不妨设，显然 .
综上可知，若，则;反之亦然，即若，则 .
于是得:在中， .
学思用·典例详解
例2-4 ［教材改编P120 T1］(2025·山西省运城市期末)在中，角，， 所对
的边分别是,,,若, , ,则 ( )
A
A. B.2 C. D.
【解析】由正弦定理可得,即,解得 .
例2-5 ［教材改编P120 T3］若是的内接正三角形，且 的半径为10，
则 的边长为______.
【解析】设的半径为,则由正弦定理的推广得 ,解得
.
例2-6 (2025·河北省石家庄市期中)在中，角，，所对的边分别为， ，
， ，，，则 _____.
【解析】因为 ，， ，
所以 ，
则 ．
例2-7 在中，若，,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】利用正弦定理化简，得 （利用正弦定理角化边），
， ．
. .
知识点3 用余弦定理、正弦定理解三角形
在三角形的三条边和三个角这6个元素中，如果已知3个（至少含一边长），那
么由余弦定理和正弦定理，就可以求得其他3个元素.在三角形中，已知三角形的几
个元素求其他元素的过程称为解三角形．#1
基本情形 一般解法
情形1 已知两个角的大小 和一条边的边长， 如，， （1）由 ,求 ；
（2）利用正弦定理求, .
基本情形 一般解法
情形2 已知两条边的边长 及其夹角的大小， 如，， （1）利用余弦定理求 ；
（2）利用余弦定理求角（或），或利用正弦定理求，
中的较小角（因为较小角一定是锐角）；
（3）利用三角形内角和定理求第三个角.
情形3 已知三条边的边长 （1）利用余弦定理求任一角;
（2）利用余弦定理求第二个角,或利用正弦定理求其余两角
中的较小角;
（3）利用三角形内角和定理求第三个角.
续表
基本情形 一般解法
情形4 已知两条边的边长 和其中一边对角的 大小，如，， ____________________ （1）利用正弦定理，经讨论求 ；
（2）由 ，求 ；
（3）利用余弦定理或正弦定理求 .
____________________根据余弦定理，列出关于 的一元二次方程
，解方程求 ，然后应用正弦
定理或余弦定理及三角形内角和定理求其余两角.
续表
特别提醒 1.情形1与所学的判定三角形的全等的“角角边”“角边角”相对应，情形2与
“边角边”相对应，情形3与“边边边”相对应，因此前三种情形的解三角形问题都是唯
一解.情形4的解三角形问题可能有两解、一解或无解三种情况，解题时，应注意判
断三角形解的个数.
2.已知三角形三边长的比,利用余弦定理可以唯一确定这个三角形三个内角的大小.
3.若已知的三个元素中没有边长，即只已知三个角的大小，则无法求其边长，
所求三角形是不确定的.#1.4
学思用·典例详解
例3-8 (2025·山东省青岛第二中学期中)在三角形中，角,,所对的边分别为 ,
,,若，， ，则 _____.
【解析】 由余弦定理可得， ，
则 ，
即 ，
解得 （负值已舍去）.
由正弦定理得 ,
因为，所以,则 ，
所以 ，
所以 .
点评 方法1利用余弦定理通过列方程求边 ,应注意边的取舍；方法2利用正弦定理
解三角形,应注意角的取舍.
【想一想丨问题质疑】
在解三角形的过程中，求角时，若既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，这两种
方法有什么利弊呢？
提示 用余弦定理，可以根据角的余弦值直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复
杂.用正弦定理计算相对比较简单，但要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，
所以一般选择用正弦定理去计算较小的边所对的角，从而避免讨论.
知识点4 解三角形实际应用问题的常见类型及解法
1 测量高度问题
当的高度不可直接测量时，求 的高度一般有以下三种类型：#1
类型 图示 测量数据 解法
底部可 达 , 利用直角三角形的边角关系求解,则
.
类型 图示 测量数据 解法
底部不 可达 , , 在直角三角形中, ,
在直角三角形中, ,
由 ，
得 .
续表
类型 图示 测量数据 解法
底部不 可达 , , , 在中, ,
则在 中,
.
续表
2 测量距离问题
当的长度不可直接测量时,求 的距离一般有以下三种类型：#1
类型 图示 测量数据 解法
, 两点间不 可通又不可视 但都可达 ,, 在 中，由余弦定理可得
.
