§1 同角三角函数的基本关系 课件(共78张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共78张PPT)
第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
必备知识解读
知识点1 同角三角函数的基本关系式
1 平方关系与商数关系
基本关系式 语言描述
平方关 系 同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关 系 当时，同一个角 的正弦和余弦的商等
于角 的正切.
特别提醒 （1） 是的简写，读作 的平方，不能将 写成
，前者是角 的正弦的平方，后者是角 的平方的正弦.
（2）同角三角函数的基本关系中的角都是“同一个角”，而 1不一定
成立.“同角”与角的表示形式无关，如成立，这里的同角是指 .
. .
2 基本关系式的变形公式
（函数值的正负由角 终边所处的
象限决定）
学思用·典例详解
例1-1 (2025·江苏省南通市月考)若锐角 满足，则 __.
【解析】因为,所以，又 为锐角，所以
.
例1-2 ［教材改编P148 T1（2）］ 已知 是第二象限角，且,则
_______.
【解析】因为 是第二象限角，
所以 ，
则 .
例1-3 化简下列各式：
（1） ；
【解析】原式 .
（2） ；
【解析】原式 .
（3） .
【解析】原式 ,
.
释疑惑 重难拓展
知识点2 同角三角函数的基本关系的关联恒等式
教材深挖 从教材第149页【例6】可以看出,就是
的一个变形.事实上,利用同角三角函数的基本关系可以推导出更多的恒等式.
（1）； ；
； .
（2） ；
；
；
.
（3） ；
；
；
.
说明 利用平方差公式 、立方和公式
、立方差公式 降幂、
变形，再结合 化简.
（4） ；
； .
说明 变形的关键是利用分子分母的齐次结构，通过各项同除，再利用
整体消元.
“利用等量关系消元”“对等式进行代数运算”这些代数变形的方法技巧，同样也
适用于三角关系式的变换.#1.5
学思用·典例详解
例2-4 ［教材改编P151 T1］ 已知 ，则 的值为__.
【解析】由已知得
，
解得 .
例2-5 (2025·江西省全南中学期末)已知， ，则
( )
A
A. B. C. D.
【解析】，解得 ，
故 ，
且 ,
， ，
，故 .
例2-6 ［教材改编P150 T4（2）］ 已知，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】, .
关键能力构建
题型1 利用同角三角函数的基本关系求值
1 已知某个三角函数值，求其余三角函数值
例7 ［教材改编P148 T1］
（1）已知，求 和 .
【解析】， 是第一或第二象限角.（注意角 是第几象限角不确
定，需要进行分类讨论）
当 是第一象限角时，
，
求 需要知道 的值，因此应先用平方关系求 ,再求
;
当 是第二象限角时，
，
.
. .
. .
（2）已知,,求 和 .
【解析】由解得 ，
,, ，
.（注意到角 的正切值为正，可缩小角 范围，判断出角 的余弦
值为负.求解此类题时一定要注意隐含条件的使用，避免增解）
.
. .
. .
名师点评 当已知某个三角函数值时，可以借助直角三角形求其余三角函数值的绝对
值，再根据具体条件考虑符号.例如，例7第（1）小题，构造直角三角形，一条直角
边长为5，斜边长为13，根据勾股定理可得另一条直角边长为12，故 ，因
为题目的条件没有给出角 的范围，所以要讨论 的正负.
已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；
第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.
注意:熟记下面几组“勾股数”，有时可快速解决这类问题：， ，
，，，，，，1，7，5 .
【学会了吗丨变式题】
1.[多选题] (2025·山东省济宁市第一中学月考)已知， ，则下列
结论正确的是( )
ABD
A. B.
C. D.
【解析】因为，，所以 ，
所以， ，
则， ，
则.故选 .
2 齐次式的求值问题
母题 致经典·母题探究
例8 ［教材改编P150 T4］ 已知 ，则
（1） ____;
【解析】注意到分式的分子和分母均是关于 , 的一次齐次式，（只有分子，
分母为正余弦的齐次式时，才可化弦为切进行求值计算）由题意得 ，
所以可将分子分母同时除以 ，然后整体代入 的值,
.
. .
（2） __;
【解析】注意到分式的分子和分母均是关于 , 的二次齐次式，
因为，所以分子分母可同时除以 ，
则 .
（3） ___.
1
【解析】似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到 ，
则有
，
这样便使得分子分母均为二次齐次式.
同（2）有
.
子题
子题1 设，且，则 的值
是( )
C
A. B.2 C. 或2 D.不存在
【解析】 ，
,
即，化简得 ，
,
,
即,解得或 .
子题2 已知，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 .
