第二章 平面向量及其应用 章末总结 课件(共38张PPT)

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第二章 平面向量及其应用
章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题1 向量与三角形的“四心”
三角形有“四心”：重心、外心、内心、垂心，可以用向量的运算对它们的性质进行
分析.
（1）重心：设是所在平面内一点，则点是 的重心的条件是
或（其中 为平面内任意一点）.
（2）垂心：向量所在的直线过 的垂心
（在边上的高 所在的直线上）.
设是所在平面内的一点，则点是 的垂心的条件是
.
（3）内心：向量所在直线过的内心（在 的平分线所
在的直线上）.
设是所在平面内的一点，为的内心的条件是 或
，，是的内角，，所对的边， 为平面内任意一点
.
（4）外心：设是所在平面内的一点，则点为 外心的条件是
（即点 到三个顶点的距离相等），或
.
例1 (2025·福建省莆田第二中学检测)已知点，，在 所在平面内，且
，，，则点 ，
，依次是 的( )
C
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
【解析】由知点到点，，的距离相等，即点是 的
外心.
，因为经过线段 的中点，所以直
线也经过线段的中点，同理直线经过线段的中点，经过线段 的中
点，故是三条中线的交点，即点是 的重心.
由，得 ，即
.同理，，即点是 的垂心.
例2 已知是的内心，，，若 ，则( )
A
A. B. C. D.
【解析】设，则 ,
,
,
.
又 ,
且, .
专题2 等和线
图2-1
如图2-1,对于平面内一组基底,及任意向量 ,
,若点在直线 上或在平行于
的直线上，则 （定值）,反之也成立.我们
称直线以及与直线平行的直线 为等和线.等和线
有如下6个性质:
（1）当等和线恰为直线时, .
（2）当等和线在点和直线之间时, .
（3）当直线在点和等和线之间时, .
（4）当等和线过点时, .
（5）若两等和线关于点对称，则它们对应的定值 互为相反数.
（6）定值与点到等和线的距离有关， .
例3 (2025·河南省灵宝实验高中月考)在扇形中，为弧 上的一个动点，
.若，则 的取值范围是______.
图2-2
【解析】 如图2-2，在上取一点，使 ，
连接，与交于，过作，交于 ，则
，（转化基向量的目的是
凑系数，构造等和线）
所以.（直线和 为等和线，应用等和
线的原理）
. .
. .
当,重合时，此时,也重合，最小，为1.当,重合时，此时，也重合，
最大，为3.（利用极限思想求最值）所以的取值范围是 .
设扇形的半径为，因为 ，
所以 ，
即，整理得关于的方程 .
易知,，，所以 ，
（舍去负根）
所以 .
. .
. .
. .
令 ，（构造函数，利用函
数的单调性求最值）
易知在上单调递减，所以 ，
所以的取值范围是 .
. .
为什么要用等和线？通过上述两种方法的对比可以发现，利用等和线可以避免复杂
的计算.事实上，等和线可以解决双变量代数式取值范围与最值问题.
下面我们通过一道例题，再看一下等和线的妙用.
例4 已知,,,,为 外接圆上的动点，且
,则 的最大值是__.
图2-3
【解析】设 .按照 的几何意义来说，作平行于直线
的圆的切线，延长交切线于点，过点作 ，如图2-3.
对应的 的最大值等于 .
专题3 圆内接四边形中的余弦定理及面积公式
教材深挖POINT
这是对教材习题的深度挖掘，同学们可以适当了解.
教材第131页【习题 】B组给了这样一道习题:如图（图略），圆内接四边形
的边长分别为,,,求四边形 的面积.
事实上，这是2001年文科数学全国卷第19题，在2014年，将已知数据缩小为原来的
一半，成为了新课标全国卷Ⅱ文科数学第17题的已知条件，是一道十分经典的例题，
作为对本题的拓展，我们下面研究下圆内接四边形的余弦定理及面积公式.
设圆内接四边形的边长分别为,,, ,则
, ,
, ，
且四边形的面积 ，（被称为圆内接四边形
面积的海伦公式）其中 .
. .
图2-4
证明 如图2-4，连接，在和 中，分别应用余弦定理，
得
,
,
又易知 ,则 ,
故 .
由此得 ①,
.