, 两点间可 视但不可达 ,, 在 中，由正弦定理可得
,则
.
类型 图示 测量数据 解法
, 两点都不 可达 , , , , 在 中，由正弦定理可得
，
在 中，由正弦定理可得
，
在 中，由余弦定理可得
.
续表
3 测量角度问题
测量角度问题主要有①海上、空中的追及与拦截问题，此类问题涉及方向角等
概念;②建筑物、山峰等问题，会涉及俯角、仰角等概念.
解决此类问题，需要根据题意画出图形，构建解三角形模型，利用正、余弦定
理求出待求量.
学思用·典例详解
图2-6-2
例4-9 ［教材改编P123例11］(2025·广东省广州市期中)如图2-6-2所
示，为测量某棵树的高度，在地面上选取，两点，从， 两点
分别测得树尖的仰角为 ， ，且， 两点之间的距离为
,则树的高度为（参考数据： ）( )
A
A. B. C. D.
【解析】在中，由正弦定理可得 ,
则 ,
则树的高度 .
点评 如图2-6-3，在同一竖直平面内，当目标视线在水平线之上时，目标视线与水
平线的夹角称为仰角,当目标视线在水平线之下时，目标视线与水平线的夹角称为俯角.
图2-6-3
例4-10 [多选题](2025·广东省深圳市期中)如图2-6-4所示，为了测量某湖泊两侧，
的距离，某同学首先选定了与，不共线的一点 ，然后给出以下四种测量方案，
其中一定能确定， 间距离的方案为( )
ABC
图2-6-4
A.测量,, B.测量,, C.测量,, D.测量,,
【解析】对于A，在中，,所以 ，由正弦定
理得,所以 .
对于B，在中，由余弦定理可得 ，所以
.
对于C，在中，,所以 ,由正弦定理得
,所以 .
对于D，在中，由余弦定理知，解得的 可能有两个量，故不
一定可行.
释疑惑 重难拓展
知识点5 勾股定理与余弦定理的关系
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系.两个定理间有什么关系呢？下面我们对两个定理之间的关
系进行一下深挖.
1.在中，若 ，则 ，此即勾股定理，
这就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况.#1.1
2.（1）若，根据余弦定理,可知，所以 为锐
角.同理可得：若或，则角或角 为锐角．
所以当，，时， 是锐角三角形．
（2）若，根据余弦定理,可知，则 是钝
角三角形且角是钝角．同理可得：若，则是钝角三角形且角
是钝角；若，则是钝角三角形且角 是钝角．
（3）若，根据余弦定理,可知，则 是直
角三角形且角是直角．同理可得：若，则是直角三角形且角
是直角；若，则是直角三角形且角 是直角．
从这个意义上讲，余弦定理是勾股定理的推广.#1.3
学思用·典例详解
例5-10 (2025·浙江省义乌中学月考)在中，若 ，则
的形状是( )
C
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】已知，根据正弦定理可知，所以角 为
钝角，三角形为钝角三角形.
例5-12 在锐角中，若,，则 的取值范围是___________.
，
【解析】由 （切不可忽略构成三角形的条件（两边之和大于第三边）得
,由题意可知,,,则即
即,解得 .
所以的取值范围是， .
. .
知识点6 三角形解的个数的确定
我们知道，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会有一解、两解或无解三
种情况.下面以已知边,和角 为例,从代数和几何两个角度给出解释.
1 代数方法
（1）利用三角函数的有界性
已知，，，由正弦定理，得 .
若，则 无解，即三角形无解；
若，则在内有一解 ，即三角形有一解；
若，则在内 有一解或两解（互补角的正弦值是相等的）．
显然由可得 有两个值，一个为钝角，一个为锐角，此时，
若,则既可以为锐角，也可以为钝角，三角形有两解；若，则 只可能为
锐角，三角形有一解.
. .
（2）利用三角形中“大边对大角”来判断.
设为锐角，若,则,从而为锐角，有一解；若，则 ,由正
弦定理得:,无解；,一解; ,由于此时满
足 ,有两解.
