§2 两角和与差的三角函数公式 课件(共128张PPT) 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

(共128张PPT)
第四章 三角恒等变换
§2 两角和与差的三角函数公式
必备知识解读
知识点1 两角和与差的余弦公式
1 两角和与差的余弦公式
两角和的余弦公式： .（公式对任
意 ， 都成立）
两角差的余弦公式： .
. .
. .
2 公式的结构特征
3 两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反.
学思用·典例详解
例1-1 ［教材改编P154 T2］已知,,则 的值为_ ___.
【解析】,, ,
,
.
知识点2 两角和与差的正弦公式
1 两角和与差的正弦公式
两角和的正弦公式： ;
两角差的正弦公式： .
. .
. .
2 公式的结构特征
3 两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
（1）“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
（2）“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同.
学思用·典例详解
例2-2 求下列各式的值：
（1） ;
【解析】 .
（2） .
【解析】.
点评 解决此类问题的关键是把非特殊角问题转化为特殊角的和或差问题求解.
知识点3 两角和与差的正切公式
1 两角和与差的正切公式
两角和的正切公式: ；
两角差的正切公式： .
. .
. .
2 公式的结构特征及符号特征
（1）公式的右侧为分式形式，其中分子为 与 的和或差，分母
为1与 的差或和.
（2）
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
特别提醒 1. ， 均有一定的取值范围，即 ,
，，这样，才能保证 ， 及
都有意义.
2.公式,,通常都叫作和角公式，而公式,, 通常都叫作
差角公式.
3.和差角公式之间的关系如图4-2-1所示.
图4-2-1
. .
. .
3 公式的变形
在三角函数中,同时出现 （或）和 ，或在
和差的形式与积的形式之间进行互化时，可以考虑与 公式的变形：
① ，
；
② ，
；
③ .
学思用·典例详解
例3-3 ［教材改编P156 T5］求, 的值.
【解析】 ，
.
.
例3-4 ［教材改编P156 T6］求下列各式的值:
（1） ;
【解析】原式 .
（2） .
【解析】原式 .
例3-5 (2025·陕西省安康市检测)计算： ( )
D
A. B.1 C. D.
【解析】因为 ，
所以 ，所以
.
知识点4 三角函数的叠加及其应用
1 辅助角公式
一般地，当,不同时为0时，
（ 为辅助角）.其中,,即角
所在象限由,的符号确定，角 的值由 和 的值确定，也就是由
来确定.
. .
2 常见的辅助角结论
； ；
； ；
；
.
3 辅助角公式的作用
辅助角公式将 化为一个角 或 ，一个函数名称
或 ，因此也称为“化一”公式，其作用是研究函数
或 的性质，可求周
期、单调性、最值等.
学思用·典例详解
例4-6 ［教材改编P157例5（1）］ ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .
例4-7 (2025·北京市第五十五中学月考)为了得到函数 的图象，可
以将函数 的图象( )
A
A.向右平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度
【解析】因为 ，所以将函数
的图象向右平移个单位长度后可得到函数 的图象.
知识点5 积化和差与和差化积公式
1 积化和差公式
;
;
;
.
2 和差化积公式
说明 POINT
积化和差与和差化积公式不要求记忆.
;
;
;
.
学思用·典例详解
例5-8 (2025·江西省新余市期末)函数 的最小正周期为________.
【解析】 ,
函数的最小正周期为 .
5-9.求值： .
【解析】 .
知识点6 常见的变换技巧——角的变换和常值代换
1 角的变换
在使用两角和与差的公式解题时，要注意通过运用拆角、拼角的技巧，用已知
角表示未知角.常用的角的变换如下：
；
；
； ；
；
；
； .
2 常值代换
用某些特殊角的三角函数或三角函数式代替某些常数，使代换后能运用相关的
公式，这种代换称为常值代换.其中要特别注意的是“1”的代换，如
， .
另外,还有其他特殊角的三角函数值：,,,,,如 ，
， 等.
尤其要注意常值代换在和（差）角公式中的应用.
学思用·典例详解
例6-10 [教材改编P154 T1]证明： .
【解析】 （或
）
由于
,
,
故 .
例6-11 (2025·江苏省盐城市期中)化简： _ __.
【解析】原式 .
关键能力构建
题型1 利用和（差）角公式求值
1 给角求值
例12 求下列各式的值：
（1） ；
【解析】原式
.