齐次式求值的基本方法
（1）形如的分式，可将分子、分母同时除以 ； 一次齐次式除以
形如的分式，可将分子、分母同时除以 ，将正、余弦
转化为正切，从而求值.二次齐次式除以
（2）形如 的式子，可将其看成分母为1的分式，再将
分母1变形为 ，转化为形如 的分式求解.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·江西省南丰一中期末)若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 （求值代入法） 因为，所以角 的终边在第二、四象
限，（根据正切值的正负，确定角 可能所在的象限）
所以或
（弦化切法） 因为，所以 .
所以 .
3 利用 与 之间的关系求值
例9 新考法 开放创新 [教材改编P148例4] 从已知条件 ，且
可以得到以下结论：
（1）________；
（2）________；
（3）________.
【解析】本题的结论是开放的.由 可以得出的结论是多样的，为此需
明确方向.从同角三角函数的基本关系入手.
因为，所以 ，
即 ，
所以得 ①；
注意到 ，
因此 ②;
由，且可知， ，
从而 ③；
可将③式与条件联立得, ④;
由④式可得 ⑤，等等.
从①②③④⑤中选择任意三个填上即可.
名师点评 求三角函数值的时候,通常是利用同角三角函数的基本关系和已知条件把
问题归结为解正弦（或余弦）函数值的一个一元二次方程，或者解正弦函数值和余
弦函数值的二元方程组.
利用 与 之间的关系求值的“三剑客”
由 , ,可知：如
果已知 , ， 三个式子中任何一个的值，就可以利
用平方关系求出其余的两个.因此，我们常称 , ,
为三角“三剑客”.
图4-1-1
注意： 的符号的判定方法：
由三角函数的定义知，当 的终边落在直
线上时， ，即
；当 的终边落在直线
的上半平面区域内时，
，即；当
的终边落在直线的下半平面区域内时，， 即
．如图 4-1-1（1）所示.
的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当 的终边落在直线
上时，，即；当 的终边落在直线 的
上半平面区域内时， ，即；当 的终边落在直线
的下半平面区域内时， ，即 .如图4-1-1（2）
所示．
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·黑龙江省大庆中学期末)已知 ．
（1）求 的值；
【答案】由，两边平方得 ，则
.
（2）若 ，求 的值．
【答案】 ，
由 ，
得 ，
，，，则 ，
即 ．
题型2 三角函数式的化简
1 根式型化简
例10 化简:
（1）,其中 是第二象限角;
【解析】因为 是第二象限角,所以, .
故
.
（2） ;
【解析】因为 ，所以 .
原式 .
（3） .
【解析】
，，所以,0,
.
2 高次型化简
例11 化简:
（1） ;
【解析】原式 利用
分解因式.注意
.
（2） .
【解析】原式 .
. .
三角函数式的化简思路
1.化简原则：
三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，
次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.
2.化简常用的方法：
（1）对于含有根号的，常把被开方数（式）化成平方数（式），然后去根号达到化
简的目的;
（2）化切为弦，减少函数种类，达到化简的目的；
（3）对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或利用 ，以
降低次数，达到化简的目的.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·山东省潍坊第一中学月考)化简：
（1） ；
【答案】原式
.
（2）其中 .
【答案】当 时，, ，
所以
.
题型3 三角恒等式的证明
1 一般恒等式的证明
例12 求证: .
教材深挖 教材例题的多角度证明
本题实际上是教材第149页【例6】，所证等式是一个十分经典的恒等式，此处再列
举几种不同的证明方法，体会一题多解的思想.
【解析】 因为右边分母为 ，故可将左边分子分母同乘以
左边 右边.
因为左边分母是 ，故可将右边分子分母同乘以
右边 左边.
（只需证明等式两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变
为相同）
因为左边 ，
右边
，
所以左边 右边，原等式成立.
证明三角恒等式的基本方法
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；
（4）变更命题法，如要证明，可证或证 等；
（5）比较法，即证明“左边-右边”或“ ”.
【学会了吗丨变式题】
5.求证： .
【答案】 左边 右边.
所以原等式成立.
左边 ,
令,,则，即 .
故左边 右边.
所以原等式成立.
右边 .
左边 右边，所以原等式成立.
2 条件恒等式的证明
例13 已知，求证： .
【解析】由，可得 ，
即 ，（化切为弦）
故 ，
整理得 ，
即 ，
化简可得 .
含有条件的恒等式的证明方法
证明含有条件的三角恒等式时应注意条件的应用，常用的方法、技巧如下：（1）直
推法，从条件直接推得结论;（2）代入法，将条件代入结论中，转化为三角恒等式
的证明;（3）换元法.
【学会了吗丨变式题】
6.已知,求证： .
【答案】, ，
，（分离出 ，然后化弦为切）
，
等式成立.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节知识是三角恒等变换的基础内容，常与前面所学的诱导公式内容或与后续的二
倍角等内容综合考查.一般以选择题、填空题的形式呈现，试题难度简单或中等.
核心素养：数学运算（利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值等）.
考向1 利用同角三角函数的基本关系求值
例14 (2024·全国甲卷改编)已知,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据题意有，即，所以 ，所以
.