2 几何方法
为锐角 条件
图形
解的个数 无解 一解 两解 一解
为钝角或直角 条件
图形
解的个数 一解 无解
续表
学思用·典例详解
例6-13 ［教材改编P120 T2］(2025·山东省济南市质检)已知中，若 ,
, ，则此三角形解的情况为( )
C
A.一解 B.两解 C.无解 D.解的个数不确定
【解析】 由正弦定理和已知条件得,., 此
三角形无解.
, ,
故此三角形无解.
例6-14 (2025·安徽省阜阳市开学考试)满足,，的 恰
有一个，那么 的取值范围为( )
D
A. B.} C.} D. }
【解析】 由于恰有一解，因此或 ，即
或 .
由正弦定理得,即,又,数形结合得 恰
有一解时需满足或 ,
故有 }.
知识点7 三角形面积公式
1 三角形面积公式
图2-6-1
在中，若角，，的对边分别为,,，则
的面积 .
证明 （以已知，，为例）如图2-6-1所示，以
的顶点为坐标原点，所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则顶点的坐标为 .
过点作边上的高，则，所以 的面积
.
同理可证,的面积
说明 POINT
此方法是坐标法，避免了对角 是锐角、钝角、直角三种情况的讨论.
2 三角形的其他面积公式
（1），其中,分别为 的内切圆半径及
的周长.
（2）,, .
证明因为，所以 ，同理可证
其他两个等式.
（3）为外接圆的半径 .
证明 将代入 可得
，将,, 代入
,可得 .
（4）海伦公式：,其中.
（【教材链接】链接教材第132页【习题 】B组第6题的第（1）小题）
证明根据余弦定理的推论得,所以
.令 ，整理得
.
（5） （三角形面积公式的向量形式）,其中
, .
（6） （三角形面积公式的向量坐标形式）,其中
, .
. .
. .
学思用·典例详解
例7-15 (2025·河北省新乐市第一中学月考)已知的内角，， 所对的边分别
为,,，且, ，则 的面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】将与联立,解得 ,
则 .
例7-16 已知半径为4的圆的内接三角形的面积是，中角，， 所
对的边依次为，，,则 的值为___.
1
【解析】 由三角形的面积公式,得 ,
由正弦定理知，,, .
易知，则 .
例7-17 已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积 为
( )
B
A. B. C. D.10
【解析】 令 ，则
.
设边，，所对的角分别为,, ，则依据余弦定理可得
，从而 ，所以三角形的面
积 .
关键能力构建
题型1 利用正、余弦定理解三角形
1 已知两角及任意一边
例18 (2025·江西省丰城市期末)在中，若，，，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理，得 ，
解得 .
例19 ［教材改编P118 T1］在中，已知， ， ，则
_____.
【解析】 .
由正弦定理，得 .
已知三角形的两角及任意一边解三角形的步骤
第一步 先由三角形内角和定理求出第三个角；
第二步 由正弦定理求另外两边.
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·四川省广安市期中)在中，若 , , ,则此三角形的
最大边长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】根据题意得 ,则此三角形的最大边是 ,由正弦
定理,得 .
2 已知两边及其夹角
例20 ［教材改编P116 T1］在中，已知角,,的对边分别为,,，若 ,
, ，则 _____.
【解析】由余弦定理，得
，解得
.
根据正弦定理 ，
得 .
又，所以 .（由正弦定理求得后，应根据边的关系 对
角 的值作出判断，避免产生错解）
. .
3 已知三角形的三边（或三边关系）
例21 (2025·河北省石家庄市期末)的内角,,的对边分别为,,，若 ，
且,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】已知,，得 ,
由余弦定理,得 .
【学会了吗丨变式题】
2.已知的内角，，所对的边分别为，，，若， ，则
角 的值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由，可得， ，
设，则，， .
由余弦定理可得
.
又，所以 .
4 已知两边和其中一边的对角
例22 在中，已知角,,的对边分别为,,，若，， ，
求,, .
思路点拨可先用余弦定理求出边，再由正弦定理求出角， ；也可先由正弦定
理求出角 ，然后求其他边和角．
【解析】 由余弦定理 ,得
，
，解得或 .
当时，, ， .
当时，由正弦定理得， ， .
故, , 或, , .
由正弦定理得 ，
又, 或 .
当 时， ，由勾股定理得
.
当 时， ，为等腰三角形， .
故, , 或, , .
例23 ［教材改编P120 T2］已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角
形是否有解,有解的作出解答.
（1）,, ;
【解析】,, ,
又 , 此三角形无解.