（2） ；
【解析】原式 （两角和正切公式的变形式）
.
. .
（3） ;
【解析】原式
.
（4） .
【解析】 ,又
,所以 ,
所以 .
同理可得 ，
所以原式 .
变式1： 你能求 的值吗？
【解析】由上面的结论可知， ，故
.
变式2： 你能求
的
值吗？
【解析】 ，则
，
变形得 ，
即 ，
同理， ，
故原式 .
名师点评 本例（4）及变式所得结论可以推广到一般情形：
若,,则 ;
反之，若 ,则, .
解给角求值问题的基本思路
给角求值问题，所给角往往都不是特殊角，解决这类问题的基本思路有：
（1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值；
（2）化为正、负相消的项，消去求值；
（3）分子、分母出现公约数时进行约分求值．
解决三角函数求值的四个切入点
（1）观察角的特点．充分利用角之间的关系，尽量向同角转化．
（2）观察函数特点．向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦．
（3）利用辅助角公式：，其中 ．
（4）观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用这些公式．
【学会了吗丨变式题】
1.求值： .
【答案】原式 .
2 给值求值（条件求值）
例13（1）(2025·北京市第十二中学月考)若,, ，
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】注意到，则 ，
所以 .
又，所以 ，
所以 ，
所以 ，
从而 .
（2）(2025·山东省临沂市期中)已知,, ,
,则 的值为___.
【解析】由,知 ,
所以由,得 .
由，知 ,
所以由,得 .
所以 ，
所以（ ）. （虽然 不能直接从 ,
得到，但可以利用进行过渡，再利用诱导公式得解）
. .
给什么 得什么 给出 ， 的范围与两个三角函数值，可以判断三角函数式中角的范围.
求什么 想什么 观察所求三角函数值的角，思考所求角与所给角的关系，通过拼、凑角将
所求角向所给角转化，不同名的三角函数通过诱导公式转化.
差什么 找什么 利用两角和与差的三角函数公式分解所求式，其中未知的三角函数值可利
用同角三角函数关系求解，给正弦求余弦，给余弦求正弦.
例14（1）已知,,则 __.
【解析】 .
（2）若，且，则 __.
【解析】, ,
, .
（3）已知,,则 ___.
【解析】
得 ,
即 .
条件求值问题的求解思路
1.根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角和拼角技巧、诱导公式、同角三角函
数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形，化未知为已知，从而达到
求解的目的.
2.当角之间符合规律,
时，要配合使用诱导公式.
3.在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围.
4.可以通过对条件等式的运算，得到 ， ， ，
， ， 这些结构的值，把它们看作整体，直接代
入公式求解.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·江苏省苏州市吴江中学月考)已知 ， 均为锐角， ，
，则 ( )
C
A. B. C. D.或
【解析】 ， 为锐角，，， ，
，
， ．
又， ,
．
3 给值求角
例15（1）已知,,且 和 均为钝角，则 的值为( )
D
A. B. C.或 D.
【解析】 和 均为钝角,
,
.
（【巧选
“名”】若选，则无法确定 是第三象限角还是第四象限角）
由 和 均为钝角,得 ,
.
（2）[教材改编P156 T8]已知,,且 ,,则
的值为_____.
【解析】（第一次变角： ）
,
, .
，, ,
.
， ，
（第二次变角） ，
又, .
. .
. .
易错警示 对于本题第（1）小题，我们若是求出 的值，由于第三、四象
限角的正弦值都是负值，因此由 我们无法确定 是第三象限角
还是第四象限角，但是根据可直接得出 是第四象限角，从而避
免了烦琐的计算和错误的发生，注意体会选取公式的技巧.
解决给值求角问题的方法
解决给值求角问题要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角
函数，确定所求角的恰当范围，利用三角函数在此范围内的单调性求出所求角.
在选取函数时，遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数.
（2）已知正、余弦函数值，若角的范围是 ，选正、余弦函数皆可；若角的范
围是，选余弦函数较好；若角的范围为， ，选正弦函数较好.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·天津市南开中学月考)若 ，，且 ，
，则 的值是( )
B
A. B. C.或 D.或
【解析】，， ，， ，
又, （注意结合三角函数值，合理缩小角的范围），即
， ，
， ，
.（由同角三角函数基本关系可得）
又， ，
.
. .
. .
.
又,,, .
题型2 利用和（差）角公式化简、证明
1 化简
例16 化简： .