例15 (2023·全国乙卷)若,,则 _ ____.
【解析】由且 ，
解得 故 .
考向2 与三角函数性质综合的问题
例16 (2023·全国甲卷)设甲:,乙: ,则( )
B
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】甲等价于 ，等价于 ，所以由甲
不能推导出乙，所以甲不是乙的充分条件；由，得 ，
两边平方可得 ，即 ，所以由乙可以推
导出甲，则甲是乙的必要条件.
例17 (全国Ⅱ卷)函数 的最大值是___.
1
【解析】依题意得，
，
因为，所以，因此当时， .
高考新题型专练
1.［多选题］已知，，且， ，下面选项正确的是
( )
ACD
A. B.或
C. D.
【解析】因为，，所以 ，因为
，所以，解得或 ．因为
，，经检验，当时， ，不合题意，所以
，此时，，．故选 ．
2.新考法新定义题 [多选题] (2025·江苏省南京市期中)在平面直角坐标系 中，角
以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点 ，
，定义， ，则( )
BC
A.
B.
C.若，且，则
D.若，且，则
【解析】角 终边经过点，则角 终边经过点 ，所以
，所以A选项错误；
因为， ，
所以 ，
因为，，所以 ，
所以 ，所以B项正确；
因为，且 ，由三角函数定义可知，
，
所以 ，
又，解得， ，
所以 ，所以C项正确；
因为，且，所以 ，
又，解得， ，
所以 ，
所以，所以D项错误．故选 ．
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·辽宁省沈阳市月考)若 是三角形内角，且 ,则此三角形一定
是( )
D
A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【解析】由，得 .
因为 是三角形内角，所以,,故 ,则此三角形一定是钝
角三角形.
2.已知，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
3.若，则 ( )
B
A. B.2 C. D.
【解析】 由解得
所以 ．
因为,所以 ,
则，即 ，
所以，解得 ．
设，则 ，代入 中,得
, ，
又，所以 ．
注意到本题中的“勾股数”为，因此可以用， 代入条件式验证，
注意到，因此有所以 ．
图4-1-1
4.新情境 黄金分割 要得到美观的照片，构图是很重要
的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒
适.“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把
画面横、竖各分三部分，横、竖三部分的三段线段长
度的比例都为 ，4个交叉点即为黄金分割
点．如图4-1-1，分别用，，， 表示黄金分割点,
B
A. B. C. D.
若照片长、宽比例为，设 ，则 ( )
【解析】依题意，所以 ，
所以 .
5.[教材改编P151 T2]已知，，则 的值为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】,,,即,
,,
,
则 .
6.[多选题](2025·安徽省亳州市期初)若，且 为锐角，则下列选项中正确的
有( )
AB
A. B.
C. D.
【解析】，且 为锐角，
，故B正确;
，故A正确;
，故C错误;
，故D错误．故选 ．
7.已知，.若 是第二象限角，则实数 的值为__．
【解析】依题意得解得 .
8.已知 ,化简： .
【答案】因为 ,所以， ，
所以原式 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.(2025·北京市中央民族大学附属中学月考)在同一平面中的角 和角 满足“
”是“ , ”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】判断充分性：若 ，
因为，所以 ，
当 时， ,或 , ，
当 时， ,或 , ，所以充分
性不成立.
判断必要性：若 , ，
则 ，
所以 ，必要性成立.
所以“”是“ , ”的必要不充分条件.
10.新定义 正割余割 (2025·山东省聊城第一中学月考)正割及余割这两个概念是由阿
拉伯数学家、天文学家阿布·瓦法首先引入, 这两个符号是荷兰数学家基拉德在
《三角学》中首先使用，后经瑞士数学家欧拉采用得以推广．在三角中，定义正割
，余割．已知为正实数，且 对任意的
实数均成立，则 的最小值为( )
B
A.1 B.4 C.8 D.9
【解析】依题意得，， ，
因为 ，
所以 ，
当且仅当时等号成立，即的最小值为 ，所
以，解得，即 的最小值为4．
11.[多选题]已知， ，则下列说法中正确的有
( )
BD
A.是第二象限角 B.
C. D. 或3
【解析】对于A， ， ，
，， 为第三象限角，
，
，
当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角， 可能为第二或第四
象限角，故A错误；
对于B， ，
，， ，
，故B正确；
对于C，由 ，
， ，
可能为正，也可能为负，
，故C错误；
对于D，当， 时，
，，故 ，
当， 时，
，，故 ,
故或3，故D正确．故选 ．
12.[易错题]计算: ___.
1
【解析】
.
, .
.
13.(2025·广东省惠州市月考)已知向量，，若 ，则
__.
【解析】因为，， ，
所以 ，所以 .
所以 .
14.已知,求证： .
【答案】由条件，得 ,
构造向量, ,
,则,,即 ,
.
设与的夹角为 ,
则,即,故与 同向.
,即 , ,
, , .