（2）,, ;
【解析】, ,,又 ,
,
此三角形无解.
（3）,, ;
【解析】,, ,
又 , 此三角形有一解.
,
, ,
.
（4）,, .
【解析】,, ,
, ,
此三角形有两解.
,
或 .（在求出角的正弦值后，易默认角 为锐角，导致漏解）
当 时， ， ;
当 时， , .
, ,或 , , .
. .
已知两边和其中一边的对角解三角形的一般步骤
题型2 利用正、余弦定理实现边角互化
1 通过边角互化解三角形
例24 (2025·河北省承德市双滦区实验中学月考)在锐角中，角， 所对的边
长分别为,.若，则角 等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 等价于 ，
结合正弦定理（凑形式），得 .
又为锐角三角形，所以 .
因为，由正弦定理的推广可得,
为外接圆的半径,则 ,
又,所以 .
又为锐角三角形，所以 .
. .
. .
例25 在中，内角,,的对边分别为,,，已知 ，且
,则 ___.
4
思路点拨 本题所给两个等式，一个含有边的平方项，另一个则含有正、余弦的乘
积项，因此可以考虑将角转化为边.
【解析】在中，因为 ，
则由正弦定理及余弦定理，得 ,化简并整理得
.
又，所以 ，
解得或 （舍去）.
边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径.一般地，当条件式含有角的余弦
或角的正弦齐次式时，可用余弦定理或正弦定理化角为边；当条件式含有边的二次
式或条件式的等号两边为齐次式时，可利用余弦定理或正弦定理化边为角.通过边角
互化，可使边角关系具体化.
【学会了吗丨变式题】
3.在中，内角，，的对边分别是,,.若 ,
,,则 ( )
B
A. B.1 C. D.
【解析】由条件及正弦定理得,即,所以 .又
,所以,由得 .
所以 .
2 判断三角形形状
例26 (2025·广东省广州知识城中学月考)在中，
且,则 是( )
D
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】由正弦定理得,由，得 .
又， ，
即， .
又 ，
,, .
综上，, 为等边三角形.
判断三角形形状的结论
1.根据三角形的边来判断：
（1）或或 为直角三角形;
（2）且且 为锐角三角形;
（3）或或 为钝角三角形；
（4）按照等腰三角形或等边三角形的定义判断.#1.2.4
2.根据角的三角函数（值）来判断:
（1）若，则 , 为直角三角形；
（2）若,则 为钝角三角形；
（3）若且且,则 为锐角三角形；
（4）若,则 , 为直角三角形；
（5）若或,则, 为等腰三角形；
（6）若,则或 , 为等腰三角形或直角三角形.
注意:在具体的判断过程中，注意灵活应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角
化边还是边化角应视具体情况而定.#1.4
【学会了吗丨变式题】
4.[多选题](2025·广东省华南师范大学附属潮州学校开学考试)在中，角， ，
的对边分别为，，，若为非零实数 ，则下列结论正确的
是( )
ABC
A.当时，是直角三角形 B.当时， 是锐角三角形
C.当时，是钝角三角形 D.当时， 是钝角三角形
【解析】对于A，当时，，根据正弦定理不妨设 ，
，，,故 是直角三角形.
对于B，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
显然是等腰三角形,且为最大角，，说明
为锐角，故 是锐角三角形.
对于C，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
可得，说明为钝角，故 是钝角三角形.
对于D，当时，，根据正弦定理不妨设，， ，
此时 ，不能构成三角形，故结论错误．
故选 ．
题型3 正、余弦定理在几何图形中的应用
例27 (2025·江西省上饶市广丰区金桥学校月考)如图2-6-5所示,在平面四边形
中,,,, ．
图2-6-5
（1）若,求 ；
【解析】在中，由正弦定理得,即 ,解得
．
（2）若,求 ．
【解析】设,,在中, ,
.
在 中,由余弦定理得
．
又 ,
所以 （此类题经常利用公共边创造的互余关系列式）,即
，
整理得,解得或（舍去）,即 ．
. .
正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻
找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用
公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角
的关系的方程.
题型4 三角形的面积问题
例28 (2025·安徽省安庆市检测)的三个内角，，所对的边分别为，， ，
若 ，，，则 的面积等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ，， ，
由正弦定理，可得 ,
由余弦定理，可得 ，可得
，解得或 （不合题意，舍去）.