【解析】原式
.
三角函数式化简的要求、方法、技巧
（1）化简三角函数式的标准和要求：
①能求出值的应求出值；
②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；
③使三角函数式的次数尽可能低；
④使分母中尽量不含三角函数式和根式.
（2）化简三角函数式的常用方法：
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．
（3）化简三角函数式的常用技巧：
①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；
②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进
行约分；
③注意利用角与角之间的隐含关系;
④注意利用“1”的恒等变形．
2 三角恒等式的证明
例17 已知不是直角三角形，求证： .
【解析】在中， ,又 不是直角三角形，则
,
,
即 .
,
故 .
解题技巧（1）三角形的内角和等于 .
（2）创设条件使之能运用和（差）角公式.
（3）记住以下常用结论：在中，, ,
,, .
证明三角恒等式的常用方法
（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等．在证明的过程中，应时刻
“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去．
（2）从两边入手，证明等式两边都等于同一个式子．
（3）作差法，证明左边右边 ．
3 条件恒等式的证明
例18 (2025·河北省石家庄市调研)已知 , ,
,求证： .
【解析】 由条件得 ,即
.
由得,（为消 作准备）
由条件
即 ,
整理得 ,
由,知，,,所以.
所以 .
证明三角函数的条件恒等式的基本思路
证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切
入，然后用证明恒等式的一般方法处理．
【学会了吗丨变式题】
4.已知,求证： .
【答案】 ,
.
,
即 ，
（平方差公式） ,
,
,, .
.
. .
令 , ,
则 ， ，
两式相加，得 ,
即 ．
，即 ．
， ．
，
.
.
题型3 辅助角公式的应用
例19 [多选题](2025·河北省承德县第一中学月考)设 ，其中
，，.若对一切 恒成立，则结论正确的是( )
AC
A.
B.
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D.的单调递增区间是
【解析】由题得
，
因为对一切， 恒成立,
所以 ,
故或 .
故 ，
或 .
对于A，当时， ，
当时，， ，
故A正确；
对于B， ，
，所以
，故B错误；
对于C，由，或知, 既
不是奇函数也不是偶函数，故C正确；
对于D，当时，是 的单调递
减区间，故D错误.
解决两角和与差的三角函数公式与三角函数性质的综合问题的方法
形如的式子可化为 或
的形式，再利用三角函数的性质求解.
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·湖南省常德市临澧县第一中学月考)已知函数
，若在区间，上有且仅有3个零点且
的图象在区间，上有2条对称轴，则 的取值范围是( )
D
A., B., C., D.,
【解析】函数 ，
因为，所以 ，
由于函数在区间，上有且仅有3个零点且的图象在区间， 上有2
条对称轴，
图D 4-2-1
结合函数 的图象（如图D 4-2-1），可知
，整理得， ．
题型4 和（差）角公式与解三角形的综合
例20 已知,,分别为三个内角,,的对边, ，
,的面积为 ，则( )
C
A., B., C., D.,
【解析】由正弦定理及 ，可得
，
又 ，
所以 ，
于是 ，
整理可得 ，
即 .
因为，所以 ,
所以，即 ，
所以 .
又，所以，即 .
因为的面积为，所以 ,
解得 ①,
由余弦定理可得， ,
则 ②，
由①②可得 .
名师点评 本题在求解的过程中有两个难点，一个是考生虽然实现了边化角，但是面
对整个式子中同时有,, 时不知道到底如何减元，其实减元的关键是注
意到主体的角是，而目标角是 ，结合在三角形中始终有一个隐含条件
以及互补两角的正弦值相等，将转化为 并展开化简，
最后获解；另一个是考生注意到
，得到 ，
然后就不知道如何处理了.本题是在正弦定理的工具背景下考查三角恒等变换较好的
例子，同学们好好体会其中减元、消元的处理方式.
母题 致经典·母题探究
图4-2-2
三角形中的射影定理
事实上，在 中，由于
，由正弦定理，可得 .同理可得
, .
我们也可由图形直接得到上述结论，如图4-2-2（钝角三角形和直角三角形类似可
证），在中，是边上的高，则, ，从而
.同理可得, .
我们称上述结论为三角形中的射影定理.
例21 (2025·海南中学月考)的内角，，的对边分别为,, ，若
，则 __.
【解析】 由已知及正弦定理得,
，因此 ，又
，所以 .