同理可证 ,
.
设四边形的面积为 ,
则 ,即
②.
由①得, ③,
得,（） ,
此处用到了同角三角函数基本关系
即
. .
,
其中 .
.
一章一练·学思维知创新
例5 新定义 可聚向量 (2025·湖南省长沙市长郡中学期中)已知, ,
为维向量，若,,2, ,，则称 为可聚向量．对
于可聚向量实施变换把的某两个坐标, 删除后，添
加作为最后一个坐标，得到一个维新向量（1），如果 （1）为可聚向
量，可继续实施变换，得到新向量（2）……如此经过 次变换后得到的向量记为
．特别地，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量 经过若干次变换后结果
为实数，则称该实数为向量 的聚数．
（1）设,,，直接写出 （1）的所有可能结果；
【解析】删除0，，添加，则（1） ;
删除0，，添加，则（1） ;
删除，，添加，则（1） .
（2）求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行 次；
【解析】对维可聚向量实施一次变换 ,
设，，则，， ，
， ，
，，所以 ，
，，所以 ，即
.
所以维可聚向量经过一次变换后得到的维向量 （1）仍然是可聚向量，这样
经过次变换后得到一个实数.所以对于任意一个维可聚向量，变换
总可以进行 次.
（3）设,,,,,,,,,，求 的聚数的所有可能结果．
【解析】定义运算 .先证明这个运算满足交换律与结合律：
，即运算 满足交换律，
又 ，
，
所以，即运算 满足结合律.
所以维可聚向量 经过变换后所得聚数与实施的具体操作过程无关，
因此可作如下操作：
由#，易得#，#，#，# ，
原来向量记作，则（5），再进行4次变换化为一项 ，
综上可知，的聚数为 ．
名师点评 本题是综合性很强的问题，解题时需要认真审题，理解新定义，利用定义
来解题．本题的难点是对变换过程中实施运算引入一个符号“#”，即 ，证
明此运算满足交换律和结合律，从而得出变换后所得聚数与中间具体操作过程无关，
从而可利用其中一种简单的变换得出结果．
尖子生 强基自招
命题点1 向量的运算
例6 (2025·全国高中数学联赛广西赛区预赛)已知的外心为 ,且
,则 _ ___.
【解析】不妨设 的外接圆半径为1.
由得 ，
,
故 .
同理可得， .
,
又 ,
,
, ,
.
例7 (2024· 同济大学强基计划)四边形为平面四边形，， ，则
___.
3
【解析】 ,
，
因为， ，
所以 .
例8 (2023· 全国高中数学联赛一试B卷)平面上五点,,,,满足 ,
，,，则 的值为___.
3
【解析】记,.由条件知,，于是 .
命题点2 与向量有关的最值问题
例9 (2022 ·上海交通大学强基测试), ，则
的最小值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ,
因为 ,
所以的最大值为 ，
所以的最小值为 .
命题点3 解三角形问题
例10 (2025·北京大学强基计划)在中，在上，平分 ，
,,求 .
【解析】由角平分线的性质知，可得 ，
令，则 .
图2-5
设是的中点，如图2-5所示，因为 ，
,所以， ,
故 ,
由,得 ，即
，
所以 （负值已舍） .
例11 (2025·全国高中数学联赛江苏赛区预赛)已知的面积为2，，则
的范围为_ __________.
,
【解析】不妨在平面直角坐标系中设,，由面积为2知 边上的
高为2,不妨设 ,
则 .
当时,上式 ,
当时， ,
易知 ,
此时, .
综上，,开方得 .
例12 (2024·厦门大学强基计划)单位圆内接，取，， 作边长构
成 ，则( )
C
A.能构成，且
B.能构成，且
C.能构成，且
D.不能构成
【解析】在中，设角,,对应的边为,, .
由正弦定理，得,, ，
即 ，
故取,,作边长能构成，且 ，
所以 .
第三章数学建模活动（二）（略）
例13 (2024·北京大学强基计划)在中，若点在线段上，平分 ,
,，求 的周长.
【解析】设, ，
由角平分线定理可得，则 ，
由余弦定理的推论得 ，
即 ，
将代入化简得 ，
即 ，
解得或舍去 ，
经检验只能,故 ，
所以 的周长为10.5.