．
例29 (2023·新课标Ⅱ卷改编)记的内角,,的对边分别为,,,已知 面
积为,为的中点，且 .
（1）若，求 ;
【解析】因为为 的中点，所以
,
（三角形的中线平分三角形的面积）
解得，所以， ．
因为，所以 ．
在中，由余弦定理，得 ,
所以 ．
在中，由正弦定理，得 ，
所以 .
（2）若，求 .
【解析】因为为的中点，所以 ．
因为 ，所以 ，
则在与中，由余弦定理，得 ，
得 ，
所以，所以，所以 .
与三角形面积有关的问题，一般用公式 进行求
解.求解平面几何中的面积问题时，常利用割补法将非三角形的几何图形化归为三角
形，再结合已知条件选择恰当的三角形的面积公式计算.在计算面积时往往需借助正、
余弦定理计算相关的边和角.
【学会了吗丨变式题】
5.在中，，，分别是角，，的对边，如果， ，
的面积是，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ，的面积是 ，
，则 .
， ①，
则由余弦定理得 ②，
由得 ，
即，即 .
题型5 正、余弦定理与向量的综合考查
例30 若中，，其重心满足，则 的取
值范围为( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图2-6-6，设是 的中点，
由，得 ,
又,且为重心，故,, .
设中角,,的对边分别为,, .
在 中，由余弦定理得
①,
在中，由余弦定理得 ②,
结合 ,
可知 ,
图2-6-6
,可得, ,
所以 ③，
在中，易知，即 ，
代入③式可得 ．
题型6 解三角形在实际生活中的应用
1 测量高度问题
例31 某人从塔的正东方向点处沿着南偏西 的方向前进后到达 处，望
见塔在东北方向，若他沿途测得塔的最大仰角为 ,则塔高为_ _______ .
（参考数据： ）
思路点拨 沿途中仰角最大的点即到点最近的点.为此,过点作于点 ，
即在点 处测得的仰角最大.
图2-6-7
【解析】根据题意画出示意图（画图一定要准确，注意示意
图是立体图，不是平面图），如图2-6-7，过点 作
于点 ，此处仰角最大（这个点一定要找准确，这
是解题的关键），则 .
在中，由 ,知 ,
所以 ,再由正弦定理得
.
在 中，
.
在中， .
故所求的塔高为 .
. .
. .
. .
测量高度问题的解题思路
此类问题所涉及的数学模型通常有平面图形与立体图形.视被测量高度为三角形的一
边长，利用三角形中的几何关系计算即得，有时还需要构造方程求解.
2 测量距离问题
图2-6-8
例32 如图2-6-8所示，， 两点都在河的对岸（不可到达），
为了测量,两点间的距离，在河岸边选定， 两点，测得
米，并且在，两点分别测得 ,
, , ,求， 两点间的距
离.（参考数据： ）
【解析】 ， ， ,
（米）.
在中， , , ，
（米）.
在 中，由余弦定理得
（米）.
即， 两点间的距离约为31.6米.
测量距离问题的解题思路
测量距离问题是指两点间的距离不可直接测量，需要选择合适的辅助测量点，将问
题转化为求某个三角形的边长问题，解题中要恰当地利用正、余弦定理将已知元素
逐步转移到包含所求量的三角形中，进而求解.
3 测量角度问题
例33 如图2-6-9，某工程师为了了解某深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条
直线上的，，三点进行测量.已知，，于 处测得水深
，于处测得水深，于处测得水深 ，则
___.
图2-6-9
图2-6-10
【解析】如图2-6-10所示，作交于点，交于点 ，
作交于点 .
由勾股定理及题中所给数据得
,
,
.
在 中，由余弦定理，得
.
测量角度问题的解题思路
首先应明确题设中各夹角（如方位角、方向角、仰角、俯角、坡角等）的含义，再
依据题意画出相应的示意图，构造解三角形模型，将实际问题化归为解三角形问题，
利用正、余弦定理依次解三角形求解.解题过程中同样要重视方程思想的运用.
题型7 向量在平面几何中的应用
1 垂直问题
图2-6-11
例34 如图2-6-11所示，在正方形中，，分别是， 的
中点，求证： .