（优解） 因为 ，由射影定理可得
，所以，所以，所以 .
子题
子题1 的内角,,的对边分别为,,,已知 ,则
__.
【解析】由射影定理可得 ,
所以,所以 ,
又 ,所以 .
子题2 在中，内角，，的对边分别为,, ，若
，且,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由得 .
由射影定理可得 ，
所以，所以 ，
又， ,则 .
新考法 数学文化
例22 新情境 赵爽弦图 赵爽弦图（如图4-2-3（1））中的大正方形是由4个全等的直
角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长分别为， ，
斜边长为 ，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可
得勾股定理 .仿照赵爽弦图构造如图4-2-3（2）所示的菱形，它是由两对全
等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直
角三角形含有锐角 ，另一对直角三角形含有锐角 ．借鉴勾股定理的推导思路可以
得到结论( )
B
图4-2-3
A.
B.
C.
D.
图4-2-4
【解析】设两对直角三角形的顶点如图4-2-4所示，则
， ，
， ，
， ，
过点作于点，则 ，
，
.
.
数学文化赏析 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用了勾股定理，而且很早就
尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵
爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证
明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数
统一的独特风格树立了一个典范.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
和（差）角公式是高考的必考点,主要考查利用公式化简、求值以及公式的灵活运用,
其中辅助角公式更是考查的热点,常与三角函数的图象与性质交汇命题.各种题型都会
出现,试题难度中等或中等偏下.
核心素养:逻辑推理（由前后角间关系选择合适的公式）,数学运算（求三角函数式的
值）.
考向1 利用公式求值
例23 (2024·新课标Ⅰ卷)已知,,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由得 ①.由 得
②，
由①②得
所以 .
例24 (2022·新高考全国Ⅱ卷)若 ，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】 由题意得
，
整理得 ，即
，
所以 ．
，
则 .
,
所以 ,
则 （【扣选项】联系选项，转化为正切间关系）,所以
, .
则 ,,所以 .
. .
考向2 以两角和与差的公式为工具研究三角函数的性质
例25 (2025·北京)设函数，若 恒成立，
且在上存在零点，则 的最小值为( )
C
A.8 B.6 C.4 D.3
【解析】函数 ，
设函数的最小正周期为 ，
由可得 ，
所以，即 .
又函数在上存在零点，且当时， ，所以
，即 .
综上， 的最小值为4.
例26 (2025·全国一卷)已知函数, .
（1）求 ；
【解析】因为,且 ，
所以 .
（2）设函数,求 的值域和单调区间.
【解析】 ,
所以的值域为 .
令，得，所以 的
单调递增区间为 .
令，得，所以 的
单调递减区间为 .
考向3 和（差）角公式与解三角形的综合
例27 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在中，， .
（1）求 ;
【解析】在中， ,
因为，所以,所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
易得 ,
所以 ，
又，所以 .
（2）设,求 边上的高.
【解析】由（1）知，，所以 为锐角，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理 ，
得 ，
故边上的高为 .
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·甘肃省庆阳市华池县第一中学期中)已知 ，
，其中 ， 为锐角，则以下命题正确的是( )
AB
A. B.
C. D.
【解析】由，可得 ，则 ，
故A正确；
由 ， 为锐角，可得 ，则
， ，故B正确；
由， ，可得
，， ，故C,D均错误．故选
．
2.[多选题](2025·甘肃省天水市模拟)设函数 ，
已知在, 有且仅有3个零点，则( )
AD
A.在上存在,，满足
B.在 上有且仅有1个最小值点
C.在 上单调递增
D. 的取值范围是,
【解析】 ,
当,时， ，
令，则 ，
图D 4-2-2
作出函数 的大致图象，如
图 所示.
对于A选项，由图象可知，， ，
所以，在上存在，，满足 ，A选项正确；对于B选项，
在上有1个或2个最小值点的具体位置不确定,当
时，有1个最小值点，当 时，有2个最小值点 ，B选项错误；
对于D选项，由于函数在,上有且仅有3个零点，则 ，解
得 ，D选项正确；
对于C选项，已得，取，当时， ，此时，
函数在区间上不单调，C选项错误．故选 .
学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.[教材改编P154 T3]若, 是第三象限角，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为， 是第三象限角，所以 ，由两角和的正弦公
式可得 .