【解析】 （选取基,，证明） 设 ,
，则, ,
又, ,
所以 .
故，即 .
图2-6-12
（建系，利用坐标法求 ） 建立如图2-6-12所示的
平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则，, ,
,
则， .
因为 ,
所以，即 .
2 平行（或共线）问题
例35 已知在直角梯形中，，，过点作 于
，为 的中点，用向量的方法证明：
（1） ；
【解析】 , ,
,,即 .
,
,
,,即 .
（2），， 三点共线．
【解析】 连接,, ,
, ,
又与有公共点，,, 三点共线.
为的中点， ,
,
.
, .
又与有公共点，，， 三点共线．
图2-6-13
【解析】 由已知得四边形为正方形，设 ,
.
如图2-6-13，以为原点，所在直线为轴， 所在直
线为 轴建立平面直角坐标系，（在建立平面直角坐标系时，要尽
可能使更多的点落在坐标轴上，使更多的线与轴、 轴平行）连
接, .
令，则， ．
四边形 为正方形．
可求得各点的坐标分别为，，， ．
3 线段相等问题
例36 四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），， 分别在
边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明： .
图2-6-14
【解析】建立如图2-6-14所示的平面直角坐标系，设正方形
的边长为1（合理赋值）， ，
则，，， ，
,
,
,
,
，即 .
. .
4 线段长度与夹角问题
图2-6-15
例37 如图2-6-15所示，在中， ,
,点在线段上，且 .求：
（1） 的长；
【解析】设, ,
则 .
.
故 .
（2） 的大小.
【解析】设 ，则 为向量与 的夹角.
，
，即 .
利用向量解决平面几何问题的两种方法
（1）基底法：选取适当的基（基中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量
用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算;
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂
直、平行、夹角等问题转化为代数运算.一般地，坐标易表示或易建立平面直角坐标
系的题目适合用坐标法.
题型8 向量在物理中的应用
例38 在风速大小为的西风中，飞机以 的航速向西北方
向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.
【解析】设风速，有风时飞机的航行速度， 无风时飞机的航行速度，
则 .
图2-6-16
如图2-6-16所示， ,
,， 对应线段构成三角形.
设, ,
,
作，于点 ，
于点，则 .
由题意知， ，
, .
从而， .
,方向为西偏北 .
例39 设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若 ，
，和的夹角为 ，如图2-6-17所示.求：
图2-6-17
（1） 的大小;
【解析】，，处于平衡状态，故，即 ，所
以.故的大小为 .
（2） 的大小.
【解析】如图2-6-18，以点为坐标原点，的方向为 轴正方向，建立平面直角坐
标系.将向量，正交分解，设 .由受力平衡知 ，
即 ，
所以，所以 .
图2-6-18
利用向量解决物理问题的步骤
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
正、余弦定理在解三角形中主要突出方程思想，即利用正、余弦定理，三角形内蕴
不等式和内角和定理度量三角形的三个边与三个角以及其他伴随要素.在高考中，主
要考查正、余弦定理在解三角形中的简单应用或者渗透函数思想考查三角形中的运
动与变化，更是新高考结构不良试题的好载体.各种题型都会出现，以中等难度试题
为主.
核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图
形构建等式），数学建模（借助正弦定理解实际问题）.
考向1 正、余弦定理的简单应用
例40（1）(2025· 全国二卷)在中,,,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】，因为 ，所以.
（【秒解】根据边的大小关系排除，因为,,所以 为最小角，所以
，排除B,C,D,故选A）
（2）(2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,,，若 ,
,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得,因为 ，
所以 .
由余弦定理得 ，所以
，所以 ，所以
，
又，，所以 .
（3）(2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若
,且，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为,,所以由 可得
,整理并化简可得，则 ，
所以 .
（4）(2023·全国甲卷)在中， ，，， 的角
平分线交于,则 ___.
2
【解析】由余弦定理得,整理得,得 .
又 ，所以
,所以
.
例41 (2025·天津节选)在中,角,,的对边分别为,, .已知
,, .
（1）求 的值；
【解析】因为,所以由正弦定理可得 ,因
为,所以,所以,所以 .
又,所以 .
（2）求 的值.
【解析】因为,, ,
所以由 ,
可得 ,
化简得，又，故 .
由,得 .
考向2 三角形的面积问题
例42 (2024·新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知
, .
（1）求 ；
【解析】由余弦定理得 ,
又 ，. ,
,又 , .
（2）若的面积为，求 .
【解析】由（1）得 ，
由正弦定理，得 ，
.（【扫清障碍】 ）
的面积,解得 .
. .
例43 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， ,
.
（1）求 ;
【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知，
.
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在,
求 边上的高.
条件 ;
条件 ；
条件的面积为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分.
【解析】若选择条件 ，
由（1）知,所以 ，
又，所以为钝角， ，此时 不存在，故不能选择条件①.
若选择条件 ，
则，,此时 存在.
设边上的高为，则，即边上的高为 .
若选择条件的面积为 ，
因为，所以 .由余弦定理可得
，所以 .
设边上的高为 ，
则，得，即边上的高为 .
考向3 解三角形的实际应用题
图2-6-19
例44 (全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗
玛峰最新高程为（单位： ）,三角高程测量法是珠峰
高程测量方法之一.如图2-6-19是三角高程测量法的一个示意图，
现有，，三点，且，,在同一水平面上的投影， ，
满足 , .由点测得 点的仰角为
，与的差为100;由点测得点的仰角为 ，则
，两点到水平面的高度差 约为
( )
B
A.346 B.373 C.446 D.473
图2-6-20
【解析】如图2-6-20所示，根据题意过作，交 于
，过作，交于，则 ,
.
在中， ,则 .
又在点处测得点的仰角为 ，所以 ,
所以高度差
.
高考新题型专练
1.[多选题](2025·四川省成都市期中)已知在中，角，， 所对的边分别为
，，，且 ，， ，则下列说法正确的是( )
BC
A. 或 B.
C. D.该三角形的面积为
【解析】由余弦定理得， ，解
得 ，所以C正确；
由正弦定理得，，解得 ，
又，所以 ，所以B正确；
由三角形内角和知， ，所以A错误；
所以的面积是 ，所以D错误．
2.［多选题］(2025·湖南省郴州市期末)如图2-6-21，在中，，为 边
上的中点， ， ，且 ，则( )
BC
图2-6-21
A.外接圆的半径为
B.
C. 的最大值为3
D.的最大值为
【解析】对于A，根据正弦定理可得，解得 ，所以
外接圆的半径为 ，A错误.
对于B，在中，，所以.在 中，
，所以 .
因为, ，
所以 ，B正确.
对于C，根据余弦定理得
.
可得 ，
所以，当且仅当时等号成立，此时 的最大值为3,
C正确.
对于D，因为 ，
所以 .
因为，所以 .
所以 ，
因为,所以当时，有最小值，为，所以 的最小值
为，D错误.故选 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：30分钟
1.(2025·北京市海淀区月考)在中，,,,那么 等于
( )
A
A.9 B.12 C.15 D.20
【解析】由余弦定理得 ,
所以 .
2.在中，若 ，，则 外接圆的半径为( )
B
A.2 B. C.4 D.
【解析】设外接圆的半径为 ，则根据正弦定理的推广可得
，故 .
3.(2025·黑龙江省哈尔滨市期中)在中，角,,的对边分别为,, ,若
,则 为( )
D
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】由 及余弦定理，
得 ,
整理得,故或,所以 为
等腰三角形或直角三角形.
图2-6-1
4.如图2-6-1，四边形中， ， ，
，，，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】在中， ， ，
，
， ．
在中，，， ，
．
图2-6-2
5.新考法 学科综合 (2025·广东省广州奥
林匹克中学月考)滕王阁，始建于唐朝永徽
四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜
齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如
图2-6-2，小明同学为测量滕王阁的高度，
D
A. B. C. D.
在滕王阁的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们的地面上的点
，，三点共线测得楼顶，滕王阁顶部的仰角分别为 和 ，在楼顶处测得阁顶部的仰角为 ，则小明估算滕王阁的高度为 参考数据：
,结果精确到 ( )
【解析】在中， ，
在中， ， ，故
，所以 ，
解得 ，
所以 ．
6.[多选题]已知的内角，,所对的边分别为,, ,根据下列条件解三角形,有
两解的是( )
BD
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【解析】对于A，由正弦定理 ,
得 ，
因为,所以 ，即 为锐角，只有一解；
对于B，由正弦定理,得 ，
因为,所以 ，即 为锐角或钝角，有两解；
对于C，由正弦定理,得 ，
因为，所以 ，即 为锐角，有一解；
对于D，由正弦定理 ,
得 ，
因为,所以 ，即 为锐角或钝角，有两解.