2.(2025·福建省福鼎四中月考)在中，若，则 一
定是( )
C
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.三者都有可能
【解析】， ，
， ， ，
是钝角三角形.
3.已知角 为锐角，若，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 角 为锐角，, ,
.
4.新情境 大衍历 (2025·辽宁省鞍山市月考)我国唐朝天文学家一行应用“九服晷影算
法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 的对应数表，这是
世界数学史上最早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度等于表高
与太阳天顶距 正切值的乘积，即 ，对同一“表高”两次测量，第一次和
第二次太阳天顶距分别为 ， ，且 ，若第一次的“晷影长”是“表高”
的3倍，则第二次的“晷影长”是“表高”的( )
A
A.1倍 B. C.倍 D.
【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍， ，
由，得， ，
，解得 ，
故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍．
5.[多选题]已知函数 的图象关于直线
对称，则满足条件的 的值为( )
BC
A. B. C. D.
【解析】 ,
的图象关于直线 对称，
,,即, ,
,或，故选 .
6.若 ， 为锐角，且，，则_ __， __．
【解析】因为 ， 为锐角，，，所以 ，
，所以
．
又 ，所以 ．
7.(2025·江苏省南通市月考)已知在锐角三角形中，, .
（1）求证： ；
【答案】 ①，
②．
并化简得，并化简得 ．
，,即 ．
（2）求 的值.
【答案】 ， ，又
是锐角三角形， ，
,
,解得或
（舍去）， .
8.（1）已知,,求 的值;
【答案】 ,
又 ,
.
（2）已知 , 均为锐角，且,,求 .
【答案】 , 均为锐角， ,
,又， ,
,
. 为锐角，
, .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：45分钟
9.(2025·福建省安溪第八中学月考)若 ， 为锐角，且，则
的最小值为( )
A
A. B. C. D.
【解析】已知 ， 为锐角，且 ，
则 ，
即 ，所以
，
又 ，
即，得，显然 ，所
以，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
10.(2025·河南省南阳市第一中学月考)已知， ，
，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】将两个等式两边平方可得
两式相加可得， .
,，即 ，
代入，得 ，
.
.
11.(2025·湖南省长沙市长郡中学期末)在直角坐标系中，绕原点将 轴的正半轴逆时
针旋转角交单位圆于点，绕原点将 轴正半轴顺时针旋转角
交单位圆于点.若点的纵坐标为，且的面积为，则 点的
纵坐标为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由点的纵坐标为，得，，显然 ，而
，
即，又，所以 ，
所以，则 .
所以，显然 点在第
四象限，所以点的纵坐标为 .
12.[多选题]已知函数 ，则下列说法正确的是( )
BC
A.的图象关于点中心对称 B.在区间, 上单调递减
C.在上有且仅有1个最小值点 D.的值域为
【解析】对于A选项，因为，，所以，所以
的图象不关于点 中心对称，A选项错误.
对于B选项，当,时， ，因为
，所以函数在区间, 上单调递减，B选项正确.
对于C选项，因为
，所以 为函数的周期. 当, 时，
，，所以在区间, 上单调
递增，，，由B选项可知，函数 在区
间,上单调递减，当,时，， ，
所以函数在 上有且只有1个最小值点，C选项正确.
对于D选项，由C选项可知，函数的值域为,，D选项错误.故选 .
13.(2024·新课标Ⅱ卷)已知 为第一象限角， 为第三象限角， ,
，则 _ _____.
【解析】 由题知 ,即
,又 ，可得
.
由,,, ,得
,.又 ，所以
是第四象限角，故 .
因为 为第一象限角， 为第三象限角，则， ，
， ，
则
.
14.新考法 结构不良 已知函数，且
的最小正周期为 ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
【答案】由题意知 ，故 .
（1）求 的解析式.
【答案】选条件①②，的最小值为， ，
则 ，
的图象经过点， ，
， .
， ，
.
选条件①③，的最小值为， ，
则 ，
直线是函数 的图象的一条对称轴，
，， , .
，， .
选条件②③, 直线是函数 的图象的一条对称轴,
，，即 ， ，
，， .
的图象经过点， ，
， ，
.
（2）设，若在区间上的最大值为2，求 的最小
值．
条件①：的最小值为 .
条件②：的图象经过点， .
条件③:直线是函数 的图象的一条对称轴．
【答案】 .
由,知 ，
若在区间上的最大值为2，则 ，
，的最小值为 ．