故选 .
7.在中，内角,,所对的边分别为,,.若 ,
,且的面积等于3,则 _____.
【解析】由已知及正弦定理得,即 ,由余弦定理得
,所以,即.又 ,即
,所以,所以 .
8.在中，角,,所对的边分别为,, ，且
.
（1）求角 的大小;
【答案】 , ,
,
由于，则.又 , .
（2）若,,求 的面积.
（参考数据： ）
【答案】由,, 及正弦定理,
得 .
又,故 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：40分钟
9.(2025·浙江省衢州市质检)在中，，边上的高等于,则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 设中角，，的对边分别是,, ，由题意可得
，则.在 中，由余弦定理可得
，则 .
由余弦定理，可得 .
设边上的高为，因为,,所以, ,
,所以,.在 中,由余弦定理可得
.
10.在锐角中，三内角，，对应的边分别为，，，且 ，
则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.，1
【解析】由得， ，
因为，，所以 ，
而，所以，即 ，
因此 ， ，
由和，得到 ，
因此， ．故选C．
11.[多选题](2025·江苏省宿迁市期末)在中，角，，所对的边分别为 ，
，， ，角的平分线交于点，且 ，则下列说法正确的是
( )
ABD
A.若，则 B.若，则的外接圆半径是
C. D.
【解析】对于A，时，在 中，由余弦定理
，所以 ，故A正确；
对于B，若，则为等腰三角形，所以 ，所以在
中， ，由正弦定理得
为外接圆半径，所以 ，故B正确；
对于C，因为，所以 ，所
以 ，故C错误；
对于D，因为，所以，可得 ，当且仅
当时，等号成立，故D正确．故选 ．
12.[多选题](2025·安徽省黄山市模拟)如图2-6-3，一条河两岸平行，河的宽度
，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度 的大小为
，水流速度的大小为，设和 的夹角为
，则下列说法正确的为( )
AC
图2-6-3
A.当船的航行时间最短时，
B.当船的航行距离最短时，
C.当 时，船的航行时间为6分钟
D.当时，船的航行距离为
【解析】对于A，当船的航行时间最短时，船头方向始终垂直于河岸，此时 ，
故A正确.
图D 2-6-1
对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图D
2-6-1，则，所以 ，故B错误.
对于C，当 时，船垂直河岸方向的分速度
，
船的航行时间 ，即6分钟，故C正确.
对于D，将船的速度和水流速度合成，则 .
当时， ，
所以 .
又船垂直河岸方向的分速度 ，
所以船的航行时间 ，
所以船的航行距离为 ，故D错误.
故选 .
13.新考法 结构不良 (2025·广东省湛江市期中)在中，角，， 所对的边分
别是，，，已知 ．
图2-6-4
（1）求角 的大小；
【答案】由，得 ，
由余弦定理知， ，
因为 ，所以 ．
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若
，，如图2-6-4，点是边上的一点，且____，求线段 的长．
①是 的中线；
②是 的角平分线；
③ ．
【答案】选①，因为是 的中线，
所以 ，
所以 ,
所以 ．
选②，因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ．
选③，因为 ，
所以 ，
所以 ,
故 .
14.(新高考全国Ⅰ卷)记的内角,,的对边分别为,,,已知.点在边
上, .
（1）证明: ;
【答案】因为,所以由正弦定理得， ,
又,所以 .
又,所以 .
（2）若,求 .
图D 2-6-2
【答案】如图D 2-6-2所示，过点作交于 ,因为
,所以，,所以, .
在 中，
,
在中， .
因为,所以 ,所以
,化简得 ,方程两边
同时除以,得,解得或 .
当，即时， ;
当，即 时，
（舍）.
综上， .
C 培优练丨能力提升
15.(2022·全国甲卷)已知中，点在边上, ,, .
当取得最小值时， ________.
图D 2-6-3
【解析】设,则 .
根据题意作出大致图形，如图D 2-6-3.在 中，由余弦
定理得 .
在 中，由余弦定理得
,
则 ,
（当且仅当，即
时等号成立）, ，
当取得最小值时， .